Численное решение некоторых вырожденных дифференциальных уравнений с дробной производной по времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

Интернет-журнал «Науковедение» ISSN 2223-5167 http://naukovedenie.ru/ Том 7, Л'" 1 (2015) http://naukovedenie.ru/index,php?p=vol7-2 URL статьи: http://naukovedenie.ru/PDF/98TVN215.pdf DOI: 10.15862/98TVN215 (http://dx.doi.org/10.15862/98TVN215) Идентификационный номер статьи в журнале: 98TVN215

УДК 519.6

Гордиевских Дмитрий Михайлович

ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет»

Россия, Челябинск Аспирант кафедры Математического анализа

[email protected]

454001, г. Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129, ЧелГУ

Давыдов Павел Николаевич

ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет»

Россия, Челябинск Аспирант кафедры Математического анализа

[email protected]

Численное решение некоторых вырожденных дифференциальных уравнений

и и

с дробной производной по времени

Аннотация

В данной работе исследовано вырожденное дифференциальное уравнение с дробной производной по времени. Представлен разностный аналог дробной производной Капуто. Выведен порядок аппроксимации производной Капуто разностным аналогом. В работе рассматривается начально-краевая задача для дифференциального уравнения с вырожденным дифференциальным по пространственной переменной оператором при дробной производной по времени. Получен разностный аналог рассматриваемой начально-краевой задачи в виде неявной рекурент-ной формулы. В работе представлен алгоритм программы вычисления приближенного решения начально-краевой задачи для модели с дробными производными. Описан программный продукт осуществляющий численное решение задачи по приведенным формулам методом прогонки. Проведен численный эксперимент для различных параметров задачи. Приведены иллюстрации численных экспериментов при различных параметрах задачи.

Ключевые слова

Уравнение дробного порядка; вырожденное эволюционное уравнение; сеточные функции; метод прогонки; математическая модель; начально-краевая задача; численные методы; аппракси-мация дифференциального уравнения; задача Коши; дробная производная.

Ссылка для цитирования этой статьи:

Гордиевских Д.М., Давыдов П.Н. Численное решение некоторых вырожденных дифференциальных уравнений с дробной производной по времени // Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Том 7, №2 (2015) http://naukovedenie.ru/PDF/98TVN215.pdf (доступ свободный). Загл. с экрана. Яз. рус., англ. Б01: 10.15862/98Т"\Щ215

1 Введение

Пусть И, V - банаховы пространства, Ь,М : И ^ V — линейные операторы, ядро оператора Ь нетривиально (кегЬ = {0}). Уравнения вида

ОаЬи(г) = Ми{Ъ), (1)

где Иа — дробная производная Капуто порядка а > 0, будем называть вырожденными дробными дифференциальными уравнениями.

К задаче Коши для уравнения (1) редуцируются многие начально-краевые задачи для уравнений и систем уравнений, не разрешимых относительно производной по времени, часто встречающиеся при математическом моделировании различных процессов в естественных и технических науках [1, 5]. Свойства одного класса таких уравнений были исследованы в работе [5].

Теория дробных дифференциальных уравнений в последние десятилетия весьма интенсивно развивается [6, 7, 10], но работ, касающихся вырожденных дробных дифференциальных уравнений вида (1), практически нет.

Данная работа посвящена численному исследованию одной начально-краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных дробного порядка по времени, редуцируемого к вырожденныму дробному дифференциальному уравнению (1).

2 Аппроксимация дробной производной

Существуют различные, не эквивалентные, определения дробных производных: по Грюнвальду-Летникову, Вейлю, Капуто, Риману-Лиувиллю и др. [4, 10]. Наибольший интерес для практических приложений представляет определение производных нецелого порядка по Капуто. Преимуществом данного определения является более естественное для практических приложений решение проблемы начальных условий при решении интегро-дифференциальных уравнений нецелых порядков.

Рассмотрим дробную производную Капуто

С тла

(I) =

1

_ ¡4 Ф)

Г(1 -а) Л (* - «)'

-йв, 0 < а < 1,

где у(8) = Пусть Т > 0, К е N т = Т/К, 1к = кт при к = 0,1,..., К. Тогда

к-1

£

1=0

1 [м+1 ь(и+1) - ь(и)

к-1

Г(1 - а) Д т(1к - зУ

1 Г*1+1 у(з)

=0

Г(1 - а) Д - в)

к 1

Г(1 -а) =о' *

^ у(и + т) - у(и) - т(у(и) + О(т)) й8

т(1к - 8)с

О(т)

Г(1 -а)

к-1 £

1=0 *

6,8

= Г(2(--)а) Е - ^ - (1к - ^+1)1 ^ =

к 1

(ък - 8)

=0

(кт)1-аО(т) Т 1-аО(т)

Г(2 -а) - Г(2 - а) '

к

в виде

к 1

Е"(!!+;)1) № к - ^)1-а - а к - ъ+о1-* ]

гГ(2 - а)

у1 - у(и)

¿0 Т°Г(2 -а)

[(к - 1)1-а - ( к -I- 1)1-а]

(2)

1

3 Постановка задачи и построение разностной схемы

Целью численного эксперимента является изучение поведения решения начально-краевой задачи для дифференциального уравнения с вырожденным дифференциальным по пространственной переменной оператором при дробной производной по времени, при различных параметрах задачи.

Рассмотрим уравнение

( Л - А) Р"и(х, г) = Аи(х, г), (х, г) е (о, к) х (о, т), (3)

где Т > 0 Р" — дробная производная Капуто по переменной снабженное начальным условием

и(х, 0)=<р(х),х е (0, к), (4)

и граничными условиями

и(о, г) = и(7т, ь) = о, ге (о,т). (5)

В области Р = (о, к) х (о, Т) введем сетку с ш агом К = к /И по х и т = Т/К по

= {(хп, ^к) : хп = пк, 1к = кт; п = о, 1,... ,И, к = о, 1,..., К} .

Обозначим значения на сетке и(хп, 1к) = иП,

А и = иП+1 — 2ип + ип-1 Ап,ки = н2 ,

Имеем

и(хп+1, ь) - 2и(хп, Ь)+и(хп-1, ь)

(Ап,1ги)(^ = -Н2-.

(Р?АпниЖк)= ? Ии(хп+1, Ьк2Ии(хп, ^) + Ии(хп-1, и) = у г п,п А к; У к2{Ъ - з)аГ(1 -а)

о

¿к ¿к Г Р1и(х,п+1, tк) , Г Рг и(хп, tк) , +

= У к2(г - в )аГ(1 - а) У К2^ - в)аГ(1 -а) + оо

+ / «О- а)Л = ( к).

о

Используя формулу (2), для начально-краевой задачи (3)-(5) получим разностную схему

к-1 (к - 1)1-а - (к -I- 1)1-а ^ таГ(2 - а) Х

г+1 1\ ит - у1г+1 - 2(и1+1 - и\) + - УЧ-1 Л(иг - иг)--К2-

ик+1 - 2ик + и—

Введем обозначения

К2

к = ик+1 2ик +ик-1 Лги = К2 ,

С (к, I, а) = (к - 1)1-а - (к -I- 1)1-а, С (а) = та Г(2 -а),

хк+1и = \ик+1 - \ик - лк+1и+лк и.

Перепишем разностную схему с учетом новых обозначений:

к 1

С (к, I, а)Х\^1и = С(а)Лк и. (6)

=0

Имеем следующие равенства:

к = 1: х!и = С(Д а)С(а)А1и;

к = 2: х2и = С ^ а)(С(а)А2и - С (2,0, а)х^и); к = 3: х!и = С 12 (С(а)А3и - С(3,0, а)х\и - С(3,1, а)х2и); к = 4: х4и = С ^ а)(С(а)А4и - С (4,0, а)х\и - С (4,1, а)х*и - С (4,2, а)х3и).

Таким образом, получаем рекуррентную формулу для вычисления значений ^и.

1 п-1

х?и = С (пп- 1 а) (в(а)АПи - ^ С (п, к - 1, а)хк и).

Исиолья введенные обозначения получим формулу для последовательного вычиления численного решения методом прогонки [3]:

1 п

\игп+1 - Апп+1и = \ьп - Апи + —-ч(А"п+1и - V С(п + 1,к - 1, а)х(к)и),

г г г г с(п + 1, п, а) г ^

Л<+1 - СШШ1 Ап+'и = X - Апи - ± СС(++Ш)

4 Алгоритм и программная реализация численного метода

Алгоритм программы вычисления приближенных решений начально-краевых задач для модели с дробными производными заключается в следующем.

1. Задаются границы пространственной переменной, длина шага по времени. Разбивается заданный интервал на части, как это описано в предыдущем параграфе. Для функции и задаются начальные и граничные значения (4), (5). Также, задаются параметры задачи а > 0 Л £ R. .

2. Методом прогонки по известным значениям нулевого временного слоя функции и по формуле (6), получаются значения на первом временном слое функции и. Продолжается поочередное вычисление значении функций и с последующем или одновременным построением графика численного решения.

Представленный алгоритм реализован на языке программирования С// в программе «Численное решение уравнения с дробной производной».

Программа зарегистрирована в РОСПАТЕНТЕ:

Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2015613978; РОСПАТЕНТ / Гордиевских Д.М.; заявитель и правообладатель Гордиевских Д.М.. № 2015610779; заявление 13.02.2015; государственная регистрация в Реестре программ для ЭВМ 1.04.2015.

В программе использованы стандартные библиотеки Windows framework 3.5, также свободные библиотеки zedgraph.dll, Surface3DRenderer.cs и SpecialFunction.cs с сайта www.codeproject.com, несколько модифицированные авторами.

Рис. 1. Главное окно программы "Численное решение уравнения с дробной производной"

Данная программа реализует построение численного решения начально-краевой задачи для дифференциального уравнения дробного порядка (3). Пользователь, задавая множество параметров, имеет возможность формировать различные начально-краевые задачи для уравнения при различных параметрах а > 0 Л € М.

Программа состоит из трех подпрограмм и двух вспомогательных модулей. Первая подпрограмма реализует ввод начальных, граничных значений и рассчитывает начальные и граничные значения неизвестной функции и. Вторая и третья подпрограммы вычисляют значения неизвестной функции и в узлах сетки и отвечают за 2Б и ЗБ моделирование графика соответственно. Вспомогательные модули, которые являются открытыми библиотеками, модифицированными

и

же использована библиотека для работы со специальными функциями, в частности, с гамма-функцией. Написаны интерфейсы для ввода параметров моделирования, отображения 3 Г) изображений и работы с ними (повороты, масштабирование, сохранение), класс начальных значений, класс параметров моделирования. При моделировании 21) графика численного решения построение графика производится сразу после нахождения значения на текущем временном слое. При моделировании ЗГ) графика численного решения происходит наоборот, сначала находятся значения на всех заданных временных слоях, и только после этого строится график. В нижнем левом углу формы 3 Г) моделирования расположено окно для просмотра 2 Г) графика на любом интересующем временном шаге.

Для увеличения быстродействия программы используется дополнительный массив, в который записывается часть правой части разностной схемы, которая зависит от значений функций шагов предшествующих предыдущему. Это позволяет не производить рекурсивный подсчет значений слагаемых суммы из формулы (7), поскольку все эти значения уже подсчитаны и записаны в вышеупомянутый массив.

5 Численный эксперимент

Рассмотрим, как будет вести себя решение при различных начальных параметрах задачи.

Пусть Л = -0.5, а = 0.5, количество шагов по времени Т = 200, длина шага по времени т = 0.05, количество шагов по пространству N = 5^, длина шага то пространству h = 0.12, отрезок интегрирования [0, 2ж\, начальное значение Uq(x) = sin ж.

Рис. 2. Л = -0.5, а = 0.5

При фиксированном значении а = 0.5, изменим значения нараметра А = -0.75 и А = -0.85, таким образом мы получили следующие изменения графика решения:

Рис. 3. А = —0.75

А = -0.85

При фиксированном значении А = — 0.5, измененим значения параметра а = 0.2 и а = 0.8, остальные параметры остаются такими же, как на рисунке 1, график решения изменяется следующим образом:

и[х.1] 1

25

^Щу///', У/// <

150

175

а

0

Рис. 4. а = 0.2

а = 0.8

Таким образом, получаем, что при приближении к А = —1 решение уравнения вида (1) разрушается.

Список литературы

[1] Давыдов, П. Н. Сильно вырожденная система уравнений Осколкова / П. Н. Давыдов, В. Е. Федоров // Научн. ведомости Белгород, гос. ун-та. Сер. Математика. Физика. — 2014. — Вып. 34, № 5 (176). - С. 5-11.

[2] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, - 1977. - 832 с.

[3] Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: учеб. пособие для вузов. — М.: Наука, — 1989. - 432 с.

[4] Учайкин В. В. Метод дробных производных / В. В. Учайкин — Ульяновск:Издательство «Артишок», 2008. — 512 е.: ил.

[5] Федоров В. Е. Разрешающие операторы вырожденных эволюционных уравнений с дробной производной по времени / В. Е. Федоров , Д. М. Гордиевских // Изв. вузов. Математика. — 2015,№ 1. - С. 71-83.

[6] Bajlekova Е. G. Fractional Evolution Equations in Banach Spaces PhD thesis, Eindhoven University of Technology, University Press Facilities, 2001.

[7] Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations Elsevier, Amsterdam, Boston, Heidelberg, 2006.

[8] Li F., Liang J., Xu H.-K. Existence of mild solutions for fractional integrodifferential equations of Sobolev type with nonlocal conditions, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 391, 510-525, 2012.

[9] Oldham К. В., Spanier J. The Fractional Calculus. — Academic Press, 1974. — 234 p.

[10] Podlubnv I. Fractional Differential Equations Academic Press, San Diego, Boston, 1999.

[11] Sviridvuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators VSP, Utrecht, Boston, 2003.

Рецензент:

Федоров Владимир Евгеньевич;

ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет»;

Заведующий кафедрой Математического анализа, профессор;

Доктор физ.-мат. наук;

[email protected]

Gordievskikh Dmitrii Mikhailovich

Chelyabinsk State University Russia, Chelyabinsk [email protected]

Davydov Pavel Nikolaevich

Chelyabinsk State University Russia, Chelyabinsk [email protected]

Numerical solution of some degenerate evolution equations with fractional derivative

with respect to time

Abstract

Singular differential equation with the fractional derivative on time is researched in the article. Here is the difference analog of the fractional derivative of Caputo. The procedure of approximation of derivative of Caputo by the difference analog has been concluded. The author viewed the entry-edge task for the differential equation with the singular differential on spatial variable by the abstract function with the fractional derivative on time. The difference analog viewing entry-edge task in the form of implicit recurrence formula is resulted. In the article the algorvthm of the program of calculation of approximate solution of entry-edge task for the model with the fractional derivative is represented. The program product making the calculating solution of the task on the mentioned formulae on the basis of the method of fitting is characterized. The numeral experiment for the different parameters of task is made. The illustrations of numeral experiment in different parameters of task are represented.

Keywords

fractional equation; degenerate evolution equation; grid functions; sweep method; mathematical model; initial boundary value problem; numerical method; approximation of differential equation; Cauchv problem; fractional derivative.

REFERENCES

fl] Davvdov, P. N. Sil'no vvrozhdennava sistema uravneniv Oskolkova / P. N. Davvdov, V. E. Fedorov // Nauchn. vedomosti Belgorod, gos. un-ta. Ser. Matematika. Fizika. — 2014. — Vvp. 34, № 5 (176). - S. 5-11.

[2] Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike diva nauchnvkh rabotnikov i inzhenerov. — M.: Nauka, - 1977. - 832 s.

[3] Samarskiv A. A., Gulin A. V. Chislennve metodv: ucheb. posobie diva vuzov. — M.: Nauka, — 1989. — 432 s.

[4] Uchavkin V. V. Metod drobnvkh proizvodnvkh / V. V. Uchavkin — Ul'vanovskilzdatel'stvo «Artishok», 2008. - 512 s.: il.

[5] Fedorov V. E. Razreshavushchie operatorv vyrozhdennvkh evolyutsionnvkh uravneniv s drobnov proizvodnov po vremeni / V. E. Fedorov , D. M. Gordievskikh // Izv. vuzov. Matematika. — 2015,№ 1. - S. 71-83.

[6] Bajlekova E. G. Fractional Evolution Equations in Banach Spaces PhD thesis, Eindhoven University of Technology, University Press Facilities, 2001.

[7] Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations Elsevier, Amsterdam, Boston, Heidelberg, 2006.

[8] Li F., Liang J., Xu H.-K. Existence of mild solutions for fractional integrodifferential equations of Sobolev type with nonlocal conditions, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 391, 510-525, 2012.

[9] Oldham K. B., Spanier J. The Fractional Calculus. — Academic Press, 1974. — 234 p.

[10] Podlubnv I. Fractional Differential Equations Academic Press, San Diego, Boston, 1999.

[11] Sviridvuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators VSP, Utrecht, Boston, 2003.