Численное решение двумерной задачи нестационарной фильтрации упругой жидкости в неоднородном пласте Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

В результате проведенных исследований и испытаний доказана эффективность использования цементного раствора для обеспечения защиты металлических (арматурных) стержней от коррозии. В ООО «Мустанг» под руководством Хадисова Х.И. и к.т.н., доцента Хадисова В.Х. Грозненского нефтяного технического университета налажена технология нанесения цементного раствора на арматурные изделия.

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ В НЕОДНОРОДНОМ ПЛАСТЕ

Баламирзоев А.Г.,д.т.н., проф., Иванов В.В. ФГБОУ ВПО «Дагестанский государственный технический университет»

Ключевые слова: решение, задача, жидкость, пласт.

NUMERICAL SOLUTION OF TWO-DIMENSIONAL PROBLEM ON NONSTATIONARY PERCOLATION ELASTIC FLUID IN THE RESERVOIR

HETEROGENEITY Keywords: decision problem, the liquid reservoir.

Пусть в горизонтальной плоскости (х,у) имеется область Di занятая нефтью и содержащая скважины-точечные источники или стоки. Будем считать, что пласт -неоднородный по проницаемости: k0 = k0(x,y), а разработка залежи ведется при упругом режиме фильтрации. Для простоты будем предполагать, что область фильтрации Di имеет форму прямоугольника: X1 < х < X2 , Y < y < Y2 (рис. 1).

fafdy-Q

tfWfi}ffW)tJ>rfFJ77'ttf/tftTl ! ,....... - 1

О хг х

Рис.1. Схема области фильтрации упругой жидкости

На границах области фильтрации х = Х1, х = Х2 и у = У2задано, соответственно, распределение давлений

Р = Р = P2(У,Р = Pз(x,0.

Подошва пласта у = у1 считается непроницаемой, т . е. на этой границе нормальная составляющая скорости фильтрации (или др/ду ) равна нулю.

Пусть в начальный момент времени ¿0 в пласте (область задано распределение давления по координатам, т.е. р = р0(х,у) при ^ = ¿0 .

Тогда задача о нахождении распределения давления р(х,у,{) в процессе эксплуатации залежи сводится к решению (интегрированию) дифференциального уравнения параболического типа (типа теплопроводности) с переменными коэффициентами, которое можно представить в обобщенном виде

др _ д ( дp

д

(

к др

Л

+ f,

Ь^- = _! к^- 1 + _

дг дx | дx) ду | ду ,

Ь = Ь( х, у), k = k (х, у), f = f (х, у, г)

(1)

в области В = Д х Д, Д = { > го}

при следующих начальных и граничных условиях:

Р = р(х У) при г = г0; (2)

Р = ф (У, г) при х = Х1 ; (3)

Р = Фг (У, О при х = Х2; (4)

др/ду = 0 при у = 7Х; (5)

р = щ(х г) при у = У2 (6)

Здесь искомая функцияр(х,у,г) соответствует давлению; к = к0(х,у)/ц Ь=0=ш0*+Д-коэффициент упругости пласта; f -плотность источников и стоков, моделирующих работу добывающих и нагнетательных скважин.

Будем решать задачу приближенно с использованием метода конечных разностей. Для этого заменим непрерывную область ее дискретным аналогом-квадратной сеточной областью (рис.2):

Рис.2. Дискретный аналог непрерывной области фильтрации От&иу} XI = Ш; у. = )К; ( { = 0М,} = 0~ы).

В„ {х,,у,}; х,. = ,к; у} = /к; ( = 0М, / =

Построим далее конечно-разностный аналог уравнения (1), используя интегро-интерполяционный метод.

Выделим в области квадрат с центром в точке (хггу/) и сторонами, образованными отрезками линий х = х, ± к/2, у = у/ ± к/2 (см.рис.2). Рассмотрим тройной интеграл от обеих частей уравнения (1):

"„+1 х,+1/2 У 3+1/2 ^ "п+1 х1+1/2 у/+1/2 / ^ ~ 3 дР ^

[ [ [ Ь — йуйхйг = [ [ [ I— к — + — к — + f йуйхйг

111 Я/ 1 1 1 I дх дх ду ду ,

1-1/2 у ¡-1/2 1 ^ ^ /

гп х,-1 / 2 у/-1/2 1п х,-1/2 у/-1/2

Выполнив интегрирование по каждому слагаемому в порядке, соответствующем типу производной, получим:

х,+1/2 у/+1 / 2

гп+1 у/+1 / 2

{ \ь(рп+1 - рп)ух = \ |

х,-1 / 2 у ¡-1/2

гп у/-1/2

* ^"

-Г к ^л

дх Уг+1/2 I дх Уг-1/2

ёуёг +

+

/ /

гп хг-1 / 2

к &

ГкдрЛ /2 V дуу/-1/2

"п+1 хг+1/2 у/+1/2

ёуёг + | | | fdydxdt.

гп хг—1 / 2 у/-1/2

Это соотношение - точное. Использовав формулы приближенного интегрирования, представим его в следующем виде

[ь(р„+1 - р)]=хР АхАу

у=у,( '

\ дрЛ , дх У

г+1/2

- Г к др"

дх ,

г-1/2,

АуАг +

у=у/ г=г (2)

+

Г дрЛ к

V ду У /+1/2

(; др 1 к

I ду Л-1/2.

АхАг + f (х(4), у(4), г (4) )АхАуАг

х=х, '

,-Д3)

х <{хГ }< х,+1; у/ <{ую }< у,+{, гп < {г"г) }< г^; кДГ} = 1,2,3,4

Произведения к — и к — в точках с полуцелыми индексами заменим

дх ду

дискретными аналогами:

« к^рк-р.; i к др 1

дх у,+1/2 !+1/2 ах ' v дх у,-1/2

к

'г-1/2

р г - р,-1 .

Ах

(7)

где

i ду у; +1/2 к.

к

р/+1 - Р/.

Гкр

к.

р/ - Р/-1

/+1/2 л ' п. /-1/2 л '

; Ау V ду У /-1 / 2 ; ау

_ 2к,к, ±1 ,

±1/2 к + кг±1' к ±1/2

2к/к/±1

к/ + к/ ±1

Подставим полученные выражения в (7), предварительно разделив все слагаемые на Ах АуАг и положив приближенно хг(а) = хг; у\Р) = у ;г= ги+1, (т.е. отнеся все средние

величины в интегралах к узлу х,, у/, гп+1. В результате получим конечно-разностный аналог двумерного уравнения (1)

п +1 п г»п+1 Г»п+1 Г»п+1 Г»п+1

1 р, / - I':. / , р,+1,/ - I':. / 1 ри / - I':. /-1

г г+1/ 2, ] к2 к'-1/2,/' к2

р«+1 - р«+1

\/+1/2

к2

г, /-1/2

р«+1 _ р«+1

рг, / рг, /-1 /п+1

к2 Л/ .

(8)

п

г = 1, М -1, / = 1, # -1. Дискретные аналоги начального и граничных условий строятся по ранее рассмотренным схемам:

при п - 0 р0J - (ри ( = 0~М, ] - (9)

при I - 0 рП,, = } (/ = 0, N-1, п = 1,2,...); (10)

при I - М р"м J -ф . (/• = 1,N-1, п = 1,2,...) (11)

при • - 0 р1_, - рПл (| = 1,М-1, п = 1,2,...); (12)

при • - N р^ - (I = 1,М-1, п = 1,2,...); (13)

Таким путем вместо исходной краевой задачи (1) — (6) получим конечно-разностную задачу (8) — (13).

Для решения алгебраической системы уравнений (8) —(13) можно использовать различные общие и специальные методы. Из числа последних большое распространение получил метод смены направлений. Сущность его заключается в следующем.

Шаг по времени Л1 = ¿п+\-и разбивается на два половинных шага ¿п+1-^+1/2=п+1/2-¿п=Ж/2. На каждом полушаге вместо системы (8)-(13) решается все модификация, явная по одному направлению и неявная по другому (направления чередуются). Решаемые системы имеют следующий вид: на первом полушаге

п+1/2 _ п п+1/2 _ п+1/2 п+1/2 _ п+1/2

1 А. ] - р1, р1+1, • -р, • I, Р 1 -Р'-1, 1 ,

^ г/2 ^^ ¿2 ^^ ¿2

, р1,] +1 р1,11 Р',1 Р', 1-1, хп+1 /2 .

Ч •+1/2 ^2 кг, 1 -1/2 ^2 + Л1 ;

при I = 0 • - 1фф+1 -Гл2Фи (• - 1,N-1) ;

^ • 2 ^ 4 2 1.1

где

при I = м РММ+1/2 = 1Ф+, 1 - Гл2Ф2,1 (/ = 1,N -1) ,

Ф+ = 1 (ф п+1 +Фп ) Ф =Ф п+1 -Фп-1;

Ф - Ф Ф - Ф

л ф-- к 1+1_1 -к _•

л2Ф1 - кг, 1 +1/2 ^2 кг, 1 -1/2 ^2 •

на втором полушаге

„п+1 „п+1/2 „п+1/2 „п+1/2 „п+1/2 „п+1/2

", 1 - к1+1/2 ,2 к1 -1/2, 1 ,2 +

п + 1 г»п + 1 п + 1 п + 1

, £ Р1,1+1 - pг. 1 , р1,1 -pг^, 1 -1 /-п+1/2.

+ к, 1+1/2 ^2 кг, 1 -1/2 ^2 + Л 1 •

при 1 - 0 р£ - р-1 (I - 1М-1) ; при I - N -^Т1 (I - 1,М -1) .

Поскольку на каждом полушаге задача оказывается фактически одномерной (неявной), то для ее решения можно использовать метод прогонки.

Решив системы дважды, в результате получим решение на очередном шаге ¿=4+1.

Список литературы:

1. Максимов М. М„ Рыбицкая Л. П. Математическое моделирование процессов разработки нефтяных месторождений.-М.: Недра, 1976. 264 с.

2. Басниев К. С, Кочина И. Н., Максимов В. М. Подземная гидромеханика: Учебник для вузов.-М.: Недра, 1993. 416 с.

НОВОЕ УСТРОЙСТВО ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАССТОЯНИЯ ДО МЕСТА КОРОТКОГО ЗАМЫКАНИЯ В ЛИНИЯХ 6-35 кВ

Гаджибабаев Г.Р., к.тн., доцент

Институт (филиал) ФГБОУВПО «МГОУ имени В.С. Черномырдина»

в г. Махачкале

Аннотация: Предлагаемое устройство построено на основе нового метода определения расстояния до места короткого замыкания в высоковольтных линиях 6-35 кВ (Гаджибабаев Г.Р., Гаджибабаев Э.Г. Патент «Фиксатор направления замыкания на землю» № 2468377. Опубликовано 27.11.2012, бюл. № 33)

Ключевые слова: у стройство, расстояние, место, замыкание.

NEW DEVICE DETERMINING THE DISTANCE TO FAULT LINES 6-35 Abstract: The device is built on the basis of a new method of determining the distance to fault in the high voltage lines 6-35 (Gadzhibabaev GR, Gadzhibabaev EG Patent "Catch earth fault direction» № 2468377. Posted 27.11.2012, Bull. № 33) Keywords: device, distance, location circuit.

Предлагаемое устройство построено на основе нового метода определения расстояния до места короткого замыкания в высоковольтных линиях 6-35 кВ (Гаджибабаев Г.Р., Гаджибабаев Э.Г. Патент «Фиксатор направления замыкания на землю» № 2468377. Опубликовано 27.11.2012, бюл. № 33)

Оно срабатывает аналогично известному «Фиксирующему индикатору направления короткого замыкания» (ФИНКЗ) по факту повышения тока короткого замыкания линии выше порогового значения, состоящий из приемного устройства (ПрУ), устанавливаемого на подстанции и передающего устройства (ПУ), устанавливаемых на опорах высоковольтной линии. Их соединяют с фазами линии через высоковольтные сопротивления (резисторы) (ВВС) 4-6 мОм. В отличие от ФИНКЗ, все ПУ линии предлагаемого устройства срабатывают по факту снижения междуфазного напряжения ниже уставки и производят замеры их значений в виде ортогональных составляющих.

Функциональная схема передающего устройства, реализующая предлагаемый способ приведен на рис.1. На рис.2 приведены временные диаграммы ортогональных составляющих первого, второго и третьего передающих устройств U1, U2, U3 соответственно. Здесь же приведены напряжения U3, U4, U5 соответствующих каналов приемного устройства.

Передающее устройство состоит из высоковольтных сопротивлений ВВС1 - ВВС3, выпрямителя В4, источника информационного сигнала ИИС5, накопительной емкости С6, ключей К7 - К16, логических элементов НЕ17-НЕ19, аналоговых сумматоров СУМ20-СУМ23, преобразователей переменного напряжения в постоянное ПР24-ПР28, компараторов КП29 - КП31, логических элементов ИЛИ32, ИЛИ33, логических элементов