CC BY
6
УДК 519.6
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ РАСПРОСТРАНЕНИЯ И ДИФРАКЦИИ УПРУГИХ СТАЦИОНАРНЫХ ВОЛН НА ТРЕХМЕРНОМ ВКЛЮЧЕНИИ
Н.Е. Ершов, Л.В. Илларионова
Хабаровск, Вычислительный центр ДВО РАН
Задача имеет важное значение для многих областей науки и практики. Она характериз)ется наличием разрывов у параметров сред, их зависимостью от трех пространств ашых перемашых и нэобходимостью учета условий на бескодачности.
При помощи потшци алов простого слоя задача сводится к системе из двух векторных интегральных уравжний по границе включения для о предел» ия неизвестных внутренних и внешних плотностей вспомогательных источников упругих волн Её решением является векторная функция.
Для сведения СИУ к СЛАУ используется разбиение единицы на поверхности включения, подчиненное ее покрытию системой стандартных окрестностей узловых точек, что позволяет обойтись без предварительной триангуляции поверхности. В случае интегралов с особенностями в ядрах применяется метод сглаживания их с помощью функции ошибок [1-3]. Рассматриваемый подход ранее применялся в работах [1-3], он позволяет численно решать СИУ по поверхностям достаточно произвольной формы. Для повышшия точности вычисления диагональных элементов системы используется интеграл Гаусса [4].
Коэффициаггы СЛАУ представляется простыми математическими выражениями, поэтому, как показали числзшые эксперименты, приближенное решение задачи с приемлемой точностью находится без значительных затрат времени ЭВМ.
Метод протестирован при помощи внутренних и вжшних краевых задач теории упругости, а также задачи дифракции с фиктивной границей.
В работе изложены результаты численных экспериментов, характеризующие возможности метода.
Постановка задачи
Рассмотрим стационарную пространствжную задачу дифракции теории упругости в однородной безграничной среде с включением £1 с параметрами Ламе и плотностями X.., ц(, рР и Хе, це, ре, соответственно
Кг)Аи,(е) + (Х.(е) + Ц,.(е)МУи,.(е)) + сй2р({г)и1(е) =0, х е П,(е), (1) и, = ие+и0, 7;(л)и,. = Ге(п)(ие+и0), (2)
где
О» = 2ц,м £ + Х,е)п(Уи) + ^)У(Уи).
Уравнения (1) - однородные уравнения упругих колебаний в областях £2 , соотношения (2) - условия жесткого контакта на границе раздела сред.
Здесь й( и Ц - внутренняя и внешняя области пространства Л3, разделенные замкнутой поверхностью 5 класса Гельдера Сг+Р, п(дг) - внешняя нормаль к 5; со
- круговая частота колебаний, х=(х\ х\ *3); Д = V2 = (д/дх\д/дх2,д/дхзу, и,, и,
- комплексные амплитуды поля смещений проходящих и рассеянных упругих волн в £1 и ^ и, - заданная комплексная амплитуда поля смещений упругих волн в Ое;
и, удовлетворяет на бесконечности условиям излучения ди,,/Э|х|-=о(|хр'^
^ег/^М ~~ = ® ^ М—► которое заключается в требовании
отсутствия волн, приходящих из бескоагчности (кще^ — р,-(е)С02 (^>це) + 2[1)(г) ^ ,
4(в)=р.(о(°2^11(в)).
Решение задачи
Введем следующие интегральные операторы
(4<.Ам >*) = ¡ГX Е П,(е).
I
Решение задачи (1)-(2) будем искать в виде потащиалов простого слоя
хбП,.(е). (3)
Здесь = (^.(е)р^)(е)2,^.(е)3)-неизвестные поверхностные плотности вспомогательных источников; Г|(е) - матрица фундаментальных решений уравнений (1), = + ^Г ]-^-•
<*«<«> = 82(/(2яц,г)) = (-1)'/(2ясо2р1(.))
|х-у1 = [¿К*4 -/У]"2" символ Крошкера.
Выражения (3) удовлетворяют уравнениям (1) и условиям излучения на бесконечности.
Перейдем в (3) к пределам при 5 и подставим их в соответствующие условия сопряжения (2), получим систему интегральных уравнений:
и0> (4)
1/2$, + В& +1/25." ВЛе = П(Ч> * е *
где
= №«ЛиО*»,. х 6 "'<«»•
В результате исходная задача сводится к системе трех интегральных уравнений Фредгольма первого рода со слабыми особенностями в ядрах и трех сингулярных интегральных уравюшй относительно шести неизвестных координат вектор-функций и на поверхности включения 5.
В работе [1] доказана корректная разрешимость полученной системы интегральных уравнений в гельдеровских функциональных пространствах и ее эквивалентность исходной задаче.
Численное решение задачи
Численное решение СИУ рассмотрим на примере одного интегрального уравнения. Пусть уравнение имеет вид
а(х)у(х) + \к{х,у)у,{у)(18у = /(*), * € 5, (5)
где а, К,/- известные функции; v- неизвестная плотность; ядро может быть пред-ставлшо в виде суммы К=К0 + К{;К1- гладкая на поверхности 5 функция; К0 - выражение
с особашостью, которое может иметь вид |х - у|~', д|*_у\ ^ I*_-Н ^ Iх__
к, I, т =[1,2,3]- дхк ' дхкдхт 'дх'дхкдхт'
Построим {З",}^- покрытие 5 системой окрестностей узловых точек х1 е5,
= е 5": |х - х, | < и пусть {ф, - множество функций, образующих разбиение единицы на Б, подчиненное этому покрытию
зиррф.с^, 0<ф^ < 1, £4=1Ф*(*) = 1 VxeS.
В качестве ф. будем использовать удобные для вычислений функции
о, хеБг
Здесь 0 < И' <|х, -х\, / *< (2л)1/2 ст( < А, < й- Чь' ^ Я0 <«•и] = 1,2,. |',Л-положительные числа, зависящие от N. <?0 ж зависит от Ы,
или
Неизвестную функцию V на 5 будем искать в виде Ку)а ОО^. гДе vi - компоненты неизвестного вектора „* = (н,,н2,...,н„)- Тогда уравнение (6) аппроксимируется системой линейных алгебраических уравнений
Здесь
'»"У**'¿ЬУЩхуГ ¿хУуАь
щ = ¿окр/Ю, Кд = *,(*„*,), / =
ВД = (ят?У' ехр[-(*-*,)У], хе Я\
Интегралы вычисляются аналитически, при этом используются соотношения [2-3]:
¥,<*)*(*)& - = О,
где ¿(х) - любая интегрируемая в Л3 и непрерывная в окрестности узловой точки х.
функция, О — | ^ - функции вида К0(ху).
Тогда
(6)
1=11 ^ \х ~ =2" * С2*1+# - Ь ],
/, =д21/дх1дхт =1/2етГ(уи)А0/ги х
|Ч» + (*? --*7)1Г2 X (3 + И1)]' *.»» = !'2'3' А=ВД^ОО/1* - ^=^ ад/^ №. ^>/1* - ^=(у, х< - X2 - * ^, л=1,2,3,
Л3 Л'
-Ж-^Ж'+ЪР «У
/, к, т = 1,2,3-
где
-1
4 = + ^ Уй. = у-;/(-2у1 + Зц„ )
При / = у значения интегралов (6) находятся предельным переходом х1 х> ■
А=45ы/(з^т„) /2 = 2/(^Тй) /3 = /4=0. (7)
Аналогично для аппроксимации системы интегральных уравнений (4) ядра интегралов представляются в виде суммы двух слагаемых, одно их которых содержит особшность при совпадении аргументов, а другое гладкое. Слагаемые с особенностями вычисляются по формулам (6)-(7).
Используя функцию конечного разбиения единицы на границе включения, связанную с системой точек дискретизации поверхности вюночшия, и осреднение ядер с особенностями посредством функции ошибок перейдем к системе линейных алгебраических уравнений (8).
X
№
Ф,
/ = 1,2,3, / = 1,2,...,М
Здесь при г = у ядра имеют вид
ГХ), = 2"1 ^егГ (у,)/^, )- 2-упе)^(у0)А0/Ги х
+(х/" - *;)(*; - у:2 (з+ла?)] }+ г
та*=^(О^^су,)^2 {-[5<хл,+"ГМ - *5)/*]Х
х (1 + /*, У п\(*,' - хЧ)/гд (1 + Р4,е)Ц,/Я, )-
+(*; - дс;.)(х; - дс;)п;(5+т£(<)(*„*у).
При ; * у выражения для и можно замшить соотношениями [4]
г*» = А/;'+м1« - *;х*: - +г*^*,,*,)
(8)
Т" —.
чш
2я(Х„„ + 2 ц„
"■Не) '
3 (х'-х')
-х
Гладкие части ядер Г£(с), Т£(г) равны следующим выражениям
1=1
- 2 1 ^
5л
ас"
где
г = \х-у\, Ет = (ехр(г;1{е))-\)/г, г'и(е) = 1ки(е)г, ^(е) = [(1 - ГЙ(е))еХР(ГЙ(«)) ~ 2-Ч/((е)2Г2]г-3,
/1 =(2я)-', Р2((#) = ЪКЛК.) + 2ц1(е)) = 2 (*/(«) + + Ц,(.))> Л«.) = 2Ц«>/+
При I =_/' ядра равны следующим соотношениями
Г'" =— ст 4л '
Т<р =0
Такой подход достаточно просто реализуется как на регулярных, так и на не регулярных сетках и позволяет отыскивать приближенное решение с необходимой точностью при небольшом количестве точек дискретизации.
Для повышения точности вычисления коэффициентов системы (8) при / = у, / = 1,2,. которые по модулю больше остальных, и получения приближенного решения системы (4) с меньшей погрешностью применяются следующие тождества, полученные с помощью теоремы Гаусса [45]:
где
-[п"(у)(х'-у')-п\у){хР-уР)\}, р, / = 1,2,3,
= ^¡(О/(Ц») + = + М-|(е))/М-^(0 •
При этом последние интегралы в правых частях равенства (9) аппроксимируются выражениями
У*'
-[%(*;-*;)--*;>]} /=1,2,3,
где
Для вычисления коэффициентов системы (8) численно интегрировались выражения
для ф ф Система алгебраических уравнений решалась численно методом исключали Гаусса с выбором ведущего элемента в строке.
Приближенное решаше задачи (1)-(2) в любых точках областей О, и Пе найдем, заменяя интегралы (3) выражениями
>=1 т=1
Здесь
>
[л. + (ХР - ХЛХ» - *«,>72 (3 + 4М)]} Р>т = 1.2,3,
>
где
• ¡
Аппроксимация интегральных уравнений на «звездной» поверхности и вычисление
интегралов J . ф . проводились аналогично работам [2,3]. Численные эксперименты
Рассматривается задача дифракции упругих волн в однородном пространстве с включением.
Координаты точек поверхности S включения определяются через координаты эллипсоида по формуле
(хх, хг, х3) = /?(0)(я, cos ф sin 6, а2 sin (psin 9, а3 cos 8),
где 0<9<Я, 0<Ф< 2 я, центр эллипсоида в точке (0,0,-1) его и полуоси равны (0.75,1,0.5), "
Л(0) = -0.5[cos 20 + (1.1 - sin2 20)1/2],/2 +1.25
На рисунке 1 изображена поверхность S.
Рисунок 1- Поверхность включения S
Источник упругих волн - плоская волна вида и0 = (и'0 (х), (х), иъ0 (х)), где
ио(х)= —21 ехр(2/х3), «о(дс) = 2/ехр(2/д:3) и03(х) = /ехр(й3).
Параметры включения и среды имеют значения: А., = 10, (I, = 1, р, = 4,
К = 2, Це = 1, р, = 4.
Количество точек дискретизации N - 458.
На рисунке 2, 3 и 4 изображены линии уровня и проективная поверхность модулей
Рисунок 2- Проективная поверхность и линии уровня функции и)
Рисунок 3 - Проективная поверхность и линии уровня функции |ы,2|
Рисунок 4
- Проективная поверхность и линии уровня функции |иг]|
Литература
1. Смагии С И. Интегральные уравнения задач дифракции. Владивосток: Дальнаука, 1995.
2. Ершов Н.Е., Смагин С.И. Приближенное решение пространственных задач акустики и упругости методом потенциалов // В сборнике «Математические модели, методы и приложения».-Хабаровск: XI НУ, 2002. с. 45 - 115.
3. Ершов Н Е., Смагин С.И. Решение пространственных задач акустики и упругости методом потенциалов // Дифференциальные уравнения. 1993. Т.29. №9. с.1517-1525.
4. Купрадзе В.Д., Гегелия Г.Т., Башелейшвили М.О. и др. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости.М.:Наука, 1976
Тушндеме
Бул жумыста ôipmexmi ортада стационарлык, тыгыз толцын дифракциясыныц KeqicmiKmezi таралуыныц сандык; uiemiMiH кррастырады.
Resume
The work considers numerical solution of the three-dimensional problem diffraction of stationary elastic waves uniform medium with elastic closing.
