CC BY
26
УДК 532.5.516.5:534.122
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ТЕЧЕНИИ ГАЗА В ПРОФИЛИРОВАННОМ КАПИЛЛЯРЕ С ВИБРАЦИЕЙ ЕГО СТЕНОК
Н.А. Пашнина
ANALYTICAL SOLUTION OF THE PROBLEM OF GAS FLOW IN PROFILED CAPILLARY WITH VIBRATION OF ITS WALLS
N.A. Pashnina
Построена математическая модель течения газа в профилированном капилляре с вибрацией его стенок. Получено аналитическое решение для функции давления и потока газа при использовании асимптотического анализа при бесконечно большой частоте вибрации. Рассмотрены частные варианты решения и показано их совпадение с решением Пуазейля. Произведено сравнение результатов аналитического решения с численным при конечном значении частоты вибрации.
Ключевые слова: вибрация, расход, давление, капилляр, профилирование, асимптотический анализ, численное решение.
A mathematical model of gas flow in a profiled capillary with vibration of its walls is made. The analytical solution for functions of pressure and gas flow at usage of asymptotic analysis at infinitely large vibration frequency is obtained. Particular alternate solutions are considered and their agreement with the Poiseuille solution is shown. The comparison of results of analytical solution with the results of numerical one at the finite value of vibration frequency is made.
Keywords: vibration, consumption, pressure, capillary, profiling, asymphtotic analysis, numerical solution.
Введение. Пневматическое сопротивление типа капилляр является простейшим элементом пневмоавтоматики, характер течения газа в котором в линейном приближении полагают ламинарным, а процесс течения изотермическим. В таких условиях поток газа в капилляре определяется формулой Пуазейля [1]. Обычно формирует поток газа в капилляре перепад внешнего давления, но в качестве альтернативного решения может быть использованы профилирование и вибрация [2] и в этом случае у капилляра появляются компрессорные свойства, оценка которым дана в статье. Решение будем искать, используя хорошо зарекомендовавшую себя асимптотическую теорию вибронесущего газового слоя [4]. Данный аналитический подход предполагает использование бесконечно большой частоты вибрации стенок капилляра, поэтому для сравнительно малых частот результаты исследования имеют приближенный характер, а погрешность решения нуждается в оценке.
Аналитическая модель. На рис. 1 приведено схематическое изображение профилированного капилляра длиной Ь с входным Г] и выходным г2 радиусами, где Ь » Г] и г2. Боковые поверхности капилляра совершают колебания с постоянной амплитудой Ь„, за счет чего осуществляется высокочастотное периодическое сдавливание газа в капилляре.
Функция радиуса капилляра в цилиндрической системе координат имеет вид
Ь(г, т) = Г!+7^ + Ьусо8(т), (1)
где у - угол наклона боковой поверхности капилляра, формирующий профиль;^ - продольная координата (0 < ъ < Ь); т=1>\- безразмерное время; V -циклическая частота колебаний стенок капилляра;
I - время.
Рис. 1. Профилированный капилляр с вибрацией стенок
Допустим, что течение газа в капилляре вдоль оси 0 ъ с учетом вязкостных слагаемых определяется укороченным уравнением Навье-Стокса, которое в цилиндрической системе координат г, 0, ъ имеет врад
ар_..1 а , (2)
-Г = г—=Г
дъ г дг V дг
где р - давление в газе, д - динамический коэффициент вязкости, - проекция скорости частиц газа на ось ъ . Дополнительно принимаем условие Эр/5г = 0 .
Уравнение неразрывности потока в цилиндрических координатах
г^ + ^(рУгг)+г|:(рУ5) = 0! ся дг дъ
(3)
где р - плотность газа, - проекция скорости частиц газа на ось г .
Интегрируя первое уравнение в (2) дважды и учитывая, что давление не зависит от координаты г, получим:
,1п(г)+с,
дг
1 Эр_ с,
-------у? =-------------------------
2 ц дг г 4\х дг
1 Зр_2
г +С,
■'2 ■
(4)
Постоянные интегрирования в (4) определяем из граничных условий У^ = 0 при г - И и
дУ?/Зг = 0 при г = 0 и, следовательно, с, - 0. с2=-Ь2/(4\х)др/дг. Выражение для скорости вдоль оси 0 г примет вид 1 Эр 4 р. дг
Проинтегрируем (3) по переменной г в пределах от 0 до Ь с учетом (5):
у,=—^(?2-Ь2).
(5)
д_
дг
1
8р
1 д(Рь2)2 (рь2)2 аи2
2 дъ И2 дъ
д(рь2)
а
(6)
Перепишем (6) в безразмерном виде, введя безразмерные величины Р = р/Ра, г = г/Ь, Н = Ь/г,, т = VI и вспомогательную функцию *Р = PH2:
д_
дг
1 ддд2 2 дг
*р ан2
Н2 дг
= Л.
а(р
Эт
(7)
где Лу = 8рЬ2у/(г2Ра) - безразмерный частотный параметр, Ра - атмосферное давление, н=н0 + Нт соз(т) - безразмерная функция зазора, где Нт =Ьу/г1, Н0 = 1 + к0П2, коп =1ё(у)Ь/Г].
Отметим, что вспомогательная функция давления для капилляра равна произведению давления на квадрат функции зазора, что отличает ее от вида функции давления, вводимой для обычных вибронесущих смазочных слоев. Идея использования такой функции в асимптотическом анализе капилляра выдвинута совместно с С.Г. Некрасовым и ее асимптотический характер подтвержден в результате численного эксперимента. Применяя асимптотическую теорию [4], введем не зависящую от времени функцию давления соответствующую условию Л,, —» оо. Проинтегрируем (7) по безразмерному времени т в пределах от 0 до 27Г и после преобразований получим осредненное за период колебаний уравнение для распределения давлений
д_
дъ
1 ЭЧУ
2 дъ
¥
2к„
Vй о-Н?
= 0.
Асимптотические граничные условия аналогичны условиям в работе [4]:
У1{г = 0) =
Н-о(2) +—+ЗНд(г)Н2
2=0
^(г = 1) = К2
Но(2) +—+ЗНд(г)Н2
(8)
(9)
(10)
7.— Х
где Кр - отношение давлений на выходе г = 1 и входе г = 0 капилляра.
Асимптотическая краевая задача (8)—(10) является линейной и позволяет получить аналитическое решение для вспомогательной функции ^ооВ виде
->/й
-н
и(1)п(0)[ф(1) 1 + вр! :1) ]-«(1)И(0)кЛ>(0) + Ч>(0)]
[(1)М°Мр(1| + зр(1) - Гр(0) - 8р(0) ]
П(1Ш0)К2-К(1)Л(0) г к(1)11(0)[(р(0)+5р(0)-ф(1)-8р(1)][ф(г)+5р(г)]
(11)
где Й(г) = (но + д/н^-Н^ ; 11(1) = 11(2 = 1); ВД = Цг = 0); и(г) = Н* (г) + 2 Я* + ЗН2 (г)Н2; П(1) = П(г = 1); П(0) = П(г = 0); ф(г) = -4(Но-Н2)(бН^-Н2)^Н^Н^; ф(1) = = 1);
Ф(0) = Ф(2 = °) 5 8р(2) = коп2
120Но -24копг
ЮНд -копг(1ОН0 -копг(4копг + 5))]■
-Н
120| Щ-
к0П2
3
(2коп2 + 3) -15НТ2
зр(1) = = 1); Бр(о) = зр(г = 0).
Среднее за период колебаний избыточное давление в капилляре: Нп
Р = Л
г-1.
(н2-н2УнрнУ
Средний за период массовый поток в направлении оси г имеет вид
М=-2яК.
1 дТ:
2 дъ
-У2
2к„
4-
н -н
(12)
(13)
где Кг=раРаг14/(16рЬ).
Выражение (13) для непрофилированного капилляра к(,„ - 0 с вибрацией Н, ?Юи профилированного капилляра ко„ без вибрации Нт = 0 имеет вид
'(Кр~1) и М=-лКг 3(1 + к°"^ (к2-1). (14)
Г р ' гз+зкоп+к2/ 9 ’
При внешнем перепаде давлений и отсутствии профилирования и вибрации выражения для потока газа в капилляре (14) сводятся к известной формуле Пуазейля [1]:
М=-7ГК
1 + -Н?+ЗН2 8
М=^Г7^(Ра -КрРа) = -^(Кр -1)=-лКг(к2-1).
256цЬЯТ
\6\xL
(15)
Сравнение результатов. Численная модель течения газа в профилированном капилляре с вибрацией построена при использовании метода, изложенного в [3]. Решение заключается в линеаризации модели (7) с использованием метода Ньютона-Канторовича, построении системы разностных итерационных уравнений с использованием интегро-интерполяционного метода. Решение полученной в результате алгебраической задачи на каждой итерации проводится методом исключения Гаусса до выполнения условия итерационной сходимости. Для получения решения обеспечивается установление переходного процесса при выполнении условия периодичности для искомой функции давления.
Сравним результаты средних за период потоков, полученных на основе асимптотического и численного решений. Зависимость безразмерного среднего за период потока от параметра профиля капилляра (рис. 2) практически линейна при значениях частотного параметра Ау больших 10, но при его уменьшении зависимость потока становится нелинейной и при малых значениях частотного параметра профиль практически перестает оказывать влияние на поток. При значении частотного параметра равного 150, зависимость потока приближается к асимптотической зависимости (13) при Лу оо
Зависимость среднего за период потока от амплитуды колебаний (рис. 3) нелинейна и с увеличением амплитуды поток значительно возрастает, что справедливо для всех рассмотренных параметров профиля капилляра. Так же, как и ранее, при значении частотного параметра равного 150, зависимость потока приближается к асимптотической зависимости (13) при Л„ оо
Рис. 2. Средний за период поток газа в капилляре в зависимости от параметра профиля коп
Г1Ж=0,06 кр=1 1 л г /
^оп 0,5 2г,/ь = о,о: Кг=1,4-10'5 кг/с Ау—>С0 ' /к у *=150 /
//' / [0 /
г / 5 /
^ ^ 3 -2^ 1 ——
0,1 0,3 0,5 0,7 Нт
Рис. 3. Средний за период поток газа в капилляре в зависимости от амплитуды Нт
Выводы. Впервые построена аналитическая модель течения газа в профилированном капилляре с вибрацией его стенок и получено аналитическое решение для функции давления и потока газа. Решение было бы невозможно без введения новой в теории вибронесущего тонкого слоя асимптотической функции давления.
Рассмотрены частные решения и показано, что без вибрации выражение для потока газа совпадает с известной формулой Пуазейля.
Наличие потока газа (13) без приложенного по краям слоя внешнего перепада давлений говорит о наличии компрессорных свойств капилляра. Из рис. 2 и 3 видно, что возможно достижение значений расходов порядка 10_3 кг/с и больших при увеличении амплитуды колебаний.
Отметим, что аналитическое решение, полученное при использовании асимптотического приближения задачи, дает лишь оценочное решение для малых (реальных) значений частотного
параметра. Поэтому полученные аналитические решения (13) или частные случаи (14) можно использовать для предварительной оценки значений потока газа, генерируемого профилированным капилляром с вибрацией, которые следует уточнять.
Литература
1. Градецкий, В.Г. Основы пневмоавтоматики / В.Г. Градецкий, В.Н. Дмитриев. - М.: Машиностроение, 1979. - 360 с.
2. Пат. 2121612 РФ, МКИ В 05 В 17/04. Ультразвуковой газовый компрессор и ороситель на его основе /С.Г. Некрасов. -№ 93032626/06; заявлено 21.06.93; опубл. 10.11.98, Бюл. 31.
3. Пашнина, Н.А. Численное исследование течения газа в тонких профилированных зазорах с вибрацией, объединенных в Т-образную структуру / Н.А. Пашнина, С.Г. Некрасов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Машиностроение». -2008. - Вып. 11. -№10 (110). - С. 62-71.
4. Pan С.Н.Т. An Asymptotic Analysis of Gaseous Squeeze - Film Bearing //Journal of Lubrication Technology: Trans. ASME; Ser.F. - 1967. - Vol. 89. - № 3. - P. 245-253.
Поступила в редакцию 12 сентября 2009 г.
Пашнина Надежда Александровна. Соискатель кафедры «Информационно измерительная техника» Южно-Уральского государственного университета. Область научных интересов - метрология и связанные с ней вопросы гидродинамической теории смазки.
Nadezhda A. Pashnina. Applicant for a degree at the Information Measuring Equipment department of South Ural State University. Professional interests - metrology and connected with it issues of hydrodynamic theory of lubrication/
