CC BY
7
УДК 517.4+519.71+519.688
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЧАСТОТНО-РЕЗОНАНСНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК БАЛКИ ЭЙЛЕРА С ТОЧЕЧНЫМИ УПРУГИМИ КРЕПЛЕНИЯМИ
© Д. Н. Валеева1, К. В. Трунов2*
1Московский государственный университет Россия, 119991 г. Москва, ГСП-1, Ленинские горы, 1, стр. 2.
2Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.
Тел.: +7 (347) 229 96 65.
*Email: trounovkv@mail.ru
Рассмотрена модель малых изгибных колебаний балки в одной плоскости шарнирно закрепленной на концах и дополнительными упругими креплениями в точках х1,х2,...,xn под действием внешней силы f(x, t) и начальных данных: начальным прогибом и начальной скоростью. Данная модель основана на уравнении колебаний балки - уравнении Эйлера -Бернулли. С помощью метода конечных элементов получены формулы для численного расчета собственных значений и собственных форм колебаний балки, на основе которых разработан алгоритм решения задачи. На основе полученного алгоритма разработана программа на языке Matlab, которая позволяет исследовать формы колебаний и их частоты в зависимости точек крепления балки Х\, Х2, .••, X-fä и коэффициентов упругости k1tk2,... ,km. Разработанная программа может быть полезна при исследовании и моделировании резонансных свойств балки с упругими креплениями.
Ключевые слова: метод конечных элементов, динамические системы, собственные значения, управление собственными частотами, математические модели, matlab.
Постановка задачи
Будем рассматривать малые, низкочастотные, плоские колебания однородного, прямого стержня. Через и(х, ()обозначим компоненту вектора смещения зависящую от одной пространственной координаты х, отсчитываемой вдоль оси недеформи-руемого стержнядлины/, и времени £ которая описывает деформации изгиба оси стержня. Для получения уравнения колебаний балки достаточно выписать функционалы кинетической и потенциальной энергии, а также учесть работу внешних сил. Затем с помощью известного принципа наименьшего действия выводится соответствующее дифференциальное уравнение с учетом того, что мы рассматриваем задачу в которой балка прикреплена к неподвижному основаниюв точках х1,х2,... ,хт с помощью упругих пружин с коэффициентами упругости к1,к2,... ,кт .В итоге мы получаем уравнение с обощенными функциями 6(х — ху).
Начальные условия :
U(x, t)| t=0 = <(x),
= $(x),
du (x, £) I
dt
(3)
Для того чтобы найти собственные изгибные колебания балки (формы стоячих волн)в уравнении (1) положим /(х, = 0.
Будем искать решения в виде и(х, 1) = у(х)еш1 , подставляя в (1) получаем проблему собственных значений:
d 4y (x ) dx4
+ 2,n=i kj S{x — x )y(x) = Äa2y(x)
(4)
где Х=ю .
y(0) = yd) = 0,
d2y(x) I dx2 \
d 2y(x )| ' dx2 \
= 0 (5)
d4u(x, t) dx4
+ ^ kjS{x — xj)u(x, t) + a2
d2u(x, t)
j=i
d 2
= f(x,t),0<x < l,t > 0
(1)
где a2 = f(x, t) =
F(x,t)
Р(х,Ь) - внешняя сила.
Так как концы стержня шарнирно закреплены, получаем следующие граничные условия
д2и(х,
Будем искатьХ - собственные значения и собственные фушцииу(х), удовлетворяющие (4)-(5).Заметим, что собственные функции и собственные значения задачи (4)-(5) образуют бесконечную последовательность.
Алгоритм решения задачи
Перейдем к системе дифференциальных уравнений. Пусть уг (х) = у(х), у2(х) = у'(х). Тогда справедливы соотношения:
U(x, t") lx=0 = 0,
d x2
y1 (x) = y2 (x),
m
yz(x) = ha2(x) —£kjS(x — xj))y1(x).
(6)
(7)
=1
= 0,
d2u(x,t) I
d x2
= 0,
(2)
x=0
x=0
Получаем систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка для вектор-
функции Р = (у°) , которая имеет вид:
Р" = (Яа2 - £/=1 к 8(х- X;) о) Р
(8)
т.е.
/у1'(х)\/ т 0 ] /уо(х)\
\У2(х)у \Яа2 к 3(х-х]) 0 I (У2(х)).
;=о
При этом граничные условия будут представлены следующим образом:
Р(0) = Р(0 = (0).
(9)
Тогда получаем, что
\
= 0
(у1(х) -У2(х),^(х)) =0 ^ /0 (у1(х) - У2(х)) <р(х)(х = 0,
/ V \
У2 (х) - I Яа2 (х) - ^Ц3(х- х ) I Уо (х), гр(х)
, V ;=1 ' )
/(у2(х) - (Яа2(х) - £т=1 к 8(х - х;)уо(х)) 1р(х)йх = 0.
Интегрируя по частям, с учетом граничных условий, получаем:
/0(у1' (х) - У2(х)) <р(х)ах =
у1(х)^(х)Ю - /0у1 (х)<р'(х)(х - / у2(х)<(х)(х = 0 ^
/0у1 (х)<р'(х)(х + /10у2(х)<р(х)(1х = 0. (9)
/0(У2(х) - (яа2(х) -£7=1 к 8(х - х'])уо(х)гр(х)(х = /0 у2 (х)гр'(х)(х / (Яа2(х) -£т=1 к 5(х - х;)) у1(х)гр(х)(х = 0. (10)
Далее для расчета собственных значений и собственных форм колебаний воспользуемся методом конечных элементов .
Пусть 0 = х0* < х1 * < х2* < — < хп* = I -разбиение на узлы,причемточки крепления ких1, х2,..., хт совпадаютс некоторыми узлами, и<1 (х), <2 (х), ..., <рп (х) - базисные функции.
Будем искать приближенное решение в виде
У1(х) = £п=1аУ < (х), УТМ = £пп=1 Р] < (х)
(11) (12).
Подставим приближенные решения У1(х),У1(х)в (9) и (10) получаем:
£П=1 (/,' < (х)<(х)(х) а, + £П=1 (/0 < (х)<(х)(х) р =0 (13) £П=1 (я /0 а2 <] (х)^(х)(х)а- + £т=1 ку1 (х>(х-) = 0 (14)
Обозначим
/„'<] (х)<к(х)(х = ак],А = ||ак,
"],к=1'
<Р](х)<Рк(х)(х = Ьк], В = ||Ьк,] ||^=г
а2< (х)<к (х)(х = ск_;,С = ||ск
, к = 1, л,] = 1, л
^ / ,к =1
0
Матрица ^ = Н^- ||^=г где qjsJs = к5 для 5 = 1,2,..., т = 0 для всех остальных I и ], соответствует точечным упругим креплениям.
Далее рассмотрим вектора:
У1 = I
|, У11 = ' ^2
Для этих векторов сформируем систему линейных уравнений. Из (13) имеем равенство
АуТ + ВУ21 = 0 (15).
Соответственно из (14) получаем равенство
АУТ + ЯСуТ + Qy1 = 0 (16)
Так как мы ищем только вектор УТ, который соответствует функции у1 (х) = у(х), то из (15) и (16) выводим уравнение для УТ.
АуТ + ВуТТ = 0 ^ ВуТ = -АуТ ^ УТ = -В^Ау.
Подставив уТ = -В-1АуТ в (14), получаем уравнение
-АВ-1АуТ + ЯСуТ + QУТ = 0,
равносильное выражению
(АВ-1А + Q)УТ = ЯСуТ
(17)
Таким образом получаем, что для нахождения приближенных собственных функций задачи (4)-(5) нам необходимо:
1. Вычислить элементы матриц А, В, С, Q
2. Решить алгебраическую задачу на собственные значения:
(АВ-1А + Q)vP = ЯСуР.
Вычислить собственные значения Я1 < Я2 < • • • < Яп и собственные векторы у^, ,..., ^.
3. Строим приближения собственных функций:
^к(х) = Vк,l<l(X) + Ук,2<2(х) + — + Ук,п<Рп(х),к = ]ТП
где VкО = (^к,1, ^к,2,.., ^кп).
В качестве базисных функций можно выбрать функции вида:
1. <к(х) - непрерывная кусочно-линейная функция, определенная на всем интервале(0; Г),
, 1,если к =]
2. <к(х) = ( 0, если к Ф].
Тогда все элементы матриц А, В, С, Q легко вычисляются.
л-1
п
На основе разработанного алгоритма написан программный модуль в среде Matlab, позволяющий исследовать формы колебаний и их частоты в зависимости точек крепления балки x1,x2,... ,xmи коэффициентов упругости^, k2,... ,km.
На рис. 1 представлен интерфейс программного модуля. Пользователь может задать основные характеристики балки: длину, точки крепления балки x1,x2,... ,xmи
коэффициентов упругости/^, к2,... ,кт, индекс собственной функции, количество точек разбиения.
После ввода всех данных, происходит расчет элементов всех матриц А, В,С^ и строится при-ближениевыбранной собственной функций, а также выводится на экран ее график (рис. 2). При необходимости пользователь может вывести на одном экране графики нескольких собственных функций.
Рис. 1. Интерфейс программного модуля.
Рис. 2. График собственной функции.
Заключение
В работе рассмотрено применение метода конечных элементов для численного расчета собственных значений и собственных форм колебаний. Разработана алгоритм и на его основе написана программа в среде Matlab, позволяющая исследовать формы колебаний и их частоты в зависимости
X, X, хз '••••' X и ,,къ,...., кп. Такие программы могут быть использованы при исследовании и моделировании резонансных свойств балки с упругими креплениями.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ( грант №17-41-020195 р а.).
ЛИТЕРАТУРА
1. Ciarlet P. G., Lions J.L. Handbook of numerical analysis V. 2. 2003. 928 с.
2. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. 1981. 416 с.
3. Алгазин С. Д. Численное исследование свободных колебаний балки с осцилляторами // Прикладная механика и техническая физика. 2006. Т. 47, №4.
4. Базаров М. Б., Сафаров И. И., Шокин Ю. И. Численное моделирование колебаний диссипативно однородных и неодно-
родных механических систем. Новосибирск: изд-во СО РАН, изд-во «Студия Дизайн ИНФОЛИО», 1996. 189 с.
5. Валеев Н. Ф., «Обратная спектральная задача для конечномерных операторов» // Уфимск. матем. журн., 2:2 (2010), 3-19.
6. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля // М.: Наука. 1984. 240 с.
7. Под ред. В. В. Болотина, Вибрации в технике: Колебания линейных систем // М.: Машиностроение. 1978. 352 с.
8. Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями) //М.: Наука. 1968. 503 с.
9. Юрко В. А., Обратные спектральные задачи и их приложения // Саратов: Сарат. педагогич. ин-т, 2001. 499 с.
10. Валеев Н. Ф., Об одной модели управления собственными колебаниями динамических систем. // Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета. 2008. Т. 2. С. 45.
11. Садовничий В. А., Султанаев Я. Т., Валеев Н. Ф., Многопараметрические обратные спектральные задачи и их приложения // Доклады Академии наук. 2009. Т. 426. №4. С. 457-460.
12. Валеев Н. Ф. Регулярные решения многопараметрической обратной спектральной задачи // Матем. заметки, 85:6 (2009). С. 940-943.
13. Грэхем М. Л. Глэдвелл // Обратные задачи теории колебаний. М.-Ижевск: изд-во РХД. 2008. 610 с.
14. Валеев Н. В., Трунов К. В. Численное решение многопараметрических обратных спектральных задач // Вестник Башкирского университета. 2016. Т. 21. N°4. С. 845-847.
15. Гандер В., Гржебичек И. Решение задач в научных вычислениях с применением Maple и MATLAB. ISBN: 985-6642-06-X. Изд-во «Вассамедина». 2005. 520 с.
Поступила в редакцию 19.09.2018 г.
ISSN 1998-4812
BeciHHK EamKHpcKoro yHHBepcHTeTa. 2018. T. 23. №3
603
NUMERICAL SIMULATION OF FREQUENCY-RESONANCE CHARACTERISTICS OF THE EULER BEAM WITH POINT ELASTIC FASTENINGS
© D. N. Valeeva1, K. V. Trunov2*
1Moscow State University 1/2 Leninskie Gory, 119991 Moscow, Russia.
2Bashkir State University 32 Zaki Validi Street, 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.
*Email: trounovkv@mail.ru
The authors of the article considered the model of small bending oscillations of the beam occurring within one plane under the influence of external force f(x, t) according to initial data (initial deflection and initial velocity). The beam is hinged at the ends and it also has additional elastic fasteners at points x1,x2,... ,xn This model is based on the Euler-Bernoulli equation. To obtain the beam oscillation equation, functionals of kinetic and potential energy were composed in the work, and the work of external forces was taken into account. Then, using the known principle of least action, the corresponding differential equation was derived, taking into account that the beam in the considered problem is attached to a fixed base at the points x1,x2,... ,xn using elastic springs with elastic coefficients k1, k2,..., kn. Using the finite element method, formulas for numerical calculation of eigenvalues and eigenforms of beam vibrations were obtained. On the basis of these formulas, an algorithm for solving the problem was developed. Then, using the Matlab language, the program based on the algorithm was developed. This software enables studying the shapes and their frequencies according to the attachment points of the beams xi, x2, .••, xm and to elastic coefficients x1,x2,... ,xm. The developed program can be useful in studying and modeling the resonance properties of a beam with elastic fasteners.
Keywords: finite element method, dynamical systems, eigenvalues, eigenfrequency control, mathematical models, Matlab.
Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.
REFERENCES
1. Ciarlet P. G., Lions J.L. Handbook of numerical analysis V. 2. 2003.
2. Marchuk G. I., Agoshkov V. I. Vvedenie v proektsionno-setochnye metody [Introduction to projection-grid methods]. 1981.
3. Algazin S. D. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika. 2006. Vol. 47, No. 4.
4. Bazarov M. B., Safarov I. I., Shokin Yu. I. Chislennoe modelirovanie kolebanii dissipativno odnorodnykh i neodnorodnykh mekhani-cheskikh system [Numerical modelling of oscillations of dissipatively homogeneous and inhomogeneous mechanical systems]. Novosibirsk: izd-vo SO RAN, izd-vo «Studiya Dizain INFOLIO», 1996.
5. Valeev N. F. Ufimsk. matem. zhurn., 2:2 (2010), 3-19.
6. Levitan B. M. Moscow: Nauka. 1984.
7. Pod red. V. V. Moscow: Mashinostroenie. 1978.
8. Collattz L.M.: Nauka. 1968.
9. Yurko V. A. Saratov: Sarat. pedagogich. in-t, 2001.
10. Valeev N. F. Vestnik Ufimskogo gosudarstvennogo aviatsionnogo tekhnicheskogo universiteta. 2008. Vol. 2. Pp. 45.
11. Sadovnichii V. A., Sultanaev Ya. T., Valeev N. F. Doklady Akademii nauk. 2009. Vol. 426. No. 4. Pp. 457-460.
12. Valeev N. F. Matem. zametki, 85:6 (2009). Pp. 940-943.
13. Graham M. L. Gladwell. Obratnye zadachi teorii kolebanii. M.-Izhevsk: izd-vo RKhD. 2008.
14. Valeev N. V., Trunov K. V. Vestnik Bashkirskogo universiteta. 2016. Vol. 21. No. 4. Pp. 845-847.
15. Gander W., Hrebicek J. Reshenie zadach v nauchnykh vychisleniyakh s primeneniem Maple i MATLAB [Solving problems in scientific computing using Maple and MATLAB]. ISBN: 985-6642-06-X. Izd-vo «Vassamedina». 2005.
Received 19.09.2018.
