Численное исследование течения газа в тонких профилированных зазорах с вибрацией, объединенных в Т-образную структуру Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.5.516.5:534.122

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА В ТОНКИХ ПРОФИЛИРОВАННЫХ ЗАЗОРАХ С ВИБРАЦИЕЙ, ОБЪЕДИНЕННЫХ В Т-ОБРАЗНУЮ СТРУКТУРУ

С.Г. Некрасов, H.A. Пашнина

Рассмотрена математическая модель течения газа в профилированных зазорах с вибрацией, последовательно соединенных в Т-образную структуру. Т-образная структура сформирована из профилированных плоского слоя и цилиндрического капилляра. Представлены результаты численного решения модельных уравнений с использованием метода конечных разностей в сравнении с результатами аналитического решения, полученного при использовании асимптотического анализа. Исследованы интегральные характеристики зазоров с вибрацией, совместно работающих в Т-образной структуре, а также определены геометрические параметры таких зазоров, оказывающие значительное влияние на интегральные характеристики.

Введение. В теории газовой смазки эффект создания избыточного давления газа под действием вибрации в тонком слое называют обычно «вибронесущим» или эффектом «сдавливания слоя» и относят к разновидности газодинамического эффекта.

В теории и практике вибронесущих опор наблюдаются массовые потоки, ухудшающие такие характеристики опор как, например, несущая способность, точность позиционирования. Однако эффект направленного течения газа может быть использован и самостоятельно для создания ряда технических устройств компрессорного типа.

Предлагаемый способ создания направленного течения газа [1] связан с тем, что профилирование, т. е. придание определенной формы зазору, способствует генерации в нем распределения давлений, отражающего форму профиля. Этот эффект рассматривался авторами при исследовании интегральных характеристик плоского слоя с вибрацией [2, 3], где ряд выводов были получены на основе асимптотического анализа. Однако, более полное представление об интегральных характеристиках слоя можно получить, основываясь на результатах численного решения модельных уравнений, определяющих течение газа в слое. В частности, численное моделирование позволяет получить результаты, достоверно отражающие работу слоя как в диапазоне больших частот, используемых для формирования эффекта «сдавливания слоя», так и в диапазоне малых частот. Именно в диапазоне малых частот можно ожидать переход количественных изменений характеристик слоя в качественные, например, появление расхода слоя, достаточного для промышленного использования в области приборостроения.

Не менее перспективным можно считать создание гибридных устройств в виде комбинации слоев различных конфигураций, например профилированные плоский и цилиндрический, плоский и капилляр. Здесь уже необходимо согласование толщины зазора, глубины и формы профиля в одном слое с этими же параметрами в другом. Не менее важным, особенно в области малых частот вибрации, является направление движения ограничивающих слой поверхностей в каждом из слоев, например, синфазное или противофазное.

Рис. 1. Осесимметричная Т-образная структура последовательно соединенных профилированных плоского слоя и цилиндрического капилляра с вибрацией

Некрасов С.Г., Пашнина Н.А. Численное исследование течения газа в тонких профилированных

Математическая модель. На рис. 1 приведена схема одного из возможных сопряжений профилированных плоского слоя и капилляра с вибрацией, образующих осесимметричную Т-образную структуру при их последовательном соединении.

Профилированный КаПИЛЛЯр ВЫПОЛНеН В Элементе 1 В ВИДе ОТВерСТИЯ ДЛИНОЙ I С ВХОДНЫМ Г]

и выходным г2 радиусами.

Профилированный плоский слой образован профилированной поверхностью диска 2 с глубиной профиля д и плоской поверхностью элемента 1. Поверхности элементов 1 и 2, формирующих плоский слой, расположены на расстоянии г друг от друга. Элемент 1 совершает вынужденные колебания обычно на одной из резонансных частот с амплитудой К. Боковые поверхности элемента 1 совершают колебания с амплитудой в кИ раз меньше амплитуды К, где кИ - безразмерный коэффициент, близкий к коэффициенту Пуассона материала элемента 1.

Представленная на рис. 1 структура отражает конструктивные черты реального устройства, но имеет все необходимые признаки обобщенных сопряженных профилированных зазоров и позволяет, не теряя общности рассуждений, распространить полученные результаты на сопряженные зазоры других конфигураций.

Функции зазоров, образованных смазываемыми поверхностями элементов 1 и 2, определяются видом (1) для профилированного плоского слоя в полярной системе координат, и видом (2) для профилированного капилляра в цилиндрической системе координат:

где х - радиальная координата (г\<х<Л); у - продольная координата (0<у<Ь); п - показатель степени; т=уґ - безразмерное время; V - циклическая частота колебаний элемента 1; / - время.

В (1) второе слагаемое определяет профиль зазора, для описания которого используется тригонометрическая функция косинуса со степенной зависимостью от показателя крутизны профиля п (0<и<оо), что позволяет универсально описывать осесимметричный профиль рабочей поверхности элемента 2 любой формы. Третьи слагаемые в (1) и (2) определяют вибрационную составляющую зазора. В (2) второе слагаемое определяет вид профиля капилляра.

Для получения универсальных моделей вместо размерных величин вводятся безразмерные величины, так функция (1) относится к максимальному значению зазора (д+г), функция (2) к радиусу входного отверстия г и радиальная координата к радиусу Я и продольная координата к длине X. Вводятся следующие безразмерные величины: г=х/Я - безразмерная радиальная координата (/с<г<1), где к=Г\/Л; 2=г!{§г\-2)\ 5+г); НріТ=Н^(д+г); м>=у!Ь - безразмерная продольная

координата (0<м><1), где К=Щ(у) -Ь/гх, НЫ=Ь-К/гу.

С учетом введенных безразмерных величин функции (1) и (2) принимают вид

Для описания течения газа используем обычные допущения теории смазки. Полагаем, что смазочное вещество (газ) может рассматриваться как сплошная среда, динамический коэффициент вязкости не зависит от давления, режим течения в смазочном слое является ламинарным, тепловой режим изотермическим, силами инерции можно пренебречь по сравнению с силами вязкости, давление не зависит от поперечной зазору координаты, характерный продольный размер слоя много больше поперечного. В этих условиях для описания ламинарного изотермического течения газа с числами Рейнольдса порядка Яе~ 1 в тонких газовых слоях с вибрацией можно использовать уравнение Рейнольдса [4], при этом математическую модель задачи получаем, решая его совместно с уравнениями неразрывности и состояния. В результате получаем уравнение, описывающее распределение давления в слое для вспомогательной функции ¥-РН, где Р - давление в слое. Функция ¥ обладает рядом полезных по сравнению с давлением Р свойств и, в частности, существенно большей гладкостью, так как направления изменения входящих в нее сомножителей всегда противоположны. Данный факт давно подмечен в теории смазки и использу-

зазорах с вибрацией, объединенных в Т-образную структуру

Vі'- м *■)

(1)

К =г1+ Ш<,г)у + К К с°ь(Т) >

(2)

Нр1 = Нр10 + Нр1т со5(т), Я, = Яй0 + Нат со8(г),

р‘“ \\-k2)

зазоров.

! у_/С 7Г \

где Яр/0 = ¿4сов” ------— + 2, Я,?0 = 1 + Км - независящие от времени составляющие функций

ется для поиска приближенных аналитических решений, но он не менее полезен и при численном решении, так как позволяет существенно улучшить сходимость задачи.

Тогда, следуя работе [5], получаем следующие модельные уравнения в полярной системе координат (г, в) для осесимметричного течения газа в плоском слое и капилляре в цилиндрической системе координат (м>, 9):

д_

дг

д_ дн>

Нр1 дЧ'

р>

дг

Ч/

2 дНр!

р1

дг

= г А

дЧ/

р1

Я

'н„дч£ 2ан„

V

2 дм

дм

тр‘ дт дЯ.

дт

(3)

(4)

где А,

р!

П/иуЯ2

6/иу II РаГг

— безразмерные частотные параметры сжимаемости

Ра^ + г)1

профил ированных плоского слоя и капилляра; ц - динамическая вязкость, Ра - атмосферное давление.

Уравнение (4) получено для цилиндрического капилляра по аналогии с уравнением для цилиндрического слоя в предельном случае, когда радиус внутренней ограничивющей слой поверхности стремится к нулю, что ведет к переходу номинального зазора слоя в радиус капилляра, при сохранении такой фундаментальной характеристика слоя, как зазор.

Система граничных и начальных условий для уравнений (3) и (4) при независимом рассмотрении плоского слоя и капилляра отражает их естественный характер и может быть определена в виде

Уркг=к)=Нр(г=к), ¥р/(г=1) =Нр{г= 1), ¥Р1(т=0)=¥р10=НрИ), (5)

¥15(м>=0) =ЯЙ(У=0), ¥,^=\)=Н^=1), ^(г=0)=^о=Я,о, (6)

ЗД= ¥р{х+2к), ВД= ¥Хт+2тг). (7)

При рассмотрении Т-образной структуры краевые условия (5) и (6) для общей точки, принадлежащей плоскому слою и капилляру с координатами г=к и м>=0, заменяются условиями равенства давлений в общей точке и условием равенства расходов в плоском слое и капилляре. Краевые задачи (3)—(7) будут использоваться для получения численного решения. Численное решение. Для линеаризации задачи воспользуемся итерационной схемой с линеаризацией по методу Ньютона [6]

х^СРи+1) = х^0(^)-Д^),

где пространственно-временные дифференциальные операторы имеют вид

(8)

\НР1

12

II Г Н„о - V

дг

,Г2 8Нр1 р‘ дг

■г А

д¥

V р1

Р1

дт

■ ДЛЯ ПЛОСКОГО СЛОЯ,

Нъ

2 длм

2 2ЭЯ*Л хй

дм>

дт

- для капилляра,

% ~ начальное приближение для искомых функций, ¥„ и ¥„. \ - соответственно иин+1 итерационное приближение, V - производная Фреше в виде следующих линейных операторов:

С ~ Л"

дм>

Я

дЧ/ы дНы

и ЧУ Р1 о ш и/ Р1

р‘ р1° дг р1° р1~дг~

дн1г

ts0

дм?

-г А

дЧ'

V р1

Р1

дт

дм>

дЧ'и

дт

В результате, после преобразований, уравнение (8) принимает вид уравнения (9) для плоского слоя и (10) для капилляра:

д „ д

дг

Р>

— К ■

/■"ч 1&

ст>

дт

д_

дт

ЕР> =

Е,=

дг

д_

д\у

Ф

р1>

Ф„

(9)

(10)

Некрасов С.Г., Пашнина Н.А. Численное исследование течения газа в тонких профилированных ___________________________________зазорах с вибрацией, объединенных в Т-образную структуру

где по аналогии с уравнением теплопроводности введены следующие функции:

- функции источника

Ф

pi

Н

pi'

% дг

рьШ Ш

и J ts0 tsn

2%.

дН

pi

дН

Н,

dw

2W W

tsQT tsn

dr

8Hts

dw

дг

HPI , ,„2

2 дг p,n

Hts wL 2 дн„

+ *tsn

pl

2 dw

dw

функции потока

W,

pi

H

pl'

дУр1п+г дг

-2^o *Vr

дН

рі

ts О

Hts

дЧ/ W

u T tsOT tsn+\

dw

- функции энергии

Ері = rAvpl'Fpln+l,

Efs = HtsO A>tó ^tsn+l •

.W W

ts 0 tsn+1

dr

dw

(11) (12)

(13)

(14)

(15)

(16)

Дивергентная форма записи уравнений (9) и (10) позволяет, воспользовавшись формулой Грина, представить их в интегральной форме:

| Ер1дг - Wp/dr = -Ц~Фр/дгдт,

(17)

7+1/2

| Etsdw - Wlsdz = - fJ—0tsdwdr, (18)

где D и 7 - замкнутые кусочно-гладкие контуры, ограничивающие на плоскостях (г, г) и (w, т) области G и./ соответственно.

В соответствии с идеей интегро-интерполяционного метода [7], построим консервативные схемы на основе интегральных уравнений (17) и (18) для чего введем в рассматриваемых областях сеточное разбиение

rSet={ (г„ Ту), (г1±1.2, Ту); rl±í=r,±Ar, rl±m=r,±V2Ar, i= 1, 2,... Npi+l; Tj-i=Tj+AT,j=l, 2...}.

Wse,={ (w¡, Ту), (w/±1/2, Ту); wi±1=w¡±Aw, w¡±m=Wi±\l2Aw,

i=l, 2,... Nls+l; Tj^=Tj+Ar,j=\, 2...}, где Nph N,s - количество узлов сетки по координате для плоского слоя и капилляра соответственно.

Сеточные функции источника и потока для плоского слоя и капилляра будем относить к полуцелым точкам (гн\/2, Ту) и (wi±i/2, Ту), а функции энергии, давления и зазора к целым узлам сетки. Интегральные уравнения (18) и (19) применим к соответствующим контурам D и /, охватывающим элементарные ячейки разностных сеток. В результате получим разностные уравнения, аппроксимирующие дифференциальные уравнения (9) и (10):

Mej;¡-B‘ph)-Ar(w¡t,%о»)

<20>

где W¿¡!{2 = a W¿y2 + (l - cr)W¿y2, Ф{^ - a Ф/±у2 + (l - а-)ф/±12, a - параметр, позволяющий варьировать интерполяцию сеточных функций (0<<7<1), причем при <7=0,5 получаем второй порядок аппроксимации по времени.

Путем интегрирования по отрезкам r,A<r<rt функций (11), (13) и w,_t<w<w, функций (12), (14) определяем разностные выражения функций потока и источника для плоского слоя и капилляра, после подстановки которых в уравнения (19) и (20) получаем разностный аналог интегральных уравнений (17) и (18):

і 1+1/2 г+1

Рис. 2. Ячейка сеточной области

=к>-л„ -о -<т)с^]+ - ^к„, +

К-. I, 0 - СТ)^М -М°<Р'Лу2 - )+ 0 - <★¿„„'2 - «¿,-И I.

(21)

+

К„+> );+| Ыя„0). л, + ]- («^й+1 ^ - (^.п+1 ^ =

=К„+1); Ы^0),. л. - о - °)сь ]+(^„+1 ^+1 (1 - сг)аь1+1 +

- А°{фйм2 -фСлп)+О -ЛЧ1+У2 -ф'ш-Л

(22)

где Ар/1±1 = (?>).

Р10 4±1'Ш/2

Ат

Аг

НрИ±\+Нр11 (гт 77 \

О \ИрП±\ нрп)

НрЬ+\ +Нр1г {гт 77 ^

0 + \РрИ+1 НрЬ/

Г1+1/2 +

+

я„,,+я„

э/аг|’±1

= (0,

(я«о)а, +(яио), ¿г

/-1/2

|±1

^'+1 + . (ТТ _ 77 )

+ \хз^+1 -“й//

+

Я(г, + я,.

- - (я,, --О

Ы*Ын

Очевидно, что уравнения (21) и (22) линейны, так как имеющиеся нелинейности, следуя методу решения, отнесены в правую часть уравнений и определены или на предыдущем у-ом временном слое или на предыдущей итерации п и поэтому известны.

Краевые условия (5), (6) при независимом рассмотрении плоского слоя и капилляра на]+1 /2 временном слое аппроксимируем следующим образом

К. „У,"=н>;\, = яй„., > (23)

(»'«„Л* =я«1'' (¥^')£+, =я«**~1- <24>

Начальные условия (7) принимают вид

Ы=Нр,0, Ы^Им- (25)

Разностные выражения расходов, записанных в полуцелых точках, определяются в виде

М

р/г+1/2

_2х^11±л±1

Аг 2

Н „I, + Н „11

И„, -*?,)-

■И:-1 +‘ГгЛНе*М -Н,„)

м,

/5 *+1/2

-2л-

Я* (я,4+(я„о),+1

/Ы>

^1X1+1

(и/2 _ I//2

V /?<+1 1 И1}

. (¡V1 + ц/1 Чи _ 7/ )

\** ¿5 И-1 Й / Д л-1

(26)

(27)

где а:

коэффициенты расхода, величина которых зависит от вве-

24// “ 32/г1

денного ранее масштаба безразмерных величин, ра - плотность воздуха при давлении Ра.

Для численного моделирования совместной работы последовательно соединенных в Т-образную структуру плоского слоя и капилляра используются ранее полученные трехточечные

Некрасов С.Г., Пашнина Н.А. Численное исследование течения газа в тонких профилированных __________________________________зазорах с вибрацией, объединенных в Т-образную структуру

итерационные разностные уравнения (21) и (22). Вводится общая сетка для рассмотрения Т-образной структуры с общим количеством узлов г=Л^+А/р/+1.

При сращении двух моделей, построенных для тонких профилированных зазоров различной конфигурации, вводится в рассмотрение общая точка (точка сращения) г=Л^+1, принадлежащая одновременно сеточной области плоского слоя и капилляра. Особенности в схему вносятся дополнительными краевыми условиями, записанными для точки сращения. Для плоского слоя это точка с координатой г,=к, а для капилляра м>,=0. Дополнительные краевые условия

- условие равенства давлений Рр^г,=к)=Р,^,=0), в точке сращения

^ = ^,где/=Л^+1; (28)

Нр11

- условие равенства расходов Mp¿ri=к+l/2Ar)=Mts(Wi=0+l/2Aw), записанное на основе выражений массовых расходов плоского слоя и капилляра [3], с линеаризацией по методу Ньютона

К К - ££ = ^ К К “(ф» ■ (29)

к V р1 /(+1/2 V »/(-1/2 к \ Р' /,+1/2

“-/Л

Интегрируя функции ФР1, ¡¥Р1 ПО отрезку Г,<Г<Г, 1 И функции Ф,„ ПО отрезку М>,<М><и>, I (/=А^+1) и подставляя результат в (29) с учетом (28), получим разностное уравнение, используемое в качестве дополнительного для формирования решения в точке сращения:

-^п+1)^ивц1 =

= -(^,„4(1 - °)с\ + (^,„4+1(1 - °)А^ + К-4-Д1 - <?)ви + (30)

+о-^Ж/>:+,/2]- +(1--

Л-у„

'-ts

™ 4 1^о),+1 КР1 г1+1 +г, Г / _

где Л(+1 ^ ^ [Нр/1+1 + ир!1 2\пр[1+] Нр1,)\>

„ _ 0);-| 0), +(Я«0);-! Г„ „ 4.9^ -Л ^1-

^/-1 2 1‘ й* -“¿у*-! у ш ¿у/-1^

с' +я-")-2(я-« -я-*)1+

+ Ы>4+М-|[_(Д|д +Я„,_,)+2(Я„ -Я„

Уравнение (30) является связующим для уравнений (22) и (21) при переходе от расчета функции ¥1х для капилляра к функции ¥Р1 для плоского слоя, причем при проведении расчетов следует соблюдать условие гладкости функций, входящих в уравнение (30) в точке сращения, что обеспечивает устойчивость разностной схемы, что было подтверждено, в том числе и экспериментально. Трехточечный вид конечно-разностного уравнения (30) позволяет проводить решение методом прогонки [8] на каждом временном слое.

Помимо рассмотренных дополнительных краевых условий в месте сращения Т-образной структуры участвуют и естественные граничные условия, аналогичные используемым ранее, т. е.

■ (п.4*1=(я.г ■ <з1>

Основным критерием качества построенных схем является их сходимость, которая следует из аппроксимации и устойчивости. Погрешность аппроксимации [7] зависит от шага сетки и порядка аппроксимации, причем с увеличением порядка аппроксимации и с уменьшением шага сетки точность решения увеличивается. Для рассматриваемых дифференциальных уравнений выбран второй порядок аппроксимации по пространству 0(Аг2), 0(Дм>2) и по времени 0(Аг2), что обеспечено записью разностных уравнений с использованием центральных разностей в полуцелых точках сетки, а так же использованием схемы Кранка-Никольсона при <7=0,5. Шаги сетки по координате А г, Ам> выбираются из условия размещения 7-10 узлов сетки в краевых

зонах, в которых наблюдаются наибольшие градиенты давления. Величина зон определяется отношением 1/л/Л [9].

Качественную оценку сходимости численной задачи к модельной можно получить через оценку сходимости линеаризованной численной модели к прямому конечноразностному аналогу нелинейной модельной задачи. Дня этого введем в рассмотрение конечноразностную невязку по формулам

2

рі

Л г

Лг

V

И]+1

п рП+1

-ЩІЇ

Аг

Аг

мх:

И->+Х _

17 ріі п pH-1

Лг

Ат

(#4

-лгАр,^:-щ.)

Ам

ІТ7+1 _///+' лй/+1 ПШ

Ам>

- И1+1

п151-1

Ам>

-щ) У

Значения невязок численных схем плоского слоя и капилляра для случая и=10, к=0,024, 2=0,67, /(=0,33, =0,35, А=0,083 и Нр!т=0,5 при различных значениях частотного параметра

представлены на рис. 3 и 4. Шаг сетки по времени при этом равен шагу сетки по координате. Увеличение числа узлов сетки по времени на период в 10 раз по отношению к максимальному числу узлов на изображенных здесь графиках приводит к изменению наиболее чувствительных к точности расчета величин расходов в плоском слое и капилляре не более чем на 0,0006 процента. Полученное значение сравнимо с точностью расчетов, что позволяет минимизировать время решения задачи.

Рис. 3. Значение невязок численной схемы плоского слоя: 1 - /1„=1; 2-Л^=10; 3 -/\„=100

Рис. 4. Значение невязок численной схемы капилляра: 1 - Л/=1; 2 - Л,г=10; 3 - Л,=100

Понятие устойчивости включает в себя условия существования, единственности и непрерывности решения при различных начальных условиях. В [7] показано, что разностные схемы, по типу аналогичные построенным нами, но с постоянными коэффициентами, являются абсолютно устойчивыми при <7=1 (неявная схема) и <7=0,5. Исследования устойчивости для уравнений подобного типа с переменными коэффициентами, что и характерно для задач с переменным по координате зазором, показывают, что возможна неустойчивость при наличии зон конфузорного и диффузорного типа. Однако в данных задачах функция зазора монотонна и полученные разностные схемы также устойчивы.

Сходимость численной схемы складывается из итерационной (характеризует близость решений для иий+1 итерационного приближения в у-й момент времени) и временной (характеризует близость решений в моменты времени /=0 и у=2тг для и+1 итерационного приближения) сходимости. При реализации разностных схем итерационная сходимость оценивается косвенно

Некрасов С.Г., Пашнина Н.А.

Численное исследование течения газа в тонких профилированных ______зазорах с вибрацией, объединенных в Т-образную структуру

•Гп+1-Гп

(32)

где е - малая заданная величина порядка 10“ .

Решение задач проводится на установление переходного процесса во времени, для чего необходимо проверять на каждом периоде с точностью £] > е выполнение условий периодичности (7). Выполнение этого условия не всегда обеспечивает временную сходимость схем. Экспериментальная проверка путем увеличения времени решения задачи без ограничения точности показала, что медленной сходимости численной задачи здесь не существует. Сетка с количеством узлов 100 (по координате) и 100 (по времени на период) является достаточной для сходимости при любых значениях частотных параметров Л„.

Результаты численных расчетов и параметрическая оптимизация. Решения, полученные при реализации разностных схем (21), (22) и (30), проиллюстрируем эпюрами средних за период избыточных давлений для плоского слоя (рис. 5) и капилляра (рис. 6) в сравнении с аналогичными эпюрами, полученными при аналитическом исследовании, проведенном с использованием асимптотического анализа [3].

На рис. 5 приведены эпюры давлений, полученные из асимптотического анализа и численного решения для плоского слоя и капилляра. Во внутренней области зазоров результаты численных и аналитических расчетов практически совпадают при значениях частотного параметра порядка 100 и выше, что явно отражено на рис. 5. Результаты, полученные при значениях частотного параметра Лу порядка 1, представляют наибольший интерес для исследования и практики, поскольку значения частот вибрации рабочих поверхностей V в этом случае наиболее близки к частотам реально эксплуатируемых устройств компрессорного типа.

Проведем параметрическую оптимизацию рассматриваемой Т-образной структуры, исходя из критерия максимума расхода и сравнительный анализ численных и аналитических (на основе асимптотического метода [9]) характеристик плоского слоя и Т-образной структуры.

г 18 0,6

0,4

0,2

4 ч ч__ ' Г - У I ! I |

^4 \

X.

2 + /3

0

0,25

0,5 0,75

а) б)

Рис. 5. Распределение избыточного среднего за период давления: а - в плоском слое; б - в капилляре. 1,2,3 - при независимом рассмотрении плоского слоя и капилляра 4,5,6 - при последовательном соединении плоского слоя и капилляра в Т-образную структуру 1,4- результаты асимптотического анализа; 2, 5 - результаты численного решения для Лу=Ю0; 3, 6 - результаты численного решения для Лг=1

Рассмотрим влияние на интегральные характеристики устройства параметра крутизны профиля п. Для поиска максимума расхода значение параметра п будем варьировать в диапазоне от 0 до 10 при прочих постоянных безразмерных параметах к=0,024, 7=0,67, А=0,33, ки =0,35, £=0,083 иЯр/1=0,5.

Очевидно, что максимум безразмерного расхода в плоском слое при значении параметра «=0,17, полученный на основе ассимптотического анализа (кривая 1 на рис. 6, а), существенно смещен относительно аналогичных экстремумов при различных значениях частотного параметра (кривые 2-7 на рис. 6, а), полученных при численном решении. Из рис. 6, а видно, что при уменьшении частоты вибрации для обеспечения максимума расхода требуется более пологая форма профилированной поверхности плоского слоя, характеризуемая большей величиной параметра крутизны профиля, причем максимум становится не столь выраженным. Так

например, для АуР/=1 оптимальное значение крутизны профиля п=3, что значительно отличается от результата, полученного на основе ассимптотического анализа.

а) б)

Рис. 6. Зависимость безразмерного расхода от параметра п: а - плоского слоя; б - Т-образной структуры. 1 - результат ассимптотического решения; результаты численного решения: 2 -Л^рг 100, 3 Лур| 5, 4 - ЛуР|- 3; 5 ~ Аур|= 1; 6 ~ Аур|= 0,7; 7 Лур|= 0,5

Этот факт имеет четкую физическую интерпретацию. С уменьшением частотного параметра увеличивается ширина краевых зон и если максимум градиента зазора попадает в краевую зону, то, естественно, соответствующего ему изменения давлений в слое нет и, следовательно, нет необходимого для генерации расхода градиента давления. Уменьшение параметра п приводит к смещению максимума градиента зазора внутрь слоя, минуя краевую зону, что и позволяет появиться необходимому перепаду давлений и отражено наличием максимума расхода на графиках.

Отсюда следует, что профилирование зазора надо выполнять в его внутренней области на достаточном удалении от границ при сохранении максимальной крутизны профиля.

Иная картина наблюдается при рассмотрении Т-образной структуры. Из графиков на рис. 6, б следует, что об оптимальном значении параметра п можно говорить только при значениях частотного параметра более 100 и, кроме того, структура обладает явной чувствительностью к частоте вибрации рабочих поверхностей зазоров, причем максимального значения расхода можно добиться приблизительно при Лгр/=1.

а) б)

Рис. 7. Зависимость безразмерного расхода Т-образной структуры от параметра п: а - Л„рі= 100; б - А,р,=1; 1 - к= 0,024; 2 - к= 0,034; 3 - к= 0,05; 4 - к= 0,07; 5 - к= 0,1; 6 - к= 0,12

В Т-образной структуре интегральные характеристики в значительной мере зависят от параметров капилляра, например, от входного радиуса г і или соответствующей ему безразмерной величины к, поэтому зависимости расхода от крутизны профиля п на рис. 7 отличаются от приведенных выше.

Например, на рис. 6, б показаны зависимости, полученные для наименьшего из рассматриваемых значений входного радиуса капилляра /с=0,024. Но как показано на рис. 7, а для значения

Некрасов С.Г., Пашнина Н.А. Численное исследование течения газа в тонких профилированных

_____________________________________зазорах с вибрацией, объединенных в Т-образную структуру

частотного параметра Avp¡= 100, при увеличении значения параметра к расход значительно увеличивается, причем четко определяется оптимальное значение параметра и=1, при котором достигается максимальный расход, во всем диапазоне изменения параметра к.

Иная картина наблюдается для варианта, представленного на рис. 7, б, где построены зависимости расхода от крутизны профиля для значения частотного параметра Avp¡= 1. Здесь четко просматривается зависимость расхода от входного радиуса капилляра и своего максимума расход достигает при значении к=0,07, при этом дальнейшее увеличение параметра к приводит к уменьшению расхода. На фоне явной зависимости расхода от входного радиуса капилляра наблюдается максмум расхода по параметру крутизны профиля и. Так для к=0,034 оптимальное значение крутизны профиля и=10, для /с=0,05 - п=5, для к=0,07 - п=3, для к=0,12 - п=2.

Из проведенного исследования, очевидно, что для Т-образной структуры геометрические параметры значительно влияют на интегральные характеристики. В частности, следует обратить внимание на значение частотного параметра Av в каждой конкретной задаче, поскольку от него в значительной мере будет зависеть поиск оптимальных параметров зазоров.

Выводы. В работе рассмотрен вопрос о совместной работе последовательно соединенных плоского слоя и капилляра в осесимметричную Т-образную структуру. Построена математическая модель течения газа в профилированных зазорах с вибрацией и численная конечноразностная модель с использованием интегро-интерполяционного метода. Исследована сходимость численной схемы.

Применение метода конечных разностей является, по нашему убеждению, наиболее перспективным для решения подобного класса задач в гидродинамике. Особенность заключается в том, что для обеспечения временной сходимости колебательной задачи необходимо десятки, а то и сотни тысяч раз циклически повторять изменение области определения (геометрии) задачи для обеспечения требуемой точности. Например, в методе конечных элементов такое повторение с требуемой точностью просто не возможно, так как в процессе решения придется многократно перестраивать конечно-элементное разбиение, что по определению содержит произвол. Этого нет в методе конечных разностей, где разбиение создается единожды и, тем самым, совершенно стабильно.

Выявлена высокая чувствительность расхода к выбору конструктивных параметров, что нежелательно для промышленного использования компрессоров подобного типа, так как требует не только оптимизации конструкции на этапе проектирования, но и поддержания рабочих режимов в процессе длительных сроков эксплуатации.

Литература

1. Пат. 2121612 РФ, МКИ В 05 В 17/04. Ультразвуковой газовый компрессор и ороситель на его основе /С.Г. Некрасов и др. — № 93032626/06; заявлено 21.06.93; опубл. 10.11.98, бюл. 31.

2. Некрасов, С.Г. Задатчик расхода на основе осесимметричного профилированного зазора с вибрацией / С.Г. Некрасов, НА. Пашнина// Известия Челябинского научного центра УрО РАН. -2004. - № 1. - С. 180-185. - Режим доступа: http://csc.ac.ru/news/2004_l/2004 1_ll lr.pdf, свободный.

3. Некрасов, С.Г. Эффект образования направленного движения газа в тонких профилированных зазорах с вибрацией / С.Г. Некрасов, НА. Пашнина // Вестник ЮУрГУ. Серия «Машиностроение». - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ. - 2005. -№14 (54). - С. 37-43.

4. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа/Л.Г. Лощянский. - М.: Наука, 1973. - 741 с.

5. Константинеску, В.Н. Газовая смазка / В.Н. Константинеску. - М.: Машиностроение, 1968. - 718 с.

6. Канторович, Л.В. Функциональный анализ /Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. - М.: Наука, 1977. - 741 с.

7. Самарский, A.A. Разностные методы решения задач газовой динамики / А.А. Самарский, Ю.П. Попов. -М.: Наука, 1980. - 351 с.

8. Самарский, А. А. Методы решения сеточных уравнений / A.A. Самарский, Е.С. Николаев. -М.: Наука, 1978. -589 с.

9. Pan, C.N. Т. An Asymptotic Analysys of Gaseous Squeeze-Film Bearing / C.N. T. Pan // Journal of Lubrication Technology: Trans. ASME; Ser. F. - 1967. - Vol. 89, № 3. - P. 245-253.