CC BY
42
Математическое моделирование и информатика
УДК 517.977.5 А. В. Обухова
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ И ТЕПЛОВЫХ ПОЛЕЙ В УСТРОЙСТВАХ ИНДУКЦИОННОЙ ПЛАВКИ
Разработана двумерная конечно-элементная модель для электромагнитных и тепловых процессов в устройствах индукционной плавки.
Исследуемая индукционная система состоит из многовитковых индуктирующих обмоток, питаемых от внешних источников переменного тока, и нагреваемой заготовки конической формы. Математическая модель этой системы может быть построена без существенных погрешностей с учетом следующих допущений:
- пространственная конфигурация системы позволяет ограничиться рассмотрением двумерной осесимметричной области (К-2);
- поле полагается квазистационарным, низкая частота внешнего тока (£=50Гц) позволяет пренебречь токами смещения по сравнению с токами в проводящих телах;
- не учитываются потери на гистерезис при нагреве ферромагнитных тел в силу их незначительности по сравнению с потерями от вихревых токов.
Исходная постановка нелинейной электромагнитной задачи с учетом сделанных допущений выражается через векторный потенциал общим уравнением Пуассона [2] в двумерной осесимметричной области У(х,г):
ГОІ
Ма
Ш А
дА — — —
4- у — = /0 , гоїА =В, сііуА= 0 , дг
(1)
где А - векторный магнитный потенциал; 10 - плотность тока внешних источников; В - магнитная индукция; |іа - абсолютная магнитная проницаемость среды; у - удельная электрическая проводимость.
Принимая во внимание осевую симметрию и квазистационарность исследуемого поля, уравнение(І) можно представить для комплексной амплитуды векторного потенциала в виде
8_
ді
1
дЛ(г, т)
ра{г,г) дг
дг
1 1 дА(г,г)
Ма(г>2)г дг .
-ІсоуА(г,г)-І0(г,г)= О
(2)
где (0=27^ - циклическая частота питающего тока, у = V— 1 - мнимая единица.
В качестве граничных условий для определенности задачи примем наиболее общие условия - равенство нулю векторного потенциала на границе расчетной области (2, находящейся в бесконечности. В реальной ситуации граница расчетной области удалена от источников тока так, что магнитную энергию поля можно принять равной нулю. Рассматриваемая область (5 имеет границы 81 и 82, на которых задаются граничные условия:
а л ~ _ О А л
А = 0 при є Б;-----------= 0 при 52є£.
дп
(3)
Основной особенностью индукционного нагрева является выделение тепла в самих нагреваемых телах. Это позволяет передавать в них большие мощности, получать высокие термические КПД за счет выделения теплоты только в требуемых частях объемов. Температурное поле в твердом теле описывается уравнением теплопроводности
дТ
______і_
ді
ді
= а,
= а.
д2Т1 1 &Г. д%
1 +--------- +
дг2 д2Т:
г дг
і аг,
дг2
д2т;
+ ^(г,2,0 ;
(4)
дг2 г дг дг2
где Т- температура, а- коэффициент температуропроводности, а = А ; А,- коэффициент теплопроводен у
ности; у-плотность материала; тепловой поток с поверхности заготовки; \У(г, г, 1)- функция распределения внутренних источников тепла.
194
Для полного описания процесса нагрева необходимо знать краевые условия (начальные и граничные), которые имеют вид
/,-ЧЙЮ-й /. =0; Л,%/. =0; Л,§
дг
дг
1=а2[Т2(22)-Тс\, Тх{гх) = Т2(г2).
(5)
Сложность формы заготовки не позволяет получить точное аналитическое выражение для температурного поля, поэтому более приемлемым путем решения такой задачи является применение численных методов. Особенно эффективен при решении задач в областях с криволинейными границами метод конечных элементов (МКЭ) [3-4].
Сущность подхода, основанного на МКЭ, заключается в исследовании глобальной функции процессов в дискретных частях анализируемой области, которая должна быть предварительно разбита на конечные смежные подобласти (конечные элементы (КЭ)), что позволяет свести исходную задачу с бесконечным числом степеней свободы к задаче, содержащей конечное число неизвестных параметров. При этом внутри подобластей искомая функция интерполируется степенными полиномами, сшивается на границах контакта элементов и при условии малости геометрических размеров последних (число элементов стремится к бесконечности) оказывается решением уравнений в частных производных типа (1 Невысокая инерционность тепловых процессов в сравнении с электромагнитными позволяет решать эти задачи раздельно.
Следуя МКЭ системе уравнений (1) и дифференциальным уравнениям (4), ставят в соответствие функционалы вида:
Н \су^г-тс1г(к+^: ЩГ-2ТсТ\сИ+ \qTci ; (6)
<ЛгсЬс+— |/г(г2 -2ТСТ}И+ ^Тс1 ; 2ы,
ЖхЬл-— .
2«-м 2„- <7)
^ Я А <2
Соответствующие функционалы заменяются суммой вкладов отдельных элементов. Таким образом определяется функциональное соотношение относительно узловых неизвестных. В качестве элементов выбирались треугольные симплекс-элементы. Затем определяются вклады элементов в матрицы жесткости, матрицы демпфирования и в вектор источников энергии и тепла. Вклады элементов объединяются в глобальные матрицы, которые характеризуют поведение дискретной системы в целом. Этот процесс, который осуществляется с помощью процедуры поэлементного объединения получил название ансамб-лирования элементов. Полученные матрицы объединяют в систему алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами
Щ+|м)гь=(И-1М)п+м„; (8,
М+уМЙ+И=о. с»
где[С],[К]-матрицы жесткости; [^-матрица демпфирования; {Т}-матрица базисных функций; {Бивектор источников тепла; [(}]-матрица вихревых токов; [11]-матрица внешних источников тока.
Решение системы уравнений (8), (9) осуществляется с помощью стандартной процедуры Ы)ЬТ-факторизации. Эта процедура выполняется всего за два шага. Первый шаг заключается в вычислении коэффициентов диагональной матрицы и нижней треугольной матрицы. На втором шаге процедуры сразу определяются искомые функции для температурного и магнитного полей в узлах расчетных сеток КЭ.
По полученной модели был проведен ряд исследований для задачи разогрева застывшей пластмассы в объеме конической формы до момента отлипания пограничного слоя от стенок формы (рис.1).
Рис. 1. Схема для задачи разогрева застывшей пластмассы в конической
форме
Предусмотрена пространственно-временная оптимизация управления индукционным нагревателем. При оптимизации управления индукционным нагревателем поставлены задачи быстродействия и на минимум расхода энергии.
При заданных электро- и теплофизических свойствах материала заготовки распределение и мощность внутренних источников теплоты определяются многими факторами, в том числе конструктивными параметрами индуктора, электрической схемой его включения, напряжением на индукторе при постоянном числе витков, частотой тока. Отсюда видна тесная связь задачи управления индукционным нагревателем с задачей его конструирования и проектирования. Поэтому конструирование индуктора можно рассматривать как отдельный этап в решении общей задачи управления [1].
За основу был взят цилиндрический четырехслойный индуктор, питающийся током 50Гц. Частота 50Гц в сравнении со средними и высокими частотами применяется главным образом для низкотемпературного нагрева. Значительно снижаются расход энергии и капитальные затраты в связи с отсутствием преобразователя частоты, уменьшается время нагрева изделия. Например, в установках с питанием от тиристорных преобразователей расход электроэнергии составляет 380-400кВт*ч/т, а при питании нагревателей от сети 50Гц - 360кВт*ч/т расход воды также снижается на 8-10%.
Исследовалось распределение объемной мощности индуктора по длине заготовки при различных конструкциях индуктора (рис.2), изменение заглубления индуктора относительно заготовки несущественно для улучшения процесса нагрева. Результаты исследований представлены на рис.З.
Р и с. 2. Конструкция индуктора :а - с равномерной намоткой; б - с разряжением в центре; в - с разряжением в конце; г - с разряжением в начале
Р и с. 3. Распределение объемной мощности индуктора:
1 - зависимость, соответствующая форме индуктора на рис. 2,6;
2 - зависимость, соответствующая форме индуктора на рис. 2,г;
3 - зависимость, соответствующая форме индуктора на рис. 2,в;
4 - зависимость, соответствующая форме индуктора на рис. 2,а
Распределение температурного поля по длине заготовки
Индуктор (рис. 2,а) Ицдуктор (рис. 2,6) Индуктор (рис. 2,в) Ицдуктор (рис. 2,г)
кВт*с 3327,64 3027,04 4211,47 5892,95
г,с 94 85,5 129,5 155
Анализ зависимостей показал что, наилучший вариант распределения температурного поля по длине заготовки (по критериям быстродействия и энергозатрат) получен при форме индуктора (б) на рис. 2,6 (см. таблицу).
В данном случае время плавления до температуры 70 °С - 85,5с., энергозатраты - 3027,04кВт-с при токе 1кА.
На основе этих моделей была построена замкнутая система регулирования с релейным регулятором. Точка контроля выбиралась на основании исследуемых тепловых полей.
1. Немков В. С., Демидович В. Б. Теория и расчет устройств индукционного нагрева. Д.: Энергоатомиздат, 1979
2. СлухоцкийА. Е. Установки индукционного нагрева. Д.: Энергоиздат, 1981.
3. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.
4. Норри Л., Ж де Фриз. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.
УДК 621.305 Г.Ф. Егорова
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ВНУТРЕННЕГО ВРЕЗНОГО ШЛИФОВАНИЯ
Приводятся результаты исследования вынужденных колебаний, возникающих в процессе внутреннего врезного шлифования вследствие дисбаланса шлифовального круга и неблагоприятного соотношения угловых скоростей круга детали. На основе проведенного анализа даются рекомендации по повышению виброустойчивости процесса
Математическая модель процесса внутреннего врезного шлифования с учетом формообразующего запаздывания, контактного деформирования в зоне резания, а также упругодиссипативных свойств узлов шпинделей шлифовального круга и детали представляет собой дифференциальное уравнение четвертого порядка с отклоняющимся аргументом нейтрального типа:
±а„хЩ)+±Ь,^(,-^М т
к—0 к=0
а0 =(£, + сг)схс2 + съкх(сх +с2); Ь0 = -кх (схсг + сг(сх +с2));
ах = {кх +с3)(£1с2 + ^2сх) + кхсъ{^х +£,); Ьх = -кх ((^с2 +^2сх) + с3(^х +£,));
а2 = {кх + с3)(тхс2 + т2сх + %х%2) + кхс3(тх +т2);Ь2 = -кх((тхс2 + т2сх + ^2) + с3(тх +т2)); а3 = (кх + с3 )(тх%2 + т2%х); Ьг = -кх (тх%2 + т2$х);
а4 = {кх +с3)тхт2; Ь4 --кхтхт2.
Здесь кх - коэффициент передачи усилия резания по приращению толщины среза; С2,С1 - жестко-ста упругих систем узла шпинделя шлифовального круга и шпинделя детали, с3 - жесткость контакта
круга с деталью, т2->Щ - массы узлов шпинделя круга и шпинделя детали,<^2,^ - коэффициенты демпфирования упругих систем узлов шпинделей круга и детали, г - время одного оборота детали (кольца подшипника).
Основными факторами, влияющими на возникновение вибраций в процессе шлифования, являются плохая балансировка шлифовального круга после его правки, волнистость периферии круга, а также исходная погрешность формы колец подшипников. Все эти факторы аналитически можно описать с помощью задания периодических функций в правой части уравнения (1). Поскольку рассматриваемое уравнение представляет собой линейное уравнение с постоянными коэффициентами, то можно ограничиться определением одночастотных колебаний, возникающих в системе вследствие периодического воздействия с известными частотой и амплитудой. Сложные формы вынужденных колебаний, появляющиеся в процессе при действии сразу нескольких факторов, могут быть получены с помощью суперпозиции найденных одночастотных.
Представим функцию в правой части (1) в виде / (/) = А0 СОи найдем зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешнего воздействия. После всех преобразований эта зависимость будет следующей:
Ке(Р(ш)) = а0 -а2со2 +а4а>4 -со$(тсо)(Ь0 -Ь2а>2 +Ь4со4)-$т(та))(Ь1со-Ь3с03);
Iт(Р(ш) -ахсо-аъсоъ - 8т(га)(60 - Ъ2со2 +ЬА(оА) + соъ(та>)(Ьхо)--Ьъб)2,)\
