ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЖИГАНИЯ ТОПЛИВА В СТАЦИОНАРНОЙ ДЕТОНАЦИОННОЙ ВОЛНЕ В КАНАЛЕ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ СО СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ НА ВХОДЕ И ВЫХОДЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Труды МАИ. Выпуск № 109 001: 10.34759/^-2019-109-6

УДК 533.6

Численное моделирование сжигания топлива в стационарной детонационной волне в канале переменного сечения со сверхзвуковым потоком на входе и выходе

Гидаспов В.Ю.*, Кононов Д.С.**

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), МАИ, Волоколамское шоссе, 4, Москва, A-80, ГСП-3, 125993, Россия

*e-mail: gidaspov@mai.ru **e-mail: dr. kononoff@yandex.ru

Статья поступила 18.11.2019

Аннотация

Рассматривается течение водородо-воздушной горючей смеси в канале переменного сечения, представляющего собой два последовательно расположенных сопла Лаваля. Считается, что входной сверхзвуковой поток тормозится и сжигается в детонационной волне, которая реализуется внутри канала. Ниже по потоку продукты сгорания разгоняются до сверхзвуковых скоростей. Получены стационарные решения для случая химически неравновесных течений. Путем численного моделирования квазиодномерных течений многокомпонентного реагирующего газа показано, что детонационная волна устойчива в расширяющемся канале и неустойчива в сужающемся. Для рассматриваемой формы канала численно определен диапазон начальных скоростей потока, при котором реализуется устойчивая стационарная детонационная волна.

Труды МАИ. Выпуск № 109 DOI: 10.34759/^-2019-109-6

Ключевые слова: численное моделирование, канал переменного сечения,

детонационные волны, стационарное течение, прямая задача теории сопла,

неравновесные химические превращения.

Введение

Численное моделирование течений в каналах является важным этапом при создании перспективных энергетических установок [1-7]. Особый интерес представляет изучение процесса сжигания топлива в каналах в стационарных детонационных волнах, который может быть использован при разработке детонационных двигателей. В работе исследуется случай детонационного горения стехиометрической смеси водорода с воздухом в канале переменного сечения (рис. 1), представляющего собой два последовательно расположенных сопла Лаваля [8].

0.2 0.15

0.1

0.028 0.022

О 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

X, м

Рис. 1. Зависимость величины радиуса канала от продольной координаты. Фиолетовым цветом обозначена область постоянного сечения, зеленым (Ь) - 1-ая сужающая область, синим (^ - 1-ая расширяющаяся область, оранжевым - 2-ая сужающая область, красным - 2-ая расширяющаяся область.

Течение газа на входе в канал (область «a») задавалось сверхзвуковым, внутри

канала (области «Ь», «о, <^») считалось, что реализуется ударная волна, в которой

Труды МАИ. Выпуск № 109 DOI: 10.34759/^-2019-109-6

происходило торможение потока до дозвуковых скоростей и сжигание горючей

смеси. За ударной волной продукты сгорания разгонялись до сверхзвуковой

скорости (области «й» и «е»). В химически равновесной квазиодномерной

стационарной постановке задачи по методике [9] для канала (рис. 1) был проведен

анализ возможных вариантов течения со стационарной детонационной волной. В

данном случае решение зависит исключительно от соотношений радиусов в

текущем, начальном и минимальном поперечном сечении канала. Для исследуемых

канала и горючей смеси определены относительные радиусы расположения

детонационной волны (рис. 2) в зависимости от скорости потока во входном

сечении. При начальных скоростях потока: от 2200 до 2550 м/с стационарная

детонационная волна может находиться только на участке «й»; от 2550 до 5500 м/с

на участках «Ь», «с», «й».

2

1 '—

3 : /

/ 4

2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 и, м/с

Рис. 2. Химически равновесная смесь водород-воздух. 1 - зависимость относительного радиуса поперечного сечения канала, в котором может реализоваться стационарная детонационная волна, от скорости потока на входе в канал. 2 - 4 - относительный радиус стыка областей «с»-«й», «Ь»-«с» и «й»-«е» .

Физико-математическая модель

Квазиодномерное стационарное химически реагирующее течение смеси совершенных газов описывается системой дифференциальных уравнений вида [1014]:

с1риР йх

= 0,

с1(ри2 + р)Р с^ йх йх

йриР +

с1х

= 0,

йри¥у1

(1х

= FW¿, I = 1.. Ы,

р=р(р,Т,у)

к = /г(р,Т ,у)

Здесь х - продольная координата, t - время, р - плотность, и - скорость смеси, Р - давление, Т - температура, ^ - энтальпия, у; -концентрация I -ого компонента в смеси, Р = Р(х) - зависимость площади поперечного сечения канала от продольной координаты. На ударной волне выполняются соотношения типа Рэнкина-Гюгонио:

Р1уг = р2у2>

VI + РЛУ\ = Р2+ Р2У2,

2 Ул

71 =

2 Уп

72

где индексом «2» помечены величины после ударной волны, индексом «1» - до,

у = Б — и, где Б - скорость распространения разрыва.

Труды МАИ. Выпуск № 109 001: 10.34759/^-2019-109-6

Следствием системы уравнений, описывающих течение газа, является

уравнение скорости потока:

N

¿=1

и С^

Ц

где М = — - число Маха, нижние индексы "Т" и " у; " обозначают частное

дифференцирование по соответствующему параметру. В неравновесных течениях для разгона дозвукового потока до сверхзвуковых скоростей необходимо единовременное выполнение условий:

N

1 \—1 и ^

Р2НТ4 ,

1=1

в равновесных и замороженных течениях необходимы равенства:

М = 1, — = 0.

ах

Данные условия являются дополнительными граничными условиями при поиске решений уравнений газовой динамики с переходом через скорость звука в одномерных стационарных постановках.

Рассматривалась смесь совершенных газов, термодинамические свойства которой описываются путем задания потенциала Гиббса [15, 16]:

N

С(р,Т,У) = £ у* (с? (70 + ЯЛгД),

Ро<

1=1

у.

где Я - универсальная газовая постоянная; р 0 - нормальное давление; р ^ = р --

парциальное давление; (7 0( Т) - известные зависимости [15], температурная часть

Труды МАИ. Выпуск № 109 DOI: 10.34759/^-2019-109-6

молярного потенцила Гиббса отдельного компонента смеси. Соответствующие

термическое и калоричесое уравнения состояния имеют вид:

р(р,т,у) =

где я?(г) = в?(г) - ас?0(т)/ат.

Для решения исходной системы в областях непрерывности течения используется двухточечная разностная аппроксимация:

р2и2Р2 = рхих¥х = ()01

1

2 (Р2и2 + Р1и1)(и2 - щ) +Р2~Р1 = 0,

ип

^2+у = Н0, Щ2 Щг

Ух2 - /¿1 - (5-—- (1 - 5) ——)(х2 - ХХ) = 0, I = 1. . Л/, р2и2 ргщ

N

V

1=1

N

1=1

где Я0 - полная энтальпия, - расход газа, 5 - параметр неявной схемы (в расчетах s= 0,4).

Интегрирование жесткой системы дифференциальных уравнений химической кинетики проводилось методом Пирумова У. Г. [10], на каждой итерации которого плотность и температура (входящие в правые части системы) вычислялись из приведенной выше системы нелинейных уравнений. Прохождение особой точки системы ^=1) осуществлялось c использованием метода «пристрелки» [10] с

некоторыми модификациями.

Алгоритм прохождения особой точки

Данный алгоритм позволяет получить квазиодномерное стационарное решение со стоячей детонационной волной в продольной координате х контура с заданными составом смеси и базисными термодинамическими параметрами путем варьирования координаты постановки детонационной волны.

1. Поиск квазиодномерного стационарного решения со стоячей детонационной волной в химически равновесной постановке, получение продольной координаты детонационной волны при заданных параметрах входного потока [9] (рис. 3, кривые 2, 3).

Рис. 3. Скорости потока и звука в равновесном и неравновесном течении водородо-воздушной смеси при Т0 = 400 К, у0 = 2 75 0 м/с. 1 - форма канала; 2, 3 - скорость потока и скорость звука, равновесие, решение с переходом через скорость звука; 4, 5- скорость звука и скорость потока, неравновесное дозвуковое решение.

3500

0.05

_1_

0.1

0.15

0.25

О 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

X, N

Рис. 4. Варьирование координаты стационарной детонационной волны. 1, 2 -скорость потока и скорость звука, дозвуковое стационарное неравновесное решение за детонационной волной; 3, 4 - скорость потока и скорость звука, отсутствие стационарного неравновесного решения за детонационной волной (запирание) ;5 -форма канала.

2. Проведение квазиодномерного стационарного химически неравновесного расчета с входными параметрами потока из п.1 и постановкой детонационной волны в продольной координате х ±, получение решения без перехода через скорость звука (Рис. 3, кривые 4, 5).

3. Поиск такой продольной координаты детонационной волны , при которой стационарное решение с детонационной волной отсутствует, т.н. «режим запирания потока» (Рис. 4, кривые 3, 4).

4. Поиск методом дихотомии на отрезке X2] ближайших к X2 с точностью до £> 0 точек xз нахождения ударной волны, при которой существует и отсутствует ^^ дозвуковое решение в данном контуре. Нахождение точки X4 > xз такой, что | и± (х4) — и2 (х4) | = 8 > 0 .

Труды МАИ. Выпуск № 109 DOI: 10.34759/^-2019-109-6

5. Нахождение на отрезке [х3, X4] точки xОСдЗ, ближайшей к X4, такой, что при

йи ,

решении исходной системы с x>xОСдЗ в предположении, что и — = с О ПБI =

и[(х о сдз) , энтропия смеси не убывает. Данное решение проводится до точки

xОССЗ, в которой выполняются оба условия М2 — 1 > 0 и

^яи (НгРп-РтНУ№+ ~>о.

6. Проводится поиск стационарного сверхзвукового решения при x> хо ссз.

Результаты численного моделирования

Химические превращения в работе моделировались 8 обратимыми стадиями (Таблица 1) [17]. По методике, представленной в [9], для химически равновесной смеси водород-воздух в рассмотренном контуре (Я/Я0 = 0,56, Я2/Я0 = 0,493) может быть построена Я-Я диаграмма, согласно которой детонационная волна в данной задаче может находиться в части «й» рассматриваемого канала при входной скорости потока более 2200 м/с, в «Ь» и в «с» частях рассматриваемого канала при входной скорости потока более 2700 м/с (Рис. 5).

Таблица 1.

Реакция А, моль, м3, с, К п Е, К

Н2 + м = н + н + м 5,5 Е18 -1 51987

о2 + м=о+о+м 7,2 Е18 -1 59340

но + м = он+н + м 5,2 Е21 -1,5 59386

он + м=о+н + м 8,5 Е18 -1 50830

но + о = он + он 5,8 Е13 0 9059

но+н = он + н2 8,4 Е13 0 10116

о + н = он + о 2,2 Е13 0 8455

н2 + о = он+н 7,5 Е13 0 5586

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Рис. 5. ЯЯ-диаграмма для стехиометрической водородо-воздушной горючей смеси при (равновесное сгорание).

Необходимо отметить, что стационарное решение зависит исключительно от соотношения радиусов канала в текущем и начальном сечениях. Таким образом, для рассматриваемой конфигурации канала возможно 3 стационарных решения с тремя различными положениями детонационной волны в рассматриваемом контуре.

При задании начальной скорости потока у0 = 2750 м/с и начальной температуры Т0 = 400 К могут быть получены стационарные равновесные и неравновесные решения (рис. 6).

(а)

(б)

Труды МАИ. Выпуск № 109 DOI: 10.34759/^-2019-109-6

Рис. 6. Распределения температур в контуре для химически равновесной (1, 3, 5) и неравновесной (2, 4, 6) водородо-воздушной смеси при Т0 = 400 К, у0 = 2 7 5 0 м/с в рассматриваемом канале (а) и в области «с» (б) при наличии стационарной детонационной волны и перехода скорости потока через скорость звука.

При попытке получить стационарные неравновесные решения с начальной скоростью потока у0 =2650 м/с и начальной температурой Т0 = 400 К наблюдается наличие только одного вида решений с детонационной волной в «Ь» и в «о частях рассматриваемого канала (только дозвуковые), что указывает на отсутствие решений с переходом скорости потока через скорость звука (рис. 7). При этом, стационарное неравновесное решение с переходом скорости потока через скорость звука при данных начальных скорости и температуре имеет место быть при наличии детонационной волны в части рассматриваемого канала (рис. 8).

(а) (б)

Рис. 7. Распределения скоростей потока и звука при различных положениях детонационной волны в части «Ь» (а) и «о> (б) контура для химически неравновесной водородо-воздушной смеси при Т0 =400 К, V0 = 2 65 0 м/с. 1 -форма канала, 2, 4, 6, 8, 10 - скорости потока, 3, 5, 7, 9, 11 - скорости звука.

3500 -1-1-г

0 0.05 0.1 0.15 0,2 0.25

х, м

Рис. 8. Распределения скорости потока и звука при постановке детонационной волны в части «ё» контура для химически неравновесной водородо-воздушной смеси при Т0 = 400 К, V0 = 2 65 0 м/с. 1 - форма канала, 2 - скорость потока, 3 -скорость звука.

Отметим, что факты наличия и отсутствия решений согласуются с результатами расчетов, представленными на Я-Я диаграмме (рис. 5).

В [1-3] отмечено, что в нереагирующем потоке стационарная ударная волна является устойчивой в расширяющемся канале и неустойчивой в сужающемся. Взяв математическую модель нестационарного квазиодномерного течения в канале [10], реализовав схему Годунова С. К. [18-20] и задав в качестве начального распределения параметров результаты, полученные при предположении о равновесном протекании химических превращений в детонационной волне (рис. 6), можно наблюдать следующую эволюцию параметров течения. Распределение параметров стационарного решения с детонационной волной в области «Ь» является неустойчивым. Детонационная волна уходит из расчетной области, двигаясь против потока (рис. 9).

О 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

х, м

Рис. 9. Распределения температуры при постановке детонационной волны в части «b» контура для химически неравновесной водородо-воздушной смеси при Т0 = 400 К, v0 = 2 7 5 0 м/с. 1 - форма контура, 2 - начальное приближение, 3 -распределение температуры в момент времени t=372 мте, 4 - распределение температуры в момент времени t=418 мк^ 5 - распределение температуры в момент времени t=443мкc.

Неустойчивым является стационарное решение с детонационной волной в области «d». Детонационная волна, двигаясь против потока, устанавливается в области «c» (рис. 10) или, перемещаясь по потоку (рис. 11), покидает расчетную область.

о 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.055 0.06 0.065 0.07 0.075 0.08

X, M х, м

(а) (б)

Рис. 10. Распределения температуры при постановке детонационной волны в части «d» контура для химически неравновесной водородо-воздушной смеси при

К, м/с, расчетная область целиком (а) и окрестность распространения

детонационной волны (б). 1 - форма контура, 2 - начальное приближение, 3 -распределение температуры в момент времени t=512 мте, 4 - распределение

температуры в момент времени 1=1025 мкс, 5 - распределение температуры в момент времени 1=1571 мкс.

Рис. 11. Распределения температуры при постановке детонационной волны в части «ё» контура для химически неравновесной водородо-воздушной смеси при Т0 = 400 К, v0 = 2 7 5 0 м/с. 1 - форма контура, 2 - начальное приближение, 3 -распределение температуры в момент времени 1=136 мкс, 4 - распределение температуры в момент времени 1=168 мкс, 5 - распределение температуры в момент времени 1=195 мкс.

Стационарное решение с детонационной волной в области «с» является устойчивым (рис. 12). Детонационная волна из-за неравновесного протекания химических реакций смещается вправо.

Рис. 1 2. Распределения температуры при постановке детонационной волны в части «с» контура для химически неравновесной водородо-воздушной смеси при 400 К, v0 = 2 7 5 0 м/с. 1 - форма контура, 2 - начальное приближение, 3 -распределение температуры в момент времени 1=136 мкс, 4 - распределение температуры в моменты времени 1=289 мкс и 1=2888 мкс.

Труды МАИ. Выпуск № 109 001: 10.34759/^-2019-109-6

При реализации алгоритма прохождения особой точки можно варьировать

скорость потока на входе в канал, считая, что координата стационарной

детонационной волны фиксирована. В этом случае путем задания координат

детонационных волн на границах сужающихся и расширяющихся областей

рассматриваемого канала могут быть получены диапазоны скоростей, при которых

реализуется неравновесное течение со стоячей детонационной волной (рис. 13). Так,

в рассматриваемом контуре в области «с» возможно стационарное решение при

начальной скорости потока от 2680 до 5250 м/с.

5500 5000 4500 4000 3500 ■у 3000

га°

2500 2000 1500 1000 500 0

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

X, N

Рис. 13. Диапазон скоростей потока стационарных неравновесных квазиономерных решений с переходом скорости потока через скорость звука.

Необходимо отметить, что явление детонации представляет собой сложный, многофакторный и многомерный процесс. Используемая в настоящей работе постановка задачи может быть использована только для первоначального анализа течения, а также в качестве начальных данных для проведения многомерных расчетов.

Труды МАИ. Выпуск № 109 DOI: 10.34759/trd-2019-109-6

Выводы

В работе исследовано квазиодномерное стационарное химически неравновесное течение потока горючей водородо-воздушной смеси в канале переменного сечения со сгоранием топлива в стоячей детонационной волне с переходом скорости потока через скорость звука. Проведено сравнение полученных результатов с аналогичными решениями для случая химически равновесной смеси. Рассмотрены алгоритмы получения стационарного решения путем варьирования продольной координаты постановки детонационной волны и методом варьирования начальной скорости потока. Проведен численный анализ устойчивости по времени полученных решений.

Библиографический список

1. Черный Г.Г. Газовая динамика. - М.: Наука, 1988. - 424 с.

2. Крайко А.Н., Широносов В.А. Исследование устойчивости течения в канале с замыкающим скачком уплотнения при околозвуковой скорости потока // Прикладная математика и механика. 1976. Т. 40. С. 579 - 586.

3. Гринь В.Т., Крайко А.Н., Тилляева Н.И., Широносов В.А. Анализ устойчивости одномерного течения в канале при произвольном изменении параметров стационарного потока между сечением замыкающего скачка и выходом из канала // Прикладная математика и механика. 1977. Т. 41. С. 637 - 645.

4. Борисов А.Д. Исследование влияния способа подачи струй в камеру на

эффективность смешения и горения топливо-воздушной смеси // Труды МАИ. 2017.

№ 90. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=74721

16

Труды МАИ. Выпуск № 109 DOI: 10.34759/trd-2019-109-6

5. Ананьев А.В., Борисов Д.М., Васютичев А.С. Гидаспов В.Ю., Дегтярев С.А.,

Лаптев И.В., Руденко А.М. Численное моделирование пространственных смешанных двухфазных течений с химическими превращениями применительно к воздушно-реактивным двигателям // Вестник Московского авиационного института. 2009. Т. 16. № 2. С. 131 - 140.

6. Ребров С.Г., Голиков А.Н., Голубев В.А., Молчанов А.М., Яхина Г.Р. Численное моделирование процесса смесеобразования в модельной камере сгорания с лазерным зажиганием при работе на компонентах кислород-водород, кислород-метан // Труды МАИ. 2013. № 69. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=43154

7. Liu J.-J. A thermodynamic analysis of quasi-one-dimensional self-sustaining gaseous detonation waves // Proceedings of the Royal Society A. Mathematical, physical & engineering sciences, 1999, available at: https://royalsocietypublishing.org/doi/abs/10.1098/rspa.1999.0426

8. Гидаспов В.Ю., Кононов Д.С. Об устойчивости детонационной волны в канале переменного сечения при сверхзвуковом входном и выходном потоках // XXI международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМС1111С'2019): материалы конференции. (Алушта, 24-31 мая 2019). - М.: Изд-во МАИ, 2019. С. 438 - 440.

9. Гидаспов В.Ю. Численное моделирование одномерного стационарного равновесного течения в детонационном двигателе // Труды МАИ. 2015. № 83. URL: http: //trudymai .ru/published.php?ID=61826

Труды МАИ. Выпуск № 109 DOI: 10.34759/trd-2019-109-6

10. Гидаспов В.Ю. Численное моделирование химически неравновесного течения

в сопле жидкостного ракетного двигателя // Вестник Московского авиационного института. 2013. Т. 20. № 2. С. 90 - 97.

11. Sharpe G. J. The effect of curvature on detonation waves in Type Ia supernovae // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 2001, vol. 322, pp. 614 - 624.

12. Крюков В.Г., Абдуллин А.Л., Демин А.В., Сафиуллин И.И. Сравнение явных и неявных разностных схем расчета химически неравновесных процессов в соплах // Труды МАИ. 2017. № 92. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=76848

13. Крюков В.Г., Абдуллин А.Л., Никандрова М.В., Исхакова Р.Л. Сокращение механизмов реакций при моделировании высокотемпературных течений в соплах // Труды МАИ. 2019. № 105. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID= 104166

14. Radenac E. Fluctuating energy balance method for postprocessing multiphase flow computations // Journal of propulsion and power, 2013, vol. 29, no. 3, pp. 699 - 708.

15. Гурвич Л.В., Вейц И.В., Медведев В.А. и др. Термодинамические свойства индивидуальных веществ: Справочное издание в 4-х т. - М.: Наука, 1978. Т. 1. Кн. 2. - 328 с.

16. Sardeshmukh S., Heister S., Xia G., Merkle C., Sankaran V. Kinetic Modeling of Hypergolic Propellants Using Impinging Element Injectors // 48th AIAA/ASME/SAE/ASEE Joint Propulsion Conference & Exhibit, 2012, https://doi.org/10.2514/6.2012-3760

17. Гардинер У., Диксон-Льюис Г. и др. Химия горения. - М.: Мир, 1988. - 464 с.

Труды МАИ. Выпуск № 109 DOI: 10.34759/trd-2019-109-6

18. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П.

Численное решение многомерных задач газовой динамики. - М.: Наука, 1976. - 400 с.

19. Левин В.А., Мануйлович И.С., Марков В.В. Стабилизация волны детонации в сверхзвуковом потоке // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 2011. № 4. С. 28 - 33.

20. Deiterding R. High-resolution numerical simulation and analysis of Mach reflection structures in detonation waves in low-pressure H2-O2-Ar mixtures: a summary of results obtained with the adaptive mesh refinement framework AMROC // Journal of Combustion, 2011, doi:10.1155/2011/738969