Численное решение задачи изгиба косоугольной пластины под действием поперечной нагрузки Текст научной статьи по специальности «Математика»

Р. А. Сафонов

УДК 539.3

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ИЗГИБА КОСОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ

Рис. 1

Рассмотрим тонкую изотропную пластинку в форме параллелограмма, длины сторон которого равны а и Ь, а толщина - И (рис. 1). Два противоположных края пластины защемлены жестко, а на других задана любая комбинация из следующих граничных условий: жесткая заделка, свободное опирание, свободный край. На верхнюю грань пластины действует поперечная распределенная нагрузка интенсивности д(х,у).

Данная статья посвящена численному исследованию напряженно-деформированного состояния (НДС) такой пластинки. Подобная задача решалась П. В. Боровским, П. М. Варваком и В. Г. Пискуновым [1] с использованием метода сеток. Н. Н. Крюков [2] рассматривал задачу о косоугольной пластинке, весь контур которой жестко защемлен.

Для определения НДС косоугольной пластины необходимо проинтегрировать основное уравнение теории изгиба пластин

£>

в области, имеющей вид параллелограмма, с граничными условиями:

с/ху

при у = О, у = Ьсоза и' = 0,- =0;

йу

при х = уэта, х = а + узта:

жесткая заделка свободное опирание свободный край Г ке = О Г >у = 0 [М„ = О

[с!п

= 0'

м =0

N1= 0

Для решения задачи перейдем к косоугольным координатам :

х = + г^та, у = т]С08а

Кроме этого, введем безразмерные переменные Л и прогиб \V по формулам:

| = г) = асг), = Здесь с = Ь/а - безразмерный параметр.

Пересчитаем выражения для моментов и перерезывающих сил, а также основное уравнение теории пластин в новой системе координат:

А/ =

D а

2 Г

соэ2 а

Icos' а + vsin2 а

Му=-

D а

Нху = ~

N=-

cos~ а

Р'а

cosa

D* а

veos a + sm

■ 2 V

m a J

,d2lV

d2W

■ 2cvsina

- 2csina

d2W 'д^дц

d2W

, dzW + c v——

Щ

2 д W

-+ c--

сЕДп дх\

соб2 а

(1-v) d3W

■ sina-

d2W

■ + c-

c2W

д^дц

■ 2c sin a

d3W

+ c

dw

д$2дГ] д^&Г)

- sina-

d'w

L „ 2 \ d'W „ 2 • ÓJW + c\3-2cos aj—----3с sina--f + c

¿w

,dW

an3.

4

eos a

dAfV

л . oV _ 2 /í . • 2 ^ ¿H -4csina—---1-2c ^l + 2sin

dAW

di,4

d4W

dS,3dr]

. . -4c sina- ,

э^ orí a^3

+ с

4oV

D

где О = О—— - приведенная жесткость пластины на изгиб. а

Согласно методу сплайн-коллокации [3] примем для функции ПРОГНАВ

ба выражение Ц' = ХфДл) И^ОО- Здесь ср,(г|) - линейные комбинации

/=о

В-сплайнов пятой степени, тождественно удовлетворяющие граничным условиям на краях г| = 0, г] = Ь, а - искомые функции.

Выберем ¡У+1 точку коллокации г| = г| * и запишем основное уравнение вдоль этих прямых. Получим систему обыкновенного дифференциального уравнения 4-го порядка относительно искомых функций. Введя дополнительные неизвестные, соответствующие производным искомых функций до третьего порядка включительно, перепишем данную систему в виде 4^+4 уравнений 1-го порядка. Приведем систему к нормальной форме Коши. Тогда ее векторная запись примет вид

W

J {

dW¡v dt,

cñv,

'

Добавив к этой системе уравнений граничные условия на краях ^ = 0 и £ = а, записанные в каждой точке коллокации, получим краевую задачу, которую будем решать методом ортогональной прогонки С. К. Годунова [4].

Такая методика применялась для решения задач с различными значениями углового параметра а и различным соотношением сторон пластины С. В частности, была установлена зависимость максимального зна-, ЕУ/

чения прогиба--от угла а для различных вариантов граничных усло-

Я

вий на краях % = 0 и Е, = а при постоянной поперечной нагрузке ц в случае ромбической пластинки (рис. 2).

3.00е+05 2.00е+05 1,00е +05 0.00е+00

Рис.2

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Боровский П. В., Варвак П. А/., Пискунов В. Г. Изгиб и колебания парачлело-граммных пластинок // Тр. VI Всесоюз. конф. по теории пластин и оболочек. Баку, 1966. М.: Наука, 1966. С. 183 - 187.

2. Крюков Н. Н. Расчет косоугольных и трапецоидальных пластин с помощью сплайн-функций // .Прикладная механика. 1997. Т. 33, № 5. С. 77-81.

3. Григоренко Я. М„ Крюков Н. Н. Решение задач теории пластин и оболочек с применением сплайн-функций (Обзор) // Прикладная механика. 1995. Т. 31, № 6. С. 3 -27.

4. Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // УМН. 1961. Т. XVI, № 3(99). С. 171 -174.

5.00ё-05

4,00е*05

/ 2

3

4

5

6

- жесткая заделка на обоих краях

- жесткое - свободное опирание

- жесткое подкрепление - свободный край

- свободное опирание - свободный край свободное опирание на обоих краях

- два свободных края