CC BY
38
УДК 535.8 517.984.54 519.6 Численное исследование параметров модели градиентного оптического волновода с эквидистантным спектром
волноводных мод
Т. П. Пузынина, Во Чонг Тхак
Лаборатория информационных технологий Объединённый институт ядерных исследований ул. Жолио-Кюри, д.6, г.Дубна, Московская область, 141980, Россия
В работе на основе численного решения обратной параметрической задачи Штурма— Лиувилля выполнено исследование модели планарного оптического волновода с градиентным экспоненциальным профилем показателя преломления с целью определения параметров профиля, обеспечивающих близость спектра волноводных мод к эквидистантному.
Ключевые слова: волновое уравнение, модельный потенциал, параметры модели, спектр волноводных мод, квадратичный функционал, минимизация.
1. Введение
При изучении волноводной интегральной оптики используются устройства вывода сигналов, которые преобразуют координатное представление информации в спектральное. Спектральные линии подаются на регистрирующую линейку ФЭУ или других преобразователей. Чем более равномерно распределены спектральные линии градиентного волновода, тем проще изготовить разрешающую оптическую линейку. Поэтому задача изготовления волновода с эквидистантным спектром является актуальной.
Технологически эта задача решается методом имплантации ионного пучка в волноводный слой с первоначально постоянным показателем преломления. Поскольку процесс имплантации порождает процесс диффузии ионов в материал волноводного слоя, показатель преломления образованного слоя максимален на границе с воздухом и экспоненциально убывает вглубь слоя.
Для отработки методики вычисления параметров профиля показателя преломления волновода, обеспечивающих близость его спектра к эквидистантному, рассматривается следующая модельная структура. На диэлектрическую подложку с показателем преломления п8 нанесена пленка из другого диэлектрика с показателем преломления п/(п/ > п8). С помощью (ионной) имплантации частиц с более высоким показателем преломления в поверхность пленки получен новый слой, показатель преломления которого экспоненциально увеличивается от границы с пленкой до границы с окружающей средой (воздухом), имеющей показатель преломления пс(п/ > п8 > пс). Поскольку между слоями с показателями преломления п8 и пс(п8 > пс) находится слой с более высоким, плавно изменяющимся показателем преломления, эта система обеспечивает за счет полного внутреннего отражения волноводное распространение монохроматического поляризованного света вдоль слоев. Таким образом, рассматривается модель планарного оптического волновода с градиентным распределением показателя преломления [1]. С ним связана декартова система координат (х,у,г), в которой уравнения Максвелла для монохроматического поляризованного света редуцируются к системе дифференциальных и алгебраических уравнений [1,2], определяющих эволюцию ТЕ и ТМ — поляризаций независимо друг от друга.
Статья поступила в редакцию 27 июня 2012 г.
Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 10-01-00467-а и 12-01-00396-а. Авторы благодарят Л.А. Севастьянова за постановку задачи и И.В. Пузынина за помощь и поддержку.
В случае волноводных ТЕ — мод для компонент Еу и Нг, тангенциальных к границам разделов слоев волновода, справедливы спектральное уравнение для Еу и соотношение, связывающее Еу с Нг,
ё2Еу ёж2
+ (к20е(х)» - к1 )Еу = 0, Нх =
г ёЕУ к2» ёх
где к2 = ш2/с2, ш — частота колебаний поля, кх — компонента волнового вектора, £ и » — соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости.
Здесь рассматривается спектральное уравнение для составляющей Еу, которое содержит все характерные черты изучаемой задачи.
На рис. 1 изображен профиль показателя преломления рассматриваемой модели п2(х) = е(х)».
0
Рис. 1. Асимметричный экспоненциальный профиль показателя преломления, d — высота имплантированного слоя
В работе даны постановка обратной задачи Штурма-Лиувилля для определения параметров профиля показателя преломления п2(х), обеспечивающих эквидистантность спектра волноводных мод, и численный метод решения этой задачи. Выполнен численный анализ параметров рассматриваемой модели, а также предложена модификация профиля показателя преломления, повышающая точность приближения спектра волноводных мод к эквидистантному.
2. Постановка задачи и численный метод решения
Уравнение, определяющее спектр для компоненты Еу, в безразмерных пере^ менных имеет вид
ё2Еу (х)
ёх2
+ (п2(х) -02)Еу(х) = 0,
где профиль показателя преломления п2(х) (потенциал) задан как
(1)
п2(х)
п8, х < 0,
оо -ЧШ
0 < х < 1, п2, х > (1.
(2)
Граничные условия
ё-Еу(х) - у/р=паЕу(х) ёх.Еу (х) + Еу (х)
Х = 2
Х = (1
(3)
(4)
0
0
являются следствием условий равенства логарифмических производных при х = 0 и х = d для Еу (х) и экспоненциально убывающих асимптотик (х < d, х > d) решений уравнения (1), (2).
Таким образом, граничная задача (1)—(4) является задачей Штурма - Лиувил-ля на отрезке 0 < х < d.
Значения показателей преломления заданы [3]:
n2s = (1.47)2, п2 = (1.565)2, п2с = (1.0)2. (5)
Величины d и Д определяют вектор параметров модели
р = (d, Д), d > 0, Д > 0, (6)
от которого зависит спектр решений задачи (1)—(4)
{Р2(р),Е^(р,х)}, j = 0,1, 2, ...,N(р), (7)
где Pj(p) — собственное значение, Еyj) (р, х) — соответствующая собственная функция. Собственные значения упорядочены
РКр) > Р2Лр) > Р2(р) > ... > Р%(р) > 0.
Введем обозначение
Pi (р) = Р 2-i(p) - Р%р), j = 1,2,...,N (p). (8)
Тогда для эквидистантности спектра собственных значений требуется выполнение системы равенств
pi(p) = P2(P) = ... = Pn (p~). (9)
Следовательно, для исследуемой модели возникает обратная задача, в которой по заданной характеристике спектра собственных значений (9) требуется восстановить в параметрическом семействе п2(р,х) (2) конкретный потенциал (то есть найти вектор параметров р* ), с помощью которого можно наилучшим образом воспроизвести систему равенств (9). Приближенное решение этой задачи можно свести к минимизации функционала
N (р)
Ф(р)= Ё (Р1 (Р) - Pi(Р))2. (10)
3=2
Для вычисления значения функционала (10) при заданном векторе параметров р используется программа SLIPH4M [4], решающая разностную задачу Штурма-Лиувилля, аппроксимирующую задачу (1)-(4).
Численное решение задачи минимизации функционала Ф(р) (10) в заданной области G(p£G) реализуется с помощью известной процедуры покоординатного спуска [5], поскольку вектор р содержит только две компоненты. Одномерная минимизация функционала при фиксированном значении одной из компонент вектора р осуществляется с использованием процедуры, реализующей модификацию метода парабол [5]. Соответствующие программы: CDMIN - процедура покоординатного спуска и PARMIN — процедура одномерной минимизации с помощью модификации метода парабол, составлены в системе MAPLE [6]. Точность результатов оценивается численно.
Остановимся на методике задания области G(p £ G). Компоненты р = (d, Д) совместно влияют на характеристики спектра N(р) и pj (р). Поэтому целесообразно разделить анализ зависимости спектра от р покомпонентно. Это означает, что
необходимо выделить значение й такое, при котором число точек спектра N(р) задачи (1)—(4) сохраняется на некотором интервале изменения параметра Д. Это необходимо для корректного сравнения значений функционала Ф(р) (10). Для определения предварительного значения Д, в окрестности которого будет выполняться численный анализ характеристик спектра, зададим наряду с выбранными
-.2 „2
реалистическими показателями преломления п^пу, п2 (5) также реалистическое
значение показателя преломления «2 = (2.1)2 [3] (рис. 1). Тогда получим Д ~ 0.46. При (1 = 3^, Д = 0.46 вычисляются три решения (7) задачи (1)-(4). Графики соб-
И)
ственных функций Еу),] = 0,1,2 представлены на рис. 2.
Рис. 2. Собственные функции Е^ (х)(з = 0,1, 2) задачи (1)-(4), <1 = А = 0.46
3. Зависимость спектра Еу от параметров модели
В расчетах положим <1 = 3^ и будем исследовать спектры, состоящие из трех точек.
Сначала исследуем зависимость характеристик спектра в окрестности точки Д = 0.46. Результаты расчетов представлены в табл. 1 (I).
Таблица 1
Характеристики спектра Еу в зависимости от А^ = З'к)
Характе- Серии экспериментов
ристики
I II III
Д 0.36 0.46 0.56 0.20 0.22 0.24 0.1810 0.1905
3.2425 3.5319 3.8296 2.8067 2.8585 2.9113 2.7584 2.7824
^2 2.7129 2.8942 3.0899 2.4619 2.4904 2.5197 2.4356 2.4486
2.3273 2.4420 2.5678 2.1729 2.1881 2.2055 2.1625 2.1669
р1 0.5295 0.6377 0.7397 0.3448 0.3681 0.3916 0.3228 0.3338
Р2 0.3857 0.4522 0.5221 0.2890 0.3023 0.3142 0.2731 0.2817
Ф 0.0207 0.0344 0.0474 0.0031 0.0043 0.0060 0.0025 0.0027
Из табл. 1 (I) видно, что минимальное значение функционала Ф (10) получено при Д = 0.36, то есть на левой границе рассматриваемой окрестности. Парабола
Р2(А), проходящая через три точки (А, Ф(Д)), имеет два корня
Д1 « 0.22, Д2 « 4.10.
Оба корня выходят за пределы указанной окрестности. Отметим, что при А = 4.10 задача (1)—(4) имеет 8 решений, поэтому окрестность этой точки в дальнейшем не рассматривается.
Рассмотрим окрестность А = 0.22. Результаты расчетов характеристик спектра приведены в табл. 1 (II). Минимальное значение Ф(Д) (10) достигается при А = 0.20, то есть снова на левой границе новой окрестности. Парабола, проходящая через три точки (А, Ф(Д)) рассматриваемой окрестности, имеет положительный минимум при А ~ 0.15. Однако, при А = 0.15 задача (1)—(4) имеет только два решения. При А = 0.18 задача (1)—(4) также имеет два решения. Относительно малое увеличение параметра А = 0.181 дает уже три решения задачи. Вычисленные характеристики спектра для А = 0.1810 и для А = 0.1905 приведены в табл. 1 (III).
Данные таблицы показывают, что минимум функционала Ф(Д) получен при А = 0.181 вблизи точки бифуркации по параметру А, в окрестности которой меняется число N (А) решений задачи (1)-(4). На рис. 3 изображены графики
собственных функций Еу\х) для сравнения с рис. 2.
Рис. 3. Собственные функции Е^\х)(] = 0,1, 2) задачи (1)-(4), d = 3ж, △ = 0.181
Таким образом, для изучаемой модели (1)-(4) с заданными параметрами (5) в области изменения параметров р = А) е {3^, 0.181 < А < 0.560} найден минимум функционала (10) Ф(р) = 0.0025, где р = (3^, 0.181), N(р) = 2. Получен практически неулучшаемый дефект эквидистантности спектра
Бр = утш Ф(р) = 0.05, (11)
то есть р1 « р2 « 0.3. При этом п§ = (1.7919)2 (см. [3]).
4. Модификация профиля показателя преломления
Метод парабол [6] одномерной минимизации функционала в модели (1)-(5) давал при d = 3^ в окрестности А = 0.46 для Ф(Д) (10) интерполяционную параболу р2(Д) с двумя корнями Д1, Д2, причем Р2 (А) < 0. Поэтому минимум
функционала находился на границе окрестности, и для дальнейшего его уточнения требовался переход к другой области по А. Такая нерегулярная зависимость квадратичного функционала (10) от варьируемого параметра А, возможно, вызвана неудачной оценкой параметра А ~ 0.46, в окрестности которой предполагалось существование минимума. Но с другой стороны, возможно, что при заданном экспоненциальном профиле показателя преломления (2) и заданных значениях ns,nf ,пс (5) и п0 ~ 2.1 задача вычисления эквидистантного спектра для Еу с высокой точностью не имеет решения.
В связи с этим можно рассмотреть задачу о модификации профиля (2) таким образом, чтобы для заданных выше показателей преломления обеспечить регулярный поиск минимума функционала Ф(р) (10) в области {d = 3^, А £ [А^, Аг]}, где Аг, Аг — заданные границы отрезка предполагаемого изменения параметра А.
Отходя от классического определения экспоненциального профиля показателя преломления [1], рассмотрим модификацию экспоненциальной зависимости профиля (2) в виде
п2(х) = п2 (l -А (l - exp( D , 0 < ж < d, (12)
где а(0 < а < 1) — параметр. Отметим, что в отличие от профиля (2) профиль
d2
(12) имеет вторую производную -—т (п2(х)) < 0, 0 < х < d.
dx2
Результаты минимизации функционала Ф (10) для различных значений а приведены в табл. 2. Процесс минимизации осуществляется для каждого значения а в пределах соответствующего отрезка с сохранением числа точке спектра N(р) = 2. В таблице помимо вычисленных характеристик спектра: ß'2(i = 0,1, 2) — собственных значений и pi(i = 1, 2) — расстояний (8), приведены значения % — число итераций поиска min Ф(А), Аш;п — точки, обеспечивающей min Ф(А), и Ф = Ф(Аш;п). Приведена также характеристика Dp — дефект эквидистантности (12).
Таблица 2
Результаты минимизации функционала Ф(р) (10) для модифицированного профиля показателя преломления (12). {й = Д 6 [Дг, Д г]}
Характеристики Серии экспериментов
I, а =1/4 II, а =1/3 III, а = 1/2 IV, а = 2/3 V, а = 5/6
А £ [0.4, 0.7] [0.4,0.50] [0.25, 0.50] [0.15, 0.46] [0.16, 0.46]
i 3 3 3 6 6
Ашт 0.625 0.4773 0.2607 0.15777 0.16656
Ф $ ß2 ß! pi Р2 DP 1.42E-4 4.65283 4.05394 3.53314 0.50889 0.52080 0.01191 9.4E-12 3.95201 3.46839 2.98477 0.483617 0.483620 0.000003 3.9E-11 3.12569 2.74424 2.36279 0.381454 0.381448 0.000006 6.86E-6 2.76587 2.46658 2.16991 0.29929 0.29667 0.00262 7.44E-4 2.75393 2.44513 2.16360 0.30880 0.28153 0.02727
Из табл. 2 видно, что наилучшие результаты получены при а = 1/3. Вычисленное значение ДШт = 0.4773 довольно близко к прогнозируемому значению
Д ~ 0.46. Точность вычисления характеристик эквидистантности р\ и р2 составляет 5 дес. знаков после десятичной точки (Юр = 3.10-6). Значение п0 = 4.4579,
(по ~ 2.1). На рис. 4 представлены графики собственных функций Еу^ и профиля показателя преломления п2 (ж) (12), 0 ^ х ^ 3^ для а = 1/3.
При увеличении (и уменьшении) а относительно значения а = 1/3 точность вычисления эквидистантности уменьшается, но она выше, чем для начального варианта профиля (2).
Рис. 4. Профиль показателя преломления с модификацией (12) (а = 1/3) и собственные функции Е^ задачи (1), (12), (3), (4), <1 = 3^, △ = 0.4773
5. Заключение
Разработанная ранее схема численного решения обратной задачи на собственные значения для дифференциального оператора второго порядка с коэффициентом, зависящим от параметров [6], применена к задаче восстановления коэффициента, обеспечивающего эквидистантность собственных значений. Выполнен численный анализ параметров модели, описывающей спектр компоненты Еу для TE — волноводной моды градиентного оптического волновода с асимметричным экспоненциальным профилем показателя преломления. Для реалистических значений показателей преломления вычислены параметры профиля, обеспечивающие приближение спектра к эквидистантному.
Предложена и исследована модификация профиля, обеспечивающая более высокую точность приближения спектра волноводной моды Еу к эквидистантному. Вопрос о технологической реализации предложенной модификации модели является открытым.
Литература
1. Адамс М. Введение в теорию оптических волноводов. — М.: Мир, 1984. [Adams M. Vvedenie v teoriyu opticheskikh volnovodov. — M.: Mir, 1984. ]
2. Маркузе Д. Оптические волноводы. — М.: Мир, 1974. [Markuze D. Opticheskie volnovodih. — M.: Mir, 1974. ]
3. Refractive Index Database. — http://refractiveindex.info/.
4. Тхак В. Ч., Пузынина Т. П. SLIPH4M - программа для численного решения частичной проблемы Штурма-Лиувилля // Программные продукты и системы. — 2011. — № 3. — С. 75-80. [Vo Trong Thach, Puzynina T. P. SLIPH4M -programma dlya chislennogo resheniya chastichnoyj problemih Sturm-Liouville // Programmnihe produktih i sistemih. — 2011. — No 3. — S. 75-80 ]
5. Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978. [Kalitkin N. N. Chislennihe metodih. — M.: Nauka, 1978. ]
6. Пузынина Т. П., Тхак В. Ч. Комплекс программ для решения обратной параметрической задачи уравнения Шрёдингера // Информационные технологии и вычислительные системы. — 2012. — № 2. — С. 46-53. [Puzynina T. P., Vo Trong Thach. Kompleks programm dlya resheniya obratnoyj parametricheskoyj zadachi uravneniya Schrodinger // Informacionnihe tekhnologii i vihchisliteljnihe sistemih. — 2012. — No 2. — S. 46-53 ]
UDC 535.8 517.984.54 519.6
Numerical Investigation of Parameters in the Model of Gradient Optical Waveguide with Equidistant Spectrum of
Waveguide Modes
T. P. Puzynina, Vo Trong Thach
Laboratory of Information Technologies Joint Institute for Nuclear Research Joliot-Curie, 6, 141980 Dubna, Moscow region, Russia
By numerical solving of a parametric inverse Sturm-Liouville problem, investigation of the model of a planar optical waveguide with a gradient exponential profile of the refractive index has been done to determine the profile parameters providing proximity of the waveguide modes spectrum to an equidistant one.
Key words and phrases: wave equation, model potential, model parameters, waveguide modes spectrum, quadratic functional, minimization.
