CC BY
7
УДК 519.6:55
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОКОВОГО МЕХАНИЗМА ГЕНЕРАЦИИ ВОЛН ЦУНАМИ
В.В. Бабайлов, Д.Б. Дамбиева, Г.С. Хакимзянов , Л.Б. Чубаров
Новосибирский государственный университет, Инcmumvm вычислительных технологий СО РАН
Модели и алгоритмы
Исследования катастрофических и сильных землетрясашй с магнитудой
М5 > 7.5 показывают, что в зоне эпицэггра возникают мно! очисляные открытые трещины, длина которых может превышать сотни километров, а ширина достигает
- 30 - 50 м. В этой области наблюдается увеличшие удельного объема среды, раскрытие "икротрещин, а также значительный рост проницаемости пород дна, чтец в свою очередь, приводит к стремительному стоку воды в крупные и мелкие трещины. Появление трещин в грунте при скоростях движения среды порядка 0,1
- 1,0 м/с - известный физический феномен, при этом скорость движения трещин в грунте может достигать 1 км/с. Очевидная нгли«юность подобных явлении требует примени ия нелинейных моделей и учета измаешя формы дна в пространстве и во времгаи.
Рассмотрим в качестве исходной нелинейную модель мелкой воды, давно и активно применяемую для воспроизведения широкого класса волновых явлший
где
✓ \
' А Г Ии 4 Ли'-» -^Л' 2 hv ' 0 4
Ни . С(и) = НУи , 5 =
Лму \ у ЛУ'+^А1 ч 2 > л,
Чцесь Ъ = Ь{х, функция, опредецяющая форму донной поверхностг Эта функция входит в формулу, задающую полную глубину: А = Г| (дс, у, () + Ь(х, у,() + где
Т| (х, у,/) — возмущоше свободной поверхности, Н0 - ее начальный уровоп». Вычислительный алгоритм строится на основе противопотокового метода Годунова, основанного на решоши задачи Коши-Римана (задачи распада разрыва). Как показали предыдущие исследования авторов, этот алгоритм адекватно воспроизводит не только гладкие, но и разрывные течения, а также движашя по сухому р>слу [2], [3].
Для однородной задачи в одномерном случае общий вид консервативной схемы первого порядка точности, пострсшнсй методом конечных объемов, выглядит следующим образом
' ' Л*
где для вычисления потока Ь , «обходимо решить задачу Коши-Римана в области
МЛО
и, + Р(и\= о
О", если х<х ,
о(х,п=
I/,",. если х > х ,
Решшием этой задачи является функция Щх,1) = V [ — 1 де X,Г -локальные
4 и)
координаты. Тогда поток в схеме Годунова определяется по формул: г (°1 этом шаг по времош вычисляется в соответствии с условием устойчивости
при
С* Д»
Д/ = —-
шах
где 0 < Сс/1 < 1 - число Куранта, = шах{| и1 | -Ь^^Л,} - максимальная скорость распространения возмущший. Приведешь^ ниже результаты были получены при значении числа Куранта, равном 0.9.
Для решения »однородней задачи использовался численный алгоритм
и '.I л Ах
Г г
• I-,]
2 2
где г;;1 и 1 определяются из ретмШл системы однородных уравжиий. При этом производные ] нкции, задающей изменаше формы дна, вычисляются с помощью направленных разностей.
Рассмотрешая выше модель является шлижйней, однако вблизи глубоких трещин, где существенное влияние на картину течшия оказывают вертикальные перемещения жидкости, она может давать значительные погрешности. По этой причине для боже детального моделирования генерации поверхностных волн, возникающих при крат-ковремашом оттоке воды в трещины, «обходимо использовать жлижйные модели, учитывающие перемещения жидкости в вертикальном направлтии. Простейшей из таких модежй является модель плоских потащиальных течошй идеальней «сжимаемой жидкости со свободной границей.
В настоящей работе используется конечно-разностный алгоритм, основанный на линейной модели потенциальных течений. В рамках этой модели постановка задачи следующая. В ограниченней области, соответствующей бассейну с горизонтальным неподвижным дном, решается смешанная задача для уравнения Лапласа. Решшие должно удовлетворять однородному условию Неймана на днг всюду, за исклю нашем его небольшого участка, где происходит вьггекание жидкости и на котором условие Неймана является »однородным. Однороднее условие Неймана задается также на боковых стенках бассейна. На свободной границе задаются кингматическсе и динамическое условия. В начальный момшт времши задаюгея нулевые начальные условия, что соответствует состоянию покоя жидкости с жвочмушашой свободной поверхностью.
Для решения сформулированной задачи разработан алгоритм, состоящий на каждом шаге по времши из трех этапов. На первом этапе аппроксимируется динамическое условие и ищется значшие потшциала на верхней границе области. На втором этапе определяется значение потшциала во всей области на основе уравш1ия Лапласа, которое аппроксимируется со вторым порядком, причем не только во внутренних узлах, но и в граничных узлах, в которых задано условие Неймана. И, накокц, на третьем этапе на основе конечно-разностной аппроксимации кинематического условия определяется положшие свободной границы. Алгоритм расчета подробно описан в работе [6]. Работоспособность алгоритма и высокая точность численного решения подтверждены известным точным решшием тестовой задачи о колебаниях жидкости в бассейн: с ж проницаемыми боковыми стшкями и полностью непроницаемым дном. Яснсъ что расчеты по этой линейной модели могут носить лишь предварительный характер, поскольку рассматриваемые волновые процессы имеют существенно нелинейный характер.
Вычислительные эксперименты
Постановка задачи для вычислительных эксперимштов была нгпосредсгвшно связана с серией лабораторных иссдедований, выполянных сотрудниками Института морской геологии и геофизики ДВО РАН [5]. Соответствующее устройство изображаю на рисунке I. Начальные данные для первых модельных расчетов выбирались на основе характеристик этого лотка, в цштре которого имеются решс.ка для имитации системы трещин и механизм, открывающий ее для стока воды и закрывающий в нужный момагг.
Рисунок 1 - Экспериментальный лоток ИМГиГ ДВО РАН (|. Южно-Сахалинск
Квазиодномерная задача формулировалась в предположшии образования одной трещины, которая возникает либо мгновшиц либо за конечное время и в последующем
соответствующая модификация рел лра дна либо сохраняется, либо исчезает в результате «закрытия» трещины. При этом измоились геометрические параметры такой трещины. В некоторых случаях возникало осушши - участка дна, по которому перемещались волновые образования. Все расчеты выполнялись с использованием двумерной модели и двумерного алгоритма.
Размер Ьх расчетжи области по оси Ох - хшюскя 'чапопси Оу -Ц =0.6м. Равномерная
расчетная сетка с одинаковыми пространственными шагами состояла из Пх х пу =151x31 узлов. При этом на длину трещины приходилось 30 узлов. Глубина жвемущшного слоя воды
равнялась Я„ =0,4 м, длина трещины вдоль оси Ох -Ь,=0.6 м. (вдоль оси Оу трещина простирается на всю ширину области Ьу ), характерная глубина трещины: Я, =0,2 м. На боковых границах области X = 0 и X = Ьх ставились условия свободного прохода, а на границах у = 0иу = Ьу- условия непротекания
Характерные параметры возникновашя трещины таковы: время - /0 = 0,1 сек. скорость
распространиия возмущения - У0 = ^^Н м/сек, скорость образования трещины - V = //, //„ м/сек . Форма грещины определялась соотношениями
ЬЛх):
I
г
\
о,
с< ---1
+ 1
, при х' б [0, Ц ], при х'е [0,1,],
так, что ее края гладко поимыкают к краям »возмущенных фрагмоггов дна. Динамика модифицируемого фрагмагга дна задавалась соотношшием
Ь(х',0 =
— НгЬ0(х'), I б [0,/0], 'о
Я,-60(А 1е(10, со),
где х =х-(Ь1-1л)/2.
Процесс гаерации волн в результате образования трещины представлен на рисунке 2. Сначала при опускании участка дна свободная поверхность практически полностью повторяет форму поверхности дна (рисунок 2, фрагмшты а, Ь), затем вода начинает заполнять образовавшееся свободное пространство и над трещиной формируется локальное возвышение (рисунок 2с).
к
' у
Рисунок 2 - Формирование трещины и начального возмущения свободной поверхности: (а) -1 = 0,05' , (Ь) -1 = 0,1 • , (Ь) -1 = 0,18 8
После этого формируются две волны понижэдия с достаточно крутым передним фронтом, движущиеся к противоположным границам области (рисунок 3). Следует заметить, что поел; выхода волн за пределы области над склонами трещины остаются две стоячие волны понижшия уровня (около 2,7% от глубины трещины). Скорее всего, возникновение этих особенностей связано с аппроксимацией правей части уравкния импу льса, записанного в нгдивепгентней форме.
Рисунок 3 - Трансформация волн, порожденных образованием «трещины» (а) -1 = 0,45 $, (Ь) -1 = 0,8 к
Более детальная информация в такого рода вычислительных эксперимаггах представляется обычно в форме изменения уровня свободной поверхности, рассчитанного в определят ей точке расчетной области. Такие времашые ряды принято называть расчетными мареограммами и связывать их с установкой виртуальных датчиков - мареографов. Мареогоаммы, изображенные на рисунке 4, в целом подтверждают сказанное выше и, в
частности (мареограмма в точке 65 Д* 1 иллюстрирует стабильность возникших стоячих формирований
и к
N V
Рисунок 4 - Марюграммы, записанные в ходе вычислительного эксперимагга. Справа - схем), расстановки виртуальных мареографов
Следующая серия расчетов преследовала цель определения зависимости волновых характеристик от параметров трещины: ее длины, глубины и скорости формирования,
а также закона, по которому это формирование происходит. Оценивалась величина
тах 0п,|), характеризующая максимальную по модулю амп-штуд" волны в мареограф-нсй точке.
Сначала были выполнны расчеты при различных значениях глуоины трещины
Нх =0.1; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5; 0.6, при этом длина и скорость деформации тна фиксировались. Расчеты показывают, что зависимость максимальной амплитуды гофрируемой волны от глубины трещины близка к «квадратичной».
Следующий рисунок 5 показывает зависимость амплитуды от длины трещины, при этом фиксировались глубина трещины и скорость ее опускания. Здесь по горизонтали
отложща длина трещины {Ц = 0.2; 0.3; 0.4; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8; 0.9; 1.0). Наиболее сильно зависимость проявляется над цоггром трещины, а мареограммы, рассчитанные в
точках 30Ах и 60 Ах при Ц = 0.6 демонстрирую чокальныи максимум измеряемой величины.
ОД*
ЗОЛ*
60 д*
-О
Рисунок 5 ■■ Зависимое! о от длины трещьны
Накожц, результаты вычислений для различных скоростей формирования трещины
(у = 0.01у„; 0.5у0; 0.7у0; 0.9уо; 1.1у0; 1.3у0; 1.5у0; 100у„) показывают слабую зависимость максимальной амплитуды от скорости V (за исключошем центральной точки). Заметим, что при мгновенном возникнувши трещины (за один шаг по времши) амплитуда сформировавшейся волны практически ж отличается от амплитуд, возникающих при конечных скоростях.
Различия между равноускорганым и равномерным пропессами формирования трещины представлены на рисунке 6. При этом жизмошыми оставались длина и глубина
трещины, скорость равномерного трещинообразования была равна V = yJgHl/2 , а ускоршие при равноускоренном процесс! - а = g . Таким образом время формирования
трещины было одинаковым « 0.1425 . Мареограммы показывают, что волны, возникшие при равноускорэдном процессе изначально имеют небольшие отличия по форме и амплитуде от волн, возникающих при равномерном. Однако с течением времени, при подходе к границе области пти отличия становятся практически незаметным! Также видна, что в первом случае волны приходят к границам чуть раньше.
чв я а
Рисунок б - Мареограммы рассчитанные при равномерном (сплошные линии) и равноускоренном (пунктир) процессах формирования трещины.
Приышжтии к условиям эксперимшта потребовало проведали расчетов в условиях схлопываниь трещины, что в реальности может соответствовать насы щению системы микротрещин водой.
Как показывает серия изображжий рисунок7, сначала формируете* грещина (а) и уровап. свободной поверхности над ней понижав' ся, затем процесс формирования трещины завершается ее мгновошым закрытием (Ь). Далее, вода начинает заполнять возникшее свободное пространствсц формируя две волны с крутыми передними фроитами (с), после взаимодействия которых над зоной трещины возникает локальное возвышшие (с!) и, наконец, такие волны продолжают двигаться к противоположным границам области, догоняют волны п )нижшии уровня и уходят за границы власти (е).
СЬ)1
1 м> 1 Я (л
Рисунок 7 - Рельеф дна и свободная поверхности в условиях склепывающейся без осушения трещины: (а) -1 = 0,078 сек, (Ь> -1 = 0,09 сек, (с) — * = 0,36 сек, (а) -1 = 0,68 сек, (е) -»= 1,6 сек
В этих расчетах глубина жвозмущяшого слоя жидкости равнялась Н0=0,13, длина трещины = 1,2 м, при этом форма трещины предусматривает наличие в середин: плоской площадки. Необходимая для выполшшя расчетов гладкость рельефа дна обеспечивается сглаживанием краеаь™ фра маггов трещины так, что на такое сглаживание приходилось по 15 узлов, а на длину ..ере линией площа си - 30 узлов. Глубина трещины принималась
равной Н,=0,1, скорость равномерного формирования трещины - V = у0 .
Результаты расчетов на основе модели потшциальных течений жидкости со свободной границей качественно согласуются с описанными выше. На рисунке 8 показаны профили свободной границы в различные моменты времени. Видное что и по этой модели поверхность воды вначале понижается над щелью, затем образуются волны, движущиеся к стенкам бассейна, после их отражения от стенок над щелью возникает возвышение, которое вновь распадается на волны, движущиеся в противоположных направлениях.
Отметим что на этом и последующих двух графиках использованы безразмерные значения перемжных. Так, безразмерные значения X и Л получош делением тих размерных
величин на Нй, безразмерное время - умножением на
Г
Рисунок 8 - Динамика свободной поверхности для модели потенциальных течений
По серии рисунков 9 можно наблюдать измяшие поля вектора скорости во времени. На рисунке (а) - момэгг открытия щели; виднц что жидкость в центральной части бассейна устремляется в щель, а слева и справа от щели пока находится в состоянии покоя. На следующих двух рисунках (Ь, с) видны волновые процессы, происходящие в жидкости по мере ее исгечшия через отверстие. Последний рисунок (<1) соответствует момопу времени после закрытия щели.
(Ь)
(с)
(Ф
Рисунок 9 - По. 1 вектора скорости в различные моменты времени (ел» на-прано, сверху вниз)
На рисунке 10 приведено сравнение рассчитанных профилей поверхности жидкости с эксперимштальными данными работы [5]. Видно качественное соответствие, хотя количественно профили различаются >го связана видима с тем, что в расчетах использовалась простейшая линейная модель потенциальных течяшй «сжимаемой жидкости.
Рисунок 10 - Профиль свободной поверхности в расчетах (сплошная линия) и в эксперименте 'маркеры). 1=0,96 с. (слева); 1=1,6 с (справа)
Значительный интерес представляет исследование процесса, в котором при формировании трещины происходит осушение части дна. Это явление можно воспроизвести, увеличив глубину //, в два раза и сохранив неизмшной скорость формирования трещины. Две возникшие волны направляются по сухому дну навстречу друг другу, и после их взаимодействия начинает формироваться локальное возвышение над местом трещины (рис.11). После этого формируются две волны с крутыми передними фронтами, направление к противоположным границам области. Заметим, что при закрытии трешины не наблюдается возникнившия стоячих волн с отрицат гьнси амплитудой, как в случае беч закрытия трещины.
Рисунок 11 - Рельеф дна и свободная поверхность в условиях склепывающейся с осушением трещины: (а) - t = 0.1755, формирование глубоко! трещины; (Ь) - / = 0.1865, две встречные волны, движущиеся по сухому руслу; (с) - / = 0.335,
начало формирования локального возвыш иия;(<1)- / = 1.65, две волны с крутыми передними фронтами
Если закрытия трещины с площадкой в середиж не происходит, то можно наблюдать что в стороны границ области движутся по две ударные волны (см. рис. 12).
Рисунок 12-Рельефдна на бодная поверхность в условият к склепывающейся трещинм с плоской площадкой; (а) - / = 0.15, завершение формирования трещин1" (Ь) - / = 0.25^ , начало образования локального возвышения в зоне тещины; (с)
- Г = 0.485 , формирование вторичных волн с крутыми передними фронтами; (<1)
- / = 1.75, движение волновой структуры к границам расчетной области
Это связано с тем, что после образования трещины в результате стока воды возникают две . >лны, наиравляные к противоположным краям трещины. При проходе такой волны через крутой склон трещины происходит ее частичное отражшие в противоположном движению направлении. Все последующие, отражшные волны при таких начальных данных имеют очшь малшькую амплитуду и незаметны на рисунках. Заметим, что здесь для наглядности число узлов для сглаживания границ трещины было уменьшаю и равнялось 5 для каждой из границ. При этом длина трещины была «сколько
уменьшена до = 0,8 М .
И, накогец, нхколько вычислительных экспериментов были проведены с целью определю« числзшых эффектов, связанных с гладкостью рельефа дна в зоне трещииообразо-вания. ПреЖ; .е всего был рассмотри случай, когда тр< дана представляла ообси площадку,
опускающуюся мгневшяо (за один шаг по времаш) на глубину Нх = 0,1 м. Длина такой
площадки составляла Ц = 0.6 М (30 узлов расчетной сетки), причем вертикальные края трещины не сглаживались. При этом сначала поверхность воды полностью повторяет движшие дна (рис. 13а), затем происходит сток воды в трещину (Ь), после чего образуются две пары волн с крутыми передними фронтами, движущиеся к границам области (с). Через некоторое время происходит слияние этих волн и выход их за границы области (с1). Посла ггого свободная поверхность выходит на начальный уровшь и из-за недостаточной гладкости рельефа лна возникают осцилляции (е).
■л (0 (Ь) (с)
М>
Рисунок 13 - Рельеф дна и свободная поверхность в условиях ^ схлопы вьющейся трещины с плоской площадкой (без сглаживания): (а) - / = 0.035, мгновенно формирования трещины; (Ь)- / = 0.1255 сгок воды в трещину; (с)- / = 1.195 четыре
волны, движущиеся к границам области; (с1> - 7 = 1.915 , елнянн золн; (е) - / = 35, осцилляции на свободной поверхности при выходе на исходный уровень
Для тога чтобы уменьшить эти осцилляции достаточно выделить на зону сглаживания от 3-х до 5-ти узлов расчетной сетки. В последам случае амплитуда осцилляций становится близкой к нулю.
Литера"» ура
1. М. Ikea, Н. Satoh, U. Ulusoy, R. kimura, «Split sea and walls of water. Moses' phenomenon al the Izmit earthquake, Turkey», Proc. Japan Acad., 2002, Vol. 78, Ser. В., P.55-62.
2. Бабайлов B.B. Квалификационная работа бакалавра на тему «Численное моделирование движения оползня в рамках теории мелкой воды», НГ\, 2004.
3. Бабайлов В.В. «Сравнительный анализ ковечно-разностных алтоитмов для моделирования гладких и разрывных волн в рамках теории мелкой воды». МНСК, Новосибирск, 2004.
4. Бабайлов В.В. Квалификационная работа магистра на тему «Численное моделирование оползневого и стокового механизмов генерации волн цунами», ИГУ, 2006.
5. Левин Б.В., Коршев Ю.П., Королев П.Ю. Стоковый механизм образования цунами // Препринт, Южно-Сахалинск, ИМГиГ ДВО РАН, 2006, УДК 550.344.42+551.46.072,21 с.
6. Дамбиева Д.Б. Квалификационная работа бакалавра на тему «Чиоганое моделирование гае рации поверхностных волн при оттоке жидкости через стажу», НГУ, 2006.
Тушндеме
Сыныпта орындалатын тапсырмаларда кррастрылатын терец mynmi щяыпты втиеуге сэйкес жене крлыц тупте жарьиупыц пайда болу нэтижеа арцылы автоторпы epixmi бетшдегi тс к^ындардыц пайда болу механизмы зерттеу.
Resume
The class of the tasks is related to the investigation ofappearance of waves machine free surface and water area in result of break in the thickness of bottom and the following changing of the bottom rocks structure, that is considered in the given work.
