CC BY
13
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2018, том 61, №1_
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
УДК 624.042
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Д.Н.Низомов, И.К.Каландарбеков,
И.И.Каландарбеков
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕЙСМОИЗОЛИРОВАННЫХ ЗДАНИЙ
С СУХИМ ТРЕНИЕМ
Институт геологии, сейсмостойкого строительства и сейсмологии АН Республики Таджикистан
Разработаны алгоритмы и программы численного решения динамических задач с сухим трением на примере системы с одной степенью свободы при различных внешних воздействиях. Математическая модель реализована на тестовых примерах; полученные результаты сопоставлены с аналитическими решениями.
Ключевые слова: сила кулонов трения, мертвая зона, динамический коэффициент, приближенное решение, численное решение, тестовая задача.
Рассмотрим систему с одной степенью свободы, где наряду с вязким трением осциллятор испытывает также действия сухого трения (рис.1). Нелинейное дифференциальное уравнение движения осциллятора с сухим трением при кинематическом возмущении основания (рис.1,а) может быть записано в виде
тм? + с\у + км + / = —тг0^), (1)
здесь / = /0 • sgn(v) — сила кулонов трения, /0 = ^ • Q — максимальная сила трения покоя, Q = mg — вес тела, /и — коэффициент трения скольжения, V = м> — ¿0 — относительная скорость, И' — скорости движения массы, ¿0 — заданная скорость движения основания, ^и(у)-кусочно-постоянная функция, где точка V = 0 является точкой разрыва первого рода, так как пределы справа и слева от нуля равны +1 и -1 соответственно. Следовательно, нелинейное уравнение (1) можно записать в виде двух линейных уравнений:
тм + см + км = -гп20({)-у>0, (2)
тм + см + км = -т20({) + у<0, (3)
где первое уравнение описывает движения массы вправо, а второе - движения влево.
Адрес для корреспонденции: Низомов Джахонгир Низомович, Каландарбеков Имомёрбек Каландарбекович. 734029, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 267, Институт геологии, сейсмостойкого строительства и сейсмологии АН РТ. E-mail: tiees@mail.ru, nizomov-jn@mail.ru, kalandarbekov-55@mail.ru
Г0(/)+ W(t)
или
где
шшшшшт.
а) б) в)
Рис.1. Осциллятор с вязким и сухим трениями при различных воздействиях.
Дифференциальное уравнение свободных колебаний системы принимает следующий вид:
пт + си' + к\\> = ± / ,
м> + 2п ■ м> + со2 ■ м! = ±оУа .
(4)
~ П о k f k 2 /
n =-, g =—, со =—, -— = с a, a = —,
с
2да
с
да да k
/ k
^ - параметр затухания, ¿У—круговая частота свободных колебаний без учета затухания, а—граница мертвой зоны. Верхний знак, плюс, соответствует движению массы т справа налево (1&< 0) , нижний, минус, - движению слева направо (т&> 0) . В случае свободных колебаний без затухания с начальным смещением z0 (рис.1,б) после каждого полупериода произойдет уменьшение цикла на величину 2а и убывание амплитуд следует арифметической прогрессии [1].
Приближенное решение уравнения задачи о вынужденных колебаниях с сухим трением при действии возмущающей силы Р(^) = Р0&пШ (рис.1,в)
mw + c\v + kw + f = P(t), сводится к уравнению w = Asin(0t — а), где амплитуда выражается формулой [1]
P0 ф — (4/0/ жР0)2
(5)
A = ±^ ■k 1 — в2/со2
, где /0/P0 <ж/4.
(6)
Первый множитель в правой части (6) представляет статическое отклонение, а второй множитель -динамический коэффициент.
С целью численного решения динамических задач с сухим трением используем последовательную аппроксимацию искомой функции ), в результате которой получим рекуррентные фор-
мулы для скорости и ускорения, соответствующие моменту времени ti:
щ = А - w,-i )/г~ АЧ-1 - ФзЩ-i >
w, = aj (w, - wM )/т2- a2wM / т - ,.
(7)
(8)
где а-, /3- — коэффициенты аппроксимации [2], т — шаг интегрирования по времени. Внося (7) и (8) в (4), получим уравнение для определения wi:
агж = Л,и', , + с^ + с1л\\г , -//^• з8п(й'; ,). (9)
Здесь: а1 = а1 / т2 + 2С31 / т + с2, Ь1 = а1 / т2 + 2£,со3\ / т ,
с1 = а2 / т + 2<С32, dl = а3 + 2С3т.
Ниже предложенный алгоритм реализуется на тестовых примерах.
Пример 1. Исследование свободных колебаний системы с одной степенью свободы. Требуется определить границы «мертвой зоны» и построить график колебательного движения тела массой т = 1кг, находящегося на негладкой поверхности при следующих данных [3]:
к = 2 Н/см (200 кг/с2) , z0 = w0 = 7 см, | = 0.2, |0 = 0.24, £ = 0, /0 = |лmg = 0.2•Ь9.81 = 1.962кг• м/с2 (1.962Н),
со=4к!т = 14.14с-1, Т = 2п / с = 0.4443 с.
На рис.2 представлены результаты численного решения тестовой задачи при шаге интегрирования т = 0.005 с. Сравнение показывает, что результаты численного исследования по смещениям (кривая 1) достаточно хорошо согласуются с аналитическим решением [3]. Граница мертвой зоны определяется из равенства кк = |0mg, где |0mg — статическая сила трения,
к = |0mg/к = 0.24•Ъ9.81/200 = 1.18см. Тело, остановившись на расстоянии w3 = 1.12см (кривая
1) левее исходной точки, прекращает свое движение, так как w3 < к . Следовательно, пружина будет
сжата на величину 1.12 см.
8 -6 -4 -
о --2 -■4 --6 --3 --10 -
0 0,2 0,4 0,6 0,3
Время, с
Рис.2. Графики изменения смещения - 1, скорости - 2, ускорения - 3 и силы трения - 4.
Интересно отметить, что график ускорения (кривая 3) имеет скачкообразный характер изменения. Эти скачки соответствуют моментам времени, когда скорость движения изменяет свой знак (кривая 2). В этой точке производная от скорости Н'(/) претерпевает разрыв.
Пример 2. Затухающие колебания при постоянном трении. Предполагается, что в начальный момент масса т находится на расстоянии z0 правее от исходной точки и начинает движение без начальной скорости (рис.1,б). Аналитическое решение этой задачи при следующих данных:
z0 = 8 см; k = 1 кгс/см ; N = mg = 2 кгс ; ¡л = 0.15; ¡0 = 0.18;
приводится в [4], где число размахов 5, которые масса проделает до остановки, определяется из условия (а0 —И)/280 +1 >5 >(а0 —где 80 = N/k = 0.3см, к = /k = 0.36см,
а0 = 20 = 8 см. Следовательно, число размахов получается меньше 13.7 и больше 12.7. Размахи колебаний каждый раз уменьшаются на величину 2^0 = 0.6см и к концу 13-го колебания а13 = а0 — 2-13-0.3 = 0.2 см. Это значит, что груз, останавливаясь слева от исходной точки, входит в мертвую зону. В этом случае пружина будет сжата на 0.2 см и сила упругости = k - w = 0.2 кгс, а сила статического трения ^ = ¡л0N = 0.36 кгс. Частота и период колебаний будут равны:
с = Vk / т = 2.21с-1, Т = 2п / о = 2.84 с . Сила трения ( = л - N = 0.15 - 2 = 0.3 кгс (2.943 Н).
Результаты численного решения второй тестовой задачи, полученные при т = 0.03 с и ^ = 0, представлены на рис.3, где число размахов и амплитуды колебаний практически совпадают с аналитическим решением. Например, из аналитического решения следует, что ах = а0 — 2^0 = 7.4см,
а2 = а0 — 430 = 6.8 и а10 = а0 — 2 -10 - 30 = 0,2 см, а численное решение дает следующие результаты: ах = 7.396 см, а2 = 6.798 см и а10 = 2.018 см (рис.3, кривая 1). Период колебаний системы по численному расчету получается равным 2.83 с, что на 0.35% отличается от аналитического решения. 8 6 4
)
2 0 -2 -4 -6 -8
0 3 6 9 12 15 18
Время, с
Рис.3. Графики изменения смещения - 1, ускорения - 2, и силы трения - 3.
Скачки на графике ускорения (кривая 2) менее заметны, чем в первом примере. По-видимому, это объясняется тем, что здесь система является менее жесткая.
Пример 3. Сухое трение при действии вибрационной нагрузки. Рассмотрим систему с одной степенью свободы, где на тело массой m в его исходном положении (z0 = 0) действует гармоническая нагрузка PsinOt, где P = 1кгс (рис.1,в). Используем исходные данные примера 2, где к = 1 кгс/см ; N = mg = 2 кгс ; / = 0.15; /0 = 0.18; о = 2.21с-1; T = 2.84с. Уравнение для определения wi, аналогичное (9), приобретает вид
я,И', = А,И'; , + + d^ír , -jUg■ Sgndi- ,) + Psm0ti. (10)
Представленные на рис.4 результаты численного решения показывают, что с увеличением частоты динамической нагрузки от 0.1о до О, при постоянном значении коэффициента трения / = 0.15 и без учета вязкого затухания амплитуды колебаний уменьшаются. При O = О и / — 0.05 наблюдается резонансный режим, где неуклонно возрастают амплитуды колебаний. С увеличением коэффициента трения амплитуды колебаний уменьшаются.
•Ряд1
-Ряд2
РядЗ
•Ряд4
0,8
5 0,6
и
•к 01 0,4
S
X 01 0,2
Í
01 П
i
OI а. ■0,2
OI
с ■0,4
-0,6
в = X Ico и =0,15
е _ г - 0, 0
=о,; 15 а Iе = 1,0 О)
0,5б >
0 3 6 9 12 15 13 21 24 27 ВО 33 36
Время, С
Рис.4. Вынужденные колебания системы при / = 0.15 и различных значениях частоты
вибрационной нагрузки.
Пример 4. Кинематическое возмущение с учетом сухого трения. Уравнение движения системы при кинематическом возмущении основания (рис.1,а) с учетом вязкого трения представляется в виде
m(z0 + w) + fiy) + kw + сй> = 0,
(11)
м> + ^ V) + оУ\\> + 2^со\\> = —гп (?).
В качестве примера рассмотрим модель здания, которая представляется в виде системы с одной степенью свободы при следующих данных:
k = 0.3360• 104 тс/м; m = 40/9.81 = 4.077 тс2/м ; со=у[к7ш = 28.71с-1; T = 2я / о = 0.2189 с; £ = 0.05;
= 0.0Ып6>/.
Результаты численного решения (11) с шагом интегрирования т = 0.01с представлены на рис.5. Эти данные получены при О = о и соответствуют резонансному режиму.
W, м
Рис.5. Колебания модели при кинематическом возмущении основания.
Видно, что с увеличением коэффициента трения /и резонансные амплитуды колебания массы объекта уменьшаются. Такая же картина наблюдается в изменении относительного ускорения объекта в резонансном режиме.
На основе проведенных исследований можно сделать вывод, что разработанная математическая модель и компьютерные программы позволяют исследовать влияние силы сухого трения на динамическое поведение объекта. Достоверность результатов подтверждается хорошим совпадением результатов численного моделирования с результатами аналитических решений, а также сходимостью решений. Разработанная методика может быть использована для решения задач со многими степенями свободы.
Поступило 14.09.2017 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. - М.: Физматгиз,1959, 439 с.
2. Низомов Д.Н., Каландарбеков И. Метод сосредоточенных деформаций. - Душанбе: Дониш, 2015, 436 с.
3. Яблонский А.А., Норейко С.С. Курс теории колебаний. - М.: Высшая школа, 1975, 248 с.
4. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Ч. 1. - М.: Наука, 1972, 467 с.
Ч,.Н.Низомов, И.К.Каландарбеков, И.И.Каландарбеков МОДЕЛКУНОНИИ АДАДИИ БИНО^ОИ ^УДОКУНАК^ОИ СЕЙСМИКИ
ДОШТА БО СОИШИ ХУШК
Институти геология, сохтмони ба заминчунбй тобовар ва сейсмологияи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Алгоритм ва барномаи далли ададии масъаладои динамикй бо соиши хушк бо истифода аз намунаи система бо як дарачаи озод дар зери таъсири куввадои дархелаи беруна тадия шуда-анд. Модели математикй дар мисолдои тестй амалй карда шудааст; натичадои ба даст оварда-шуда бо далли аналитикй мукоиса карда шудааст.
Калима^ои калидй: цувваи соиши кулон, минтацаи мурда, зариби динамики, уалли тахмини, уалли адади, масъаладои тести.
J.N.Nizomov, I.K.Kalandarbekov, I.I.Kalandarbekov
NUMERICAL SIMULATION OF SEISMIC-ISOLATED BUILDINGS
WITH DRY FRICTION
Institute of Geology, Earthquake Engineering and Seismology, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
Algorithms and programs for the numerical solution of dynamic problems with dry friction have been developed using the example of a system with one degree of freedom under various external influences. The mathematical model is implemented on test examples; the obtained results are compared with analytical solutions.
Key words: friction force of coulombs, dead zone, dynamic coefficient, approximate solution, numerical solution, test problem.
