CC BY
10ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012 Серия: Физика
УДК 532.5.[013.2+032]:519.635.8
Численное моделирование процесса выращивания полупроводникового кристалла методом AHP
Т. П. Любимова, О. А. Хлыбов
Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, Пермь, ул. Академика Королева, 1
Проведено численное моделирование процесса выращивания полупроводникового кристалла методом Axial Heating Process (AHP). Получены данные о структуре течения, температурном поле и распределении примеси в расплаве и выращенном кристалле для различных температурных условий. Продемонстрировано, что наименьшие аксиальная и радиальная сегрегации примеси достигаются применением положительного радиального градиента температуры на погруженном нагревателе; данный эффект сохраняется при изменении аксиального градиента температуры.
Ключевые слова: направленная кристаллизация, метод погруженного нагревателя, численное моделирование.
Вып. 4 (22)
1. Введение
Потребности бурно развивающейся полупроводниковой промышленности определяют повышенный интерес к проблеме получения высококачественных полупроводниковых кристаллов с заданными физико-химическими свойствами. Для производства различных типов полупроводниковых устройств требуются кристаллы с существенно различающимися параметрами, для которых используются разные методы их выращивания: эпитаксии, химического парофазного осаждения, Чохральского, плавающей зоны, подвижного нагревателя, Бриджмена и др.
Метод направленной кристаллизации Axial Heating Process (AHP) является дальнейшим развитием вертикального метода Бриджмена и усовершенствованием метода погруженного нагревателя (SHM) [1]. В данном методе в расплав над фронтом кристаллизации помещается дополнительный нагреватель. Между внутренней стенкой ампулы и погруженным нагревателем оставляется зазор для обеспечения перетекания расплава из зоны над нагревателем в зону роста. В процессе роста погруженный нагреватель скоординированно перемещается вместе с остальными нагревателями с целью обеспечения заданного расстояния между ним и фронтом кристаллизации.
2. Постановка задачи
Рис. 1. Схематическое изображение установки АНР
Изучается процесс роста кристалла полупроводника методом АНР в земных условиях. Модель печи (рис. 1) представляет собой цилиндр (5) с боковой стенкой конечной толщины, заполненный двумя фазами вещества — твердой (3) внизу и жидкой (4) вверху. Верх ампулы закрыт слоем жидкого изолятора (7). Снаружи боковая поверхность ампулы закрыта слоем теплоизоляции (6). Тепловой фон внутри ампулы управляется внешними нагревателями (1) и погруженным нагревателем (2).
© Любимова Т. П., Хлыбов О. А., 2012
Погруженный нагреватель делит область расплава на две части, соединенные узким кольцевым каналом, который эффективно отделяет камеру роста с практически постоянными геометрическими размерами от верхней области, высота которой уменьшается с течением времени. При этом конвективные процессы, происходящие в верхней части, никак не влияют на течение вблизи фронта кристаллизации. В то же время через зазор в процессе роста происходит постоянная подпитка расплавом из резервуара над нагревателем.
Г раница раздела фаз - фронт кристаллизации -в общем случае искривлена. Ее форма и положение подлежат нахождению наряду с полями скорости, температуры и концентрации примеси. Жидкость предполагается ньютоновской,
несжимаемой. Используется приближение Бусси-неска. В данной работе в целях упрощения задачи жидкий изолятор был исключен из рассмотрения и ампула представляла собой замкнутый цилиндр с твердыми стенками нулевой толщины [2].
Задача решалась в нестационарной постановке. Исходная система уравнений имеет следующий вид:
^ + (??у = -1 ур + уАг - §(0Т Т - вс С), (2.1)
ОТ 4 ’ Р
УГ = 0 , (2.2)
^ + (ТУ)т = ХАТ , (2.3)
дС + (уу )с = БАС . (2.4)
Граничными условиями для указанной системы уравнений являлись:
Температура
Боковая стенка ампулы теплоизолирована.
На нижней поверхности нагревателя задавался фиксированный линейный профиль температуры
Т(г) = Т + (ТА2 - Т)-Г- , (2.5)
где - радиус погруженного нагревателя. На остальных поверхностях нагревателя ставилось условие непрерывности теплопотока.
На торцах ампулы принималось зависящее от времени распределение температуры:
Т(2, I) = Т* - [Нг {() - г] АТ , (2.6)
где И2 () — текущее положение погруженного нагревателя, Т* - температура фазового перехода, АТ - заданный аксиальный градиент температуры.
На фронте кристаллизации - условие Стефана, учитывающее теплоперенос через границу и тепловыделение при фазовом переходе расплав -кристалл.
Начальное распределение температуры задавалось в соответствии с (2.6), начальное положение фронта кристаллизации находилось по положению изотермы Т*
Скорость
На твердых границах ставилось условие прилипания; ампула предполагалась неподвижной, а погруженный нагреватель сдвигался вверх с постоянной скоростью и . На фронте кристаллизации скорость вычислялась исходя из скорости смещения изотермы Т*.
В начальный момент времени скорость жидкости и фронта кристаллизации принималась равной нулю.
Примесь
На фронте кристаллизации ставилось условие захвата примеси кристаллом [3]. На остальных границах ампулы и погруженного нагревателя — отсутствие потока массы.
Начальное распределение примеси принималось равномерным и равным С0 для расплава и 0 для кристалла.
3. Численная процедура
Численное решение задачи осуществлялось методом сеток с применением разработанного пакета [4]. Использовалась четырехугольная сетка с постоянным шагом, равным единице. Отображение физической области задачи с искривленным фронтом кристаллизации на вычислительную сетку осуществлялось с помощью аналитического преобразования координат. Для лучшего пространственного разрешения вычисляемых полей в местах наибольших градиентов сетка имела сгущение вблизи твердых границ. Сетка разбивалась на несколько прямоугольных подблоков, в каждом из которых задавалось собственное преобразование координат.
Конвективная задача решалась в терминах завихренности и функции тока [3]. Разностные аналоги для дифференциальных уравнений (2.1)—(2.4) получались двумя разными способами: уравнения для концентрации дискретизовались методом конечных объемов (МКО), уравнения для температуры, завихренности и функции тока — методом конечных разностей (МКР). Применение МКО для разрешения поля концентрации позволило автоматически удовлетворить требованию глобального баланса примеси в расчетной области, недостижимому при использовании МКР.
Для решения полученной системы нелинейных алгебраических уравнений использовалась полностью неявная схема с одновременным разрешением всех полей. Решение нелинейной системы осуществлялось методом Ньютона с явным формированием разреженной матрицы якобиана и
132
Т. П. Любимова, О. А. Хлыбов
применением численной конечно-разностной аппроксимации ее элементов.
Решение соответствующих систем линейных алгебраических уравнений осуществлялось с применением пакета MUMPS на вычислительной системе с распределенной памятью в последовательном и параллельном режимах.
Положение и форма фронта кристаллизации вычислялись по изотерме, соответствующей температуре фазового перехода T. Вычисление преобразования координат осуществлялось на отдельном шаге численной процедуры.
Общая процедура решения состояла в последовательном итерировании шагов совместного разрешения физических полей и шага вычисления преобразования координат, получаемого на основе текущего положения изотермы с температурой фазового перехода. Вычисления производились с фиксированным шагом по времени. Условием выхода из цикла служило достижение погруженным нагревателем заданной высоты.
4. Результаты моделирования
1 о
Рис. 2. Функция тока (слева) и поле концентрации (справа) для случая Т = Т = 945К
Численное моделирование тепло- и массопере-носа при выращивании полупроводниковых кристаллов методом АНР производилось для германия с примесью галлия Ga:Ge [3]. Высота ампулы составляла 10 см, внутренний радиус - 1.6 см. Погруженный нагреватель имел высоту 0.5 см, зазор между ним и внутренней стенкой ампулы составлял 0.5 мм. Скорость роста кристалла и во всех экспериментах равнялась 10-4 см/с. Начальное распределение примеси в расплаве однородное. Вычисления производились для двух значений аксиального градиента температуры: АТ = 20 и 30 К и трех режимов погруженного нагревателя (2.5): фиксированная температура Т = Т = 945К , постоянный положительный градиент
Т1 = 942К, Т2 = 945К и постоянный отрицательный градиент Т1 = 945К, Т = 942К.
Температура фазового перехода Т принималась равной 936 К.
Общий размер вычислительной сетки составлял 50x100 узлов.
трации (справа) для случая Т = 942К, Т2 = 945К
Форма фронта кристаллизации
Навязанные тепловые условия определяют полученную форму фронта кристаллизации в данной задаче: выпуклую для гипотетического случая отсутствия конвективного движения и S-образную в случае наличия конвективного течения. Величина прогиба фронта зависит от тепловых условий на погруженном нагревателе. В то же время результаты моделирования показывают, что форма фронта кристаллизации и среднее расстояние от фронта до погруженного нагревателя остаются практически постоянными в течение всего процесса роста. Данный результат кардинально отличается от результата, полученного для случая вертикального метода Бриджмена [3], в котором для того же материала формируется вогнутый фронт кристаллизации, а его форма меняется с течением времени. Увеличение аксиального градиента температуры АТ приводит к уменьшению расстояния от нагревателя до фронта кристаллизации с одновременным уменьшением прогиба последнего, без внесения качественных изменений.
Рис. 4. Функция тока (слева) и поле концентрации (справа) для случая Т = 945К, Т2 = 942К
Структура течения
Полученные результаты свидетельствуют о существенной зависимости конвективного течения от тепловых условий на погруженном нагревателе. На (рис. 2—4) показаны снимки функции тока и изолинии концентрации для аксиального градиента температуры АТ = 20 К на момент времени
/ = 103 сек . На снимках приведена область распла-
ва от погруженного нагревателя до фронта кристаллизации.
В случае фиксированной температуры (рис. 2) на погруженном нагревателе структура течения двухвихревая с вертикальным расположением вихрей, при этом верхний вихрь значительно интенсивнее нижнего.
В случае приложенного положительного градиента температуры (рис. 3) двухвихревая структура сохраняется, но теперь верхний вихрь занимает практически всю область, прижимая нижний вихрь к стенке ампулы.
Приложение отрицательного градиента температуры (рис. 4) сохраняет двухвихревую структуру течения со сменой взаимного расположения вихрей на горизонтальное, при этом вихрь, находящийся у стенки ампулы, интенсивнее внутреннего.
С увеличением аксиального градиента температуры происходит уменьшение расстояния между погруженным нагревателем и фронтом кристаллизации и снижение общей интенсивности течения, однако структура последнего изменений не претерпевает.
нагревателе на радиальную сегрегацию примеси, при этом наиболее благоприятным режимом является режим с положительным градиентом температуры.
Рис. 5. Распределение примеси по фронту кристаллизации в зависимости температуры на погруженном нагревателе
Сегрегация примеси
В рассматриваемом классе задач конвективный механизм массопереноса доминирует над диффузионным, вследствие чего конвекция оказывает решающее действие на поля концентрации в расплаве и, соответственно, на распределение примеси в результирующем кристалле. На рис. 5 приведено распределение примеси по фронту кристаллизации на момент времени г = 103 сек . Как можно видеть, имеет место значительное влияние температурных условий на погруженном
Рис. 6. Аксиальное распределение примеси в кристалле в зависимости от температуры на погруженном нагревателе
Вследствие малого коэффициента сегрегации для Ga:Ge в процессе роста происходит накопление примеси над фронтом концентрации и, как следствие, появление аксиального градиента концентрации в результирующем кристалле (рис. 6), что является нежелательным эффектом. Как и в случае радиального распределения, наиболее благоприятным температурным режимом является положительный градиент температуры на погруженном нагревателе.
Список литературы
1. Ostrogorsky A.G. Single-crystal growth by the submerged heater method // Meas. Sci. Technol. 1990. № 1. P. 463-464.
2. Bourago N.G., Fedyushkin A.I. Impurity distribution in submerged heater method with and without rotation // Proc. of Intl. Conf. on Computational Heat and Mass Transfer. 1999. P. 207-215.
3. Lan C.W., Ting C.C. Numerical investigation on the batch characteristics of liquid encapsulated vertical Bridgman crystal growth // J. Crys. Growth. 1995. № 149. P. 175-186.
4. Хлыбов О.А. Комбинирование символьной алгебры и генерации кода для решения сложных систем нелинейных дифференциальных уравнений // Вычисл. мех. сплош. сред. 2008. Т. 1, № 2. С. 90-99.
R. см
134
Т. П. MtoôuMoea, O. A. Xnuôoe
Numerical simulation of AHP semiconductor crystal growth
T. P. Lyubimova, O. A. Khlybov
Institute of Continuous Media Mechanics, Akademik Korolev St., 1, 614013 Perm
Numerical simulation of Ga:Ge semiconductor crystal by the AHP process is performed. Temperature, flow field and dopant concentration patterns for different temperature regimes are obtained. The effect of submerged heater on the decrease of axial and radial dopant segregation regardless of the axial temperature gradient is shown.
Keywords: directional solidification, AHP method, numerical simulation.
