Научная статья на тему 'Численное моделирование процессов распространения и дифракции упругих стационарных волн на трехмерном включении'

Численное моделирование процессов распространения и дифракции упругих стационарных волн на трехмерном включении Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
38
7
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Ершов Н. Е., Илларионова Л. В.

Бул жумыста біртекті ортада стационарлық тыгыз толқын дифракциясының кеңістіктегі таралуының сандық шешімін қарастырады.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Ершов Н. Е., Илларионова Л. В.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The work considers numerical solution of the three-dimensional problem diffraction of stationary elastic waves uniform medium with elastic closing.

Текст научной работы на тему «Численное моделирование процессов распространения и дифракции упругих стационарных волн на трехмерном включении»

УДК 519.6

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ РАСПРОСТРАНЕНИЯ И ДИФРАКЦИИ УПРУГИХ СТАЦИОНАРНЫХ ВОЛН НА ТРЕХМЕРНОМ ВКЛЮЧЕНИИ

Н.Е. Ершов, Л.В. Илларионова

Хабаровск, Вычислительный центр ДВО РАН

Задача имеет важное значение для многих областей науки и практики. Она характериз)ется наличием разрывов у параметров сред, их зависимостью от трех пространств ашых перемашых и нэобходимостью учета условий на бескодачности.

При помощи потшци алов простого слоя задача сводится к системе из двух векторных интегральных уравжний по границе включения для о предел» ия неизвестных внутренних и внешних плотностей вспомогательных источников упругих волн Её решением является векторная функция.

Для сведения СИУ к СЛАУ используется разбиение единицы на поверхности включения, подчиненное ее покрытию системой стандартных окрестностей узловых точек, что позволяет обойтись без предварительной триангуляции поверхности. В случае интегралов с особенностями в ядрах применяется метод сглаживания их с помощью функции ошибок [1-3]. Рассматриваемый подход ранее применялся в работах [1-3], он позволяет численно решать СИУ по поверхностям достаточно произвольной формы. Для повышшия точности вычисления диагональных элементов системы используется интеграл Гаусса [4].

Коэффициаггы СЛАУ представляется простыми математическими выражениями, поэтому, как показали числзшые эксперименты, приближенное решение задачи с приемлемой точностью находится без значительных затрат времени ЭВМ.

Метод протестирован при помощи внутренних и вжшних краевых задач теории упругости, а также задачи дифракции с фиктивной границей.

В работе изложены результаты численных экспериментов, характеризующие возможности метода.

Постановка задачи

Рассмотрим стационарную пространствжную задачу дифракции теории упругости в однородной безграничной среде с включением £1 с параметрами Ламе и плотностями X.., ц(, рР и Хе, це, ре, соответственно

Кг)Аи,(е) + (Х.(е) + Ц,.(е)МУи,.(е)) + сй2р({г)и1(е) =0, х е П,(е), (1) и, = ие+и0, 7;(л)и,. = Ге(п)(ие+и0), (2)

где

О» = 2ц,м £ + Х,е)п(Уи) + ^)У(Уи).

Уравнения (1) - однородные уравнения упругих колебаний в областях £2 , соотношения (2) - условия жесткого контакта на границе раздела сред.

Здесь й( и Ц - внутренняя и внешняя области пространства Л3, разделенные замкнутой поверхностью 5 класса Гельдера Сг+Р, п(дг) - внешняя нормаль к 5; со

- круговая частота колебаний, х=(х\ х\ *3); Д = V2 = (д/дх\д/дх2,д/дхзу, и,, и,

- комплексные амплитуды поля смещений проходящих и рассеянных упругих волн в £1 и ^ и, - заданная комплексная амплитуда поля смещений упругих волн в Ое;

и, удовлетворяет на бесконечности условиям излучения ди,,/Э|х|-=о(|хр'^

^ег/^М ~~ = ® ^ М—► которое заключается в требовании

отсутствия волн, приходящих из бескоагчности (кще^ — р,-(е)С02 (^>це) + 2[1)(г) ^ ,

4(в)=р.(о(°2^11(в)).

Решение задачи

Введем следующие интегральные операторы

(4<.Ам >*) = ¡ГX Е П,(е).

I

Решение задачи (1)-(2) будем искать в виде потащиалов простого слоя

хбП,.(е). (3)

Здесь = (^.(е)р^)(е)2,^.(е)3)-неизвестные поверхностные плотности вспомогательных источников; Г|(е) - матрица фундаментальных решений уравнений (1), = + ^Г ]-^-•

<*«<«> = 82(/(2яц,г)) = (-1)'/(2ясо2р1(.))

|х-у1 = [¿К*4 -/У]"2" символ Крошкера.

Выражения (3) удовлетворяют уравнениям (1) и условиям излучения на бесконечности.

Перейдем в (3) к пределам при 5 и подставим их в соответствующие условия сопряжения (2), получим систему интегральных уравнений:

и0> (4)

1/2$, + В& +1/25." ВЛе = П(Ч> * е *

где

= №«ЛиО*»,. х 6 "'<«»•

В результате исходная задача сводится к системе трех интегральных уравнений Фредгольма первого рода со слабыми особенностями в ядрах и трех сингулярных интегральных уравюшй относительно шести неизвестных координат вектор-функций и на поверхности включения 5.

В работе [1] доказана корректная разрешимость полученной системы интегральных уравнений в гельдеровских функциональных пространствах и ее эквивалентность исходной задаче.

Численное решение задачи

Численное решение СИУ рассмотрим на примере одного интегрального уравнения. Пусть уравнение имеет вид

а(х)у(х) + \к{х,у)у,{у)(18у = /(*), * € 5, (5)

где а, К,/- известные функции; v- неизвестная плотность; ядро может быть пред-ставлшо в виде суммы К=К0 + К{;К1- гладкая на поверхности 5 функция; К0 - выражение

с особашостью, которое может иметь вид |х - у|~', д|*_у\ ^ I*_-Н ^ Iх__

к, I, т =[1,2,3]- дхк ' дхкдхт 'дх'дхкдхт'

Построим {З",}^- покрытие 5 системой окрестностей узловых точек х1 е5,

= е 5": |х - х, | < и пусть {ф, - множество функций, образующих разбиение единицы на Б, подчиненное этому покрытию

зиррф.с^, 0<ф^ < 1, £4=1Ф*(*) = 1 VxeS.

В качестве ф. будем использовать удобные для вычислений функции

о, хеБг

Здесь 0 < И' <|х, -х\, / *< (2л)1/2 ст( < А, < й- Чь' ^ Я0 <«•и] = 1,2,. |',Л-положительные числа, зависящие от N. <?0 ж зависит от Ы,

или

Неизвестную функцию V на 5 будем искать в виде Ку)а ОО^. гДе vi - компоненты неизвестного вектора „* = (н,,н2,...,н„)- Тогда уравнение (6) аппроксимируется системой линейных алгебраических уравнений

Здесь

'»"У**'¿ЬУЩхуГ ¿хУуАь

щ = ¿окр/Ю, Кд = *,(*„*,), / =

ВД = (ят?У' ехр[-(*-*,)У], хе Я\

Интегралы вычисляются аналитически, при этом используются соотношения [2-3]:

¥,<*)*(*)& - = О,

где ¿(х) - любая интегрируемая в Л3 и непрерывная в окрестности узловой точки х.

функция, О — | ^ - функции вида К0(ху).

Тогда

(6)

1=11 ^ \х ~ =2" * С2*1+# - Ь ],

/, =д21/дх1дхт =1/2етГ(уи)А0/ги х

|Ч» + (*? --*7)1Г2 X (3 + И1)]' *.»» = !'2'3' А=ВД^ОО/1* - ^=^ ад/^ №. ^>/1* - ^=(у, х< - X2 - * ^, л=1,2,3,

Л3 Л'

-Ж-^Ж'+ЪР «У

/, к, т = 1,2,3-

где

-1

4 = + ^ Уй. = у-;/(-2у1 + Зц„ )

При / = у значения интегралов (6) находятся предельным переходом х1 х> ■

А=45ы/(з^т„) /2 = 2/(^Тй) /3 = /4=0. (7)

Аналогично для аппроксимации системы интегральных уравнений (4) ядра интегралов представляются в виде суммы двух слагаемых, одно их которых содержит особшность при совпадении аргументов, а другое гладкое. Слагаемые с особенностями вычисляются по формулам (6)-(7).

Используя функцию конечного разбиения единицы на границе включения, связанную с системой точек дискретизации поверхности вюночшия, и осреднение ядер с особенностями посредством функции ошибок перейдем к системе линейных алгебраических уравнений (8).

X

Ф,

/ = 1,2,3, / = 1,2,...,М

Здесь при г = у ядра имеют вид

ГХ), = 2"1 ^егГ (у,)/^, )- 2-упе)^(у0)А0/Ги х

+(х/" - *;)(*; - у:2 (з+ла?)] }+ г

та*=^(О^^су,)^2 {-[5<хл,+"ГМ - *5)/*]Х

х (1 + /*, У п\(*,' - хЧ)/гд (1 + Р4,е)Ц,/Я, )-

+(*; - дс;.)(х; - дс;)п;(5+т£(<)(*„*у).

При ; * у выражения для и можно замшить соотношениями [4]

г*» = А/;'+м1« - *;х*: - +г*^*,,*,)

(8)

Т" —.

чш

2я(Х„„ + 2 ц„

"■Не) '

3 (х'-х')

Гладкие части ядер Г£(с), Т£(г) равны следующим выражениям

1=1

- 2 1 ^

ас"

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где

г = \х-у\, Ет = (ехр(г;1{е))-\)/г, г'и(е) = 1ки(е)г, ^(е) = [(1 - ГЙ(е))еХР(ГЙ(«)) ~ 2-Ч/((е)2Г2]г-3,

/1 =(2я)-', Р2((#) = ЪКЛК.) + 2ц1(е)) = 2 (*/(«) + + Ц,(.))> Л«.) = 2Ц«>/+

При I =_/' ядра равны следующим соотношениями

Г'" =— ст 4л '

Т<р =0

Такой подход достаточно просто реализуется как на регулярных, так и на не регулярных сетках и позволяет отыскивать приближенное решение с необходимой точностью при небольшом количестве точек дискретизации.

Для повышения точности вычисления коэффициентов системы (8) при / = у, / = 1,2,. которые по модулю больше остальных, и получения приближенного решения системы (4) с меньшей погрешностью применяются следующие тождества, полученные с помощью теоремы Гаусса [45]:

где

-[п"(у)(х'-у')-п\у){хР-уР)\}, р, / = 1,2,3,

= ^¡(О/(Ц») + = + М-|(е))/М-^(0 •

При этом последние интегралы в правых частях равенства (9) аппроксимируются выражениями

У*'

-[%(*;-*;)--*;>]} /=1,2,3,

где

Для вычисления коэффициентов системы (8) численно интегрировались выражения

для ф ф Система алгебраических уравнений решалась численно методом исключали Гаусса с выбором ведущего элемента в строке.

Приближенное решаше задачи (1)-(2) в любых точках областей О, и Пе найдем, заменяя интегралы (3) выражениями

>=1 т=1

Здесь

>

[л. + (ХР - ХЛХ» - *«,>72 (3 + 4М)]} Р>т = 1.2,3,

>

где

• ¡

Аппроксимация интегральных уравнений на «звездной» поверхности и вычисление

интегралов J . ф . проводились аналогично работам [2,3]. Численные эксперименты

Рассматривается задача дифракции упругих волн в однородном пространстве с включением.

Координаты точек поверхности S включения определяются через координаты эллипсоида по формуле

(хх, хг, х3) = /?(0)(я, cos ф sin 6, а2 sin (psin 9, а3 cos 8),

где 0<9<Я, 0<Ф< 2 я, центр эллипсоида в точке (0,0,-1) его и полуоси равны (0.75,1,0.5), "

Л(0) = -0.5[cos 20 + (1.1 - sin2 20)1/2],/2 +1.25

На рисунке 1 изображена поверхность S.

Рисунок 1- Поверхность включения S

Источник упругих волн - плоская волна вида и0 = (и'0 (х), (х), иъ0 (х)), где

ио(х)= —21 ехр(2/х3), «о(дс) = 2/ехр(2/д:3) и03(х) = /ехр(й3).

Параметры включения и среды имеют значения: А., = 10, (I, = 1, р, = 4,

К = 2, Це = 1, р, = 4.

Количество точек дискретизации N - 458.

На рисунке 2, 3 и 4 изображены линии уровня и проективная поверхность модулей

Рисунок 2- Проективная поверхность и линии уровня функции и)

Рисунок 3 - Проективная поверхность и линии уровня функции |ы,2|

Рисунок 4

- Проективная поверхность и линии уровня функции |иг]|

Литература

1. Смагии С И. Интегральные уравнения задач дифракции. Владивосток: Дальнаука, 1995.

2. Ершов Н.Е., Смагин С.И. Приближенное решение пространственных задач акустики и упругости методом потенциалов // В сборнике «Математические модели, методы и приложения».-Хабаровск: XI НУ, 2002. с. 45 - 115.

3. Ершов Н Е., Смагин С.И. Решение пространственных задач акустики и упругости методом потенциалов // Дифференциальные уравнения. 1993. Т.29. №9. с.1517-1525.

4. Купрадзе В.Д., Гегелия Г.Т., Башелейшвили М.О. и др. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости.М.:Наука, 1976

Тушндеме

Бул жумыста ôipmexmi ортада стационарлык, тыгыз толцын дифракциясыныц KeqicmiKmezi таралуыныц сандык; uiemiMiH кррастырады.

Resume

The work considers numerical solution of the three-dimensional problem diffraction of stationary elastic waves uniform medium with elastic closing.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.