Численное моделирование процесса обнаружения карстовых полостей в железнодорожных насыпях сеточно-характеристическим методом Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ОБНАРУЖЕНИЯ КАРСТОВЫХ ПОЛОСТЕЙ В ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ НАСЫПЯХ СЕТОЧНО-ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

1Егиян В.С., 12Фаворская А.В., 1Мкртчян А.А., 12Петров И.Б., 12Хохлов Н.И., 12Голубев В.И.

Московский физико-технический институт (университет), http://mipt.ru г. Долгопрудный, Московская область 141700, Российская Федерация

2Научно-исследовательский институт системных исследований, Российская академия наук, www.niisi.ru

Москва 117218, Российская Федерация Поступила 02.11.2017

В течение последних 160 лет железные дороги являются одним из основных элементов верхнего строения пути во всем мире. Они служат для направления колес при их движении и непосредственно воспринимают и передают давление на нижележащие элементы. Несмотря на все усилия инженеров из-за тяжелых эксплуатационных условий под рельсами могут образовываться карстовые полости. Одной из приоритетных задач является разработка методики их обнаружения в железнодорожных насыпях путем решения серии прямых задач. Целью данной работы является исследование распространения упругих волн в железнодорожной насыпи. Использовался сеточно-характеристический метод на криволинейных структурных сетках, который даёт возможность эффективно решать задачи по мониторингу состояния в железнодорожной насыпи и путей, в том числе с учетом большого количества нарушений целостности, учитывать динамические взаимодействия в системе подвижный состав - путь, получать полную волновую картину. Был проведен сравнительный анализ расчетов серии расчётов с изменяемой геометрией расчётной области. Приведено сравнение процессов распространения упругих волн при наличии и отсутствии карстового включения в грунте под насыпью, сравнение сигналов, диагностируемых в данных случаях с рельсов.

Ключевые слова: компьютерное моделирование, сеточно-характеристический метод, структурные гексаэдральные сетки, безопасность железнодорожного транспорта, карстовые полости

УДК 519.63

Содержание

1. Введение (215)

2. материалы и методы (216)

3. результаты и обсуждение (217)

4. заключение (219) Литература (219)

1. ВВЕДЕНИЕ

Решение актуальных в наши дни задач по мониторингу состояния подвижного состава и путей, в том числе с учетом большого количества нарушений целостности, требует учитывать динамические взаимодействия в системе подвижный состав - путь, изучать

пространственную динамическую волновую картину, учитывать характеристические свойства динамической системы уравнений механики деформируемого твердого тела [1]. Используемые в настоящее время методы являются приближенными и не позволяют воспроизвести полную волновую картину процессов, происходящих в рассматриваемой конструкции. В то время как исследование данных процессов даст возможность сделать диагностику состояния подвижного состава и путей более эффективной.

Так как система уравнений математической модели состояния сплошной линейно-упругой

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

среды [2] является гиперболической и требуется высокоточный расчет волновых процессов, оптимальным является применение именно сеточно-характеристического метода [3-7].

2. МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

В работе решается система уравнений, описывающая состояние бесконечно малого объема сплошной линейно-упругой среды [2]:

pdtv = (V- о)т,

dt a = ä(V-V ) I + ^(v® v + (V® v )т ).

(1)

(2)

= A

dt 1 6x;

(4)

^ = П-1Л ; О ; ^, dt 1 1 1 Sx,

где матрица Л. - матрица, составленная из собственных векторов, Л — диагональная матрица, элементами которой являются собственные значения. Для всех координат матрица Л имеет вид (индекс] далее опускается, где это возможно):

Л = <Иа^{ср, -ср, с,, -с8,0},

где ср = у](А + 2ц) / р — продольная скорость

звука в среде,

с =

4ÏÏ!

р - поперечная скорость

Уравнение (1) является локальным уравнением движения. В нем р — плотность материала, v — скорость движения, о — тензор напряжений Коши, являющийся симметричным в силу закона парности касательных напряжений. Уравнение (2) выводится из закона Гука путем дифференцирования по времени. В нем X, ¡.х — параметры Ляме, определяющие свойства упругого материала.

Для численного решения системы (1), (2) используется сеточно-характеристический

метод на криволинейных структурных сетках, позволяющий строить корректные численные алгоритмы для расчета граничных точек и точек, лежащих на поверхностях раздела двух сред с разными параметрами Ляме и (или) плотностями. Систему (1), (2) в двумерном случае можно представить в следующем виде

dtq+А^д x q+л2д X2 q = 0. (3)

В (3) под вектором q понимается вектор, составленный из двух компонент скорости и трех компонент симметричного тензора напряжений

Вначале применяется метод расщепления по пространственным координатам, в результате чего имеем две одномерных системы:

звука.

После замены переменных д = Ор каждая из систем (4) распадается на пять независимых скалярных уравнений переноса:

дд +Адд = 0.

д1 дх

Одномерные уравнения переноса решаются с помощью метода характеристик, либо обычными конечно-разностными схемами.

После того, как все компоненты перенесены, восстанавливается само решение:

д "+1 = П-1 р "+1.

На кафедре информатики и вычислительной

математики МФТИ под руководством чл.-

корр. РАН Игоря Борисовича Петрова

было разработано исследовательское ПО,

выполняющее описанный метод. В программе

реализовано применение TVD-разностных

схем 2-го порядка точности [8], 15 различных

лимитеров. В расчетах в основном используются

ограничитель superbee [9] и сеточно-

характеристические схемы 2-4 порядка точности

[10]. На Рис. 1 представлен график ускорения 100

90

Каждая из этих систем является гиперболической и обладает полным набором собственных векторов с действительными собственными значениями, поэтому каждую из систем можно переписать в виде:

а. 50

0

1 40 30 20

100 120 140 160

Число потоков

Рис. 1. График ускорения при использовании технологии MPI на сетке с 64 млн. узлов.

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА 217 ОБНАРУЖЕНИЯ КАРСТОВЫХ ПОЛОСТЕЙ...

Рис. 2. Распространение упругих волн в насыпи. a) начальное возмущение, b) распространение возмущения, с) формирование первого отклика, d) формирование второго отклика.

работы ПО при использовании технологии MPI, который свидетельствует о высокой степени его параллелизации.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ На Рис. 2 приведено распространение упругих волн в насыпи с карстовым включением. На Рис. 2а приведено начальное возмущение для расчета распространения волновой картины. На Рис. 2b отображено дальнейшее распространение упругих волн в рельсе, насыпи и грунте. На Рис. 2c отображено формирование первого отклика от карстового включения, на Рис. 2d — второго. На Рис. 2a-d градацией серого показан модуль скорости. Расчеты проводились сеточно-характеристическим методом на сетке, состоящей из 200 тысяч узлов, границы области интегрирования свободные, карстовое

Левый рельс, у=-1 i

Без -х=-2 -х=-1

Рис. 3. Насыпь с координатными линиями, определяющими местоположение карстовых полостей.

включение также задается свободной границей, на контактных границах между железнодорожной насыпью и рельсами используется условие полного слипания.

На Риг. 4-8 приведены зависимости (сейсмотрассы), полученные с левого и правого рельсов при разных размерах и местоположениях полостей. На всех графиках черная линия соответствует расчету без карстового включения, а градации серого — с карстовыми включениями на разных местах. На Рис. 3 показана насыпь с координатными линиями, с помощью которых можно определить местоположение карстовых полостей.

На Рис. 4-8 изображены зависимости у(/), полученные с левого и правого рельса для трёх разных размеров каверны. На Рис. 4-5

Правый рельс, у=-1

0,0002В 0,0007В 0,00123 0,00173 0,00223 0,00273 0,00323

0,00023 0,00073 0,00123 0,00173 0,00223 0,00273 0,00323

Рис. 4. Зависимости v(t),размер каверны — (0.5x0.5), глубина —y —1.

Левый рельс, у=-1,5

Без -х=-2 -х=-1 х=0

0,00023 0,00073 0,00123 0,00173 0,00223 0,00273 0,00323

20 15 10 5 Правый рея ьс, у=-1,5 -Без -х=-2 -х=-1 <=0

П JV

0,00023 0,00073 0,00123 0,00173 0,00223 0,00273 0,00323

Рис. 5. Зависимости v(t), размер каверны — (0.5x0.5), глубина —y —1.5.

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

Рис. 6. Зависимости v(t),размер каверны — (0.75*0.75), глубина —y —1.25.

Правый рельс, у=-2

-Без -х=-1,5 -х=-0,75 х=0

0,00023 0,00073 0,00123 0,00173 0,00223

Рис. 7. Зависимости v(t),размер каверны — (0.75*0.75), глубина —y —2.

Без -х=-2 -х=-1 х=0

20 15 10 5 Правый рель С, V 1.'. -Без -х=-2 — -х=-1 к=0

1' II I

А 11 II 1 I1 . 1 \ / 1

1 г\\ Й ллА

1 '1 __А/ \/Д\\ уг\ К

0,00023 0,00073 0,00123 0,00173 0,00223 0,00273 0,00323

Рис. 8. Зависимости v(t),размер каверны — (1.0*1.0), глубина —у = -1.5. изображены графики в случае каверны с размером (черная линия). Сравнивая полученные данные 0.5x0.5, на Рис. 6-7 с размером 0.75x0.75 и на от левого и правого рельсов видим, что на левом Рис. 8 с размером 1.0x1.0. На каждом графике рельсе расхождение начинается раньше, чем на написано, с какого рельса получены данные правом, поскольку начальное возмущение волны зависимости и местоположение карстовых на левом рельсе.

полостей по координатам левого нижнего угла каверны (Рис. 3).

Можно сделать аналогичные выводы для Рис. 5-8. Сравнивая данные с разными размерами

На Рис. 4 изображены графики в случае каверны видим, что в случае больших каверн

каверны с размером 0.5x0.5 и глубиной у = -1. На линий расходятся сильнее, чем в случае малых,

Рис. 4 в начале все линий на графиках совпадают, поскольку линия отражения волны длиннее

это означает, что отраженная от каверны волна не и поэтому волны больше отражаются. Еще

дошла до рельса, а в некоторый момент времени сравним данные каверн с разными глубинами

уже видно расхождение результатов измерений залегания под поверхностью земли. И увидим,

с каверной (линий с градацией серого) и без что чем глубже каверна залегает, тем слабее

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

отраженная волна и поэтому невозможно обнаружить глубокие каверны. Но в этом случае, меньше вероятность, что каверна будет мешать движению поезда. И поэтому необходимость обнаружения глубоко залегающих каверн снижена.

Исходя из результатов измерений можно утверждать, что во всех случаях обнаружить и определить местоположение и размер каверны на левом рельсе можно точнее, чем на правом (начальное возмущение волны на левом рельсе).

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе представлены разработанные методики обнаружения карстовых полостей в железнодорожных насыпях путем решения серии прямых задач. Был проведен сравнительный анализ расчетов, полученных сеточно-характеристическим методом.

Приведено сравнение распространения упругих волн при наличии и отсутствии карстового включения в грунте под насыпью, сравнение сигналов, диагностируемых в данных случаях с рельсов. Сравнивая результаты, мы видим, что данным методом можно точно определить местоположение и размер каверны. Дальнейшее направление работы - решение обратных задач о местоположении и размере карстового образования путем сопоставления расчетных и экспериментальных данных.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и ОАО «РЖД» в рамках научного проекта № 17-20-01096 офи_м_РЖД.

ЛИТЕРАТУРА

1. Cannon DF, Edel KO, Grassie SL, Sawley K. Rail defects: an overview. Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures, 2003, 26(10):865-886.

2. Новацкий В. Теория упругости.. М., Мир, 1975, 872 с.

3. Петров ИБ, Холодов АС. Численное исследование некоторых динамических задач механики деформируемого твердого тела сеточно-характеристическим методом. Журн. выч. мат. и мат. физ., 1984, 24(5):722-739.

4. Golubev VI, Gilyazutdinov RI, Petrov IB, Khokhlov NI, Vasyukov AV. Simulation of dynamic processes in three-dimensional layered fractured media with the use of the

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА 219 ОБНАРУЖЕНИЯ КАРСТОВЫХ ПОЛОСТЕЙ...

grid-characteristic numerical method.

of Applied Mechanics and Technical Physics, 2017, 58(3):539-545.

5. Квасов ИЕ, Панкратов СА, Петров ИБ. Численное моделирование сейсмических откликов в многослойных геологических средах сеточно-характеристическим методом. Математическое моделирование, 2010, 22(9):13-21.

6. Петров ИБ, Фаворская АВ, Квасов ИЕ, Санников АВ. Сеточно-характеристический метод с интерполяцией высоких порядков на тетраэдральных иерархических сетках с кратным шагом по времени. Математическое моделирование, 2013, 25(2):42-52.

7. Муратов МВ, Петров ИБ. Расчет волновых откликов от систем субвертикальных макротрещин с использованием сеточно-характеристического метода. Математическое моделирование, 2013. 25(3):89-104.

8. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws. Journal of Computational Physics, 1997, 135(2):260-278.

9. Roe PL. Characteristic-Based Schemes for the Euler Equations. Annual Review of Fluid Mechanics, 1986, 18:337-365.

10. Холодов АС, Холодов ЯА. О критериях монотонности разностных схем для уравнений гиперболического типа. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2006, 46(9):1560-1588.

Егиян Владимир Сосович

студент

Московский физико-технический институт 9, Институтский пер., Долгопрудный, Москобл., Россия [email protected] Фаворская Алена Владимировна

к.ф.-м.н.

Московский физико-технический институт

9, Институтский пер., Долгопрудный, Москобл., Россия

НИИ системных исследований РАН

36/1, Нахимовский просп., Москва, Россия

[email protected]

Мкртчян Арам Арсенович

студент

Московский физико-технический институт 9, Институтский пер., Долгопрудный, Москобл., Россия [email protected]

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

Петров Игорь Борисович

д.ф.-м.н, проф., чл.-корр. РАН и РАЕН

Московский физико-технический институт

9, Институтский пер., Долгопрудный, Москобл., Россия

НИИ системных исследований РАН

36/1, Нахимовский просп., Москва, Россия

[email protected]

Хохлов Николай Игоревич

к.ф.-м.н.

Московский физико-технический институт

9, Институтский пер., Долгопрудный, Моск.обл., Россия

НИИ системных исследований РАН

36/1, Нахимовский просп., Москва, Россия

[email protected]

Голубев Василий Иванович

к.ф.-м.н.

Московский физико-технический институт 9, Институтский пер., Долгопрудный, Москобл, Россия НИИ системных исследований РАН 36/1, Нахимовский просп., Москва, Россия [email protected]

NUMERICAL MODELING OF THE PROCESS OF DETECTION OF KARST CAVITIES IN RAILWAY EMBANKMENTS BY A GRID-CHARACTERISTIC METHOD

^ladimir S. Egiyan, 12Alena V. Favorskaya, JAram A. Mkrtchyan, 12Igor B. Petrov, 12Nikolay I. Khokhlov, 12Vasiliy I. Golubev

Moscow Institute of Physics and Technology, http://mipt.ru Dolgoprudny, Moscow region 141700, Russian Federation

2Scientific Research Institute of System Development of RAS, https://www.niisi.ru Moscow 117218, Russian Federation

[email protected], [email protected], [email protected], [email protected], k_h@ inbox.ru, [email protected]

Abstract. Over the past 160 years, railways are one of the main elements of the top track structure throughout the world. They serve to direct the wheels when they move and directly perceive and transmit pressure to the underlying elements. Despite all the efforts of engineers, karst cavities can form under the rails due to severe operating conditions. One of the priority tasks is the development of methods for their detection in railway embankments by solving a series of direct problems. The purpose of this paper is to study the propagation of elastic waves in a railway embankment. We used a grid-characteristic method on curvilinear structural grids, which makes it possible to efficiently solve the tasks of monitoring the state of the railway embankment and paths, including taking into account the large number of integrity violations, to take into account the dynamic interactions in the system of rolling stock - the path, to obtain a complete wave pattern. A comparative analysis of calculations of a series of calculations with a variable geometry of the computational domain was carried out. Comparison of the propagation processes of elastic waves in the presence and absence of karst inclusions in the soil under the embankment is made, comparison of signals diagnosed in these cases from rails is given.

Keywords: computer simulation, grid-characteristic method, structural hexahedral grids, railway transport safety, karst cavities UDC 519.63

Bibliography — 10 references Received 14.11.2017 RENSIT, 2017, 9(2):215-220_DOI: 10.17725/rensit.2017.09.215