CC BY
47
ЕРМАКОВ Андрей Васильевич
аспирант
ЩЕГЛОВ Георгий Александрович
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Аэрокосмические системы» (МГТУ им. Н.Э. Баумана)
УДК 532
Численное моделирование аэроупругих колебаний кольца в дозвуковом плоскопараллельном потоке1
А.В. Ермаков, Г.А. Щеглов
Изучена модельная задача аэроупругости, в которой профиль, считающийся упругим кольцом, взаимодействует с двумерным потоком несжимаемой среды. Параметры потока и нагрузки рассчитаны методом вихревых элементов. Показано, что упругость профиля и его условия закрепления оказывают существенное воздействие на условия формирования завихренности и характер нестационарных аэродинамических нагрузок, которые являются полигармоническими.
Ключевые слова: аэроупругость, метод вихревых элементов, взаимодействие потока и профиля.
A model problem of aeroelasticity has been studied, where the profile being considered as an elastic ring interacts with a two-dimensional flow of incompressible medium. The flow parameters and loadings are calculated using the vortex element method. It is shown that the profile elasticy and its fixing conditions have a significant influence on the vorticity generation process and parameters of unsteady aerodynamic loads, being polyharmonic.
Keywords: aeroelasticity, vortex element method, flow-structure interaction.
ID связанных задачах аэроупругости, когда требуется численное моделирование переходных режимов движения упругой обтекаемой поверхности в безграничном потоке несжимаемой среды, весьма эффективным оказывается метод вихревых элементов, основанный на модели потока завихренности Лайтхилла — Чорина [1], в рамках которой генерация вихревых элементов производится на всей поверхности обтекаемого тела. Метод позволяет учитывать взаимосвязь между движением обтекаемой поверхности и процессом генерации вблизи нее завихренности.
Целью настоящей работы являлся анализ влияния местной податливости контура обтекаемого профиля на процесс вихреобразования по модели Лайтхилла — Чорина.
Постановка задачи и математическая модель
Рассматривается модельная задача. В плоскопараллельном потоке несжимаемой среды, движущейся со скоростью V, находится замкнутый деформируемый профиль K, составленный из NK прямолинейных балочных конечных элементов.
1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (Проект № 11—08—00699-а).
Форма профиля в положении равновесия задана в неподвижной системе координат радиус-векторами узлов г;. (/ = 1,...,NK). В качестве условий закрепления используется заделка заданных узлов профиля. Рассматриваются растяжение, прогиб и угол поворота в узлах
} = {иI ,w;■ ,91} . Параметрами элемента являются длина Li, изгибная жесткость EJ1 и жесткость на растяжение—сжатие EFl.
Система уравнений динамики конечно-элементной модели имеет вид
[ М]{4} + [С]Ы=&}, (1)
где [ M], [С] — глобальные матрицы массы и жесткости конструкции; — результирующий
вектор перемещений, вычисленный согласно [2]; ^} — вектор аэродинамических нагрузок, определяемый методом вихревых элементов. Система (1) решается методом разложения по собственным формам колебаний.
Используется модификация метода вихревых элементов, описанная в работе [3]. Применение закона Био-Савара для расчета поля скорости по известному положению г^ и интенсивности Гг системы из NV вихревых элементов обеспечивает выполнение уравнения неразрывности. В качестве вихревого элемента используется вихрь Рэнкина [1]. Из уравнения сохранения импульса следуют уравнения для движения вихревых элементов:
= fr ty d£L = о dt V ^ ,t dt
(i = 1,..., Nv). (2)
Обтекаемый профиль моделируется панелями, вблизи которых на каждом шаге интегрирования (2) рождаются новые вихри. Интенсивность этих вихрей рассчитывают из граничных условий непротекания. В настоящей работе в качестве панелей профиля использованы отрезки между узлами (гг + Агг; гш + Агг+1). Контрольная точка гк и точка рождения вихревого элемента гь. выбраны на расстоянии половины длины панели от узла г{ .
Вектор гидродинамических нагрузок ^}
имеет компоненты } = {о,—p(гm ,t)L¡п 1,0} ,
где п I — нормаль к панели, p(гKi. ,t) — давление, вычисленное с помощью аналога интеграла Коши — Лагранжа [4]. Рассмотрен случай, ко-
гда силы инерции, возникающие в узлах профиля, значительны по своей величине и задача аэроупругости на шаге интегрирования может быть разделена на независимые подзадачи динамики жидкости (2) и динамики конструкции (1).
Полученные результаты
Рассмотрена модельная задача об обтекании кругового профиля единичного диаметра, деформируемого как тонкое кольцо, заделанное в двух точках, потоком с единичными скоростью, плотностью и давлением «на бесконечности».
Выбор параметров расчетной схемы метода вихревых элементов производился путем решения тестовой задачи об установившемся режиме обтекания жесткого цилиндра единичного диаметра. Контур профиля был разбит на NK = 200 расчетных панелей. Радиус сглаживания вихревого элемента выбран е = 0,004, шаг интегрирования уравнений эволюции вихревых элементов At = 4 • 10"2. Прочие параметры расчетной схемы, описанные в работе [3], имеют следующие значения: е* = 4-10"3; 5 = 10"4; 1Р = 8,0.
При этих параметрах для жесткого цилиндра были получены установившиеся значения аэродинамических коэффициентов Cxa =1,196 и Cya = 0,0. Амплитуда колебаний подъемной силы в расчетах составила ACy^a ~ 0,9. Спектр пульсации гидродинамических сил — моногармонический с безразмерными частотами Shy = 0,21 и Shx ~ 0,4. Эти данные хорошо совпадают с иизвестными экспериментальными данными в диапазоне чисел Re ~105 [5]: Cxa ~ 1,196;
Cya = 0,0; Acya -1,0; Shy ~ 0,21.
При исследовании аэроупругих колебаний кольца рассмотрено четыре расчетных случая (РС) с различными безразмерными параметрами упругой системы, приведенными в табл. 1.
Таблица 1
РС b E J Закрепление кольца
1 0,005 1,1109 5,2-10—11 Рис. 1, а
2 0,007 1,5-Ю11 2,0-10—1° Рис. 1, а
3 0,007 1,1107 2,0-10—10 Рис. 1, б
4 0,005 1,1109 5,2-10—11 Рис. 1, б
г! у 1
а б
Рис. 1. Расчетные схемы
Значения безразмерных жесткостей кольца и первые три частоты собственных колебаний (в таблице указано соответствующее число Струхаля) для расчетных случаев приведены в табл. 2. Первые три собственных формы колебаний кольца, по которым проводилось разложение уравнений, для РС № 1 и РС № 2 показаны на рис. 2, а, для РС № 3 и РС № 4 — на рис. 2, б.
Таблица 2
РС Ш БГ рГ «1 «2 «3
1 0,057 27500 0,22 0,202 0,568 1,193
2 30,012 7,35 -106 0,43 3,307 9,285 19,507
3 0,014 3430 0,45 0,202 0,499 0,964
4 6,771 3,25 -106 0,22 6,329 15,705 30,358
Как следует из данных, приведенных в табл. 2, в РС № 1 и № 3 первая собственная частота кольца близка к частоте схода вихрей с жесткого кольца. Таким образом, в двух случаях возможен рост амплитуды колебаний, обусловленный вихревым резонансом.
Для каждого случая был рассчитан переходный режим длительностью T = 400,0. Шаг интегрирования уравнений динамики кольца был выбран Ат = 1 • 10_6. Параметры расчетной схемы метода вихревых элементов не изменялись. В результате были получены зависимости от
времени для подъемной силы и лобового сопротивления кольца, графики перемещений точек кольца и визуализировано движение вихревых элементов. Для каждого расчетного случая в табл. 3 приведены установившиеся значения аэродинамических коэффициентов. Случай обтекания жесткого кольца отмечен как РС № 0.
Таблица 3
РС «1 с ^ха Ях Ул
0 — 1,196 0,21 0,4 — —
1 0,202 1,166 0,235 0,35 0,46 0,1067 0,020 0,088 0,166
2 3,307 1,08 0,16 0,41 1,21 0,25 0,81 1,12 0,0886 0,41
3 0,202 0,96 0,18 0,06 0,28 0,3205 0,025
4 6,329 1,196 0,21 0,75 0,06 0,41 0,0023 0,21 0,75
Как следует из данных, приведенных в табл. 3, при увеличении жесткости кольца коэффициент лобового сопротивления стремится к значению для абсолютно жесткого кольца. При уменьшении жесткости коэффициент сопротивления уменьшается. Это связано, по всей видимости, с изменением миделевого сечения деформированного кольца и с изменением условий вихре-образования на гладкой деформируемой поверхности. В случае резонанса РС № 3 коэффициент сопротивления оказывается на 20% ниже, чем у жесткого кольца. Вид вихревых следов за кольцами в момент времени t = T для расчетных случаев показан на рис. 3. Точками отмечены вихревые элементы. Вихревой след
а
Рис. 2. Собственные формы колебаний кольца
Рис. 3. Вид вихревых следов за кольцами при t = Т
для РС № 4 практически совпадает со следом за жестким профилем. В резонансных случаях след отличается от РС № 4, но более всего отличия в конфигурации вихревого следа заметны в нерезонансном РС № 2.
Эпюры максимальных амплитуд колебаний точек кольца изображены на рис. 4. Видно, что в резонансных случаях амплитуды колебаний больше, чем в нерезонансных случаях. А в случае РС № 3 максимальные амплитуды колебаний составляют более четверти радиуса кольца. Из анализа изменения амплитуды с течением времени следует, что у такого кольца в потоке наблюдаются биения.
Графики пульсаций аэродинамических сил показывают, что данные зависимости в отличие от аналогичных графиков для жесткого кольца являются полигармоническими. В табл. 3 приведены спектры частот пульсаций сил, а также спектр частот радиальных колебаний точки кольца, лежащей в зоне отрыва вихрей. Например, для РС № 2 это точка № 129 (см. рис. 4).
Из анализа спектров пульсаций аэродинамических сил следует, что в РС № 1 частота пульсаций подъемной силы (8Н = 0,235) оказалась отстроена от первой собственной частоты колебаний (ш = 0,202), т. е. частота схода вихрей при обтекании упругого кольца увеличилась, и резонанс практически не проявился. Однако в спектре пульсаций поверхности кольца имеется частота, близкая к частоте биений (8Н-ш)/2 « 0,0165. Другие частоты в спектре также близки к полусуммам и полуразностям
0,0229 (шм 0,006!
1 0,0206 0,0802
■ 7 ¡5« \ рт . 1 0.0886
0.1031 V, 29 74/ ]
54 0,0802
РС Не 1 \ 0,0208 4 0.116» Р С На 2 \р ,009.1 4 -.0.0476
0,2268 0,0009
0,33)5 о.оогз
1-Х
иЛГ \ "-1"8 Л1И / I 15?\ ' , 0.0022
( 132 Ь— ( 132
\ (3 че Шу .0,2633 V 63 Х*2 107// >< / ¿0023
РС Ив 3 \ ¡1.1638 РС №4 Ч0.1И)|»
Рис. 4. Эпюры амплитуд колебаний
частот схода вихрей и первой собственной частоты колебаний, а также к удвоенной частоте пульсаций силы сопротивления.
В резонансном случае РС № 3, отличающемся от РС № 2 условиями закрепления, частота пульсаций подъемной силы (8Н = 0,18) оказывается меньшей, чем у жесткого кольца и по своей величине ближе к первой собственной частоте (ш = 0,202). В силу этого биения и имеют большую амплитуду.
В остальных расчетных случаях наблюдаются аналогичные эффекты. Наибольшее число гармоник имеют пульсации сил в РС № 2. Однако в этом случае колебания точек кольца являются моногармоническими с частотой, равной средней гармонике пульсаций подъемной силы (8Н = 0,41). Анализ графика радиальных перемещений точек кольца показывает, что в РС № 2 возникает режим мягкого возбуждения автоколебаний.
Выводы
При численном моделировании аэроупругих колебаний кольца в дозвуковом плоскопараллельном потоке несжимаемой среды методом вихревых элементов установлено, что упругость профиля и его условия закрепления оказывают существенное воздействие на условия формирования завихренности и, как следствие, на характер нестационарных аэродинами-
ческих нагрузок, которые оказываются полигармоническими. Причем в спектре проявляются гармоники, пропорциональные суммам и разностям частот пульсаций подъемной силы и силы сопротивления, а также первой частоте собственных колебаний кольца.
Установлено, что взаимосвязь между вихре-образованием и колебаниями кольца может оказывать существенное влияние на режим движения кольца. Например, упругое кольцо, параметры которого настроены в резонанс с частотой схода вихрей жесткого кольца, может иметь частоты вынужденных колебаний, отстроенные от резонанса за счет изменения структуры вихревого течения; у кольца, отстроенного от резонанса с частотой пульсаций подъемной силы, может возникнуть режим автоколебаний, и т. д.
Обнаруженные эффекты требуют дальнейшего изучения. Они показывают, что использо-
вание в задачах динамики конструкций, находящихся под действием ветровых нагрузок, вынуждающих сил, заданных полуэмпирическим путем на основе свойств дорожки вихрей Кармана, образующейся за жестким круговым цилиндром, может приводить к принципиально неверным результатам.
Литература
1. Cottet G.-H., Koumoutsakos P. Vortex Methods: Theory and Practice. Cambridge: Cambridge University Press, 2000. 320 p.
2. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник / под ред. В.И. Мяченко-ва. М.: Машиностроение, 1989. 520 с.
3. Щеглов Г.А. Исследование динамики опор упругого элемента, выдвигаемого в плоскопараллельный поток // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. Спец. выпуск. 2008. С. 48—58.
4. Андронов П.Р., Гувернюк С.В., Дынникова Г.Я. Вихревые методы расчета нестационарных гидродинамических нагрузок. М.: Изд-во МГУ, 2006. 184 с.
5. Ларичкин В.В. Аэродинамика цилиндрических тел и некоторые инженерные задачи экологии. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2006. 304 с.
Статья поступила в редакцию 24.10.2011 г
