Численное моделирование движущихся дискретных бризеров в моноатомных цепочках Текст научной статьи по специальности «Физика»

Радиофизика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2013, № 4 (1), с. 67-69

УДК 534-16

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖУЩИХСЯ ДИСКРЕТНЫХ БРИЗЕРОВ

В МОНОАТОМНЫХ ЦЕПОЧКАХ

© 2013 г. И.П. Лобзенко, Г.М. Чечин

Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону

[email protected]

Пкетупвла нреУакцвю 04.02.2013

Рассматривается проблема построения точных движущихся дискретных бризеров в моноатомных цепочках. Приводятся полученные решения для систем с различным числом частиц.

Ключеные елкна: дискретные бризеры, движущиеся бризеры, нелинейные колебания, моноатомные цепочки.

В рамках нелинейной динамики гамильтоновых решеток исследуются разнообразные динамические объекты, в частности, стационарные и движущиеся дискретные бризеры [1—3]. Стационарными дискретными бризерами (СДБ) называются локализованные в пространстве и периодические во времени колебания решетки. Существование и устойчивость этих динамических объектов непосредственно связаны с дискретностью и нелинейностью рассматриваемых систем. В настоящее время теория СДБ достаточно хорошо развита (см., например, [3]). Более того, эти динамические объекты наблюдаются экспериментально в системах самой различной физической природы. Наряду со стационарными, во многих нелинейных системах наблюдаются и разнообразные мобильные локализованные объекты, некоторые из которых можно приближенно рассматривать как движущиеся дискретные бризеры (ДДБ). Точным ДДБ в цепочке из N частиц называется локализованное колебательное возбуждение, которое через определенное время Т полностью повторяет себя со сдвигом на некоторое число (г) узлов:

X,. (0) = х,.+г (Т), V,. (0) = ^ (Т), i = 1..К Здесь х(), vi(t) - соответственно смещение и скорость ,-й частицы в момент времени t. Будем условно называть Т периодом ДДБ.

Вопрос о возможности существования точных ДДБ в нелинейных гамильтоновых решетках до сих пор не нашел своего окончательного решения [3, 4]. Тем не менее, в работах [5, 6] были построены точные ДДБ для частных случаев цепочки из N=3, N=4 частиц. Настоящая работа посвящена поиску точных движущихся бризеров в цепочках с большими значениями N.

Изучаемая модель представляет собой цепочку Ферми-Пасты-Улама-Р, которая определяется следующими динамическими уравнениями:

Х, = /(Х+1 - Х,) - /(Х, - Х-1), , ^,

/ ф = ^ + Р^.

Предполагается наличие периодических граничных условий:

Х>0) = ^ (tX ^+1(t) = Х1^).

Для построения ДДБ нами были использованы разные варианты метода спуска в многомерных расширенных фазовых пространствах изучаемых динамических систем. При этом проводилась минимизация функции

1 2 ^’Т) = N X (X, (0) - Х+г (Т)) +

1 ' 2 +N X (V, (0) - ^ (Т)),

где £ = {х,(0), ^(0) | ,=1..- полный набор начальных условий для численного интегрирования системы дифференциальных уравнений, описывающей динамику исследуемой цепочки. Функция с1(£,Т зависит не только от начальных условий £, но и от периода Т и определяет степень близости искомого решения к точному ДДБ.

Как известно, основной трудностью методов спуска является наличие в пространстве минимизации локальных минимумов, препятствующих нахождению глобального минимума, который при существовании бризерного решения должен быть равен нулю.

В результате применения методов случайного спуска нами были найдены с достаточно высокой степенью точности ДДБ в цепочках с N=5,7,9,11,13 и в =4 при наличии периодических граничных условий. При этом начальным приближением для поиска ДДБ в цепочке с N частицами служил движущийся бризер, найденный для случая N-2.

На рис. 1 и рис. 2 представлены соответственно начальные смещения и скорости частиц

Таблица

Начальные условия, при которых в системе реализуется точный движущийся бризер

N=5 N=7 N=9 N=11

0.001449474

0.002556741 0.002954408

-0.008441335 -0.008628172 -0.009417981

Смещения 0.048415026 0.077114204 0.077139962 0.07716158

-0.355554263 -0.332520649 -0.332770085 -0.332794198

0.470996927 0.479814409 0.480084191 0.48011942

-0.27231175 -0.253657115 -0.254080245 -0.254284571

0.019145236 0.050791384 -0.005295503 0.052235036 -0.005686286 0.002741115 0.050996252 -0.006421704 0.00257721 0.000526935

1.88Е-09

0.001872348 0.003034375

-0.015358806 -0.017125342 -0.016170813

0.082345648 0.080095961 0.081219722 0.081230856

Скорости -0.266283498 -0.255813957 -0.255450654 -0.256018571

0.267632162 0.254291813 0.2542605 0.254602348

-0.063312622 -0.064366192 -0.065176544 -0.065242767

-0.020380774 -0.003614211 -0.002912388 -0.002550606

0.004781249 0.003210914 0.000155807 0.001759737 -0.000641832 -6.44Е-05

Т = 13.411911 Т = 13.518354 Т = 13.511061 Т=13.509968

-0.2-

Рис. 1. Начальные смещения, соответствующие точ- Рис. 2. Начальные скорости, соответствующие точному движущемуся бризеру в модели ФПУ-в ному движущемуся бризеру в модели ФПУ-в

цепочки из 11 узлов, которые соответствуют деляется величиной невязки d(^,7) ~ 10-6. Из

точному движущемуся бризеру в этой системе. таблицы видно, что по мере увеличения числа

В таблице приведены полученные решения частиц цепочки форма ДДБ стремится к неко-

для движущихся дискретных бризеров при торому профилю, который, по-видимому, соот-

#=5,7,9,11; Р=4. Точность этих решений опре- ветствует случаю N=0).

Авторы выражают благодарность доценту кафедры теории колебаний и автоматического регулирования О.И. Канакову за конструктивные дискуссии, полезные советы и гостеприимство во время пребывания И.П. Лобзенко в ННГУ.

Работа выполнена при поддержке гранта ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», соглашение 14.B37.21.2034, гранта РФФИ № 12-02-31229 «Симметрийные, термодинамические и кристаллографические критерии для поиска и создания новых магнитоэлектриков».

Список литературы

1. Flach S. and Willis C.R. // Physics Reports. 1998. V. 295. Р. 182-264.

2. Aubry S. // Physica D. 2006. V. 216. P. 1-30.

3. Flach S. and Gorbach A. // Physics Reports. 2007. V. 467. Р. 1-116.

4. Yusuke Doi, Kazuyuki Yoshimura // Wave Motion. 2007. V. 45. Р. 83-99.

5. Bao-Feng Feng, Youn-Sha Chan // Mathematics and Computers in Simulations. 2007. V. 74. Р. 292-301.

6. Yusuke Doi, Kazuyuki Yoshimura // Journal of the Physical Society of Japan. 2009. V. 78. Р. 034401- 034410.

NUMERICAL SIMULATIONS OF MOBILE DISCRETE BREATHERS IN MONOATOMIC CHAINS

I.P. Lobzenko, G.M. Chechin

This paper addresses the problem of constructing exact mobile discrete breathers in monoatomic chains. The solutions obtained for systems with a different number of particles are presented.

Keywords: discrete breathers, mobile breathers, nonlinear oscillations, monoatomic chains.