Численное решение задачи о распространении электромагнитных волн в слабо направляющих волноводах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

Е. М. Карчевский, А. Г. Фролов

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАСПРОСТРАНЕНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В СЛАБО НАПРАВЛЯЮЩИХ ВОЛНОВОДАХ1

Аннотация. Изучается задача о распространении электромагнитных волн в слабо направляющем диэлектрическом волноводе. Задача сводится к линейной задаче на собственные значения для интегрального оператора с симметричным, положительным, слабополярным ядром. Для решения используется метод Галеркина. Представлены результаты численных экспериментов.

Ключевые слова: распространение электромагнитных волн в волноводе, задача на собственные значения, интегральные уравнения, численный метод.

Abstract. The article analyses a problem of electromagnetic waves propagation in weakly guiding dielectric waveguide. The problem is reduced to the linear eigenvalue problem for integral operator with symmetric, positive, weakly polar kernel. The authors apply the Galerkin method for problem solving. The article introduces the numerical results.

Key words: propagation of electromagnetic waves in waveguides, eigenvalue problems, integral equations, numerical methods.

Введение

Интерес к задачам о собственных волнах диэлектрических волноводов стремительно возрастает в течение последних двух десятилетий в связи с бурным развитием оптических телекоммуникационных технологий передачи данных на большие расстояния [1] и использованием в радиоэлектронной промышленности миниатюрных интегрированных оптических схем вместо классических электрических [2]. Эти задачи являются спектральными задачами теории дифракции, т.е. задачами поиска частных решений уравнений Максвелла в виде бегущих (собственных) волн в неограниченных областях, удовлетворяющих условиям сопряжения на границах раздела сред и соответствующим условиям на бесконечности [3]. Достаточно эффективные и универсальные алгоритмы решения задач дифракции в неограниченных областях основаны на переходе к интегральным уравнениям (см. [4-7]).

В данной статье метод интегральных уравнений применяется для изучения электромагнитных волн, распространяющихся в диэлектрическом волноводе, показатель преломления которого в области поперечного сечения является функцией, мало отличающейся от постоянного показателя преломления окружающей среды. Это позволяет использовать известное скалярное приближение слабо направляющего волновода [8]. Задача сводится к линейной задаче для интегрального оператора с симметричным, положительным, слабополярным ядром. Доказывается теорема о существовании характеристических чисел и собственных функций. Для приближенного решения задачи используется метод Галеркина. Представлены результаты численных экспериментов.

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 09-01-97009.

1. Постановка задачи

Задача о поверхностных волнах слабо направляющего диэлектрического волновода заключается [8] в определении таких значений частоты электромагнитных колебаний ю> 0 и постоянных распространений (3> 0 , при которых существуют нетривиальные, экспоненциально убывающие на бесконечности функции u, удовлетворяющие уравнениям

ы = 0, хе О;

ы = 0, х е О™ = Л2 \ О;

(1)

(2)

ды+ ды

ы = ы

ду ду

х е Г.

(3)

Здесь О - ограниченная область на плоскости Я , ее граница Г -липшицева кривая (см. рис. 1); ы+ (ы-) - предельное значение функции ы извне (изнутри) контура Г; ды / ду - производная по внешней нормали; п -показатель преломления волновода; п™ > 0 - постоянный показатель пре, 2 2

ломления окружающей среды; к =ю £0^0 - продольное волновое число; £0(^0) - электрическая (магнитная) постоянная. Будем считать, что показатель преломления непрерывен и непрерывно дифференцируем в области О .

Предположим также, что п( х) > п™ при х ей , обозначим п+ = тах п( х).

хеО

Будем разыскивать нетривиальные решения ы задачи (1)-(3) в классе функций, непрерывных и непрерывно дифференцируемых в О и О™ , дважды непрерывно дифференцируемых в О и О™ . Обозначим это множество функций через и. В работе [3] доказано, что для существования экспоненциально убывающих на бесконечности решений задачи (1), (3) необходимо, чтобы

(Р,ю) е Л, где Л = {(Р,ю): ю^£0Ц*0п™ < Р < 0ц/£0,и0п+, ю> 0}. Если (Р,ю) е Л,

2 2 2

то поперечное волновое число а = ^Р — к п^ является вещественным, положительным и определяет скорость затухания амплитуд собственных волн на бесконечности. Точнее,

і(х) = ехр(-а| х |)0

1 х ^ <~. (4)

Задачу о собственных волнах слабо направляющего цилиндрического диэлектрического волновода сформулируем теперь следующим образом. Требуется найти (Р, ю) еЛ и ненулевые функции и е и, удовлетворяющие условиям (1)-(4).

2. Существование решений задачи

Сведем задачу (1)-(4) к спектральной задаче для интегрального оператора.

Лемма 1. Пусть и - решение задачи (1)-(4), отвечающее некоторым значениям спектральных параметров (Р, ю) еЛ. Тогда

и(х) = (Л(а)и)(х), хе Я2, (5)

где

(Л(а)и) (х) = | Ф( а; х, у ) р2 (у )и (у )Лу; й

р 2 (у) = к2 (п 2( у) — Щ); (6)

Ф(а;х,у) = 2-К0 (а|х — у|). (7)

Здесь Ко - функция Макдональда (см. [9]).

Доказательство. Функция и удовлетворяет в области й^ однородному уравнению Гельмгольца с постоянным отрицательным коэффициентом:

Ди — а2и = 0, х ейта. (8)

Запишем в области й уравнение (2) формально в виде неоднородного

уравнения Гельмгольца с тем же коэффициентом:

2 2

Ди — а и = — р и, хей, (9)

где функция р определена в (6). Применим в области й формулу Грина:

w( х)и( х) = Ф( х, у) — и( у)ЭФ(х у) 1Л1 (у) + [ Ф (х, у) р2( у )и( у )Лу, (10)

Г I Эу( у) Эу ) а

где w(х) = {1, хей; 1/2, хе Г; 0, хейга}. Отметим, что при (Р,а)еЛ фундаментальное решение Ф уравнения Гельмгольца (8) имеет вид (7), так как в этом случае

Ф(а;х,у) = 4.Н(01)(іа 1 х- у |) = К0 (а|х -у\) а> 0.

Обозначим Оя область, ограниченную контуром Г и окружностью Гя достаточно большого радиуса Я такого, что область О целиком лежит в круге этого радиуса. Применим в области Оя формулу Грина:

М>Я(х)и(х) = -[^Ф(х,у)-«(у)Эф((уу) Я(у) +

+ /Г Ф( х, у) - и( у) <И (у), (11)

Г I Эу(у) Эу(у) у

ГЯ

где м>я (х) = {1, х є О я ; 1/2, х є Г; 0, х є О}. Вычислим предел при Я

от второго интеграла в правой части равенства (11). Подынтегральное выражение экспоненциально убывает на бесконечности в силу асимптотики (4) и экспоненциального убывания на бесконечности функции Макдональда [9]. Следовательно, искомый предел равен нулю. Сложим теперь полученное предельное выражение с равенством (10), учитывая условия сопряжения (3). В результате получим искомое интегральное представление (5). Лемма доказана.

Равенство (5) при х єО представляет собой спектральную задачу для интегрального оператора, которую запишем в виде

и(х) = Х/Ф(а;х,у)g2(у)и(у)Яу, хє О, (12)

О

где g2(х) = (п2(х) -п£)/(п2 -п£), X= к2 (п2 -п£).

Умножим обе части равенства (12) на g и положим V = gu . Тогда

у( х) = X / Ф(а; х, у) g (х) g (у > (у )Яу. (13)

О

Обозначим В (а) интегральный оператор, определяемый правой частью последнего равенства,

(В(а>)(х) = / Ф(а; х, у) g (х) g (у )v( у )Яу. (14)

О

Будем рассматривать оператор В(а) как оператор, действующий в пространстве вещественнозначных интегрируемых с квадратом функций 1^(О) со стандартным скалярным произведением. Запишем задачу (13) в операторном виде:

V = ХВ (а^. (15)

Лемма 2. При любом а> 0 ядро оператора В(а) является симметричным, положительным и слабополярным.

Доказательство. Пусть а> о . Ядро оператора В имеет вид

К (а; х, у) = -1 Ко(а | х - у |) g (х) g (у) .

2л

Функция Ко (2) > 0 при г > 0 [9]. Функция

1 -1

g = (п2 - п£)2 (п+ - п£) 2 > о,

так как п+ > п( х) > п^ при х ей.

Таким образом, ядро К положительное. Функция Ко зависит от расстояния между точками х и у, поэтому ядро К симметричное. Запишем ядро К формально в виде

К (а | х - у |) = К0(а|х - у|)g (х) g (у )1х - уГ, а< !.

2л | х - у |а

Так как функция Ко(а | х - у |) имеет логарифмическую особенность при | х - у |^ о , то функция Ко(а | х - у |) | х - у |а, а < 1, непрерывна в области йхй . Следовательно, ядро слабополярное. Лемма доказана.

При фиксированных значениях параметра а задачу (15) удобно рассматривать как линейную спектральную задачу определения характеристических чисел X и собственных функций V оператора В (см. [Ю]). Если (Р, ю) е Л, то параметры а и X должны удовлетворять следующим условиям:

Х>о, о<а<л/Х. Итак, требуется найти такие (X,а)еТ, где ¥ = {(Л,а):

о <а< л/Х, X > о}, и ненулевые функции Vе 1^(й), удовлетворяющие равенству (15). Задачи (15) и (1)-(4) эквивалентны, а именно справедлива

Теорема 1. Если ненулевая функция и еи и параметры (Р, ю) е Л удовлетворяют условиям (1)-(4), то

V = guе ^(й), Х = ю2ео^о(п+ -п2), а = -у/р2 -ю2ео^оп2

удовлетворяют равенству (15). С другой стороны, если для ненулевой функции V е ^(й) и (X, а) е Т выполняется равенство (14), то

и =XB(а)(-\|е и;

Р =

( п2 ^1/2 ( х ^1/2

а2 + Х-

п

2 2

у п+ по у у

ю =

Є0^0 (п+ - Поо )

(16)

удовлетворяют условиям (1)-(4).

Доказательство. Первое утверждение теоремы непосредственно следует из леммы 1. Докажем второе утверждение. Пусть для ненулевой функции V є /^(О) и (X,а) є V выполняется равенство (18). Ядро оператора В(а)

слабополярное. Следовательно, функция и =ХВ(а) (g-1v) непрерывна в О

[Ю]. Теперь в силу известных свойств потенциала площади [Ю] функция и

непрерывна и непрерывно дифференцируема в Я , дважды непрерывно дифференцируема в й и й^; кроме того, функция и и параметры Р, ю, определяемые равенствами (16), удовлетворяют уравнениям (1), (2). Условие (4) экспоненциального убывания функции и следует из соответствующего поведения на бесконечности функции Макдональда [9]. Теорема доказана.

Относительно существования решений задачи (15) справедлива

Теорема 2. Для любого а>о справедливы следующие утверждения:

1) существует счетное множество положительных характеристических чисел X;, ; = 1, 2, с единственной точкой накопления на бесконечности;

2) система собственных функций } может быть выбрана орто-нормальной;

3) наименьшее по модулю характеристическое число X! положительное и простое, соответствующая собственная функция Vl положительна в й;

4) Xl ^ о при а^ о .

Доказательство. Первые три утверждения теоремы следуют из леммы 2 и результатов спектральной теории интегральных операторов с симметричными, положительными, слабо полярными ядрами [Ю]. Докажем, что Xl ^ о при а^ о . Используем вариационный принцип для первого характеристического числа Xl:

X, = ,„г (//)

/е^(й) (В(а)/, /)

В силу непрерывной зависимости ядра оператора В от а функция Xl =Xl(а) непрерывна [3]. Так как ядро оператора В имеет логарифмическую особенность, для любой функции / е ^(й) имеем (В(а)/, /) при а^ о . Следовательно, Xl ^ о при а^ о. Теорема доказана.

3. Численный метод

Для численного решения задачи применим метод Галеркина. Произведем триангуляцию области:

N

йN = и й С й.

к=1

Выберем в качестве базисных функций фк характеристические функции для каждого треугольника йк. Приближенное решение vN будем разыскивать в виде

N

^ = £ №к Фк. (17)

к=1

Подставим представление (17) в формулу (15). Используя линейность оператора В , получим

N

( N

2 Фк -Х 2 ^В(а)Фк

к=1 у к=1

= 0.

Для определения коэффициентов Wk потребуем, чтобы левая часть последнего равенства была ортогональна функциям ф,, I = 1, N:

( N Л ( N Л

2 wkФк ф/ - Х2 wkB(а)Фkф,

у і=1 у У к=1

= 0, / = 1, N.

Следовательно,

W/

N ___

| ёх = Х2Wk | | Ф(а;х, y)g(x)g(y)dydx, / = 1,N.

О,

к=1 О, Ок

Таким образом, мы пришли к спектральной задаче

N ___

W/ШЄ8(О/) = Х2 «^к, / = 1,N, к=1

где «/к = 1 1 Ко(а I х - У l)g(х)g(у)ёуёх, /,к = 1,N.

О/ Ок

Опишем способ вычисления диагональных элементов «,,. Будем аппроксимировать функцию g константой на каждом треугольнике О,. Внешний интеграл по х вычислим следующим образом:

«// =

g (І/ )ШЄ8(О, ) 2л

1 К0(а 11/ - У \)dУ,

О,

где - центр тяжести треугольника й/. Ядро интегрального оператора имеет логарифмическую особенность при совпадении аргументов. Выделим эту особенность явно:

«// =

g (І )ШЄ8(О, )

2л

у О,

О,

где Фо(а;I,,у) = Ко(а \ I, - у \) - 1п-

- функция, не имеющая особен-

ау

ности. Нетрудно видеть, что Фо(а, І,, I,) = - 1п—. Интеграл от логарифма

вычисляется аналитически и имеет значение

1п

1

О,

-V = I 3-~ IШЄ8(О,).

ї - у \ у 2 4 1

Аппроксимируем интеграл от функции Фо выражением

| Фо(а,,у)«у = - 1пО.ше8(й/).

Ц

Формула для вычисления элемент ац принимает следующий вид:

= £ 2( ^ )ше52(й,) ( 3 _л_ 1п ау ^

" 2л У 2 4 2 )

Внедиагональные элементы могут быть вычислены по формуле = ше*(й 1 >ше^(йк) К0(а| |),(^,)^).

2л

Запишем полученную алгебраическую задачу в матричном виде:

= XA(а) w, (18)

где 8 = diag(mes(йl),mes(Й2),...,mes(ЙN)).

Таким образом, мы свели исходную задачу к обобщенной задаче на собственные значения (18), которая решается при каждом а.

4. Результаты численных экспериментов

Для волновода кругового поперечного сечения с постоянным показателем преломления известно точное решение задачи [8]. Опишем результаты численных экспериментов для этого случая. На рис. 2 непрерывными линиями показаны дисперсионные кривые, графики функций Xk =Xk (а), для к = 1,...,10, построенные с помощью метода Галеркина. Кружочками обозначены точные решения задачи.

Рис. 2. Дисперсионные кривые для поверхностных собственных волн волновода кругового сечения. Сплошные линии - результаты расчетов методом Галеркина, кружочки - точное решение

| X 6 - X 2

В табл. 1 приведена зависимость относительной ошибки £ = ■ 6 6

X6 £

величины е = ^г от количества треугольников N . Здесь X6 = 18,4324 - точ-

И2

ное значение характеристического числа; X6 - значение, полученное при расчете методом Галеркина; И максимальная длина стороны треугольника. Видно, что с увеличением числа N относительная погрешность е убывает, а величина е принимает постоянное значение, следовательно, скорость сходимости имеет второй порядок.

Таблица 1

Результаты численных расчетов для собственного значения X6 для волновода кругового поперечного сечения

N 64 256 1032 2304 4128 6528

И 0,4856 0,2594 0,1184 0,0875 0,0620 0,0491

Х6 12,3395 16,7829 18,0594 18,2892 18,3695 18,4013

є 0,3306 0,0895 0,0202 0,0078 0,0034 0,0017

е 1,4018 1,3299 1,4435 1,0147 0,8877 0,6999

На рис. 3 приведены линии уровня собственных функций, построенные при а = 1 и N = 4128.

Рис. 3. Линии уровня собственных функций волновода кругового поперечного сечения при а = 1

Приведем результаты расчетов для волновода прямоугольного поперечного сечения. На рис. 4 непрерывными линиями показаны дисперсионные кривые, графики функций Xk =Xk(а) для к = 1,...,10, построенные с помощью метода Галеркина. Кружочками обозначены данные из работы [11], полученные методом контурных интегральных уравнений. На рис. 5 приведены

линии уровня собственных функций , построенные при а = 1 и N = 6656.

Рис 4. Дисперсионные кривые для поверхностных собственных волн волновода прямоугольного сечения. Сплошные линии - результаты расчетов методом Галеркина, кружочки - данные из работы [11]

Рис. 5. Линии уровня собственных функций волновода прямоугольного поперечного сечения при 0 = 1

Список литературы

1. Karimov, I. P. Optical Fiber Telecommunications III / I. P. Karimov, T. L. Koch. -New York : Academic Press, 1997. - 437 p.

2. Hunspenger, R. G. Integrated optics: theory and technology / R. G. Hunspenger // Optical Sciences 33. - New York : Springer-Verlag, 1991. - 426 p.

3. Даутов, Р. З. Метод интегральных уравнений и точные нелокальные граничные условия в теории диэлектрических волноводов / Р. З. Даутов, Е. М. Карчев-ский. - Казань : Казан. гос. ун-т, 2009. - 271 с.

4. Колтон, Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния / Д. Колтон, Р. Кресс. - М. : Мир, 1987. - 312 с.

5. Ильинский, А. С. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах (Псевдодифференциальные операторы в задачах дифракции) / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. - М. : ИПРЖР, 1996. - 176 с.

6. Самохин, А. Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии / А. Б. Самохин. - М. : Радио и связь, 1998. - 160 с.

7. Смирнов, Ю. Г. Математические методы исследования задач электродинамики / Ю. Г. Смирнов. - Пенза : Информационно-издательский центр ПензГУ, 2009. -268 с.

8. Снайдер, А. Теория оптических волноводов / А. Снайдер, Дж. Лав. - М. : Радио и связь, 1987. - 656 с.

9. Янке, Е. Специальные функции / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. - М. : Наука, 1968. -344 с.

10. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. -М. : Наука, 1976. - 527 c.

11. Eyges, L. Modes of dielectric waveguides of arbitrary cross sectional shape / L. Ey-ges, P. Gianino, P. Wintersteiner // J. Opt. Soc. Am. - 1979. - V. 69, № 9. - P. 12261235.

Фролов Александр Геннадьевич

студент, кафедра прикладной математики, Казанский (Приволжский) федеральный университет

E-mail: Alexander_ksu@mail.ru

Карчевский Евгений Михайлович

доктор физико-математических наук, доцент, кафедра прикладной математики, Казанский (Приволжский) федеральный университет

E-mail: Alexander_ksu@mail.ru

Frolov Alexander Gennadyevich Student, sub-department of applied mathematics, Kazan Federal Universitry

Karchevsky Evgeny Mikhaylovich Doctor of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of applied mathematics, Kazan Federal University

УДК 517.9 Карчевский, Е. М.

Численное решение задачи о распространении электромагнитных волн в слабо направляющих волноводах / Е. М. Карчевский, А. Г. Фролов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 1 (17). - С. 47-57.