P/q)-резонанcные численно точные мобильные бризеры в модели молекулы ДНК Пейрара-Бишопа Текст научной статьи по специальности «Физика»

удк 539.2

(Р/0)-РЕЗОНАНСНЫЕ ЧИСЛЕННО ТОЧНЫЕ МОБИЛЬНЫЕ БРИЗЕРЫ В МОДЕЛИ МОЛЕКУЛЫ ДНК ПЕЙРАРА-БИШОПА

© М. И. Фахретдинов, Ф. К. Закирьянов

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел./факс: +7 (347) 273 93 25.

Email: fmil 06tf@gmail. com

Найдены решения в виде устойчивых (p/qj-резонансных численно точных мобильных дискретных бризеров для модели ДНК Пейрара-Бишопа. Эти решения можно получить только при превышении величиной параметра межчастичного взаимодействия некоторого порога. При значениях величины параметра межчастичного взаимодействия, близких к этому порогу, полученные численно точные мобильные бризеры теряют энергию при движении и останавливаются.

Ключевые слова: (p/qj-резонансные численно точные мобильные бризеры, модель ДНК Пейрара-Бишопа.

Введение

Дискретные бризеры (ДБ) - это колебания, локализованные в пространстве и периодические по времени [1]. Они возникают в дискретных нелинейных системах, в частности в квазилинейных молекулярных цепочках. Одним из интересных примеров такого рода объектов является модель ДНК Пейрара-Бишопа (ПБ-модель) [2] и ее модификации [3-6]. В этих моделях ДБ предшествуют возникновению «денатурационных глазков» (denaturation bubbles) - областей разделения комплементарных цепочек в процессе плавления ДНК

[7-11].

При определенных условиях такие локализованные осцилляции могут двигаться - обычно их называют мобильными бризерами (МБ). Существует систематический метод поиска решения дискретных нелинейных систем в виде приближенных МБ [12]. Приближенные мобильные дискретные бризеры имеют достаточно большое время жизни, но при движении они постепенно теряют энергию из-за излучения фононов. Однако численные исследования показывают существование в нелинейных дискретных решетках так называемых численно точных мобильных дискретных бризеров, передвигающихся без потери энергии и изменения своей формы.

Численно точный мобильный бризер (ЧТМБ) это локализованное в пространстве периодическое решение дискретной системы, точно повторяющее свой профиль при сдвиге на р узлов через некоторый период T.

(Уп+p (f + T ) = y (t)

К p (f + T ) = уя (f) (1)

Впервые решения такого типа упоминаются в работе [13]. Обри и Кретеньи получили ЧТМБ для уравнения Клейна-Гордона с потенциалом Морзе [13]. Гомез-Гарденез с соавторами исследовали численно точные МБ в решетках, описываемых дискретным нелинейным уравнением Шредингера [14]. Йошимура с соавторами получили ЧТМБ для уравнения ФПУ [15]. Они рассматривали так называемые (p/q)-резонансные ЧТМБ. То есть ЧТМБ имеющие внутреннюю частоту и повторяющие свой профиль при сдвиге на р узлов через время T = q (2п / шь), где q -натуральное число. Имеются также работы где T -период ЧТМБ не задается, а вычисляется наряду с профилем ЧТМБ методами минимизации (работа группы Чечина по ЧТМБ в уравнении ФПУ [16]). В

дальнейшем под ЧТМБ мы будем иметь в виду (p/q)-резонансные ЧТМБ.

Работ по ЧТМБ пока очень мало. Сам алгоритм получения ЧТМБ нигде формально не описан и есть только намеки на его реализацию авторами статей [13-15]. В них говорится, что для получения ЧТМБ использовался метод Ньютона. Однако подчеркивается, что метод Ньютона, использующийся повсеместно для получения стационарных ДБ, использовать нельзя, так как матрица Якоби оказывается сингулярной. Но можно использовать метод Ньютона с изменениями, включающими сдвиг по координате и скорости на р узлов и вместо решения СЛАУ JAx = B для нахождения очередного приращения к решению в методе Ньютона x = x + Ax, используется псевдообратная (pseudo-inverse) матрица Якоби J-1, то есть Ax = BJ-1. Псевдообратная матрица получается методом сингулярного разложения (SVD, Singular Value Decomposition) [17]. Также данный метод очень чувствителен к начальным условиям и сходится только при выборе «хороших» начальных условий, которыми могут быть приближенные МБ.

Метод расчета ЧТМБ

Основным уравнением модели ДНК Пейрара-Бишопа, описывающим растяжение водородных связей оснований ДНК является уравнение:

Уп = S (л-1 - 2 Уп + Уп+1)-

- 24lexp(-4lyn )(l - exp(- 4lyn))' где S - безразмерный параметр, характеризующий стекинг-взаимодействие молекулы ДНК [2].

Задача нахождения решения (2) в виде ЧТМБ сводится к нахождению начальных условий yn (о) = , ул (о) = vn, при которых выполняются условия (1). Для этого построим функции F и G следующего вида:

Fn (5, v ) = уп+p (T; 5, v)-£ G (5,v) = уп+p(t;v)-vn ()

Если начальные условия соответствуют ЧТМБ, то функции F и G равны нулю. Дадим приращения A^ и Av такие, что:

Fn(5 + а5, v + av)« 0

Gn (5 + а5, v + av)« 0 ()

Разложим функции (4) в ряд Тейлора, отбрасывая квадратичные члены и члены более высокого порядка:

F (q + Д£; V + Av )-

- F (q; V ) + ^ Д^ + ^ Av

öq öv

G (q + Aq; v + Av )-

(5)

и е а5 + ^ ду

Подставляя (3) в (5) и приравнивая получившееся выражение нулю получим:

>„+, (т; 5, V)

öVn+, (T; q, v)

-1 I Aq +

öy

S n -

3v

. (T; q, v)

av = q - y

n n+

(6)

Aq +

öq

(öyn+, (T; q, v)

3v

I

Av = v - У

nn

где I - единичная матрица порядка N где N равно числу узлов бризера.

Выражение (6) это СЛАУ для приращений Ду, Д^. Решить СЛАУ можно методом наименьших квадратов, что эквивалентно поиску решения методом нахождения псевдообратной матрицы, как описано выше. Тогда очередное приближение к решению находится по формуле (7):

5 ,+1 = 5 „ + а5 „

v„+i = v„ + av„

Собственно нахождение ЧТМБ делится на 2 этапа. Первый - это нахождение хорошего начального приближения к методу Ньютона, а второй - использование метода Ньютона для нахождения ЧТМБ с найденными на первом этапе приближенными МБ в качестве начального приближения.

Нахождение начального приближения. Для получения хорошего начального приближения к методу получения ЧТМБ вычисляется стационарный ДБ (о) с частотой юъ для выбранного значения константы межчастичного взаимодействия 5". Скоростная часть ДБ задается нормализованным локализованным собственным вектором пиннинг-моды или дискретным градиентом уп (о) = -(уп+ (о)- уп- (о))/2 .

Для нахождения приближения к ЧТМБ со скоростью иъ = р/(д Тъ) скоростная часть ДБ умножается на множитель ^ и получившийся приближенный МБ ис-

пользуется как начальное условие для интегрирования уравнений движения. МБ помещается в узел с номером к (значение к бралось как середина цепочки yn). Исследуемая система интегрируется до времени T = q Tb и считается норма разности между решением и приближенным МБ, сдвинутым на p узлов вправо. Этот процесс повторяется с постепенным увеличением множителя ^ на небольшую величину до тех пор, пока норма разности не достигнет минимального значения. Приближенный МБ, полученный при этом значении ^ и принимается за начальное условие для нахождения ЧТМБ.

Результаты и их обсуждение

На рис. 1 показан профиль ЧТМБ в начальный момент времени. Скорость ЧТМБ равна = 1/10 узлов, константа межчастичного взаимодействия S = 0.6.

Характерной особенностью ЧТМБ является наличие ненулевых малоамплитудных осцилляций распространяющихся по всех цепочке, названных «хвостами» (tails) [13] (см. рис. 2). Хвосты зависят от скорости ЧТМБ и параметров модели и имеют амплитуду от почти нулевой до величины порядка амплитуды ЧТМБ.

Рис. 2. Хвосты ЧТМБ, m = 1/10, S = 0.6.

Найденные решения в виде ЧТМБ передвигаются по цепочке без изменения своей формы, и для них строго выполняется условие (1). На рис. 3 изображено прохождение ЧТМБ со скоростью = 1/10 по цепочке с периодическими граничными условиями. Показано смещение всех узлов цепочки. ЧТМБ проходит 500 периодов (500T = 17453.3) без возмущения окружения.

ЧТМБ можно получить только при определенных значениях параметра межчастичного взаимодействия S. При S < 0.44 ДБ становятся сильно локализо-

Рис. 1. Профиль ЧТМБ, в начальный момент времени координатная а) и скоростная часть б) иъ = 1/10, 5 = 0.6.

+

+

Рис. 4. Хвосты ЧТМБ, иь = 1/15, S = 0.44.

ванными, теряют мобильность и их трудно привести в движение методом возмущений. Приближенные МБ полученные при < 0.44 осциллируют около центра своего запуска. Метод Ньютона поиска ЧТМБ не сходится.

При 0.44 < 5 < 0.5 сходимость метода Ньютона поиска ЧТМБ плохая. При этом часто полученные ЧТМБ имеют хвосты большой амплитуды (см. рис. 4). Они теряют энергию при движении, не могут преодолеть барьер Пайерлса-Набарро [1] и останавливаются (см. рис. 5).

Выводы

Рассмотрен метод Ньютона нахождения (р/д)-резонансных ЧТМБ и поиска начального приближения к нему. Получены решения в виде (р/д)-резонантных ЧТМБ в модели ДНК Пейрара-Бишопа. ЧТМБ можно получить только при определенных значениях параметра межчастичного взаимодействия 5. При малых 5 ЧТМБ получить не удается. При 0.44 < 5 < 0.5 сходимость метода Ньютона поиска ЧТМБ плохая, часто полученные ЧТМБ теряют энергию при движении, не могут преодолеть барьер Пай-ерлса-Набарро и останавливаются. При больших значениях 5 получение ЧТМБ для большого интервала скоростей не представляет трудности.

0 10 20 30 40 50 60 п

Рис. 3. Временная эволюция ЧТМБ, иь = 1/10, S = 0.6.

Рис. 5. Временная эволюция ЧТМБ, иь = 1/15, S = 0.44.

ЛИТЕРАТУРА

Flach S., Gorbach A. V. Discrete breathers - advances in theory and applications // Physics Reports. 2008. Vol. 467. No. 1. P. 1-116.

Peyrard M., Bishop A. R. Statistical mechanics of a nonlinear model for DNA denaturation // Physical review letters. 1989. Vol. 62. No. 23. P. 2755-2758.

Dauxois T. Dynamics of breather modes in a nonlinear "helicoidal" model of DNA // Physics Letters A. 1991. Vol. 159. No. 8. P. 390-395.

Forinash K., Cretegny T., Peyrard M. Local modes and localization in a multicomponent nonlinear lattice // Physical Review E. 1997. Vol. 55. No. 4. P. 4740-4756. Zhravkovic S., Sataric M. V. The impact of viscosity on the DNA dynamics // Physica Scripta. 2001. Vol. 64. No. 6. P. 612-619.

Фахретдинов М. И., Закирьянов Ф. К. Конформационный переход в модифицированной модели ДНК Пейярда-Бишопа с трением // Вестник Башкирского университета. 2010. Т. 15. №1. С. 7-9.

Cuevas J. et al. Moving breathers in bent DNA with realistic parameters // Modern Physics Letters B. 2004. Vol. 18. No. 25. P. 1319-1326.

Peyrard M., Cuesta-Lopez S., James G. Nonlinear analysis of the dynamics of DNA breathing // Journal of biological physics. 2009. Vol. 35. No. 1. P. 73-89.

Maniadis P. et al. Feigenbaum cascade of discrete breathers in a model of DNA // Physical Review E. 2011. Vol. 83. No. 1. P. 011904.

10. Фахретдинов М. И., Закирьянов Ф. К. Дискретные бризе-ры в модели ДНК Пейрара-Бишопа // Журнал технической физики. 2013. Т. 83. №7. C. 1-5.

11. Фахретдинов М. И., Закирьянов Ф. К., Екомасов Е. Г. Дискретные бризеры и мультибризеры в модели ДНК Пейрара-Бишопа // Нелинейная динамика. 2015. Т. 11. №»1. С. 77-87.

12. Chen D., Aubry S., Tsironis G. P. Breather Mobility in Discrete ф4 Nonlinear Lattices // Physical review letters. 1996. Vol. 77. No. 23. P. 4776-4779.

13. Aubry S., Cretegny T. Mobility and reactivity of discrete breathers // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1998. Vol. 119. No. 1. P. 34-46.

14. Gomez-Gardenes J. et al. Nonintegrable Schrodinger discrete breathers // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2004. Vol. 14. No. 4. P. 1130-1147.

15. Yoshimura K., Doi Y. Moving discrete breathers in nonlinear lattice: Resonance and stability // Wave Motion. 2007. Vol. 45. No. 1. P. 83-99.

16. Лобзенко И. П., Чечин Г. М. Численное моделирование движущихся дискретных бризеров в моноатомных цепочках // Вестник Нижегородского государственного университета. 2013. №>4(1). С. 67-69.

17. Голуб Д., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. 548 с.

Поступила в редакцию 28.05.2015 г.

(P/Q)-RESONANT NUMERICALLY EXACT MOBILE BREATHERS IN THE PEYRARD-BISHOP DNA MODEL

© F. M. Fakhretdinov*, F. K. Zakiryanov

Bashkir State University 32 Zali Validi St., 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (347) 273 93 25.

*Email: fmil 06tf@gmail. com

Discrete breathers are spatially localized time periodic oscillations. They appear in discrete nonlinear systems particularly in the quasi-linear molecular chains. Interesting examples of such objects is the Peyrard-Bishop model of DNA and its modifications. In the models, discrete breathers precede denaturation bubbles (the regions of separation of complementary chains in the course of the DNA melting). Under certain conditions such localized oscillations can move and they are known as mobile breathers. There is a systematic method for finding solutions of nonlinear discrete systems in the form of approximate mobile breathers. Approximate mobile breathers have quite a long lifetime, but they move slowly losing energy due to the emission of phonons. However, in nonlinear discrete lattices numerical studies show the existence of so-called numerically exact mobile breathers moving without loss of energy and not changing in shape. The present paper deals with these numerically exact mobile breathers in Peyrard-Bishop model of DNA. A method of Newton for finding numerically exact mobile breather and finding the initial approximation to it is considered. After qTb periods (Tb = 2n / rob where rob is internal frequency of mobile breather), these solutions repeat the same profile but displaced by p lattice sites. Numerically exact mobile breather can be obtained only at certain values of the interparticle interaction of S.

Keywords: (p/q)-resonant numerically exact mobile breather, Peyrard-Bishop DNA model.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Flach S., Gorbach A. V. Physics Reports. 2008. Vol. 467. No. 1. Pp. 1-116.

2. Peyrard M., Bishop A. R. Physical review letters. 1989. Vol. 62. No. 23. Pp. 2755-2758.

3. Dauxois T. Physics Letters A. 1991. Vol. 159. No. 8. Pp. 390-395.

4. Forinash K., Cretegny T., Peyrard M. Physical Review E. 1997. Vol. 55. No. 4. Pp. 4740-4756.

5. Zhravkovic S., Sataric M. V. Physica Scripta. 2001. Vol. 64. No. 6. Pp. 612-619.

6. Fakhretdinov M. I., Zakir'yanov F. K. Vestnik Bashkirskogo universiteta. 2010. Vol. 15. No. 1. Pp. 7-9.

7. Cuevas J. et al. Moving breathers in bent DNA with realistic parameters. Modern Physics Letters B. 2004. Vol. 18. No. 25. Pp. 13191326.

8. Peyrard M., Cuesta-Lopez S., James G. Journal of biological physics. 2009. Vol. 35. No. 1. Pp. 73-89.

9. Maniadis P. et al. Feigenbaum cascade of discrete breathers in a model of DNA. Physical Review E. 2011. Vol. 83. No. 1. Pp. 011904.

10. Fakhretdinov M. I., Zakir'yanov F. K. Zhurnal tekhnicheskoi fiziki. 2013. Vol. 83. No. 7. Pp. 1-5.

11. Fakhretdinov M. I., Zakir'yanov F. K., Ekomasov E. G. Nelineinaya dinamika. 2015. Vol. 11. No. 1. Pp. 77-87.

12. Chen D., Aubry S., Tsironis G. P. Physical review letters. 1996. Vol. 77. No. 23. Pp. 4776-4779.

13. Aubry S., Cretegny T. Physica D: Nonlinear Phenomena. 1998. Vol. 119. No. 1. Pp. 34-46.

14. Gômez-Gardenes J. et al. Nonintegrable Schrodinger discrete breathers. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2004. Vol. 14. No. 4. Pp. 1130-1147.

15. Yoshimura K., Doi Y. Wave Motion. 2007. Vol. 45. No. 1. Pp. 83-99.

16. Lobzenko I. P., Chechin G. M. Vestnik Nizhegorodskogo gosudarstvennogo universiteta. 2013. No. 4(1). Pp. 67-69.

17. Golub D., Van Loun Ch. Matrichnye vychisleniya [Matrix calculations]. Moscow: Mir, 1999.

Received 28.05.2015.