CC BY
102009
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика Вып.з(29)
УДК 532.546
Численное моделирование однофазного течения в пористой среде с учетом взаимовлияния микротрещины-поры
В. С. Русаков, С. В. Русаков, А. А. Щипанов
Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
Описывается одномерная однофазная фильтрация в трещиновато-пористой среде с учетом взаимного влияния трещин и пор. В качестве основы для построения модели использовался подход Бренблатта - концепция вложенных сред. Авторами получена модель, учитывающая взаимное влияние давлений на свойства компонент среды. На основе этой модели построена конечно-разностная схема и разработана программа, позволяющая моделировать течение жидкости в трещиновато-пористой среде от контура питания к стоку (добывающей скважине). Численный эксперимент показал необходимость учета подобного взаимного влияния при моделировании фильтрации.
1. Введение1
В статье [5] был продемонстрирован способ моделирования свойств трещиновато-пористой среды, который позволяет при вычислении пористости и проницаемости одной составляющей среды учитывать давление в другой составляющей. Суть этого подхода, основанного на методе статистических испытаний, состоит в следующем:
1. Строится набор пор, статистические свойства которого (распределение пор по радиусам) соответствуют исследуемой породе.
2. Набор разбивается на фрагменты квадратной формы, содержащие ансамбли в несколько десятков пор. Для каждого из этих квадратов решается задача теории упругости. Трещина моделируется заданием давления на одной из границ квадрата.
3. В результате решения задачи теории упругости находятся перемещения границ пор и трещины. По найденным перемещениям определяется просветная площадь поровой и
© В.С.Русаков, С.В.Русаков, А.А.Щипанов, 2009
трещинной составляющих среды и, как следствие, ее пористость и проницаемость в зависимости от избыточного давления.
Подробно были исследованы известняк и песчаник. Для этих пород в [5] были показаны результаты моделирования, указаны аналитические зависимости характеристик каждой компоненты среды в зависимости от условий в другой компоненте. В результате было установлено, что эти зависимости можно аппроксимировать линейными функции давлений:
Щ %Рг =% *+«1,^1+«А, (*) кі І>ьР2^=ко,і *+ А,іДРі +/?2,іАР2 .
Здесь і - индекс составляющих среды. Поровая составляющая имеет индекс 1, трещинная - 2.
Результаты для известняка: ац=9,6х10-4 а2 1 =-1>7ХЮ-5
/3ц = 2,0 х 10“3 р2 д = -7,5 х 10-5
щ = -3,0 х 10-5 = 9,2 х 10-4
Д 2 = -9,1 х 10"5 Д> 2 = 2,8 х 10”3
Результаты для песчаника:
аи= 1,1 х 10 4 а21 = -1,2х10~4
Дл = 2,3 х 1 (Г4 р21 = -2,4 х 10“
а12 = -5,4 х 10
а2 2= 3,4x10
Д 2 = -1,6 х 10 3 Р2 2 = 1,0 х 10 2
Таким образом, обнаружено, что в некоторых породах (например в песчанике) взаимовлияние избыточного давления в микротрещинах и порах может быть весьма существенным.
2. Постановка задачи
В качестве основной модели для исследования фильтрации воспользуемся подходом, предложенным Бренблаттом [3]. Особенность этого подхода - в использовании концепции вложенных сред. Считается, что в каждой точке пласта присутствует как поровая, так и трещинная проницаемости. Кроме того, вместо одного давления жидкости в каждой точке среды вводится два давления: давление в трещинах и давление в порах блоков матрицы [2, 3]. Система уравнений для этой модели записывается в виде
К
Уа
я ’^
/^2 2 У
Ч, (1)
<7, (2)
? = (3) где q - поток жидкости, перетекающий из матрицы в трещины, А - коэффициент, зависящий от свойств среды. Эта модель описыва-
ет течение однофазной жидкости (например, нефти) к добывающей скважине в трещиновато-пористом пласте. Искомой величиной в этих уравнениях являются давление р в по-ровой матрице и р2 - в трещинах.
В типичных условиях нефтяного или газового месторождения толщина пласта много меньше его горизонтальной протяженности, что позволяет рассматривать течение как плоскопараллельное (рис. 1).
Рис. 1. Геометрия расчетной области
Итак, будем рассматривать фильтрацию в цилиндрической области (околосква-жинной зоне) с заданным радиусом (Ге), имеющей полость в центре (скважина) с радиусом (г„) (рис. 1). Будем считать, что давление по всей длине окружности определенного радиуса одинаково. Эти предположения позволяют перейти к одномерной задаче в радиальной системе координат.
Искомые величины: рг-, Ц - давление и перетоки из иоровой среды в трещины (здесь и далее индекс /' = 1,2 соответствует поровой и трещиноватой средам).
Условие на внешней границе области:
Р,(ге^) = р- (О .
На внутренней границе области задано давление
К, = Р,(1\{,1) = Р-'(1)
Здесь - внутренний радиус рассматриваемой области - радиус скважины,
Ге - внешний радиус рассматриваемой области - радиус контура питания
Начальное условие: р^(г,0) = р‘(0).
4
4
3
Параметры, используемые в уравнениях, характеризующие трещиновато-пористую среду, будем вычислять по законам, полученным экспериментально, а также в виде зависимостей, предложенных в [1]:
В(Рі) = Во ехр[-с(>г -р0)]
МІР і) = Ро ехр[~а(р1 - р0)]
т1 (Рі,Р2) = т1,0 еХР аЧ а12 $2 Ро _ ^
к, (Л, Р2) = к, о ехр /?л ^ - р0 + рп р2 - р0 _
где //д, В0 - одинаковы для обеих сред, т.к.
жидкость однородная, индекс /=1 соответствует поровой составляющей, 1=2 - трещинной. Зависимости для пористости и проницаемости возьмем в виде (*) и (**), но представим в их виде экспоненты для удобства математических преобразований. Действительно, правую часть аппроксимации (*)-(**) можно рассматривать как первый член разложения в ряд Тейлора зависимостей типа (4).
В выражении (3) коэффициент А будем вычисляеть по формуле к, 7
А =-----—<9
(/Л)и ’
где
12 —
Рі> рі; Р2< Р2.
(5)
Будем использовать в качестве к 2 гармоническое осреднение проницаемостей двух сред:
2кк2 , , Л —^, если к + к2 ^ 0
ки=1 к1 + к 2 . (5’)
0, если кх+к2 - 0
(
дг
Щ Р\,Р:
в р1
_\д_ г дг 1 = 12
кі Р^Рї А]Рі МРіВРі ^г
„г (6)
Учитывая зависимости для пористости и проницаемости, введем следующие обозначения:
С''1 др
т] р1гр2 _
V )
кі Рі,Рі _
/,7 = 1,2
(7)
МРі В р.
Распишем подробнее выражения для С, из формулы (7):
т, ~ „ от,
Сп=——~Лп + с, С12 =——-а21 д 5 ^ 11 - 1,2 В р2 21
т,
тп
' (7')
Далее перейдем к разностному виду
уравнении:
,„Я-1 „Я
й+1 й
Рі,і Рі,і | ^ Ріі Рі,]
1
г,
й+1 й-1
Рш-Рі.
і-1 ґ‘,і ,,л ґ‘,і ґ‘,і
і V / = 1,2
'■'-X /і
■-V,
РЇі-РЇі^
к+ІІМ
Будем ВЫЧИСЛЯТЬ Vя ,/ И Vй ,/С по-
^'+/2 ^~/2
мощью усреднений (5) и (5').
Поскольку в уравнениях (8) присутствует зависимость от обеих искомых величин, то для решения воспользуемся методом матричной прогонки [4]. Представим (8) в виде
3. Разностная схема и метод решения уравнений
Будем искать решение уравнений (1)-(3) методом конечных разностей. Для начала преобразуем уравнения, учитывая одномерную постановку задачи:
-.11' -С У. -НУ ./-1..\-1. (9)
где N - количество узлов пространственной сетки.
4. Результаты численного эксперимента
С помощью разработанной программы были проведены численные эксперименты. Вычисления проводились для известняка и песчаника, при этом рассматривалась область радиусом в 500 м. В начальный момент времени в
г
У,=Г
2,1
трещинах и порах давление полагалось равным пластовому - 20 МПа, на границе скважины -нулевое давление, на внешней границе - на 10 МПа превышающее пластовое.
Численный эксперимент показал, что оптимальными с точки зрения качества результатов и времени счета будут следующие параметры временной и пространственной сетки: количество узлов пространственной сетки - 100, шаг по времени - 86,4 сек., интервал моделирования - 0,1 сут.
Результаты представлены на рисунках ниже. Расчеты проводились для двух вариантов: при вычислении пористости и проницаемости для каждого компонента среды учитывалась зависимость свойств пористой среды от давления с учетом взаимовлияния как в одном компоненте, так и в другом (на рис.2-5 результат изображен в виде сплошной линии; учитывалась зависимость от давления только в самом компоненте (на рис.2-5 результат изображен пунктирной линией).
о іао жя> т т *оо
Рис. 2. Распределение давление в матрице для известняка
Как видно из рис. 2 и 4, вычисление пористости и проницаемости с учетом влияния давления в обоих компонентах среды показало, что последнее на результаты для известняка влияет несущественно. В то же время это влияние для песчаника более заметно (рис.3 и 5).
I 110 ШХ> М «М МО
Рис. 3. Распределение давления е матрице для песчаника
Ш VI НО « N0
Рис. 4. Распределение давления в трещинах для известняка
Ш Ш И0 Ю ВО
Рис. 5. Распределение давления в трещинах для песчаника
Рассмотрим теперь зависимость перетоков от способа вычисления пористости и проницаемости.
вг-ок*
Рис. 6. Распределение перетоков
для известняка
О МО Ж ЯК 40С 9СО
Рис.7. Распределение перетоков для песчаника
Из рис.6-7 видно, что величина перетоков меняется весьма существенно в зависимости от способа вычисления пористости и проницаемости как для известняка, так и для песчаника.
Эти результаты согласуются с результатами, полученными в работе [1].
В данной статье показано, что учет деформации трещинной составляющей отражает существенное увеличение перетоков между матрицей и трещинами. Рисунки 6-7 иллюстрируют тот же эффект. В работе [1] демонстрируется асимметричный характер перетоков, наш же численный эксперимент такого эффекта не обнаружил.
5. Условные обозначения
Ь — раскрытость трещины, м
В - объемный коэффициент жидкости, без-
разм.
с - сжимаемость жидкости, МПа-1
сг - сжимаемость породы (матрицы), МПа-1
с^ - коэффициент изменения линейного размера блока матрицы, МПа-1 f - источниковый член, с- (сут-)
И - размер ячейки (элемента сети), м Н - толщина пласта, м к - проницаемость трещин, мк\Г (Д), 1 Д « 0.987 мкм2
кх, ку - проницаемость трещин по направлениям, мкм2 (Д)
Ь - линейный размер элемента сети, м Ьг - линейный размер матрицы, м Ьй - размер области моделирования, м М - количество слоев по времени N - количество узлов пространственной разностной сетки (элементов сети) р - давление жидкости, МПа
ра - давление на внешней границе, МПа
/ - время, с (сут)
Т - связанность трещин, м^-мПа '-с"1 ^ - временной период моделирования, с
(сут)
V - элементарный объем, м
V - объем матрицы (породы), м3
х, у - пространственные координаты, м ф - пористость трещин, д.ед.
/л - вязкость жидкости, мПа-с т — шаг по времени, с (сут)
V - вектор градиента
0, - разностная сетка по времени
О - разностная сетка по пространству Т - конечно-разностный оператор д - частная производная Верхний индекс:
0 - начальные или определенные условия п - временной слой 5 - номер итерации по нелинейности Нижний индекс:
1, ] - узлы пространственной разностной сетки.
Список литературы
1. Щипанов А.А. Ассиметрия обмена флюидами в деформируемой трещиновато-пористой среде / А.А.Щипанов // Инж.-физич. журн. 2007. Т.80, №1. С.35-45.
2. Баренблатт Г.И. и др. Движение жидкостей и газов в природных пластах / Г.И. Баренблатт, В.М.Ентов, В.М.Рыжик. М.: Недра, 1984. 211 с.
3. Баренблатт Г.И. и др. Об основных пред- З. Русаков В.С. Компьютерное моделирование
Numerical simulation single flow in a porous medium, taking into account the mutual influence microcracks-pores
V. S. Rusakov, S. V. Rusakov, A. A. Shchipanov
Perm State University, 614990, Perm, Bukireva st., 15
The article describes one-dimensional single phase filtration in fractured-porous medium, taking into account the mutual influence of cracks and pores. As a basis for constructing a model used Brenblatta approach - a concept embedded environments. The author was a model to take into account the mutual influence of pressure on the properties of a component. Based on this model is a finite-difference scheme and a program to simulate during the liquid in the fractured-porous medium to Runoff (mining wells) from the power circuit. Numerical experiment showed the need to take account of this mutual influence of filtering in the simulation
ставлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах / Г.И.Баренблатт, Ю.П.Желтов, И.Н.Кочина // Прикладная математика и механика, 1960. Т. 24, вып. 5. С.852-864.
изменения свойств трещиновато-пористой среды под воздействием избыточного давления / В.С.Русаков, С.В.Русаков // Вестн. Перм. ун-та. 2007. Вып. 10(15). Информационные системы и технологии. С.81-84.
4. Самарский А.А. Теория разностных схем / A.A.Самарский. М.: Наука, 1977. 656 с.
