ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМОУДАРА В УПРУГОМ ТЕЛЕ С УЧЕТОМ ЭФФЕКТОВ НЕЛОКАЛЬНОСТИ СРЕДЫ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.2

DOI: 10.18698/1812-3368-2020-3-20-29

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМОУДАРА В УПРУГОМ ТЕЛЕ С УЧЕТОМ ЭФФЕКТОВ НЕЛОКАЛЬНОСТИ СРЕДЫ

И.Ю. Савельева inga.savelyeva@bmstu.ru

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация

Аннотация

Важным этапом в создании и использовании новых структурно-чувствительных материалов является построение математических моделей, позволяющих описать их поведение в широком диапазоне изменения внешних воздействий. В настоящее время существует несколько подходов к теоретическому моделированию материалов со сложной внутренней структурой. На основе методов обобщенной термомеханики получены определяющие соотношения математической модели, описывающие распределения температуры и динамических напряжений при тепловом ударе на поверхности упругого тела с учетом пространственной нелокальности. Для описания процесса нестационарной теплопроводности использована модель среды с внутренними параметрами состояния. Предложенная модель позволяет учесть эффекты пространственной нелокальности и временной нелокальности, которые имеют место в структурно-чувствительных материалах, и могут быть использованы в дальнейшем при исследовании температурных полей и напряжений, возникающих в элементах конструкций при разнообразных внешних воздействиях. На основе метода конечных элементов в форме Галеркина предложен алгоритм построения численных решений. Представлены расчеты для полей температуры и напряжений для задачи в одномерной постановке, проанализировано влияние параметров, отвечающих за нелокальные эффекты, на решения

Ключевые слова

Термоудар, математическая модель, нелокальное деформирование, теплопроводность, динамические напряжения

Поступила 13.01.20 Принята 28.02.20 © Автор(ы), 2020

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ (проект РФФИ № 18-38-20108)

Введение. Широкое использование новых структурно-чувствительных конструкционных и функциональных материалов требует разработки новых математических моделей, которые могли бы учесть не только раз-

личные высокоинтенсивные внешние воздействия, но и влияние внутренней микро- и наноструктуры на протекающие процессы, а также особенности получения таких материалов. В настоящее время существуют три основных подхода к теоретическому моделированию поведения материалов со сложной внутренней структурой:

1) квантово-механические подходы, методы молекулярной динамики и модели Монте-Карло [1,2];

2) подходы обобщенной механики сплошной среды, включающие в себя теории эффективных свойств [3-6], смесевые модели [7], модели, основанные на процедурах осреднения [8], микрополярные среды типа Кос-сера [2];

3) гибридный молекулярно-механический подход, сочетающий методы молекулярной динамики и макромасштабные модели [4,9].

Методы обобщенной механики дают возможность получить в качестве определяющих соотношений интегро-дифференциальные уравнения, для решения которых применимы известные численные методы. Основная сложность заключается в установлении связи между характеристиками микро- (нано-) уровня и макроуровня.

Математическая модель нелокальной термоупругости, определяющие соотношения которой получены с использованием эффективных переменных для температуры и тензора малой деформации, предложена в [10]. Отличие используемой ниже математической модели заключается в том, что пространственная нелокальность учтена посредством интегральных слагаемых, которые добавлены в определяющие соотношения для вектора плотности теплового потока и обобщенный закон Гука. Такая модификация связана с перераспределением энергии при взаимодействии структурных элементов среды.

На основе полученных определяющих соотношений исследованы поля температуры и динамических напряжений, возникающих в упругом теле при термоударе на поверхности. Отметим, что температурные напряжения сами по себе и в сочетании с механическими напряжениями от внешних сил могут вызывать появление трещин и разрушение конструкций [11,12].

Определяющие соотношения. Рассмотрим упругое тело, на границах которого заданы внешние нагрузки. Для получения уравнений термоупругости и теплопроводности примем, что внешняя нагрузка действует по нормали к граничной поверхности, отличной от нуля является только деформация в направлении этой нормали, а температура и напряжения зависят только от времени и координаты х\, направленной по нормали вглубь тела.

В прямоугольной ортогональной системе координат закон сохранения количества движения в проекции на ось Ох\ может быть записан в виде [13]

<Эстц

Л =Р"ъ (1)

ОХ 1

а уравнение теплопроводности — в виде

рсЕТ + (ЪХ + 2»)а^Т0^ = -^. (2)

OXi ОХ1

Здесь стп —отличная от нуля компонента тензора напряжений; р —плотность; сЕ — удельная массовая теплоемкость при постоянной деформации; Т — абсолютная температура; X, ц, — константы Ламе; а^ — температурный коэффициент линейного расширения; То = const — температура естественного состояния; q\ — проекция вектора плотности теплового потока на ось Охи Щ — проекция вектора перемещения на ось Ох\.

Модель нелокальной упругости, предложенная А.К. Эрингеном [3], основана на том, что дальнодействующие силы, которые отвечают за нелокальное поведение материала в данной точке пространства х, адекватно описываются с использованием функции расстояния ф(|х-х'|), убывающей с ростом |х-х'|. Функцию ср(|х-х'|) называют функцией влияния. С учетом изложенного выше определяющее соотношение для компоненты С7ц тензора напряжения и проекции q\ вектора плотности теплового потока запишем следующим образом:

on = (X + 2^)(pl^ + p2ic?(\x[-xl\)^dx[]-(3X + 2^)a^(T-T0); (3)

^ ОХ1 у OXi J

qi (4)

OX 1 у OX 1

Здесь — коэффициент теплопроводности среды (далее будем полагать, что коэффициент теплопроводности не зависит от температуры); (p(|xi -xi|) — одномерная функция влияния; pi, р2 е [О, l] — доли влияния локальных и нелокальных эффектов, р\ + р2 = 1.

Уравнения (1) и (2) с учетом соотношений (3) и (4) можно преобразовать к виду

32cjii . V д

p1(X + 2[i)—^- + p2(X + 2[i)— J9(|xi-Xl|)_lLdxi

да

У у дх[

8x1 dxi

= рстц +р(ЗА,+ 2\х)а^Ь (5)

f=M<T,3+

+ М(Г) i J Ф (N1) а<г)Т„0„.

дх\

V7

дх[

(6)

Краевые условия для уравнений (5), (6), соответствующие высокоинтенсивному импульсному нагреву, запишем как

¿ = 0 Т(хъО) = Т0, t(x1,0) = 0, ап(л;ь0) = 0, ац(л;ь0) = 0;

Д/т1 Лт

л:! = 0 ----М(т)/ф(|х{-^1)—^сЬ:' = Оосгц(0^) = 0,

иЛ\ тт"

(7)

Оо^) = АМ?пехр(-тт0), т> 1, £0>0;

XI =1 р^ —+ р2^(Т)[ф (|*1-*1|)'= 0, СТЦ (1,^ = 0.

дх\ у дх[

Уравнения (5), (6) и краевые условия (7) можно представить в безразмерном виде

Pi

д2а д

-Pl-

dz2 Fdz

VV" oz V

(8) (9)

г=0 0(гг,О) = О, 0(2Г,О) = О, а(г,0) = 0, а(г,0) = 0;

50 60 — —

2 = 0 -р1— -р2Щ\г'-г\)—dz' = qo(t), ст(0,£) = 0,

дг у дг (10)

q0{I)-Mtm ехр(-тТ), т> 1;

— 50 50 — —

2 = 1 рх — + р21у(\г'-г\)—<1г' = 0, а(1,£) = 0.

При этом использованы следующие безразмерные параметры и переменные [10]:

г = х1/у[^> Т = фо, е = (Г-Т0)/Г, а = х(т)/(рс), Т* = ; (Г) = МТтехр (-т?),

М = mmj(m -1)!, R2 = ap/(X + 2[i)/t0; ст = Стц/((ЗЯ, + 2ц)а(т)Г*), 5 = ((ЗА, + 2ц)а(г) f Г0/(рсе(Л, + 2ц)).

Параметр 5 характеризует эффект связанности поля деформации и температурного поля, для металлов он принадлежит диапазону 0,01-0,03 и обычно мало влияет на термическое возмущение и распределение температурных напряжений. Однако для новых материалов, обладающих большим параметром связанности, такое допущение будет ошибочным [12,14].

Если рассмотреть адиабатический процесс, то из уравнения (9) следует, что изменение температуры в результате изменения напряжения пропорционально величине 8/(1 + 8). Таким образом, если значение 8 невелико, то изменением температуры вследствие деформирования можно пренебречь. В данной работе примем 8 = 0.

Численное моделирование. Применив к уравнениям (8), (9) и краевым условиям (10) конечно-элементную процедуру в форме метода Галеркина [15], получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

где [С] — матрица теплоемкости;

[К«], [к™]

— матрицы, характеризующие локальные и нелокальные свойства теплопроводности исследуемого тела; {Т}, |г| — векторы неизвестных узловых значений температуры и скорости ее изменения; {í7^}, — векторы тепловых

нагрузок. Компоненты этих матриц и векторов определяются следующими соотношениями:

F^=q0(t)5pl, Cpq = j] J NpizjNqizJdzy,

е=1 у(е)

K(P'i=pié ¡ вытв^т^, cpq\eu (i»

e=ly{e) 8zi * ^

az\

e=l y(e)

dz\

ЧУ У

где Е — число конечных элементов; У^ — объем конечного элемента; Ыр, Nq — зависящие от координаты одномерные функции формы;

р, Ц — номера узлов сетки, р, q = 1, ..., п. Для вычисления компонент матриц по формулам из (11) необходимо задать вид функции влияния. Выберем функцию ф(| г[ — г\ |) следующим образом [2,8]:

ф(|21-211) = — ехр -1-—=—И, 2а у я у

где а — безразмерная величина пространственного влияния.

Распределения безразмерной температуры 9 (г) по глубине тела при различных долях р\ учета локальных эффектов приведены на рис. 1, я. С уменьшением значения р\ (т. е. с увеличением вклада интегрального слагаемого в уравнении (9)) увеличивается различие значений температуры в пограничных слоях тела. Распределение безразмерной температуры 0(г) в зависимости от радиуса а учета нелокальных эффектов показано на рис. 1, 6.

О 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 г 0 1 2 3 г

а б

Рис. 1. Распределение температуры на момент времени t — 1, т = 5:

а — а =0,2(1 —р1 = 1,0; 2—р1 = 0,75; 3—р1 = 0,5; 4—р1 = 0,25); б — а = 0,2 (1), 0,4 (2) и 0,8 (3) прир! = 0,5 (сплошные) кр1 = 1,0 (штриховая)

Аналогичная ситуация наблюдается и для распределения напряжений. Зависимости а (г) при различных долях р\ учета локальных эффектов приведены на рис. 2, я. Влияние радиуса а учета нелокальных эффектов на распределения напряжений показано на рис. 2, б. Как и в случае с полем температуры, увеличение значения а приводит к увеличению глубины проникания напряжений.

Зависимости с {г) при различных значениях параметра Я, обратно пропорционального скорости распространения упругих возмущений, приведены на рис. 3. При достаточно малых значениях Я вклад нелокальных эффектов несущественен.

Рис. 2. Распределение напряжений на момент времени t — 1, т = 5, Я = 3:

а— а = 0,2 (1—р1 = 1,0;2—р1 = 0,75;3—р1 = 0,5;4 — р1 = 0,25);б — а = 0,2 (1), 0,4 (2) и 0,8 (3) при р1 = 0,5 (сплошные) ир! = 1,0 (штриховая)

Рис. 3. Распределение напряжений на момент времени £ = 1, т — 5, а—0,2 для Я = 0,1 (1), 1,0 (2), 5,0 (3) и 10 (4) при р1 = 0,5 (сплошные) ир! = 1,0 (штриховые)

Заключение. Полученные определяющие соотношения для определения полей температуры и напряжений при тепловом ударе на поверхности тела дают возможность моделировать термомеханические процессы в деформируемом твердом теле при различных допущениях относительно структуры материала.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Gopalakrishnan S., Narendar S. Wave propagation in nanostructures. Nonlocal Continuum Mechanics Formulations. NanoScience and Technology. Cham, Springer, 2013. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-01032-8

[2] Ибрагимов И.М., Ковшов A.H., Назаров Ю.Ф. Основы компьютерного моделирования наносистем. СПб., Лань, 2010.

[3] Eringen А.С. Nonlocal continuum field theories. New York, Springer, 2002.

[4] Кривцов А.М. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой. М., ФИЗМАТЛИТ, 2007.

[5] Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Yu. Evaluation of the linear thermal expansion coefficient of composites with disperse anisotropic inclusions by the self-consistency method. Mech. Compos. Mater., 2016, vol. 52, iss. 2, pp. 143-154.

DOI: https://doi.org/10.1007/sl 1029-016-9567-2

[6] Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Теплопроводность текстуриро-ванного композита с анизотропными пластинчатыми включениями. Композиты и наноструктуры, 2015, т. 7, № 1, с. 1-13.

[7] Рущицкий Я.Я. Элементы теории смеси. Киев, Наукова думка, 1991.

[8] Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах: математические задачи механики композиционных материалов. М., Наука, 1984.

[9] Karlicic D., Murmu Т., Adhikari S., et al. Nonlocal structural mechanics. Wiley, 2016.

[10] Savelieva I.Yu. Influence of medium nonlocality on distribution of temperature and stresses in elastic body under pulsed heating. Mech. Solids, 2018, vol. 53, iss. 3, pp. 277-283. DOI: https://doi.org/10.3103/S0025654418070063

[11] Зарубин B.C., Станкевич И.В. Расчет теплонапряженных конструкций. М., Машиностроение, 2005.

[12] Грибанов В.Ф., Паничкин Н.Г. Связные и динамические задачи термоупругости. М., Машиностроение, 1984.

[13] Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М., Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008.

[14] Zweben С.Н., Beaumont P. Comprehensive composite materials II. Elsevier, 2017.

[15] Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method. Vol. 1. The basis. Butterworth-Heinemann, 2000.

Савельева Инга Юрьевна — канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Савельева И.Ю. Численное моделирование термоудара в упругом теле с учетом эффектов нелокальности среды. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2020, № 3 (90), с. 20-29. DOI: https://doi.org/10.18698/1812-3368-2020-3-20-29

NUMERICAL SIMULATION OF A THERMAL SHOCK

IN AN ELASTIC BODY CONSIDERING NON-LOCALITY EFFECTS

IN THE MEDIUM

I.Yu. Savelyeva inga.savelyeva@bmstu.ru

Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation

Abstract

Creating mathematical simulations that allow material behaviour to be described for a wide range of variable external effects is an important stage of developing and utilising new structurally sensitive materials. At present, there exist several approaches to analytical simulation of materials featuring a complex internal structure. We used methods of generalized thermomechanics to derive constitutive equations for a mathematical model describing the temperature and dynamic stress distributions for the case of a thermal shock on the surface of an elastic body, taking spatial non-locality into account We employed a medium model featuring internal state parameters to describe the process of non-steady-state thermal conductivity. The model proposed makes it possible to account for the spatial and temporal non-locality effects found in structurally sensitive materials; this maybe used in further investigations of temperature fields and stresses occurring in structural elements as a result of various external effects. We propose an algorithm for developing numerical solutions based on a Galerkin finite element method. The paper presents temperature field and stress computations for a one-dimensional problem and analyses the effect the non-locality parameters have on these solutions

Keywords

Thermal shock, mathematical simulation, non-local deformation, thermal conductivity, dynamic stress

Received 13.01.2020 Accepted 28.02.2020 © Author(s), 2020

The study was supported by RFBR (RFBR project no. 18-38-20108)

REFERENCES

[1] Gopalakrishnan S., Narendar S. Wave propagation in nanostructures. Nonlocal Continuum Mechanics Formulations. NanoScience and Technology. Cham, Springer, 2013. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-01032-8

[2] Ibragimov I.M., Kovshov A.N., Nazarov Yu.F. Osnovy komp'yuternogo modeliro-vaniya nanosistem [Fundamentals of nanosystem computer simulation]. St. Petersburg, Lan Publ., 2010.

[3] Eringen А.С. Nonlocal continuum field theories. New York, Springer, 2002.

[4] Krivtsov A.M. Deformirovanie i razrushenie tverdykh tel s mikrostrukturoy [Deformation and fracture of solids with microstructure]. Moscow, FIZMATLIT Publ., 2007.

[5] Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Yu. Evaluation of the linear thermal expansion coefficient of composites with disperse anisotropic inclusions by the self-consistency method. Mech. Compos. Mater., 2016, vol. 52, iss. 2, pp. 143-154.

DOI: https://doi.org/10.1007/sl 1029-016-9567-2

[6] Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savelyeva I.Yu. Thermal conductivity of the textured composite with anisotropic lamellar inclusions. Kompozity i nanostruktury [Composites and Nanostructures], 2015, vol. 7, no. 1, pp. 1-13 (in Russ.).

[7] Rushchitskiy Ya. Ya. Elementy teorii smesi [Elements of mixture theory]. Kiev, Nauko-va dumka Publ., 1991.

[8] Bakhvalov N.S., Panasenko G.P. Osrednenie protsessov v periodicheskikh sredakh: matematicheskie zadachi mekhaniki kompozitsionnykh materialov [Averaging of processes in batch media: mathematical problems of composite materials mechanics]. Moscow, Nauka Publ., 1984.

[9] Karlicic D., Murmu Т., Adhikari S., et al. Nonlocal structural mechanics. Wiley, 2016.

[10] Savelieva I.Yu. Influence of medium nonlocality on distribution of temperature and stresses in elastic body under pulsed heating. Mech. Solids, 2018, vol. 53, iss. 3, pp. 277-283. DOI: https://doi.org/10.3103/S0025654418070063

[11] Zarubin V.S., Stankevich I.V. Raschet teplonapryazhennykh konstruktsiy [Calculation of heat-stressed structures]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 2005.

[12] Gribanov V.F., Panichkin N.G. Svyaznye i dinamicheskie zadachi termouprugosti [Connected and dynamic problems of thermoelasticity]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1984.

[13] Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Matematicheskie modeli mekhaniki i elektrodinamiki sploshnoy sredy [Mathematical models of continuous medium mechanics and electrodynamics]. Moscow, BMSTU Publ., 2008.

[14] Zweben C.H., Beaumont P. Comprehensive composite materials II. Elsevier, 2017.

[15] Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method. Vol. 1. The basis. Butter-worth-Heinemann, 2000.

Savelyeva I.Yu. — Cand. Sc. (Phys.-Math.), Assoc. Professor, Department of Applied Mathematics, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, str. 1, Moscow, 105005 Russian Federation).

Please cite this article in English as:

Savelyeva I.Yu. Numerical simulation of a thermal shock in an elastic body considering non-locality effects in the medium. Herald of the Bauman Moscow State Technical University, Series Natural Sciences, 2020, no. 3 (90), pp. 20-29 (in Russ.). DOI: https://doi.org/10.18698/1812-3368-2020-3-20-29