Численное моделирование резонансных режимов сложных полуограниченных структур Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ РЕЖИМОВ СЛОЖНЫХ ПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ

СТРУКТУР

© 2009 г. Н.М. Селезнев*, О.В. Шиляева**, Ву Тхи Бик Куен**

*ООО «Руда-Экспресс» *LTD «RUDA-Express»

**Ростовский государственный **Rostovskiy State

строительный университет Building University

Предложен метод расчета частотных характеристик динамического напряженно-деформированного состояния полуограниченных слоистых структур с неоднородностями на основе использования метода конечных элементов и методов гармонического анализа. Тестирование метода при решении задачи для однородного полупространства показало его достоверность. Приведены результаты расчета частотных характеристик для более сложных структур.

Ключевые слова: амплитудно-частотная характеристика (АЧХ); амплитудно-временная характеристика (АВХ); метод конечных элементов; слоистое полупространство; преобразование Фурье.

The method of calculation of frequency characteristics of the dynamic intense-deformed condition of the half-limited layered structures with heterogeneities on the basis of use of a Finite element Method and methods of the harmonious analysis is offered. Method testing at the decision of a problem for homogeneous half-space has shown its reliability. Results of calculation offrequency characteristics for more difficult structures are presented.

Keywords: amplitude-frequency characteristic; amplitude-time characteristic; finite element method; layered half-space; Fourier transform.

Разработка математических моделей, описывающих процессы динамического нагружения полуограниченных структур (геофизические приложения), деталей и элементов конструкций большой протяженности (дорожные конструкции), позволяет получить информацию о характеристиках напряженно-деформированного состояния системы.

Одной из важнейших для всех практических приложений является резонансная характеристика объекта (амплитудно-частотная характеристика колебаний его элемента или заданной точки).

При использовании аналитических методов решение нестационарных задач теории упругости, как правило, существенно более трудоемко и сложно, чем решение задач для режима установившихся гармонических колебаний. По этой причине для расчета амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) и выявления резонансных режимов в основном используется решение гармонических задач, в котором изменяемым параметром является частота колебаний. Объем вычислений при использовании подобного подхода достаточно велик и определяется диапазоном частот и шагом дискретизации. При исследовании достаточно сложных систем и структур, для которых использование аналитических методов малоэффективно или невозможно, реализуются численные методы. Наи-

большее распространение в настоящее время получили программные комплексы, реализующие метод конечных элементов (МКЭ) и широко используемые в различных технических приложениях. Их применение позволяет эффективно исследовать характеристики НДС ограниченных структур при различных типах воздействия, в том числе нестационарном. В то же время возникают технические и принципиальные сложности при исследовании режима установившихся моногармонических колебаний полуограниченных структур (слоя, полупространства или слоистого полупространства) и возможных конечно-резонансных эффектов. Это связано с необходимостью замены неограниченной структуры (или структуры большой протяженности) по некоторым направлениям на ограниченный представительский объем, что определяет появление «паразитных» резонансных эффектов. Введение по периметру представительского объема демпфирующих поясов позволяет несколько снизить выраженность указанного эффекта, но не исключить его полностью.

При исследовании воздействия на систему кратковременных нестационарных усилий в результате конечно-элементного моделирования можно в каждой точке структуры выделить пакет прямых волн, распространяющихся от источника колебаний на перифе-

рию, и волны, отраженные от фиктивной границы представительского объема. Для получения по амплитудно-временной характеристике (АВХ) соответствующей АЧХ можно использовать методы гармонического анализа, аналогично тому, как это делается при обработке данных экспериментальных исследований [1, 2]. Для этого необходимо на графике АВХ выделить временной интервал, в котором наблюдаются только волны, распространяющиеся от источника колебаний на периферию, для чего можно использовать, например, фильтр Баттерворда [2].

Известно, что АЧХ собственных колебаний системы можно получить на основе решения нестационарной задачи следующим образом. Строится решение задачи для соответствующей системы при нестационарном воздействии, определяемым во времени функцией 5(/ - В результате применения к решению подобной задачи преобразования Фурье по времени получаем собственную АЧХ колебаний данной точки системы. В связи с этим для определения частотных характеристик слоистых полуограниченных (или большой протяженности) структур, в том числе с неоднородностями различного типа, предлагается использовать следующий подход, включающий два этапа.

На первом этапе для ограниченного представительского объема разрабатывается расчетная МКЭ модель при нестационарном воздействии Р((), моделирующем 5-импульс. При численном расчете используем в качестве такой функции, аппроксимирующей Ъ^ - [3],

P(t) =S+ (t -10, m ) =

0, t g

m 2

to , ,to +

m 2

t - to + —

m << 1.

m

m

t - to - Ц

Следует отметить, что получаемая частотная характеристика соответствует собственной только в диапазоне частот, для которого АЧХ функции P(t) по модулю близка к единице (спектр Ъ^ - постоянен во всем частотном диапазоне и равен единице).

Для проверки корректности предлагаемого подхода и оценки диапазона его применимости рассмотрим осесимметричную задачу о воздействии на поверхность полупространства у<0 с параметрами р, Ур, Ув (соответственно плотность и скорости распространения продольных и поперечных волн в среде) импульса давления P(t): t0=0,1 с, т=0,001 с, приложенного в начале координат. В результате расчета амплитуд смещения поверхности однородного полупространства в точке поверхности (х0,0), х0<1, I - расстояние от точки воздействия до фиктивной границы представительского объема, выделенного из полуплоскости МКЭ, получаем, что расчетная зависимость амплитуды вертикального смещения и(()=и() от времени имеет вид, представленный на рис. 1.

U(t) х 1 02 1

-2

-4 -

-6 -

-8

Отраженные волны

0,16 0,32

0,48

0,64

0,80

t, с

В результате реализации расчета получаем зависимость амплитуды от времени (АВХ), на которой всегда можно выделить для заданной точки наблюдения интервал времени, в котором отсутствуют волны, отраженные от фиктивной части границы представительского объема.

На втором этапе проводится выделение части АВХ с последующим получением соответствующей частотной характеристики путем применения к полученному фрагменту АВХ преобразования Фурье по времени. Подобный подход часто применяется при обработке результатов экспериментальных исследований после выделения ограниченного фрагмента АВХ (фильтрации - умножения АВХ на функцию фильтра, непрерывно обращающуюся в ноль на концах интервала и равную единице на остальной части) по времени (вырезка) или частоте [1, 2].

Рис. 1. Расчетная зависимость амплитуды вертикального смещения П({) = и() от времени

На графике выделен пакет волн, приходящих в точку наблюдения от фиктивной границы представительского объема. Применив к полученной АВХ Ц(() преобразование Фурье по времени, получим

U(ro)=JU (t)exp(-/'rot)dt, ю = 2л/.

Для значений Т = 0,4 с (на графике помечена пунктиром) и Т = 0,95 с, получаем две АЧХ (рис. 2).

Первая АЧХ с точностью до погрешности вычислений совпадает с АЧХ, полученной для однородного полупространства на основе расчета по интегральному представлению решения [4, 5]. На второй частотной характеристике наблюдаются «паразитные резонансы» в низкочастотной области, обусловленные наличием отраженной от фиктивной границы волны.

м

0

2

0

2

m

2

Проведение расчета по предложенному алгоритму для трехслойного полупространства в осесимметрич-ной постановке дает аналогичные результаты. В качестве примеров на рис. 3 представлена АЧХ трехслойного полупространства нормальной структуры (скорости распространения волн в слоях увеличиваются в два раза от слоя к слою с глубиной ^=300 м/с, V* = 2V¡a = 4^).

I х10-9, м

2,5

2,0 1,5 1,0 0,5 0

Полученные результаты подтверждают правомерность использования изложенного подхода для определения частотных характеристик колебаний сложных полуограниченных структур на основе расчета АВХ в требуемой точке области по МКЭ с учетом отмеченных ограничений.

В качестве примера, иллюстрирующего предложенный подход, рассмотрим задачу расчета АЧХ поверхности слоистой структуры, представляющей собой два полуслоя, жестко сцепленных между собой и с подстилающим полупространством в плоской постановке (рис. 4).

Pe"

50 100

250 300 f Гц

Рис. 2. Амплитудно-частотные характеристики для Т = 0,4 с (пунктир) и Т = 0,95 с

I х10-1 0, м 15 Г

100

200

300

400

f, Гц

Рис. 3. Амплитудно-частотная характеристика точки поверхности трехслойного полупространства

Здесь следует отметить, что изложенный алгоритм построения АЧХ по АВХ имеет естественные ограничения по частотному диапазону. Эти ограничения определены двумя факторами. Первый связан с ограниченностью интервала времени Т на фрагменте АВХ, по которому строится АЧХ и который определяет ограничение АЧХ в низкочастотном диапазоне: f > 1/Т. Второй фактор определяет ограничение частотного диапазона сверху за счет:

1) ограниченности со стороны высоких частот линейной части частотного спектра функции Р(() (рис. 1) (максимальные частоты, для которых получаем достоверные результаты, тем меньше, чем больше величина параметра т);

2) при конечно-элементном моделировании максимальный линейный поперечный размер конечного элемента А определяет ограниченность корректного учета частот сверху (на длину продольных волн ХР^//<8А).

Рис. 4. Сечение структуры склона, усилия, генерирующие колебания. Точка наблюдения расположена в начале координат

Геометрические и механические характеристики структуры соответствуют трехслойному полупространству, для которого приведен результат расчета АЧХ на рис. 2. Как показывают расчеты, наличие торцевой поверхности полуслоев в этом случае определяет появление отраженных от него поверхностных волн, которые относительно слабо убывают в ближней зоне и имеют постоянную амплитуду на большом удалении. Наличие отраженных волн определяет возмущения АЧХ - колебаний точек структуры. Пример расчета АЧХ для точки поверхности, расположенной между источником колебаний и торцевой поверхностью верхнего полуслоя, приведен на рис. 5.

\Uy I х10-10, м 15

f, Гц

Рис. 5. Амплитудно-частотная характеристика точки верхнего полуслоя структуры

На графике видно существенное изменение АЧХ за счет взаимодействия прямого поля поверхностных волн источника и волн, отраженных от торцевой по-

0

верхности. Следует отметить, что интенсивность отраженных волн в существенной степени определяется толщинами верхних слоев структуры, контрастностью их жесткостей и средним углом наклона торцов. При повышении контрастности жесткостей наблюдается увеличение амплитуд колебаний в окрестности верхней границы поверхностного слоя.

Литература

1. Илиополов С.К., Селезнев М.Г., Углова Е.В. Динамика дорожных конструкций. Ростов н/Д., 2002. 206 с.

Поступила в редакцию

2. Рудаков П.И., Сафонов И.В. Обработка сигналов и изо-

бражений. МАТЬАВ 5.x. М., 2000. 416 с.

3. Корн Г., Корн Т. Справочник по высшей математике для научных работников и инженеров. М., 1970. 720 с.

4. Методика и результаты расчетов волнового поля вблизи вибрационного источника, распределенного на поверхности однородного полупространства / М.Г. Селезнев, В.В. Калинчук, Н.В. Глушкова [и др.] // Вопросы возбуждения волн вибрационными источниками. Новосибирск, 1976. С. 65-86.

5. СелезневМ.Г., Золотарев А.А. Осесимметричная задача возбуждения волн в двухслойном полупространстве // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки, 1976. № 4. С. 102.

17 марта 2009 г.

Селезнев Николай Михайлович - канд. техн. наук, директор ООО «Руда-Экспрес». Тел.: (8-863)266-70-60.

Шиляева Ольга Викторовна - ассистент, младший научный сотрудник, кафедра информационных систем в строительстве, Ростовский государственный строительный университет. Тел.: (8-863) 227-75-62. E-mail: Lejla-25@mail.ru

Ву Тхи Бик Куен - аспирант, Ростовский государственный строительный университет.

Seleznev Nickolay Michailovich - Candidate of Technical Sciences, director of LTD «RUDA-Express».

Shilyaeva Olga Victorovna - assistant, junior scientist, department of informative systems in building operations, Rostov State Building University. Ph: 8-863-227-75-62. E-mail: Lejla-25@mail.ru

Vu Tkhi Bik Kuen - post-graduate student, Rostov State Building University.