CC BY
28
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 519.6
© С. П. Копысов, Ю. А. Сагдеева
ЧИСЛЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСРЕДНЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК КОМПОЗИТОВ НА ОСНОВЕ МКЭ И ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ1
В работе предлагается метод получения эффективных (осредненных) оценок упругих характеристик композитов, основанный на многомасштабной декомпозиции функции с помощью вейвлет-разложения Хаара. Характеристики композитов, например, тензор упругости и поля перемещений, являются быстроосциллирующими функциями. Вейвлет-преобразование позволяет получить осредненное (глобальное) поведение этих неизвестных быстроменяющихся величин. Преобразование применяется к системе линейных алгебраических уравнений, полученной с помощью метода конечных элементов:
Ах = Ь, А = ((Цз), Ь = (Ьі), х = (хі), і, і = 1... 2п. (1)
Данная система получается при решении некоторого операторного уравнения Ьп = /, где Ь — дифференциальный оператор, п — неизвестная функция.
Применим к (1) ортогональное одномерное вейвлет-преобразование Хаара Ш. При этом получим систему блочного вида. Вектор неизвестных представляется в виде совокупности компонент двух видов — вектора, отвечающего за грубое (осредненное) приближение и вектора уточняющих деталей, то есть вектор неизвестных х проектируется на пространство Уп кусочно-постоянных функций. В результате получим
ШпАх = Wn Ь, Wn АШТ Шпх = ШпЬ,
Рп \ А,-г^Т^Т\ ( хСп-Л \ ( ЬС
Ч ,А(РТП чп) хп-1 = Ьп-1
Чп / V хп-1 / \ Ьп-1
РпАРТ РпАЧТ \ ( хп-Л ( Ьсп-1
І-1 ) V Ьп-1
ЧпАрт ЧпАяп) V хп-1; \ьп. '• (2)
Осредненный вектор хП_1 (этот вектор имеет вдвое меньше координат, чем исходный) выражается из последнего уравнения с помощью дополнения Шура. Введем обозначения
Кц = ЯпАЯ1, К\2 = ЯпАРТ, К21 = РпАЯтп, К22 = РпАРТ,
Х1 = хТ _1, Х2 = хТ_1, Ъх = ьп _1, Ь2 = ьп _1,
и перепишем систему (2) в виде
К11 К12 \ ( Х1 \ = ( Ъ1
К21 К22 ) V Х2 ) V Ъ2
Выразив х1 из первого уравнения и подставив его во второе, получим систему
Бх2 = Ъ, где 5 - дополнение Шура (3)
5 = К22 - К21К_11К12, Ъ = Ъ2 - К21К__11Ъ1.
Разрешив (3) получаем искомое осредненное решение Х2 .
При необходимости дальнейшего осреднения, к системе (3) можно опять применить вейвлет-преобразование. Таким образом, рекурсивно используя вейвлет-преобразование несколько раз,
хРабота поддержана грантом РФФИ №06-07-89015.
можно найти грубое представление вектора х на нужном масштабе. Причем на самом грубом масштабе получается система из одного уравнения. Система (3) считается осредненной системой для (1).
Численные результаты получены при применении двумерного и одномерного вейвлет-преобразований к статической одноосной задаче теории упругости. Сначала проводится осреднение поля перемещения, а затем вычисляются осредненный модуль Юнга. Процедура осреднения тестировалась на нескольких примерах, которые демонстрируют основные свойства вейвлет-осреднения.
Рассмотрим дифференциальное уравнение с периодическим коэффициентом а(х) , принимающим попеременно значения 1 или 100:
— (а(х)и' )' = 10, и( 0) = 0, и' (1) = 0.
Рис. 1: Пример: решение, 2 шага осреднения
На рисунке 1 представлен фрагмент решения, осредненного с помощью двух шагов вейвлет-преобразования (грубая сетка состоит из 64-х узлов) и численного решения уравнения, полученного с помощью МКЭ на сетке из 256-ти узлов. Отметим, что решение исходного неосред-ненного уравнения имеет волнообразно-ступенчатую форму, а осредненное решение располагается вблизи точного решения и является его сглаженным представлением.
Проведено сравнение для различных объемных долей включений, для различного числа включений и сеток различной степени мелкости. Кроме того, полученные значения сравниваются с аналитическими оценками и оценками асимптотического метода осреднения.
Копысов Сергей Петрович Институт прикладной механики УрО РАН,
Россия, Ижевск e-mail: [email protected]
Сагдеева Юлия Альбертовна Институт прикладной механики УрО РАН,
Россия, Ижевск
e-mail: [email protected]
