CC BY
55
УДК 519.2
Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 3(61). 2016. Вып. 3
ЧИСЛЕННОЕ СРАВНЕНИЕ ПЕРЕСТАНОВОЧНЫХ И КЛАССИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ*
В. Б. Мелас, Д. И. Сальников, А. О. Гудулина
Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9
Статья посвящена классической задаче проверки статистической гипотезы о равенстве двух распределений. Для нормальных распределений во многих смыслах оптимальным является критерий Стьюдента. Но на практике сравниваемые распределения часто не являются нормальными и, вообще говоря, неизвестны. В случае, когда ничего не известно относительно сравниваемых распределений, для решения этой задачи обычно применяется непараметрический критерий Колмогорова—Смирнова. В статье рассматриваются методы, основанные на перестановках, которые в последние годы привлекают внимание своей простотой, универсальностью и достаточно высокой эффективностью. Методами стохастического моделирования проведено сравнительное исследование мощности нескольких перестановочных тестов и классических методов (тесты Колмогорова—Смирнова, Стьюдента и Манна—Уитни) для широкого класса функций распределения. Рассматриваются нормальные распределения, распределения Коши и их смеси, а также экспоненциальные распределения, распределения Вейбулла, Фишера и Стьюдента.
Установлено, что для многих типичных распределений наибольшую мощность имеет перестановочный метод, основанный на сумме абсолютных величин разностей. Особенно велико преимущество этого метода перед остальными в случае, когда сравниваются симметричные распределения с совпадающими центрами. Таким образом, указанный перестановочный метод можно рекомендовать к применению в тех случаях, когда сравниваемые распределения отличны от нормальных. Библиогр. 9 назв. Табл. 5.
Ключевые слова: статистические гипотезы, перестановочные методы.
1. Введение. Задача проверки гипотезы о равенстве двух распределений является классической задачей математической статистики и имеет большой теоретический и практический интерес. Хорошо известно (см., например, [1]), что в случае, когда оба распределения являются нормальными и имеют одинаковые дисперсии, классический тест Стьюдента обладает рядом оптимальных свойств. Но на практике распределения часто не являются нормальными и, вообще говоря, неизвестны. При этом сильную конкуренцию тесту Стьюдента составляют непараметрические тесты, важным классом которых являются тесты, основанные на перестановках.
В работе представлены результаты исследования мощности нескольких перестановочных тестов, а также тестов Стьюдента, Колмогорова—Смирнова и Манна— Уитни.
2. Постановка задачи и описание перестановочных тестов. Рассмотрим классическую задачу проверки нулевой гипотезы
Н : Л = Л (1)
против альтернативной гипотезы
Н1 : Л = ^2, (2)
* Работа выполнена при поддержке СПбГУ (проект 6.38.435.2015).
(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2016
где F1, F2 — функции распределения общего вида, по результатам наблюдений
У1 = (У1,1,У1,2,...,У1,щ ), У2 = (У2,1,У2,2,...,У2,П2 )• (3)
Для простоты обозначений и без потери общности предположим сбалансированность выборок, т. е. справедливость равенств «4 = П2 = п (в случае несбалансированной выборки аргументы очень похожи). Определим векторы
% (п0) = {У11, •••, У1и, У21, •••, У2и}, (4)
% (Пк ) = {У11, •••, У1п, У21,..., У2п}, (5)
Уи1 = У2з , Шп = У131, 1 = 1,•••,k,
. , . (6) У13 = У13 , У23 = У2з, 3 = 31,...,3к,
где Пк = Пк(в), в = 1, 2,•••, (СП)2 —различные способы замены к элементов из первой половины на к элементов из второй половины. Обозначим через % = % (по) совокупность векторов (4), У выборочное среднее, УтР^ медиану и определим на множестве % критерии Кг = Кг(%), г = 1, 2,...,6:
п
К1%) = (У1 - У2)2, К2%) =]Т (Хи(г) - Х23(г))2,
г,3=1
Ыг) = кА{г) = (У1теа - у2теа)\
б2 {г)
(п п \ 2 п
|У1г - У1теЛ | Уг - У2теа N , Кб % )=^ \Уи - У231,
г=1 г=1 / г,3=1
где использованы обозначения
б2(% ) = 82%) + б2%),
^ (£'*"'v1''11') •
г=1 \г=1 )
Для % = % (п), п = Пк (в), в = 1,...,С )2, к = 1, 2,...,п функции Кь К2,...,Кб определяются теми же формулами с заменой % = % (по ) на % = % (п). Под перестановочным Кг-тестом проверки гипотезы Но будем понимать следующий алгоритм.
Пусть имеем Г2 = (С!к)2, к = п/2, п — четное, и пусть Г1 —число перестановок Пк, для которых выполняется Кб%(пп)) > Кб%(по)). Тогда, если справедливо Г1/Г2 > а для К1,..., К4, Кб и Г1/Г2 < (1 - а) для К5, где а — заданный уровень значимости, нулевая гипотеза не отвергается. Иначе нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативной.
В работе [2] для специального случая задачи проверки гипотез были предложены критерии на основе норм Ь1 и ¿2, они и составили основу рассматриваемых критериев. В недавней работе [3] было показано, что три метода перестановок, основанные на норме Ь2, эквивалентны друг другу.
Мощность критерия К1 была изучена численными методами в работе [4]. Критерий К2 был введен в [2]. Критерий К3 является естественным обобщением классического ¿-критерия и аналогичен критерию перестановок, который был предложен в [5] и [6]. Критерии К4 и Кб также рассматривались в [2]. Критерий К5, по информации авторов настоящей статьи, является новым. Применение критерия К1 в задачах регрессионного анализа рассматривалось также в работах [7-9].
В качестве альтернатив будем рассматривать тест Стьюдента (Ь.ЬезЬ), тест Колмогорова—Смирнова (кз.ЬезЬ) и тест Манна—Уитни (тИоохЛезЬ). Тест Стью-дента рассматривается как обладающий оптимальными свойствами при сравнении нормальных распределений с одинаковыми дисперсиями. Тест Колмогорова— Смирнова — непараметрический тест, основанный на выборочной функции распределения и поэтому наиболее универсальный из возможных тестов. Тест Манна— Уитни — непараметрический тест, основанный на рангах и, по сообщениям стандартных руководств, наиболее мощный непараметрический тест в случае распределений, отличающихся только сдвигом. Задача заключается в сравнительном анализе мощности рассматриваемых тестов для типичных распределений и Сначала мы приведем результаты об эквивалентности некоторых из рассмативаемых перестановочных тестов, а затем сравним оставшиеся тесты с помощью статистического моделирования.
3. Эквивалентность некоторых перестановочных тестов. Следующая теорема устанавливает эквивалентность трех критериев, так как каждый их них характеризуется одной и той же функцией мощности.
Теорема 3.1. Для любых функций распределения Л1, Л2 критерии перестановок К1, К2 и К3 для проверки нулевой гипотезы Н0, заданной формулой (1), против альтернативы Н1, заданной (2), эквивалентны для любой перестановки и для любого произвольно заданного уровня значимости а.
Доказательство теоремы можно найти в работе [3].
Рассмотрим теперь два симметричных распределения с общим центром. Из вида рассматриваемых тестов вытекает, что в этом случае ¿-критерий и критерий К1 полностью бесполезны.
Теорема 3.2. Для любых симметричных относительно одного и того же центра функций распределения Л1, Л2 для проверки нулевой гипотезы Н0, заданной формулой (1), против альтернативы Н1, заданной (2), мощность теста К1, а также теста Стьюдента совпадает с уровнем значимости для любого произвольно заданного уровня значимости а.
Мощность теста Манна—Уитни, как показывают численные эксперименты, может быть чуть больше уровня значимости, но он также бесполезен в этой ситуации. Несколько лучшие (но также незначительные) возможности имеют в этой ситуации тесты К4 и К5. Однако, как мы увидим на численных примерах, критерий Кб позволяет эффективно проверять гипотезу для распределений, описываемых этой теоремой.
4. Сравнение мощности перестановочных тестов. Проведем сравнительный анализ мощности тестов К1, К4, К5 и Кб. Начнем со случая, когда сраниваемые распределения являются нормальными. Для нормальных распределений с одинаковыми дисперсиями следует ожидать, что наилучшим окажется перестановочный аналог ¿-критерия, т.е. критерий К1. Надо сразу сказать, что этот вывод подтверждается результатами статистического моделирования (см. табл. 1), но выигрыш К1 по
сравнению с Кб составляет всего 3-5% мощности. С другой стороны, критерий Ki совершенно бесполезен, когда сравниваемые распределения имеют одинаковые средние и отличаются только дисперсиями, так как в этом случае мощность критерия тождественно равна уровню значимости а. Рассмотрим следующие распределения:
(1) нормальные распределения с одинаковыми дисперсиями;
(2) нормальные распределения с одинаковыми средними;
(3) составные распределения, 95% которых составляет нормальное рапределение и 5% — распределение Коши;
(4) распределения Коши с одинаковыми центрами;
(5) распределения Коши с одинаковой шириной;
(6) распределения Стьюдента со сдвигом и без;
(7) распределения Вейбулла;
(8) распределения Фишера с различными параметрами.
Мы провели моделирование этих распределений для n =10 и n = 30. Каждый эксперимент повторялся 10 000 раз. Для перестановочных тестов было выбрано 1600 случайных перестановок (это количество выбрано на основе предварительных экспериментов). Приведем результаты только для случая размера выборки n = 30, так как для n =10 результаты вполне аналогичны. В табл. 1 представлены результаты для случая, когда распределения отличаются только сдвигом.
Таблица 1. Мощность тестов при наличии сдвига, n = 30
Распределение fi f2 К1 К4 К Б К 6
(0, 1) (0, 1) 0.045 0.049 0.045 0.046
(0.25, 1) 0.16 0.132 0.129 0.148
Нормальное (0.5, 1) 0.475 0.385 0.372 0.446
(0.75, 1) 0.815 0.707 0.689 0.787
(1> 1) 0.969 0.915 0.904 0.96
(0, 1) (0, 1) 0.056 0.055 0.054 0.055
Составное (0.25, 1) 0.134 0.123 0.122 0.137
(95% нормального (0.5, 1) 0.376 0.352 0.345 0.409
и 5% Коши) (0.75, 1) 0.642 0.659 0.64 0.723
(1> 1) 0.823 0.887 0.872 0.929
(0, 1) (0, 1) 0.049 0.048 0.048 0.049
(0.5, 1) 0.074 0.218 0.223 0.122
Коши (1> 1) 0.129 0.611 0.643 0.36
(1.5, 1) 0.217 0.888 0.913 0.668
(2, 1) 0.299 0.979 0.986 0.874
(1> 0) (1,0) 0.049 0.05 0.05 0.049
(1, 0.5) 0.2 0.35 0.353 0.275
Стьюдента (1> 1) 0.502 0.856 0.853 0.719
(1, 1.5) 0.698 0.984 0.987 0.922
(1> 2) 0.794 0.999 0.999 0.975
(1> 3) (1,3) 0.05 0.05 0.051 0.049
(1, 2.5) 0.104 0.08 0.08 0.097
Вейбулла (1, 2) 0.323 0.226 0.211 0.297
(1, 1.5) 0.731 0.548 0.514 0.702
(1, 1) 0.979 0.898 0.877 0.974
Как видно из табл. 1, в случае нормальных распределений, отличающихся только сдвигом, а также в случае распределения Вейбулла наилучшим оказывается критерий Ki, но критерий Кб уступает ему лишь одну-две сотых по мощности. Остальные критерии значительно уступают в мощности. Для распределений Коши и Стьюдента
наилучшим оказывается критерий К5. А для составного распределения критерий Кб значительно — на 0.1 мощности превосходит остальные в большинстве случаев.
Таблица 2. Мощность тестов при отсутствии сдвига, п = 30
Распределение Рх Р2 Кг кА КЪ К 6
(0, 1) (0, 1) 0.048 0.047 0.045 0.046
(0, 1.5) 0.05 0.065 0.059 0.139
Нормальное (0, 2) 0.052 0.103 0.082 0.464
(0, 2.5) 0.053 0.155 0.111 0.795
(0, 3) 0.053 0.202 0.136 0.944
(0, 1) (0, 1) 0.05 0.047 0.048 0.049
Составное (0, 1.5) 0.05 0.063 0.057 0.125
(95% нормального (0, 2) 0.05 0.103 0.083 0.406
и 5% Коши) (0, 2.5) 0.053 0.142 0.107 0.709
(0, 3) 0.054 0.184 0.128 0.893
(0, 1) (0, 1) 0.047 0.048 0.048 0.049
(0, 3) 0.058 0.175 0.127 0.419
Коши (0, 5) 0.052 0.324 0.217 0.743
(0, 7) 0.052 0.446 0.294 0.877
(0, 9) 0.056 0.532 0.36 0.935
(100, 2) (100, 2) 0.048 0.05 0.049 0.047
(100, 1.6) 0.084 0.064 0.06 0.085
Фишера (100, 1.2) 0.24 0.13 0.113 0.244
(100, 0.8) 0.643 0.357 0.302 0.654
(100, 0.4) 0.98 0.869 0.813 0.98
(5, 1) (5, 1) 0.055 0.053 0.051 0.053
(4, 1) 0.057 0.06 0.058 0.072
Вейбулла (3, 1) 0.069 0.107 0.098 0.211
(2, 1) 0.078 0.242 0.198 0.722
(1, 1) 0.059 0.565 0.454 1
Табл. 2 показывает, что в отсутствие сдвига для симметричных распределений все критерии, кроме Кб, полностью бесполезны, что можно рассматривать просто как иллюстрацию теоремы 2. Но критерий Кб работает эффективно. В случае распределения Фишера с отличающимся вторым параметром (число степеней свободы распределения х-квадрат в знаменателе) наиболее эффективными оказываются критерии К1 и Кб, которые имеют приблизительно одинаковые мощности.
5. Сравнение наилучшего перестановочного и неперестановочных критериев. На основе анализа, проведенного в предыдущем разделе, будем сравнивать критерий Кб, который в большинстве случаев оказывается наилучшим среди перестановочных критериев, с ¿-критерием и с критериями Колмогорова—Смирнова и Манна—Уитни. Начнем опять с распределений, отличающихся сдвигом.
Заметим, что для малых выборок, которые рассматриваются в табл. 3, перестановочный тест Кб превосходит остальные тесты по мощности. Особенно малоэффективным является критерий Стьюдента для распределений Коши и Стьюдента. Тест Колмогорова—Смирнова заметно уступает тесту Кб, особенно он малоэффективен для распределения Вейбулла. В табл. 4 рассматриваются те же самые распределения, но для выборки втрое большего размера.
Для этого случая тест Кб немного уступает критериям Манна—Уитни и Колмогорова—Смирнова в случае распределений Коши и Стьюдента. Тест Колмогорова— Смирнова для таких выборок уже не показывает низкую эффективность — его мощность близка к мощности Кб или превосходит ее, кроме случаев нормального и близ-
Распределение Рх р2 К 6 t.test ks.te.st тИсох ЛезЬ
(0, 1) (0, 1) 0.052 0.05 0.013 0.045
(0.5, 1) 0.17 0.176 0.056 0.156
Нормальное (1, 1) 0.533 0.556 0.24 0.511
(1.5, 1) 0.866 0.886 0.579 0.857
(2, 1) 0.982 0.988 0.862 0.98
(0, 1) (0, 1) 0.051 0.044 0.013 0.044
Составное (0.5, 1) 0.154 0.146 0.045 0.143
(95% нормального (1, 1) 0.481 0.447 0.211 0.452
и 5% Коши) (1.5, 1) 0.801 0.739 0.507 0.772
(2, 1) 0.956 0.871 0.792 0.941
(0, 1) (0, 1) 0.05 0.018 0.012 0.042
(1, 1) 0.187 0.068 0.106 0.191
Коши (2, 1) 0.481 0.183 0.383 0.468
(3, 1) 0.739 0.317 0.652 0.684
(4, 1) 0.872 0.419 0.806 0.808
(1,0) (1, о) 0.05 0.018 0.012 0.044
(1, 0.75) 0.238 0.092 0.105 0.254
Стьюдента (1, 1-5) 0.602 0.266 0.454 0.689
(1, 2.25) 0.792 0.376 0.75 0.897
(1, з) 0.876 0.457 0.894 0.963
(1> 5) (1, 5) 0.053 0.039 0.011 0.044
(1, 4) 0.072 0.054 0.018 0.061
Вейбулла (1, з) 0.164 0.128 0.049 0.142
(1, 2) 0.428 0.34 0.156 0.354
(1, 1) 0.872 0.736 0.517 0.776
Таблица 4. Мощность тестов при наличии сдвига, п = 30
Распределение Р1 Р2 К 6 ЬЛевЬ ks.test тИсох ЛезЬ
(0, 1) (0, 1) 0.049 0.049 0.034 0.048
(0.25, 1) 0.151 0.158 0.098 0.154
Нормальное (0.5, 1) 0.445 0.475 0.315 0.456
(0.75, 1) 0.778 0.81 0.638 0.788
(1, 1) 0.958 0.97 0.883 0.961
(0, 1) (0, 1) 0.05 0.043 0.033 0.05
Составное (0.25, 1) 0.136 0.117 0.094 0.141
(95% нормального (0.5, 1) 0.407 0.342 0.29 0.41
и 5% Коши) (0.75, 1) 0.726 0.61 0.584 0.734
(1, 1) 0.93 0.783 0.844 0.932
(0, 1) (0, 1) 0.051 0.02 0.037 0.05
(0.5, 1) 0.118 0.033 0.164 0.171
Коши (1, 1) 0.369 0.073 0.554 0.51
(1.5, 1) 0.665 0.134 0.864 0.794
(2, 1) 0.874 0.21 0.974 0.935
(1,0) (1, о) 0.051 0.02 0.036 0.048
(1, 0.5) 0.279 0.102 0.29 0.376
Стьюдента (1, 1) 0.732 0.298 0.821 0.887
(1, 1-5) 0.929 0.466 0.988 0.995
(1, 2) 0.971 0.541 1 1
(1,3) (1, з) 0.057 0.054 0.038 0.056
(1, 2.5) 0.101 0.102 0.061 0.092
Вейбулла (1, 2) 0.305 0.314 0.184 0.268
(1, 1-5) 0.7 0.716 0.483 0.619
(1, 1) 0.973 0.975 0.878 0.937
ких к нему рапределений. Критерий Стьюдента, наоборот, наиболее эффективен в случае нормального распределения и распределения Вейбулла.
Для распределений с отсутствием сдвига рассмотрим только выборки размера п = 30. Результаты представлены в табл. 5.
Таблица 5. Мощность тестов при отсутствии сдвига, n = 30
Распределение fi f2 К 6 t.test ks.test wilcox. test
(0, 1) (0, 1) 0.051 0.052 0.034 0.05
(0, 1.5) 0.141 0.047 0.075 0.051
Нормальное (0, 2) 0.464 0.051 0.189 0.062
(0, 2.5) 0.796 0.05 0.349 0.066
(0, 3) 0.95 0.048 0.513 0.066
(0, 1) (0, 1) 0.053 0.042 0.037 0.052
Составное (0, 1.5) 0.126 0.043 0.068 0.054
(95% нормального (0, 2) 0.41 0.046 0.166 0.061
и 5% Коши) (0, 2.5) 0.712 0.045 0.295 0.065
(0, 3) 0.894 0.046 0.439 0.064
(0, 1) (0, 1) 0.058 0.023 0.037 0.052
(0, 3) 0.407 0.018 0.231 0.058
Коши (0, 5) 0.738 0.021 0.507 0.07
(0, 7) 0.883 0.023 0.69 0.076
(0, 9) 0.937 0.022 0.808 0.081
(100, 2) (100, 2) 0.051 0.014 0.036 0.052
(100, 1.6) 0.087 0.022 0.043 0.058
Фишера (100, 1.2) 0.246 0.039 0.095 0.115
(100, 0.8) 0.645 0.051 0.318 0.297
(100, 0.4) 0.982 0.013 0.879 0.768
(5, 1) (5, 1) 0.048 0.049 0.034 0.048
(4, 1) 0.07 0.055 0.045 0.053
Вейбулла (3, 1) 0.216 0.069 0.12 0.079
(2, 1) 0.718 0.07 0.363 0.133
(1, 1) 0.999 0.048 0.889 0.248
Из табл. 5 видно, что в этом случае тесты Стьюдента и Манна—Уитни бесполезны. Тест Кб значительно превосходит тест Колмогорова—Смирнова, особенно в случае нормального распределения и смеси нормального распределения и распределения Коши.
6. Заключение. Стохастическое моделирование является универсальным методом исследования, который позволяет оценивать эффективность статистических процедур в случаях, когда это не удается сделать аналитическими методами. Сравнительная оценка мощности перестановочных тестов и классических тестов Стьюдента, Колмогорова—Смирнова и Манна—Уитни для решения задачи проверки гипотезы о равенстве двух распределений показала, что тест, основанный на сумме модулей разностей элементов двух выборок в большинстве случаев превосходит по мощности все другие рассмотренные тесты. Особенно велико преимущество этого теста, если центры сравниваемых распределений совпадают.
Литература
1. Leman E. Testing Statistical Hypotheses. 1979.
2. Sirsky M. On the Statistical Analysis of Functional Data Arising from Designed Experiments: Ph.D. thesis. University of Manitoba. 2012.
3. Corain L., Melas V., Pepelyshev A., Salmaso L. New insights on permutation approach for hypothesis testing on functional data // Advances in Data Analysis and Classification. 2014. Vol. 8, issue 3. P. 339-356.
4. Sturino J., Zorych I., Mallick B. et al. Statistical methods for comparative phenomics using high-throughput phenotype microarrays // The International Journal of Biostatistics. 2010. Vol.6. P. 3-4.
5. Cox D., Lee J. Pointwise testing with functional data using the Westfall—Young randomization method // Biometrika. 2008. Vol.95. P. 621-634.
6. Ramsay J., Hooker G., Graves S. Functional Data Analysis with R and Matlab. 2009.
7. Keller-McNulty S., Higgins J. Effect of tail weight and outliers on power and type-i error of robust permutation tests for location // Communications in Statistics —Simulation and Computation. 1987. Vol. 16. P. 17-35.
8. Edgington E. S. Approximate randomization tests // The Journal of Psychology. 1969. Vol. 72. P. 143-149.
9. Good P. I. Resampling Methods: A Practical Guide to Data Analysis. 3 edition. Birkhauser, 2006. Статья поступила в редколлегию 23 декабря 2015 г.
Сведения об авторах
Мелас Вячеслав Борисович — профессор; vbmelas@post.ru
Сальников Дмитрий Игоревич — студент; mejibkop.ru@mail.ru
Гудулина Анастасия Олеговна — программист; anastasia.gudulina@gmail.com
THE NUMERICAL COMPARING OF CLASSICAL AND PERMUTATION METHODS OF STATISTICAL HYPOTHESIS TESTING
Viatcheslav B. Melas, Dmitrii I. Salnikov, Anastasia O. Gudulina
St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; vbmelas@post.ru, anastasia.gudulina@gmail.com, mejibkop.ru@mail.ru
The article is devoted to the classical problem of a statistical hypothesis test for the equality of two distributions. For normal distributions in many ways t-test is the best one. But in practice, compared distributions often are not normal ones and, generally speaking, are not known. The non-parametric Kolmogorov—Smirnov test is usually used to solve this problem in case when the investigator knows nothing about the compared distributions. The article deals with methods based on permutations. In recent years such methods have attracted attention by its simplicity, versatility and relatively high efficiency. A comparative study of power of a few permutation tests and classical methods (such as Kolmogorov— Smirnov test, t-test and Mann—Whitney test) for a wide class of distribution functions was done by using stochastic simulation's methods. Normal and Cauchy distributions and its mixtures are considered as well as exponential, Weibull, Fisher and Student's distributions.
It was found that for many typical distributions the permutation test, based on the sum of the absolute values of the differencesis, is the most powerful one. The advantage of this test over the others is considerably greater for the case, when symmetrical distributions with the same centers are compared. Thus, the permutation test can be recommended for using in cases where the compared distributions are different from normal ones. Refs 9. Tables 5.
Keywords: statistical hypothesis, permutation methods.
References
1. Leman E., Testing Statistical Hypotheses (1979).
2. Sirsky M., On the Statistical Analysis of Functional Data Arising from Designed Experiments: Ph.D. thesis (University of Manitoba, 2012).
3. Corain L., Melas V., Pepelyshev A., Salmaso L., "New insights on permutation approach for hypothesis testing on functional data", Advances in Data Analysis and Classification 8, Issue 3, 339-356 (2014).
4. Sturino J., Zorych I., Mallick B. et al., "Statistical methods for comparative phenomics using high-throughput phenotype microarrays", The International Journal of Biostatistics 6, 3-4 (2010).
5. Cox D., Lee J., "Pointwise testing with functional data using the Westfall—Young randomization method", Biometrika 95, 621-634 (2008).
6. Ramsay J., Hooker G., Graves S., Functional Data Analysis with R and Matlab (2009).
7. Keller-McNulty S., Higgins J., "Effect of tail weight and outliers on power and type-i error of robust permutation tests for location", Communications in ¡Statistics — ¡Simulation and Computation 16, 17-35 (1987).
8. Edgington E. S., "Approximate randomization tests", The Journal of Psychology 72, 143-149 (1969).
9. Good P. I., Resampling Methods: A Practical Guide to Data Analysis (3 edition, Birkhauser, 2006).
Для цитирования: Мелас В. Б., Сальников Д. И., Гудулина А. О. Численное сравнение перестановочных и классических методов проверки статистических гипотез // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 2016. Т. 3(61). Вып. 3. С. 415-423. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2016.309
For citation: MelasV. B., Salnikov D. I., Gudulina A. O. The numerical compearing of classical and permutation methods of statistical hypothesis testing. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2016, vol. 3(61), issue 3, pp. 415-423. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2016.309
