CC BY
35
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XXI 1990
№ 1
УДК 533.6.013.2.011.32 : 629.7.025.1
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ ТРЕУГОЛЬНОГО КРЫЛА МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ ПО КРЕНУ НА БОЛЬШИХ УГЛАХ АТАКИ
Г. М. Шумский
Проведено численное исследование свободных колебаний треугольного крыла по крену при отрывном обтекании идеальной несжимаемой жидкостью на основе совместного решения уравнений нестационарной аэродинамики и динамики. Результаты расчетов автоколебательных режимов удовлетворительно согласуются с данными эксперимента. Выявлен характер функции демпфирования, особенность его формирования на первом цикле колебаний. Установлена зависимость амплитуды автоколебаний от безразмерной частоты, момента инерции крыла.
На больших углах атаки в условиях отрывного обтекания могут возникать нежелательные автоколебания летательных аппаратов по крену, называемый в соответствующей литературе США «Wing rock». Для успешной борьбы с этим явлением требуется глубокое понимание его физической природы. В модельных задачах рассматриваются наиболее простые несущие системы, в частности, треугольные крылья. В работах [1—4] автоколебания таких крыльев изучались экспериментально. В [5] была показана принципиальная возможность их численного моделирования на ЭВМ, а в [6] в аналогичной постановке исследовалось влияние на автоколебания по крену второй степени свободы — по# тангажу. Однако, несмотря на достигнутые успехи» изучение этого явления в настоящее время далеко от завершения. С использованием подхода [5] в настоящей работе построена математическая модель свободных колебаний треугольного крыла по крену, с помощью которой продолжены исследования автоколебательных режимов.
1. Рассматривается движение тонкого треугольного крыла в идеальной несжимаемой жидкости под большим углом атаки. Нестационарные аэродинамические характеристики крыла определяются на основе решения нелинейной задачи отрывного-обтекания. Вводятся обычные положения нелинейной теории крыла в идеальной жидкости: потенциальность течения вне крыла и вихревого следа; фиксированность линии отрыва на острых кромках; отсутствие вторичных отрывов; выполнение условий непротекания на крыле, постулата Жуковского на кромках, а также кинематического и динамического условий на вихревой пелене, затухания возмущений на бесконечности [7].
Предполагается, что движение крыла началось из состояния покоя с постоянной скоростью V. После того как над крылом сформировалась устойчивая вихревая структура, в момент /о оно получает степень свободы по крену (ось вращения вдоль корневой хорды). С этого момента уравнения нестационарной аэродинамики решаются совместно с уравнением движения крыла по крену, которое имеет следующий вид
1 =сгтх (f, -у; а, X) (>>
с начальными условиями
7 (*о) = То; Ї Ы = О
Здесь 7 — угол крена; а — угол атаки; Ь — хорда; Ь — время; т = —---------безразмер-
ное время; X —удлинение;
_ 2 Мх _ р № £/
тх= р К2 5/ ’ С1 _ 21Х
Мх — момент крена; р — плотность жидкости; 1Х, Б, I — момент инерции, площадь и размах крыла соответственно.
Алгоритм численного решения нелинейной задачи отрывного нестационарного обтекания треугольного крыла строится на основе метода дискретных вихрей [7]. Соответствующая вихревая схема крыла с прямоугольными вихревыми ячейками в: следа приведены, например, в [8]. Количество дискретных вихрей вдоль корневой хорды равнялось 6, а вдоль размаха—12. Шаг интегрирования уравнений нестационарной аэродинамики [7], определяемый вихревой сеткой на крыле, использовался и при численном решении уравнения движения. Следуя методу дискретных вихрей, из условия непротекания, выполняемого в контрольных точках, дополненного условием постоянства циркуляции скорости вдоль жидкого контура, охватывающего отсеки крыла и вихревой пелены,' на каждом шаге по времени можно получить систему линейных алгебраических уравнений относительно искомых циркуляций вихрей. Изменяющаяся на каждом шаге форма вихревого следа определяется в ходе решения задачи. С помощью интеграла Коши — Лагранжа находятся нестационарные нагрузки и коэффициент тх крыла, который затем используется при интегрировании уравнения движения (1) методом Рунге — Кутта. Расчеты проводились на ЭВМ «БЭСМ-6» и «МВК Эльбрус-1».
2. Из опытных данных следует, что автоколебания крыла по крену не возникают, если угол атаки не превышает некоторый предельный ав — угол возбуждения [3]. Так, например, для тонкого треугольного крыла с относительной толщиной (с = 0,025) с удлинением Я=0,71 и симметричным профилем острой кромки.
Для качественной демонстрации математической модели расчеты проводились в двух диапазонах углов атаки а<ав и а>ав, для треугольного крыла удлинение Я=0,71. Коэффициент уравнения (1) равнялся с± = 14,08.
Рассматривался сначала угол атаки а=15° из первого диапазона а<ав. Начальные условия задавались в следующем виде:
7 (То) = 20“; т (т0) 1= о .
Изображение интегральной кривой уравнения (1), полученной в результате-расчета, показано на фазовой плоскости (у, у) и имеет вид скручивающейся спирали (рис. 1 ,а). В данном случае начало координат является особой точкой типа устойчивого фокуса и колебания крыла затухают.
Рис. 1
Далее рассматривался угол атаки а —27° из второго диапазона а>ав. Соответствующий фазовый портрет системы в этом случае представлен на рис. 1,6. Видно, что интегральная кривая накручивается изнутри на предельный цикл и в системе реализуются автоколебания. Выбирая начальный угол крена большим, чем амплитуда предельного цикла, получаем накручивание интегральной кривой извне на тот же, как теперь уже можно заключить, устойчивый предельный цикл (рис. 1,в). Отметим, что неустойчивого предельного цикла, речь о котором велась в работе [5], здесь не обнаружено.
Из фазовых портретов, приведенных на рис. 1,6, в, видно, что накручивание интегральной кривой на предельный цикл происходит быстрее, если движение начинается из внешней области фазовой плоскости. Это обстоятельство, нашедшее подтверждение и в физическом эксперименте, позволяет существенно сокращать машинное время, потребное для выхода на предельный цикл.
3. В предыдущем пункте было установлено, что математическая модель дает качественно верные результаты. Однако представляет интерес провести и количественное сопоставление с экспериментом. Для этого физические параметры в расчетах выбирались такими же, как и в эксперименте [3]. Следует отметить, что при демонстрации математической модели (см. п. 2) в качестве /* принималось уменьшенное значение момента инерции реального крыла, так как это позволило ускорить выход системы на предельный цикл. С учетом значения момента инерции реальных крыльев (/* = 0,00039 кг • мс2; /* = 0,0122 кг-мс2) коэффициент уравнения (1) принимал следующие значения: С1=4,35— для Я=0,71; С1=2,79— для Х=1.
Физический эксперимент, который проводился на тонких треугольных крыльях {с=0,025) с удлинением X=0,71; 1, показал, что имеется сильная зависимость амплитуды автоколебаний от формы профиля острой кромки [3]. В связи с тем, что несимметричная форма профиля кромки в расчетах не моделировалась, результаты численного исследования сопоставлялись с экспериментальными данными для крыла с симметричным профилем острой кромки, полученными в работе [3],
На рис. 2 приведены расчетные и опытные зависимости амплитуды автоколе-
о> I
баний и безразмерной частоты р* (р* = — , со — круговая частота) от угла
атаки. Видно, что для крыла с удлинением Я=0,71 численные и экспериментальные данные удовлетворительно согласуются как по амплитудам, так и по частотам практически во всем исследованном диапазоне углов атаки. В работе [4], например, показано, что на режиме автоколебаний этого крыла даже с амплитудой А.( =43° при угле атаки а = 40°, разрушение вихря на наветренной консоли происходит только на^ части периода в окрестности нейтрального положения |у|<23°. Поэтому принятый численный подход, в котором разрушение вихрей не моделируется, для данного крыла удовлетворительно описывает автоколебательные режимы.
к = 0,71
« к=1
25°
А
Г
У~\
I \
/
15° а
15'
35°
а.
-+-элсперинент
____. расчет
0,05
ос
Рис. 2
С увеличением удлинения процессы разрушения («взрыва» вихрей) усиливаются и начинают оказывать существенное влияние на амплитуду автоколебаний. Вследствие этого, по-видимому, для крыла Х= 1 достижение максимального значения амплитуды /Ц , а затем и ее уменьшение в эксперименте происходит раньше, то есть на меньших углах атаки (рис. 2).
На основе результатов расчетов, выполненных при проведении сопоставления с экспериментом, на рис. 3 построена петля тх(у) для одного из режимов автоколебаний крыла. Стрелками на ней указано направление обхода. Видно, что петля имеет двойное самопересечение. Это подтверждается и экспериментально [3].
Из приведенных на рис. 3 данных следует, что в интервале |^1<19э в системе реализуется отрицательное демпфирование, а вне его, при больших углах крена — положительное. Отметим, что, если просуммировать площади областей петли с одинаковым направлением обхода и сопоставить их, то они должны быть равны, так как система находится на предельном цикле.
Изучение экспериментальных и численных материалов исследований позволяет предположить, что демпфирование крыла можно условно представить в виде двух составляющих. Первая определяется обычным классическим демпфированием аэродинамических сил, препятствующих движению крыла. Вторая составляющая — вихревая, порождается вихревой системой крыла, ее инерционными свойствами. Она определяет отрицательную часть демпфирования (антидемпфирование). В зависимости от баланса этих двух составляющих автоколебания могут возбуждаться или подавляться.
Продемонстрируем механизм формирования второй составляющей. Для этого вдоль петли на прямом ходе (у>0) помещены рисунки сечений вихревых жгутов плоскостью, перпендикулярной к поверхности крыла и проходящей через заданную кромку (А, Б, В, Г).
При движении крыла из положения А (рис. 3) его правая консоль удаляется от своего вихревого жгута, тогда как левая — приближается к соответствующему вихревому жгуту. Однако вследствие запаздывания в перемещении вихревых жгутов за движущимся крылом левый из них оказывается ближе, а правый — дальше от соответствующих консолей (рис. 3—Б, В). В результате на этом участке периода создается момент в сторону вращения. Дальнейшее движение крыла сопровождается уменьшением угловой скорости и, следовательно, увеличением времени для процесса перестройки вихревых жгутов к положению в «статике». При этом подветренный вихревой жгут сдвигается за пределы крыла (рис. 3, Г), что способствует уменьшению отрицательного вклада второй составляющей, и в системе преобладает положительное демпфирование.
4. На основе построенной математической модели был выявлен ряд интересных особенностей автоколебаний треугольного крыла.
сх--25° , К- 0,11
Известно, что амплитуда в автоколебательных системах зависит от демпфирования. С другой стороны экспериментально установлено [3], что демпфирование треугольных крыльев на режиме автоколебаний зависит от безразмерной частоты. Из этого следует, что амплитуда А должна быть функцией р*. Математическая модель позволяет исследовать влияние на амплитуду безразмерной частоты.
В качестве примера рассматривалось крыло удлинение Я=0,71, установленное под углом атаки а = 27°. Варьирование р* осуществлялось двумя способами: с помощью изменения момента инерции крыла /*; через добавление в правую часть уравнения (1) линейного члена с2%, позволяющего изменить степень поперечной статической устойчивости.
се =27°; *. = 0,71
Расчеты показали, что имеется сильная зависимость амплитуды автоколебаний от безразмерной частоты (рис. 4). Так, в рассмотренном диапазоне чисел р* амплитуда А-г могла измениться более чем на 15°. Полученные материалы иллюстрируют также влияние на амплитуду автоколебаний момента инерции крыла.
Следует обратить внимание на эффект, обнаруженный, как в расчете, так и в эксперименте [3], который может пролить свет на природу автоколебаний. Оказалось, что ца первом полупериоде движения крыла, начавшегося с некоторого постоянного угла крена, в системе преобладает демпфирование, что проявляется в уменьшении отклонения угла крена от начала координат (а4>а2, рис. 1,6). Однако уже на следующем полупериоде в системе доминирует антидемпфирование, отклонение возрастает и интегральная кривая стремится к предельному циклу.
ЛИТЕРАТУРА
1. Nguyen L. Т., Yip L., Chambers I. R. Self-induced wing rock of slender delta wings.—AIAA Paper 81—1883, Aug. 1981.
2. L e v i n D. and Katz J. Dynamic load measurements with delta wings undergoing self—induced roll—Oscillations. — J. Aircraft, vol. 21, Jan. 1984.
3. Караваев Э. А., Прудников Ю. А. Автоколебания по крену несущих систем с тонкими треугольными крыльями. — Ученые записки ЦАГИ, 1989, т. 20, № 6.
4. Young'— Whoon Jun, Nelson R. С. Leading—edge Vortex Dynamics on a Slender Oscillating Wing. — J. Aircraft, 1988, vol. 25, N 9.
5. Konstadinopoulos P., Mook D. Т., Nayfeh A. H. Subsonic wing rock of slender delta wings. —J. Aircraft, vol., 22, March, 1985.
6. Elzebda J. М., Mook D. Т., Nayfeh A. H. The influence of freedom on subsonic wing rock of slender delta wings. — AIAA Paper 87—0497, Jan. 1987.
7. БелоцерковскийС. М., H и ш т М. И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. — М.: Наука, 1978.
8. Прудников Ю. А., Часовников Е. А., Шумский Г. М. Сопоставление расчетных и экспериментальных нестационарных аэродинамических характеристик треугольного крыла, колеблющегося по тангажу на больших углах атаки. — Ученые записки ЦАГИ, 1989, т. 20, № 1.
Рукопись поступила 1/IX 1988 г~
