ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ В ТРЁХМЕРНОМ СЛУЧАЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

DOI: 10.21779/2542-0321 -2022-37-2-33-41 Б.Х. Хайиткулов

Численное моделирование нестационарной задачи конвекции-диффузии

в трёхмерном случае

Национальный университет Узбекистана; Узбекистан, 100174, г. Ташкент, Алмазарский район, ул. Университетская, 4; [email protected]

В работе рассматривается задача обеспечения температуры внутри поля в заданных пределах путем оптимального размещения источников тепла в параллелепипеде. Найдено численное значение функции Грина в виде матрицы. Предложен новый алгоритм численного решения нестационарной задачи оптимального управления размещением источников тепла с минимальной мощностью в процессах, описываемых дифференциальными уравнениями с частными производными параболического типа. Предложена новая методика численного решения. Построена математическая и численная модель процессов, описываемых уравнением конвекции-диффузии с переменными коэффициентами, заданными для первой краевой задачи; краевая задача изучается для трёхмерного случая. Предложен новый подход к численному решению задач. Приведена общая блок-схема алгоритма решения нестационарной задачи оптимального управления размещением источников тепла с минимальной мощностью. Разработаны алгоритм и программное обеспечение для численного решения задачи. Приведено краткое описание программного обеспечения. Визуализированы результаты вычислительного эксперимента.

Ключевые слова: оптимальное размещение, источники тепла, уравнение конвекции-диффузии, неявная разностная схема, М-метод.

Введение

Многие прикладные задачи современного естествознания, в частности управление распространением тепла в среде, математической моделью которых является уравнение в частных производных, приводят к выбору местоположения источников тепла с целью минимизации энергии - расходуемого количества тепла. Задачи управления процессом распространения тепла в различных условиях изучены А.Г. Бутковским [1], Ж.Л. Лионсом [2], Ю.В. Егоровым [3], А.И. Егоровым [4] и другими авторами. Их результаты составляют основу данной работы. В работе [5] изучена задача оптимального управления процессами, описываемыми уравнением теплопроводности. Управляющий параметр задан в граничном условии и достиг минимума функционала, задаваемого интегральным квадратичным выражением. Показан метод нахождения допустимого управления, дающего минимум функционалу. В работе [6] изучена дифференциально-разностная задача управления процессом диффузии, получен аналог принципа максимума, позволяющий определить моменты включения и выключения источника максимальной мощности. В работе [7] изучено влияние эффекта Коанда на скорость теплопередачи в одиночном цилиндре с учетом расстояния до стенки. Найдено оптимальное расстояние цилиндра от стенки. В работе [8] влияние управляющих параметров на тепловое явление в случае смешанного конвективного теплообмена в закрытом помеще-

нии с дискретными источниками тепла исследовано численно методом коллокации кубических сплайнов.

В работе [9] предложено решение задачи оптимального размещения источников в неоднородных средах, скалярные стационарные поля в которых описываются эллиптическими уравнениями. В основу алгоритмов решения задачи положены способы оценки значений функционала на множестве возможных мест размещения источников, что позволяет выбрать оптимальный вариант путем реализации метода ветвей и границ. В работе [10] рассматривается задача оптимизации плотности источников тепла в стационарных процессах, описываемых эллиптическими уравнениями, задаваемыми третьим граничным условием; в работе [11] - задачи оптимального нагрева помещения на основе принципа максимума Понтрягина; в работе [12] - задача энергоэффективного теплоснабжения здания в системе центрального отопления.

В работах [13-16] предложен метод численного решения нестационарной задачи оптимального размещения источников тепла с минимальной мощностью в процессах, описываемых уравнениями параболического типа. Разработаны алгоритм и комплекс программ для численного решения нестационарных задач оптимального управления расположением источников тепла и визуализации полученных результатов.

Данная работа посвящена численному решению нестационарной задачи оптимального размещения источников тепла минимальной мощности. Постановка задачи требует одновременного выполнения двух условий. Первое условие - обеспечить нахождение температуры в пределе минимальных и максимальных температур за счет оптимального размещения источников тепла с минимальной мощностью в параллелепипеде. Второе условие заключается в том, чтобы суммарная мощность источников тепла, используемых для обогрева, была минимальной. Рассмотрена задача управления теплопроводности на основе оптимизации линейного целевого функционала с учетом ограничений, которая решается на основе аппроксимации и сведения к задаче линейного программирования.

1. Постановка задачи и ее конечномерная аппроксимация

В области D = {a < x < b, c < y < d, p < z < q, 0 < t < T} требуется найти функцию f (x, y, z, t) > 0, такую, что для любого t е [0, T] линейный функционал

b d q

J{ f } = |Uf (x,y, z, t)dzdydx ^min (1)

a c p

достигал минимума и удовлетворялись следующие условия:

du

^ d 2u d 2u d 2u ^

du du du

— = X(x,У,zt) -ту+ + -v(xy,z,t) —+ —+ — + f(x,y,zt),

dt ^dx dy dz J ^dx dy dz

a < x < b, c < y < d, p < z < q, 0 < t < T,

u (x, y, z,0) = u0(x, y, z), a < x < b, c < y < d, p < z < q, (2)

u(a,y, z, t) = ßi(y,z, t), u(b,y, z, t) = ß2(y, z,t), c < y < d, p < z < q, 0 < t < T, u(x,c,z, t) = ß3(x,z,t), u(x,d,z, t) = ^4(x, z,t), a < x < b, p < z < q, 0 < t < T, u(x,y,p,t) = ß5(x,y, t), u(x,y,q, t) = ju6(x,y, t), a < x < b, c < y < d, 0 < t < T,

m(x, y, z, t) < u(x, y, z, t) < M(x, y, z, t), (x, y, z, t) е D, (3)

где и = и (х, у, г, t) - температура в точке (х, у, г) параллелепипеда в момент времени г; у(х, у, г, t) > 0 - коэффициент диффузии (температуропроводности); у(х, у, г, t) - скорость конвекции по соответствующим направлениям; и0(х, у, г), а( у, г, t), а2( у, г, t), А3(х, г, г), А4(х, г, г), А5(х, у, Г), А6(х, у, t), т(х, у, г, t), М (х, у, г, t) - заданные непрерывные функции. Функции т(х, у, г, t), М (х, у, г, t) имеют смысл функций минимального и максимального профиля температуры в области О соответственно. Мощность объемных источников тепла описывается квадратично интегрируемой функцией /(х,у, г, t) в пространстве Ь2(О) .

Пусть Ьи = ди -у(х,у, г,г)

дг

^ 2и

д2 и + —^ +

д2 и >

дх ду дг

+ v( х, у, г, ?)

' ди ди диЛ — + — + —

дх ду дг

. Опера-

тор Ь, определенный в Ь2 (О), имеет обратный Ь 1. Здесь Ь1 - интегральный оператор с непрерывным ядром (функция Грина). Используя его, можно записать задачу (1)-(3) в следующем виде:

/(•, •, •, •) е Ь2(О), /(х,у, г, г) > 0, т(х,у, г, г) < (Ь-1/)(х,у, г, г) <М(х,у, г, г). (4)

Поскольку трудно найти непрерывное решение задачи (1)-(4), ищем численное решение задачи. В этом случае, используя неявную схему, заменяем задачу (2) конечно-разностным уравнением.

Введем в О равномерную по четырем переменным разностную сетку

=®н = {(хг,у,-,гк,Ъ): х- = у, = Л. гк = Щ, ^ = т i = 0,N1, ] = 0,Ы2,

к = 0, N3, я = 0, N4} с шагами \= (Ь - а)/N1, к2 = (d - с)/К = (д - р)/N3,

т = Т / N4.

Неявная разностная схема для задачи (2) имеет вид [17]:

иГ - и;к

иг+1 ;к - 2иф + иг-1 ;к + иу+1к - 2иук + иу-1к + 1 - - + и-к-1

V

К

2

К

К

У

-1

(,.«+1 _ я+1 1^+1—1 ^+1 1^+1—1 ^ иг+1 -к иг -1 -к + иг-+1к и--1к + и-к+1 и-к-1

V

2К1

2К

2

2К

3

+/

«+1 ук '

г = 1, N. -1, - = 1, N2 -1, к = 1, N3 -1, я = 0, N4 -1, и1к = и0(^г, уР гк

и0 = А (у, , 2к , +11 <!к = (У , , 2к , X

(5)

иг«0+к1 = А (^г, 2к , <1к = А4 (х , гк ,

и,+1 = Аз (^г, у-, X = Аб (^г, у-, К+1X г = 0,1,...,N1, ■ = 0,1,_,к = 0,1,...,я = 0,1,

N4 -1.

Здесь X.¡к1 =х(х,, у-, ^к, г,+1), — = V(x, у,, гк, г,+1), — = /(х,, ур гк, Введем обозначения

хуг =

'-V к

Г1 + 2Хг- +1 т

V

К

+ ■

2х

й22

«+1 2 у"+1 ^

г,к л-к + у

X + =

Хук + ^ук

«+1 Л

К12 2К

X- =

(

Лук

1 У

К12 2К

т

7+ =

Лук ^ г/к

Л,,2 2Л2

V 2 2 у

(

7" =

Х/к

Л22 2Л2

V 2 2 У

7+ =

Г / V ^ ^

А г/к ^ г/к

Л32 2Л3

V 3 3 у

7" =

' / V."1 >

/к

Рассмотрим расширенную матрицу системы:

.. 0 7+

А =

Х77 7+

0

Х77 7+

0

0

0 7+

0 Х+ 0 ... ... 0 Х+ 0

Л32 2Л3

V 3 3 у

0 0

0

0 7"

0 Х77 7+

0

0 X"

0

0 7"

0

0 7"

Х77

Получим

О = А1.

Аппроксимируем задачу (1)-(5) в виде задачи линейного программирования. Разделим область В по х, у 2, ? соответственно на А^, N5, N равных частей:

N4 А; А2 N3

В = ииииВг/к , где = {(х,у, 2,?), X"! < х <х, / < .у < у , 2к_! < 2 < 2к ,

5=1 г=1 /=1 к=1

^ <?<}, г= 1,А1з / = 1,А2, к = 1,А3, 5 = 1,А4. В пространстве 12(В) функции // = /(х, у, 2, ), (х, у, 2,0 е В/к (г = 1, N-1, / = 1, N-1, к = 1, N3-1, 5 = Щ)

определяются как кусочно-постоянные функции. Отсюда получим

N N1 "1 N "1 N "1

/ (х, у, 2, ?)ЕЕ /к •

5=1 г=1 /=1 к=1

Пусть = °

т/ = т( х, у., ^Л), М/к = М (У, *кЛХ / = / г =

N = (^" 1)( ^ " 1)( N" 1), w = (г" 1)(М2" Г)^ "1) + (/ " ЭД^ "1)+к, г = 1, N,

г = 1, "1, / = 1, N "1, к = 1, N "1, 5 = 1, Подставим выражение / (х, у, 2, ?) в (1) и заменим неравенство (4) на сеточные функции.

После этого получим следующую задачу линейного программирования:

N "1 N "1 N "1

Js{/} = Е Е Е(те8ВкЩ ^т1п, 5 = 1,2,...,N4

г=1 /=1 к=1 N

т

г/к

<Е<Мк, г = 1,2,...,N,

(6)

г = 1, N1" 1, / = 1, N " 1, к = 1, N3 " 1, 5 = 1, N4

> 0, w = 1,2,...,N, 5 = 1,2,...,N4. Задача (6) решается М-методом [18-19]. Численное решение задачи (2) находит-

N

ся с помощью и/к =Е . Найденная fW является функцией, дающей минимум функционалу (1).

w=1

0

0

0

0

5

w=1

2. Описание алгоритма и результатов моделирования

Для приближенного решения задач (1)-(6) разработано программное обеспечение на языке С#. Оно позволяет представлять все необходимые входные данные: константы, коэффициенты, параметры сеток, а также функции температуры, начальные и краевые условия в виде скриптов. Для представления результатов разработаны графические модули.

На блок-схеме (рис. 1) приведен общий алгоритм решения задачи с использованием численного метода для вычисления ./тт .

Вычислительный эксперимент. Требуется найти оптимальное расположение источников тепла с минимальной мощностью в параллелепипеде. Задача решалась при следующих входных данных: в расчетной области используется куб х, у, г е [0,1] с

функциями температуропроводности %(х, у, ?) = х2 у2 22? м2/с и компонентами скорости у( х, у, 2, ?) = ху2? м/с. Начальное и граничные условия определяются функциями: и0(х,у,г) = 2 + х2 + у2 + г2 м/с, /(у,2,?) = 2 + у2 + 22 + ?2 м/с, /2(у,2,?) = 3 + у2 + 22 + ?2 м/с, /и3( х, 2, ?) = 2 + х2 + 2 2 + ?2 м/с, /( х, 2, ?) = 3 + х2 + 2 2 + ?2 м/с,

/(х,у,?) = 2 + х2 + у2 + ?2 м/с, /6(х,у,?) = 3 + х2 + у2 + ?2 м/с. Минимальная и максимальная температуры задаются функциями т( х, у, 2, ?) = 1 + х2 + у2 + 22 + ?2 К, М (х, у, 2, ?) = 4 + х2 + у2 + 22 + ?2 К, а окончание времени - Т = 1. Расчетная сетка с числом источников (^ "1) х (N-2 "1) х (Д, "1) х N = 6х 6х 6 х 7. Минимальное значение функционала при численном решении равно ./т1|1 = 12.26 К • м/с. На рис. 2 представлены

результаты численного решения задачи (6). Представлены результаты с минимальным ( т( х, у, 2, ?), ниже), максимальным ( М (х, у, 2, ?), выше) и приближенным ( и (х, у, 2, ?), посередине) значениями температуры. На рис. 3 показано оптимальное расположение источников тепла с минимальной мощностью в виде гистограммы.

М(х9у9и)

Рис. 1. Блок-схема общего алгоритма решения задачи //, М

Рис. 2. График решения задачи (6) при х = 0.5, г = Т

Рис. 3. Оптимальное расположение источников тепла / ( х, у, г, г ) при фиксированном

х и г

Из рисунка 2 видно, что решение задачи лежит в заданном пределе, т. е. решение удовлетворяет неравенству (3). Видно, что значение u (x, y, z, t) практически равно минимальной температуре. Это означает, что функционал Js{ f} достигает минимума.

На рисунка 3 мощность оптимально размещенных источников тепла отображается в виде гистограммы. Высота столбцов на гистограмме указывает на мощность источников тепла. Черные линии на рисунке образованы наложением источников тепла в каждый фиксированный момент времени.

Заключение

Предложены методика и алгоритм решения нестационарной задачи поддержания температуры внутри области в заданных пределах путем оптимального размещения источников тепла в параллелепипеде. Задача решена на основе численного моделирования процесса конвекции-диффузии и последовательного решения задач линейного программирования.

Результаты вычислительного эксперимента потверждают достижение функционалом минимума и решение основной задачи.

Литература

1. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1975. - 568 с.

2. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. - М.: Мир, 1970. - 336 с.

3. Егоров Ю.В. Некоторые задачи теории оптимального управления // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1963. Т. 3, № 5. - С. 887-904.

4. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. - М.: Наука, 1978. - 464 с.

5. Егоров А.И., Знаменская Л.Н. Об управлении процессом теплопроводности с квадратичным функционалом качества // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2017. Т. 57, № 12. - С. 2053-2064.

6. Исламов Г.Г., Коган Ю.В. Дифференциально-разностная задача управления процессом диффузии // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2008. Вып. 1. - С. 121-126.

7. Kapjor A., Durcansky P., Vantuch M Effect of heat source placement on natural convection from cylindrical surfaces // Energies. 2020. Vol. 13, iss. 17. - P. 1-13.

8. Hsu T.H., W Ang S.G. Mixed convection in a rectangular enclosure with discrete heat sources // Numerical Heat Transfer, Part A: Applications. 2010. Vol. 38, iss. 6. -P.627-652.

9. Ахметзянов А.В., Кулибанов В.Н. Оптимальное размещение источников для стационарных скалярных полей // Автоматика и телемеханика. 1999. № 6. - С. 50-58.

10. Осипов О.В., Б^усенцев А.Г. Оптимальное расположение источников тепла внутри областей сложной геометрической формы // Математическое моделирование, 2019. Т. 31, № 4. - С. 3-16.

11. Мирская С.Ю., Сидельников В.И. Экономичный обогрев помещения как задача оптимального управления // Технико-технологические проблемы сервиса. 2014. № 4 (30). - С. 75-78.

12. Сабденов К.О., Байтасов Т.М. Оптимальное (энергоэффективное) теплоснабжение здания в системе центрального отопления // Известия Томского политехнического университета. Инжиниринг георесурсов. 2015. Т. 326, № 8. -С. 53-60.

13. Хайиткулов Б.Х. Конечно-разностный метод решения нестационарных задач управления конвекцией-диффузией // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2021. № 57. - С. 45-52.

14. Khaitkulov B.Kh. Homogeneous different schemes of the problem for optimum selection of the location of heat sources in a rectangular body // Solid State Technology. 2020. Vol. 63, iss. 4. - P. 583-592.

15. Хайиткулов Б.Х. Консервативные схемы для нестационарной задачи выбора оптимального размещения источников тепла в параллелепипеде // Вестник Дагестанского государственного университета. Сер. 1: Естественные науки. 2021. Т. 36, вып. 2. -С. 39-46.

16. Хайиткулов Б.Х. Консервативные разностные схемы по оптимальному выбору местоположения источников тепла в стержне // Математическое моделирование и численные методы. 2020. № 3. - С. 85-98.

17. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. - М.: ЛИБРОКОМ, 2015. - 248 с.

18. Dantzig G.B. Linear programming and extensions. - Princeton University Press, 2016. - P. 656.

19. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: учебник. - 3-е изд. - М.: Финансы и статистика, 2009. - 640 с.

Поступила в редакцию 5 марта 2022 г.

UDK 519.6

DOI: 10.21779/2542-0321 -2022-3 7-2-33-41

Numerical Modeling of Non-Stationary Convection-Diffusion Problem in the Three-Dimensional Case

B.Kh. Khayitkulov

National University of Uzbekistan; Uzbekistan, 100174, Tashkent, Olmazor district, University st. 4; [email protected]

The paper considers the problem of ensuring the temperature inside the field within the given limits by optimal placement of heat sources in a parallelepiped. The numerical value of the Green's function is found in the form of a matrix. A new algorithm for the numerical solution of a non-stationary problem of optimal control of the placement of heat sources with a minimum power in processes described by differential equations with parabolic partial derivatives is proposed. A new technique for numerical solution is proposed in the article and a mathematical and numerical model of the processes described by the convection-diffusion equation with variable coefficients given for the first boundary value problem has been constructed; the boundary value problem is studied for the three-

40 Вестник Дагестанского государственного университета.

Серия 1. Естественные науки. 2022. Том 37. Вып. 2

dimensional case. A general block diagram of the algorithm for solving the non-stationary problem of optimal control of the placement of heat sources with a minimum power is given. An algorithm and software for the numerical solution of the problem have been developed and a brief description of the software is given. The results of the computational experiment are visualized.

Keywords: optimal placement, heat sources, convection-difusion equation, implicit difference scheme, big M method.

Received 5 March 2022