CC BY
37
А.В. Кобитев, Е.В. Нурмяшев, И.Н. Сисакян
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СТРУКТУРЫ КОГЕРЕНТНЫХ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ ОПТИЧЕСКОГО ДИАПАЗОНА
Введение
Программы и алгоритмы решения прямой задачи теории волн, т.е. вычисление распределения волнового поля (ВП) в некоторой области пространства по заданному распределению поля и/или его производных на границе этой области можно рассматривать в качестве составного элемента систем автоматизации проектирования элементов плоской оптики (ЭПО) [1, 2].
В настоящее время в решении обратной задачи фокусировки волн в заданную об-
ласть пространства с требуемым распределением интенсивности можно выделить три метода [3, 4]. Первый метод, широко используемый и наиболее развитый в математическом отношении, основан на приближении геометрической оптики [3, 5, б].
Вторая группа методов, учитывающая дифракционные эффекты, сводится к задаче ми-
нимизации соответствующих функционалов невязки, обычно решаемой итерационными алгоритмами [3, 4]. Третий метод решения задачи синтеза фокусаторов сводится к решению нелинейного [7] или линейного интегрального уравнения, связывающего распределение фазы или самого поля на фокусаторе с требуемым распределением интенсивности в фокальной плоскости.
Решение прямой дифракционной задачи является необходимым способом проверки и уточнения решений обратной некорректной задачи, особенно в тех областях применения указанных выше методов, где сложно или невозможно обосновать сходимость алгоритма, единственность решения (если это необходимо) или само существование решения в некотором классе функций. Этот факт, а также расширение областей применения и ужесточение требований к функциональным возможностям корректоров и • в
фокусаторов когерентных волновых полей приводят к необходимости создания эффек-
тивных программ детального исследования пространственной структуры формируемых этими элементами волновых полей с учетом дифракционных эффектов [!]•
В данной работе на базе известных вычислительных алгоритмов [8] созданы программы вычисления двумерного интеграла Кирхгофа для случая плоских формирующих элементов произвольной формы, проведено подробное тестирование этих программ с целью определения области их применимости, получена структура волнового поля в окрестности геометрооптической параболы, фокальной точки и осевого отрезка с равномерным распределением интенсивности. Изучено влияние изменения
Ш-
форюл плоских оптических элементов и гауссовых неоднородностей интенсивности падающего пучка на пространственное распределение волновых полей.
1. Математическая постановка задачи
(интеграл Кирхгофа)
Опишем математическую постановку прямой задачи теории волн [9, 10] , в рам-ках которой мы будем в дальнейшем работать. Пусть распространение монохроматической компоненты излучения в однородной изотропной среде описывается волновой
функцией ü (Р, t) »Ü (Р) е
iwt
, удовлетворяющей временному волновому уравнению, при-
чем комплексное волновое поле и(Р) удовлетворяет уравнению Гельмгольца
ди+к2и*0, (1)
где к=2тх/Л - волновое число, Р(х, у, z) - пространственная точка с координатами X, у, Z•
Пусть на плоский оптический элемент, расположенный в области (рис. 1) плоскости z=0, падает излучение в виде волны ü(£, л* 0-0), которая преобразуется элементом в волну и(Е, Л/ Ö+0)=*G(E, л) и(Б, Л, 0-0), где G (£, л) - комплексная
функция пропускания плоского элемента. При этом преобразующий элемент является чисто фазовым, если |GI=1, чисто амплитудным, если ImG=0, а в общем случае можно рассматривать амплитудно-фазовые элементы с достаточно произвольной комплексной функцией G(£, л)« Отметим, что здесь кы не рассматриваем поляризационные эффекты. Тогда поле за элементом в полупространстве z£0 описывается решением соответствующей краевой задачи для уравнения (1). Для первой краевой зада-
У
Р(х, у, Z)
Рис. 1. Геометрия задачи
решение
функции Грина, можно представить в виде [9, Ю] :
ikr , ikr
ü(p) * ff U(E, Tir 0+0) | dgdn » 2rîi ff ф(Е' n)r ' — dEdT1 +
S- 2
ikr , ikr
+ ¿5-;; u(E, n, o)f • // <p(E, n)f • ^-7- aEdn, (2)
Sn/ E 2
выполненным
1
вне kr»l, <p(E, n)-U(E/ n# 0+0) при M(E, n)es.
Следует отметить, что в соотношениях (2) переход от интегрир« плоскости S , к интегрированию по области Е требует определенной
понимании граничных » распределению поля
амплитудно-фазовый преобразователь
размеры и может сопрягаться с непрозрачным экраном, или освещаться неограниченным пучком, или быть комбинацией этих случаев. Тогда в соотношениях (2) переход от области интегрирования Б1 к Е математически означает, что задано поле
#
Ф (М) :<р (М)5и(Мг 0+0) при М€£ и ф(М)=0 при МвБ \£. Это приближенные граничные
1
условия Кирхгофа первой краевой задачи. В случае сопряжения элемента с непрозрачным экраном это означает, что в (2) пренебрегают вкладом приграничного поля и(М651\£, 0+0), т.е. предполагается очень быстрое спадание поля и(М, 0+0) в области экрана. Для обратной задачи это означает, что в качестве ее решений допус каются поля и(М, 0+0) с инфинитным носителем, но с достаточно быстрым убыванием и(М, 0+0) вне фокусатора. В случае освещения элемента неограниченным пучком
♦
приближенные граничные условия Кирхгофа позволяют получить решение первой краевой задачи только с точностью до вклада от поля и(М€81\2, 0+0).
Известны два широко используемых приближения интеграла Кирхгофа [9]. В приближении Френеля
а, а
и(Р) = • ехр(1Т1 -^2У~) //<р (Е, п)ехр(1тх
£
ехр[-і2ті (fxE+f n)]âEdn,
где fx=x/(A.z) f у/ (A.z) . Об
(3)
дифракции
радиус или характерный
значениям |х-Е1«1/ I y-n l«l, r»z+l/2[ (х-Е)*+(у-п)а] •
Для области дифракции Фраунгофера D»l, expjin (Еа+Па)/(Xz)]»l и поле описывает
ся выражением
ikz 3 а
U(P) = ехр ( in X^ZV ) J7<p (Е, n)exp[-i2n (fxE+f п)]<ЗЕ<Зл. (4)
£ *
Решения (3) и (4) обладают очевидной взаимностью, определяемой соответствием апертурных функций ф—*чрнфехр[гп (Еа+Л2 )/ (A.Z ).
В настоящей работе были программно реализованы на языке Фортран расчетные схемы Гаусса, Симпсона и формула трапеций для вычисления интеграла Кирхгофа. Сопоставление результатов предварительных расчетов, а также выводы работы [il] определили наш выбор метода вычисления интеграла Кирхгофа (2) для произвольной плоской области £ (все дальнейшие результаты, если не оговорено специально, получены по методу Симпсона [8] на ЭВМ типа VAX. Следует отметить, что даже в задачах с осевой симметрией мы не использовали для вычислений соответствующих
• _
упрощений (например, суммирование по кольцам) и всюду пользовались единой расчетной схемой, пригодной для произвольной плоской области £.
2. Примеры вычисления интеграла Кирхгофа
2.1. ДИФРАКЦИЯ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА КРУГЛОМ И
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОТВЕРСТИЯХ
В приближении Фраунгофера дифракция плоской однородной волны ¿кг
и*Ае (АаасопБ'Ь# 1М А=0) на круглом отверстии радиуса а описывается формулой (4) при ф(Е, Интеграл легко вычисляется аналитически, и распределение
интенсивности дифрагировавшей волны в плоскости наблюдения г=г0 дается известным выражением [Э, 12]
23 (как/ г)
1(И, г )= | и (И, г) | а=1 (0, г) (- ----)а, (5)
где 1(0, г)* (А/Б)2 - интенсивность на оси г, волновой параметр Т>~\г/ (паа )»1,
X - длина волны, Я2=ха+уа.
Численное интегрирование по формуле (2) при ф(Е, п)вА, а=10~ам,
Х*0.6 328*10 вм, 2*5-10эм, что соответствует значению волнового параметра 0*10, согласуется с выражением (5) с точностью до 4-го десятичного знака уже на расчетной сетке 64 х 64 узлов, причем расчет значения поля в одной точке наблюдения занимает примерно 3,6 с.
В результате преобразования координат Е1,|ви Ег Л,=и-_Е в апертурной плоскости
х у
2^0 (их, 11^ - вещественные постоянные) отверстие Е трансформируется в Е* .
В приближении Фраунгофера из формулы (4) легко получить соотношение подобия для случаев дифракции плоской волны на отверстиях £ и £' [12] . Математически это подобие для интенсивностей дифрагировавших волн записывается в виде
Кх, у, г)= (ихиу)”а1' (х', у', г'), (6)
где х*»х/и г у,5ву/и , т.е. при дифракции плоской волны на отверстии интенсив-
^ У
ность поля I1 в точке с координатами (х1, у1, г) имеет значение
(и и ) 1(и х1, и у1 , г). Соотношение (6) было использовано нами в качестве од-х у х у
ного из тестов программ вычисления интеграла (2) . Были вычислены распределения интенсивности поля от дифрагировавшей плоской волны на эллиптических отверстиях Е1 а/ и£+Л1 а/ и35ваа с отношениями полуосей 1.01; 1.5, причем для простоты
сравнения требовалось выполнение равенства и • и “1* а значения а, X, 2 сохра-
х у
такими
соответственных
2.2. СВЕТОВОЕ ПОЛЕ ВБЛИЗИ ФОКУСА
Исследуем численно дифракцию сферической сходящейся волны на круглом и эллиптических отверстиях. Сферическая волна, сходящаяся на оси z в точке Р(0, 0, 20) , в плоскости апертуры описывается ампли ту дно-фазовым распределением
<р(Е, n)=Aexp(-ik\/ za+Ea+na)/V z£+Ea+na=! (A/z0)exp[-iJcz0 <l+(Ea+na)/2z*)], (7) ¡
где zQ - фокусное расстояние линзы, А - вещественная постоянная и предполагается, что для характерного линейного размера отверстия а справедливо соотношение a/zo«l. При длине волны излучения Х=0.6328• 10"вм и фокусном расстоянии z0»l м
а
был проведен численный расчет интеграла Кирхгофа (2) с апертурной функцией
отношения полуосей ицвиоц / и„ц принимали все значения из набора (и,, и,, и, ) =
3 *] у] 1 * 3
*(1; 1.01; 1.5). Для простоты сравнения результатов всегда требовалось выполнение равенства .*1, т.е. площади Б.^па? отверстий 2. . были независимы от
ХЗ уз X 1
и^. Некоторые результаты расчетов на сетке 128 * 128 узлов представлены на рисунках и в таблицах к статье. Отметим, что время вычисления интеграла (2) в каждой точке наблюдения составляло ~14 с.
*#
На рис. 2 даны графики относительных распределений 1(х, у, г0) =
=11.(х, у, го)/1.(0, 0, г0) интенсивности светового поля в фокальной плоскости 3 3
вдоль осей х и у
(для круглого отверстия с и1=1 распределение осесиммет-
рично) .
первый минимум
достигается в точках окружности радиуса
-5
г (*127л). Для эллиптиче-первый минимум I (х.-го-^, 0, г )=4•10~* в распреде-
ап 5
лении интенсивности вдоль оси достигается при значениях х т^п-±7.5-10 м(а118Х),
•*
первый минимум
гается при у -=±8.5-10”5м ( = 133Я).
12
2ШІП' О
2Л)«5.9 *10
дости-
При слабой эллиптичности отверстия с и2=1.01 максимальное отклонение распределений 11а(х, 0, г0) и 112(0, у, г0) от функции 1^(11# г0) не превосходит
**10~3, поэтому графики этих распределений на рис. 2 практически совпа
величины
дают. В случае и3**1*5 соответственно имеем: 113(х
хіащіп=±6-10~вм (“95А>' 11Э (0' Уізтіп' 2о>=1'6*
з'"ізтіп' ' о
, 0, гл)*1.8-10
-з
при
10
-3
при ;У 1 зшііГ±9'10_вм <1г143л)
(приведенные данные смотри также в табл. 1а, б) . Графики на рис. 2 обнаружива-ют растяжение распределений интенсивности вдоль оси у и сжатие вдоль оси х в соответствии с тем, что апертурный круг сжимается по оси у и растягивается по оси х при деформации круглого отверстия в эллипсы. Этот факт, очевидно, согласуется с соотношением подобия (6), хотя последнее в данном случае строго не вы-
полняется.
10
9
Е-1
»1!
•• • •
Ї
. ••
8'
• •
І I •
• ■ •
• •
• «
• • • \
• •
■ .
М •
и, , иа (г) иэ (у)
иэ (х)
1
т
шш
‘••••л ■•••
Сферическая волна. Распределение интенсивно юго поля в Фокальной плоскости: а =0.5*10^*
и^1; иа®1.01; и3*1.5
Таблица 1
X.. . (м) 13шт у.. (м) ^13шт и, »я ^3
а< 8.10-*(127Х) 7.5.10“=(118Я) 6-10“=(95Х)
1 8•10“®(127А.) 8.5-10“= (133А.) 9-10“=(14 ЗХ)
а 3.8*10“=(60Я) 3.8-10“=(60Л) 3.2*10“=(5 0 Л)
2 3.8*10“= (60Я.) 3.8* 10“= (60Л) 4.8*10“=(75Х)
а 1.9-10“®(ЗОЛ) 1.9*10“=(ЗОЛ) 1.6.10“=(25Л)
3 1.9-10“= (30 А.) 1.9*10“=(ЗОЯ) 2.4.10“=(38Х)
а
<м I. . (х. . . , 0, 2 _) ±3 13ш1п' ' О7 ф 1^(0' улотз.п' го) I *1 1" " “ *3
а1 8.10““ 8* 10**“ 4•10““ 5.94.10-“ 1.8-10-3 1.6-10“3
аа 1.6.10““ 1.6.Ю-“ 7.7.10“= 2.7*10-“ 1.4*10““ 1.5-10““
аз 1.68-10““ 1.68*10““ 7.9.10-= 2.8-10““ 1.4-10““ 1.5*10““
б
»4
Распределения относительной интенсивности 1^(0, 0, Д2)е1^(0, 0, Дг)/
= I .(0, 0, Дг)/1 .(0, 0, 2 ) вдоль оси 2 вблизи фокуса г представлены на ** 3 13
РИС- 3, ГДе Д2=2-20.
Обращает на себя внимание факт смещения максимальных значений 1(0, 0, относительной интенсивности в сторону апертуры от фокальной
плоскости 2=2 (табл. 2). Величины и положения первых минимумов интенсивности перед фокальной плоскостью 2=2 и за ней для приведенных на рис. 3 графиков
показаны в табл. За, б.
Приведенные выше данные свидетельствуют о заметной несимметрии относительно фокальной плоскости в распределении интенсивности светового поля вдоль ОСИ 2. Этот результат можно продемонстрировать аналитически в случае интеграла (4) с Ф(Е, П) из формулы (7), хотя, например, в [12] встречается обратное утверждение. Ввиду определенной качественной схожести результатов при указанных выше зна-
. мы 1
а . (х, У , 2) И
I (х, у, 2), однако характерные параметры распределений для всех а^ и
р.3 (1, j = 1, 2, 3) даны в табл. 1а, б, 2? За, б. В табл. 1а указаны
3 ** ■ ■
положения х. . . и у . . . первых минимумов в распределениях I. . (х, 0, 2 )
миниму
мов 113(хаюАп, о, 20) и 1^(0, У ±-}т1п' 2о) даны в Табл- 1б- В табЛ* 1а' 6 верх"
каждой
Таблица 2
Дг. . (м) 1этах
а1 -6 9 10-*(952Х) -8•10-“(1263Х) А -5.1*10“3(8057Х)
аа -5-10-“(8Х) -6.10-=(95Я) -3.10-*(47А.)
| -3«10—* (Б А.) -3-10-*(5Х) -2.10-5 (31/Л.)
Таблица 3
1 Дг1 ¡¿1±п (м) I А2Й1±п (М) и и Ц»
1 1 -5.10“2 5.5.10-2 -5.10-2 5.5*10—2 -6.5.10-2 7.5.10-2
аа -1.2*10“2 1.2>10-а -1.3. ю-2 1.3.10“2 -1.7.10-2 1.8-10-2
аэ -3.2*10-э 3.2*10—3 -3.2-10—3 3.2*10“3 -4.4•10_3 4.4-10-3
а
^2 - - - - из
1 а 1,5*10—3 1.58*10-3 5.10"3
1 7.10-“ 7.3*10“3 3.7-Ю-3
I а 4,4»10—3 1.5«10"3 4.1-10-3
2 1.8*10-3 1.8*10—3 4.6-10“3
я 5.6 *10-5 5.6.10-* 4.3*10“3
3 2*10-“ 2.10-“ 4.3*10-3
б
В табл. За указаны положения и пеРвых минимумов в распределении
1^(0, 0, Дг) интенсивности вдоль оси г вблизи фокуса г=г0, значения этих минимумов I. .(0, 0, ) и X. .(0, 0, Дг!^ . даны в табл. 36/ причем в табл. За, б
13Ш1П 13 13П11П
верхние цифры в каждой клетке соответствуют положению перед фокусом, а нижние -
за ним. в табл. 2 даны положения Дг. . максимумов в распределениях X^^ (0, 0, Дъ).
Обратим внимание, что с увеличением а^ при данном происходит поджатие фокального пятна как вдоль оси ъ, так и по осям х и у, при этом проявляется
■ • •
тенденция'к восстановлению симметрии относительно фокальной плоскости г-г0.
1/1 10|
9 8 7
6 5\
4
3 2
Е-1
А
шф
• 9 *■
• я
■ а
• л
* >
»
■
« ■
*
• •
> к
• ■ ш ш • •
9 •
и1» и.
2 (М)
Рис, 3* Сферическая волна. Распределение интенсивности
светового поля на оси ъ га^О .5 • 10-ам;
и,=1; иа=1.01; и3=1.5
2.3, ПЛОСКАЯ НЕОДНОРОДНАЯ ВОЛНА С ГАУССОВЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ АМПЛИТУДЫ
Встречающиеся на практике пучки излучения в результате случайных стационарных искажений поля или в силу своего происхождения (например, излучение одномодовых лазеров) часто оказываются неоднородными. Поэтому важно правильно оценивать и учитывать погрешности, вносимые различными неоднородностями поля падающей волны при фокусировке с помощью элементов, рассчитанных на случай плоских однородных волн. В данном разделе, в качестве модельной задачи, изучается влияние гауссовой амплитудной неоднородности на дифракцию плоской полны на круглом отверстии.
Для плоской волны с гауссовой амплитудной неоднородностью Л) *Аехр [- (£а+л2)/ Ь2] дифрагировавшее на круглом отверстии поле в приближении Френеля (3) описывается интегралом
(ур)ехр(- ~ ра)йр,
о *
и(И, г)=* -12 (А/Р)е^2ехр(1 ) . 1(и, V),
у^каИ/г^К/Ба, и=*2 (аа/Ъ2-±Р л), где а - радиус отверстия, Ь - вещественный параметр гауссова распределения, 0«Хг/тгаа - волновой параметр, »10 - функция Бесселя нулевого порядка. Интегрирование по частям с использованием известных соотношений для функций Бесселя приводит к двум эквивалентным представлениям интеграла (8) в виде рядов по степеням отношений (у/и) или (и/у) с функциями Бесселя в качестве коэффициентов:
I (и, у)«и~1 {ехр<- *2^) -вхр(- п1і и^П|7П^^ #
Выражения (9) и (10) полезны для аналитических оценок поля (8) в зависимости от поведения параметра неоднородности (а/Ь) и параметра О. Они являются рядами Неймана [13] и, как можно показать, имеют бесконечные радиусы сходимости - сходятся при любых значениях переменных и и V.
(Ю)
(11)
При заданных D и (а/Ь) из (9) или (101 легко получить значение поля
на оси (R~0):
lim I(u, v)«u~1[l-exp(-u/2)J.
Согласно (8) интенсивность поля определяется выражением:
I(R, z)»lu(R, г) la-(A/D)a-4-il(u, v)|a В случае дифракции квазиоднородной волны интенсивность поля на оси получает на (11) и (12) в результате двойного предельного перехода lim limKu, v) 1
a/b-*o R—о
(12)
Xunif(0' z)*(A/D)a*4D^ina(l/2D) .
(13)
В приближена Фраунгофера й»1 из (13) получается известное значение 1ип1£(<Ь г)«(А/0)а.
. Из (11) легко оценить влияние неоднородности (а/Ь) на интенсивность поля на оси в приближении Фраунгофера:
1(0, z)lD>>1*(A/D)a(aa/ba)~a[l-exp(- aa/ba)]a“ [(A/D)3 при а/Ь«1
l(A/D) а (aa/ba) ~a« (A/D)а при а/Ь»1.
(14)
Как следует из формулы (14), для заданных параметров А и О наблюдается монотонное ослабление интенсивности поля на оси при увеличении неоднородности а/Ь, что, очевидно, связано с уменьшением интеграла энергии /1ф(Е, л)12^Е^л падающего пучка.
При заметной неоднородности а/Ь»1 и некотором заданном значении параметра
О, что соответствует большим значениям переменной и, И для не слишком больших значений у, разлагая в формуле (10) функции Бесселя по переменной, легко получить выражение для
уа
I(u, V)«uT1{1-ехр(- u/2)]exp(-
для
а/Ь»1 из (12) получаем экспоненциальное распределение интенсивности по R:
Vnmlf1»- -Т7Г7ГГ 1 ■ <15>
b* Daaa(aa/b )
которое при R*»0 совпадает с (14) .
В случае слабой неоднородности a/b£l и не слишком малых D£l из формулы (9), ограничиваясь первым членом ряда, получаем
I(u, v)«exp(-u/2)-V“1 (v) + 0 (v**aJa (v)exp(-aa/ba) ). (16)
Следует подчеркнуть, что остаточный член 0( |ul v*"aJa (v) • exp(-aa/ba))-exp(-aa/ba).2[(aa/ba)a+D"a]~*^a
будет достаточно малым даже при a/bsl, т.к« рост |и| при увеличении неоднородности а/Ь подавляется уменьшением ехр(—аа/Ьа) . Следовательно, функциональный вид (16) интеграла I(ti, v)*exp(—u/2)v""1 J1 (v) будет справедлив не только при
и а/Ь«1, но и при менее ограничительных условиях 0^1, a/b£l. Интенсивность поля в этом случае определяется выражением:
1(И, г) = (А/О) 2ехр (-2аа/Ьа) [2^^ (V)]2. (17)
Приведем еще один способ получения выражений (15), (16), (17) для приближения Фраунгофера Б»!. В этом случае интеграл (8) при слабой неоднородности а/Ь«1 принимает вид:
I (и, у)=1 (0, у)=/1ра (ур)ар=у~1,1 (V) ,
о ° 1
который соответствует формуле (17). Для случая Б»1 и сильной неоднородности а/Ь»1 верхний предел интегрирования в (8) можно распространить до ® и мы приходим к выражению
1= /1Р*Т0 (ур)ехр(- — р2 рз (ур)ехр (- — р2)ар=
b 0 Ь
2
/ ^ \ +** Л i v 1
(—) exp (--------------) ,
Ьа - 4(a2/b2)
соответствующему формуле (15).
Результаты численных расчетов интеграла Кирхгофа (2) для различных случаев дифракции плоской неоднородной волны ф(Е, п)*Аехр[-(£а+п2)/Ьа] на круглом отверстии радиуса а представлены на рисунках 4а, б и полностью согласуются с выводами предшествующего анализа. Действительно, как для случая 0=10 (рис. 4а), так и для D=1 (рис. 46) кривые радиального распределения относительной интенсивности поля вплоть до неоднородностей (а/Ь)^1 хорошо описываются зависимостью I/Ift*e4v"'aJa (v) , отвечающей плоской однородной волне, причем положения
и 1
первого минимума определяется нулем 3.832 ~vmin~2R/Da функции Бесселя J1 (v) .
Рост неоднородности а/b^l падающего пучка приводит к монотонному переходу от зависимости (17) к выражению (15). Отметим, что в рассматриваемых случаях используемая программа расчета позволила устойчиво вычислять 2-3 боковых максимума (минимума) в распределении интенсивности.
Отметим, что результаты по анализу влияния гауссовой амплитудной неоднородности для частного случая D»1 дифракции плоской неоднородной волны на круглом отверстии представлены также в работе [16], где получено разложение поля
f
типа формулы (9), но в другой форме. Для указанного частного случая выводы работы [16] согласуются с выводами данного раздела.
2.4. ВОЛНОВАЯ КАРТИНА ПОЛЯ ПРИ ГЕОМЕТРООПТИЧЕСКОЙ ФОКУСИРОВКЕ В ПАРАБОЛУ,
В ТОЧКУ И ОСЕВОЙ ОТРЕЗОК
Большие успехи в решении задач синтеза оптических элементов в значительной степени связаны с применением геометрической оптики [1, 3-6, 14, 15]. Однако учет эффектов дифракции делает необходимым описание работы оптических элементов волновой теорией. В данном разделе в рамках интеграла Кирхгофа (2) проводится численное исследование волновой картины полей, формируемых плоскими фазовыми элементами с апертурными функциями ф(£, п), полученными решением обратной задачи в приближении геометрической оптики.
По формулам работы [14] была рассчитана апертурная функция ф(£, л) плоского оптического элемента, фокусирующего в геометрооптическом приближении плоскую волну в часть параболы у*ха/2Н, хе[-с1, с1] , расположенную в фокальной плоскости
при этом значения параметров задачи были следующими: длина волны излучения А«1.06.10~5 м, радиус фазового элемента а=12.8«10*"3 м, фокусное расстояние £«3»Ю-1 м, 2с1=6»10~3 м, Н=5*10~3 м. Результаты вычисления интеграла (2) с ука-
ааа • •••.. маа
• •• •
••
• ••
аа
а ••
• •
• • а,
• •
• •
м
■ а
• в *■ •
• а.
• •
■ ■
м.
• •
• • •
• а,
• а
• •
• а,
а а
а • а •
• *а
* а ааа I
..1«»•■■.
• •а амаЯ»" «шв««« ••••!
45 г (м)
х^о
Е-1
10
9
8
7
6
5
1
• •
I %
• •
в •
в •
М
«I
II,
• Г
• в
• •
3
II
И.
4
СГ
I___9
-2
г (м)
Рис. 4. Радиальные распределения относительной интенсивност]
поля 11(К, г)/1.(0, г)!а=10~2м, Х=0.6328-10"вм
а) 13=10, { (а/Ь) = {0 .1; 1, 2; 10} 1=1,2,3,4;
б) 0=1, {(а/Ь)^} = {0.1; 1? 10}, 1=1,2,3
занной апертурной функцией <р(£, л) на расчетной сетке 512 х 512 узлов приведены на рисунках 5, 6. Все распределения интенсивностей нормированы на интенсивность I (0 , 0 , f)
В фокальной плоскости распределения интенсивности по оси х, представленное на рис, 5, симметрично относительно х=0.
Больший интерес представляет структура поля излучения в окрестности геометрической параболы у=х2/2И. Численные расчеты поля в фокальной плоскости представлены на рис. 6 в виде распределений относительной интенсивности вдоль оси у при значениях (х0, х,,, х2, хз, х4) = (0; 1; 2; 2.5; 3) * 10~3м. Максимумы этих графиков смещены от геометрических значений у^=гх2/2И соответственно на
значения: Дуо=0; Дуп-1.12•105 м (~А);
• 54 • 10~*5м(“7А) ? Ду ~5 .41 • 10**5ш (-5Х);
Я 3
Ду =7.96-1СГ5м (“8А.),
где Дуі=у-у.
Волновая ширина параболы, определяемая расстоянием между первыми минимумами на
распределениях рис. 6, изменяется от 2.54*10”‘*м (=24Л) при х =0 до
О
13.46«Ю~4м (*127А) при х^=3 * 10~3 м . Максимальные значения интенсивности на
выше
чениях
x^(i=0, 1, 2, 3, 4) имеют значения: maxI(xo, у)*1; шах1(х , у)-0.921; maxi (х , у)-0.579; maxl(x3, у)“0 .274; maxi (х^, у)-0.04.
Следовательно, ближе к концам параболы происходит ослабление фокусировки излучения, выражаемое как в понижении максимальной интенсивности, так и в размытии области фокусировки. Вычисление интеграла энергии //1(х, у, f)dxdy по окрест-
I/I
10-
9'
8 7
6-
5"
4"
3
2
1
0.
о
Е
0
1
\
\
"-ч
2
4
10 X (м)
Рис. 5. Фокусировка в параболу. Распределение относительной
интенсивности поля на оси х(м)
Е-1
%
Ф
%
9
%
§
%
9
/
ч
-10
-5
е
а
5
о
Е-
1
#
-10 -5
1/*о
1 Iе"1
9' .
8
7
6
5
4
3
2-
1'
0' г'“
Ч
%
9
\
в
§
§
■ч
10 Ду,
-10 Е-2
-5
0
б
5
10
ДУ=
25
20
15
10
5
9
0
♦
20 Ду
-1
0
1
2
3 Ду
1/1
40|Е
35
30
25
-3
«•.
20 154
окуснровка в параболу. Распределение относитель вности поля вдоль оси ДУ. (А.)в плоскости г=£ при значениях {х.} = {0; 1; г^г.Б; 3}мм
ности отрезка параболы показывает, что он составляет 84% от энергии плоской волны, падающей на обсуждаемый фазовый элемент площади 4ца2.
Расчеты интенсивности поля I (0, 0, Дг) вдоль оси z вблизи z=f показывают, что глубина параболы (расстояние между первыми минимумами z — распределения интенсивности) составляет **3.6 • Ю'^м, а максимум интенсивности смещен на
^max^max”^*5 ~3*10~**м (“ЗОЛ) в сторону оптического элемента).
Следуя работе [14] , предельным переходом R-»°° и d-*-0, преобразующим фокальную параболу в точку, была рассчитана фазовая функция ф(£, л) плоского оптического элемента, фокусирующего в геометрическом приближении плоскую волну в фокальную точку. На основе этой фазовой функции, путем вычисления интеграла (2) на расчетной сетке 128 х 128 узлов была изучена структура поля в окрестности фокальной точки Р (0, 0, f) , при этом длина волны Л, радиус элемента а и фокусное расстояние f оставались такими же, как в случае фокусировки в параболу.
Распределение поля по оси z на рис. 7а имеет максимум относительной интенсивности, смещенный в сторону фазового элемента на величину Д2тах=2тах~^=
* -3*10~4м (“ЗОЛ), а первые минимумы располагаются в точках Дг~“11 • 10“3 м и Дг^«12•10~3м перед и за геометрооптическим фокусом, соответственно. Указанное z - распределение несимметрично как относительно фокальной плоскости z=f, так и
относительно z . В радиальном распределении в фокальной плоскости (рис. 76)
шах
минимум интенсивности находится на окружности радиуса Rm^n“14X.
В работе [15] дана функция пропускания фазового оптического элемента, фокусирующего в геометрооптическом приближении плоскую волну в осевой отрезок с
равномерным распределением интенсивности. Функция описывается формулой:
(18)
ф(£, л )=c-1 ln[-2c\/p2+f+cp2 )2+2c2p2+l+2fc] , где р2-Е2+п2; f - фокусное расстояние; с=к/а2; а - радиус фокусатора; длина отрезка н берется отрицательной, если область фокусировки располагается перед Фокусом, и - положительный, в противном случае. Для значений А=0.6328•10”6м, £=3-10-1м, а-1.28 • 102м и н= -1.5-Ю~2мг таких же, как в [15] путем численного расчета интеграла (2) с апертурной функцией (18) нами была исследована волновая структура поля в окрестности осевого отрезка. Расчет производился на сетках 256 х 256 и 128 х 128 узлов. Последующие результаты приводятся для случая сетки 256 х 256 узлов, хотя данные для обеих сеток отличаются незначительно.
На рис. 8 дан график z - распределения относительной интенсивности 1(0, Az )=1 (0, Дг) /1(0, 0) по оптической оси, где 1(0, 0) интенсивность в фокаль*
максимумах о
мм
равномерного распределения 1(0, Az)dz=3.66 доходят до 36%.
СР —1,5 м
Радиальные распределения относительной интенсивности I (R, Дг) =
*=I(R, Дг)/1(0, 0) в перпендикулярных оси z плоскостях Дг=(-15; -10; -5; 0) представлены графиками (1), (2), (3), (4) на рис. 9. Волновая ширина отрезка,
определяемая по радиусу существенного затухания поля, имеет в соответствующих сечениях значения: R . =0.7^10~*м? R . =1.9 • 10-4м; R . “R . =1.4 • 10_<*м.
1ГП1П 2Ш1П зШ1П
Поток энергии е &z, )=2п/К°1 (R, Дz, )RdR, вычисленный в каждом из указанных сече-
К о ^
ний Дг^(к= 1, 2, 3, 4) в пределах от 0 до радиуса R^IO^m, имеет следующие значения, нормированные на поток энергии, падающей на фокусатор плоской волны: Е(Д z п ) - 0 .15 , Е(Д za)“0.41, Е (Д z3)-0.51, El*zJ-0.2.
Полученные данные показывают, что оптический элемент с функцией пропускания (18) Фокусиюveт плоскую волну в осевой отрезок, имеющий значительную неравно-
1/1
3
2 (М)
Рис. 7. Распределение интенсивности поля в окрестности фокальной точки: а) на оси ъ, б) по радиусу И (Л)
мерность распределения поля как вдоль оси г, так и заметные отклонения в и -
распределениях
имея
данных работы [15]. что, по-видимому, связано с использованной в [15] прибл: женной методикой вычисления интеграла Кирхгофа через разложения по функциям Ломмеля•
1/1
о
СГ
4
3
Е0
• ■
9
• I
*
9
1
9
%
Ш • 9 9
9
• 9
9 9
9 •
9 99
9 9
2
1
0
9
9
-20 -15 -10
-5
Рис. 8
Фокусировка в отрезок. Изменение относительной
интенсивности на оси г (мм)
1/1
11
10
9
8 7 6
5 4
3
2
Е-1
(1)
Е-1
1/1 45
40 35 30 25 20 15 10
5
5 ®
10 г(м) 0
10 »•.
9
9 .
9
8 7
6 5 4
3
2 1
(2)
X-
• /
2
\
4
6
8
10 г (м)
(4)
• •
»9 •
9 9 -
» • •
10Г (м)
Рис. 9. Фокусировка в отрезок. Радиальные распределения относительной интенсивности при {Дг^}=-{15; 10? 5; 0} мм
г См)
Заключение
На базе метода Симпсона создана и подробно тестирована программа расчета двумерного интеграла Кирхгофа для широкого диапазона значений волнового параметра и произвольной формы плоских оптических элементов. В случае дифракции сферической сходящейся волны на круглом и эллиптических отверстиях - распределение поля несимметрично как относительно фокальной плоскости, так и относительно максимума в ъ - распределении. Эта несимметрия имеет тенденцию к уменьшению при увеличении площади апертуры. Аналитическое и численное исследование дифракции плоской неоднородной волны с гауссовой амплитудной неоднородностью на круглом отверстии показывает, что в диапазоне значений параметра неоднородности 0<а/Ь<1 влияние неоднородности незначительно. Можно ожидать, что этот вывод до определенной степени справедлив для случая эллиптических отверстий (в качестве а следует брать большую полуось) и смещенных центров отверстия и гауссова амплитудного распределения. Изучение волновой структуры поля в окрест ностях геометрооптической параболы, точки и осевого отрезка наглядно показывает, что решение задач синтеза плоских оптических элементов во многих практически интересных случаях требует существенно волнового подхода или последовательного учета дифракционных эффектов при решении обратных задач оптики в приб
лижении геометрической оптики.
Литература
1. Сисакян И.Н.,Сойфер В.А. Компьютерная оптика. Достижения и проблемы // Компьютерная оптика: Физические основы. М.: МЦНТИ,
1987. Вып. 1. С. 5-19.
2. Березный A.E., Брусиловский Л.И., О т л и -
ванчик Е.А. и др. Проект системы автоматизации проектирования, создания, исследования и применения элементов плоской оптики (версия 1) // Компьютерная оптика: Автоматизация проектирования и технологии. М.: МЦНТИ, 1987. Вып. 2. С. 21-29.
3. Гончарский A.B. Математические модели в задачах син-
теза плоских оптических элементов // Компьютерная оптика: Физические основы. М.: МЦНТИ, 1987. Вып. 1. С. 19-31.
4. Воронцов М.А., Матвеев A.H., Сив #о конь В.П. К расчету фокусаторов лазерного излучения в дифракционном приближении // Компьютерная оптика: Физические основы. М.: МЦНТИ, 1987.
Вып. 1. С. 74-78.
5. Гончарский A.B., Данилов В.А., Попов В.В.
и др. Решение обратной задачи фокусировки лазерного излучения в произвольную кривую // Д. АН СССР, 1983. Т. 273, » 3. С. 605-608.
6. Гончарский A.B., Данилов В.А., Попов В.В.,
Сисакян И.Н. и др. Плоские фокусирующие элементы видимого диа-
пазона // Квантовая электроника, 1986, т. 13, № 3. С. 660-662.
7. Розанов H.H., Семенов В.Е.О формировании заданного профиля интенсивности излучения при управлении его фазой // Письма в ЖТФ, 1983. Т. 9, вып. 24. С. 1531-1534.
8. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. М.: Наука, 1976. Т. 1. 304 с.
9. Виноградова М.Б., Руденко О.В., С у х о р у -ков А.П. Теория волн. М.: Наука, 1979. 384 с.
10. Арсе нин В.Я. Методы математической Физики и специальные функции. М.: Наука, 1974, 432 с.
11. Lesson H.A., Rusch W.V.T., H. Schjar~Ja-cobsen. On numerical evaluation of two-dimensional phase integrals // IEEE Trans, on A.P, 1975, Vol. AP-23, N 5. P. 714-717.
12. Борн М., Вольф Э. Основы оптики / Пер. с англ.; под ред. Г.П. Мотулевич. М.: Наука, 1973. 720 с.
13. Бейтмен Г.,Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1974. Т. 2. 296 с.
14. Данилов В.А., Попов В.В., Прохоров А.М.
и др. Оптические элементы, фокусирующие когерентное излучение в произвольную фокальную линию. М.: Препринт ФИАН. 1983. № 69, 41 с.
15. Васин А.Г., Голуб М.А., Данилов В.А. и др. Расчет и исследование когерентного волнового поля в фокальной области радиально-симметричных оптических элементов. М.: Препринт
ФИАН, 1983. » 304, 38 с.
16. Климов Ю.М. Прикладная лазерная оптика. М.: Машиностроение, 1985. 128 с.
