Расчет спектра оптических мод и восстановление профиля показателя преломления интегрально-оптических волноводов Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАСЧЕТ СПЕКТРА ОПТИЧЕСКИХ МОД И ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПРОФИЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНО-ОПТИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ А.Ю. Буданова, Е.О. Неронова Научный руководитель - кандидат физико-математических наук,

доцент С.А. Миронов

Изложен алгоритм и представлены результаты расчета спектров оптических мод и профилей показателя преломления для различных типов волноводов.

Введение

В настоящее время интегрально-оптические приборы находят широкое применение на практике. Использование тонкопленочных диэлектрических волноводов открывает путь к созданию миниатюрных активных и пассивных устройств (оптических модуляторов, переключателей, дефлекторов, перестраиваемых фильтров, ответвителей, поляризаторов и других) для высокоскоростных волоконно-оптических линий связи, датчиков и систем оптической обработки информации.

Параметры разрабатываемых интегрально-оптических устройств во многом определяются характеристиками оптических волноводных мод. Поэтому возникает задача определения спектра распространяющихся мод, исходя из известных параметров волновода (прямая задача). Несомненный интерес, особенно при проведении технологических работ по созданию волноводов с заданными свойствами, представляет решение задачи об определении основных параметров волновода (эффективная толщина, профиль показателя преломления, числовая апертура и другие) на основе экспериментальных значений постоянных распространения мод (обратная задача).

Общие подходы решения этих задач для однородных (с постоянным показателем преломления) и градиентных волноводов изложены в ряде работ [1-5]. Однако единого метода, позволяющего получить результаты для ряда практически важных частных случаев, насколько нам известно, представлено не было. В настоящей работе изложен алгоритм и представлены результаты расчета спектров оптических мод и профилей показателя преломления для различных типов волноводов.

Прямая задача

Характеристическое уравнение для волновода с постоянным показателем преломления (однородного волновода) следует из условия поперечного резонанса и может быть записано в виде [5]:

2kdn2 cos 9m - 2ф23 - 2ф21 = 2mp, (1)

где 9 m - угол отражения относительно нормали к направлению распространения, d -эффективная толщина волновода, n1, n2, n3 - показатели преломления покровного слоя, волновода и подложки соответственно, m - целое число (0, 1, 2 ...), которое определяет порядок моды, k = 2p/1 - волновой вектор, ф21- сдвиг фазы в результате полного внутреннего отражения на границе раздела пленка - покровный слой, ф23 - сдвиг фазы в результате полного внутреннего отражения на границе раздела пленка - подложка. Выражения для ф21 и ф23 выглядят следующим образом:

Ф21 = arCtg

П 2 .2а 2

Л/П2 • Sln m - П

П2 C0S 9„

(2)

Ф23 = arctg

лЯ2 • sin2 0m - n3

0 (3)

n2 cos 0 m

V '

Подстановка выражений (2) и (3) в выражение (1) приводит к трансцендентному уравнению с одной переменной 0 m . Постоянная распространения для каждой моды задается выражением

Вm = kn2 sin 0m .

' m 2 m

Основными параметрами однородных волноводов, применяемых в интегральной оптике, являются толщина волновода d и его показатель преломления n2. На основе этих характеристик можно рассчитать спектр мод волновода, т.е. значения постоянных распространения Вm / k, численным решением дисперсионного уравнения (1).

В случае градиентных волноводов параметром, на основании которого рассчитывается модовый спектр, является функция, описывающая изменение показателя преломления по толщине волновода, так называемый профиль показателя преломления n(z). Метод Венцеля-Крамерса-Бриллюэна (ВКБ) [6] позволяет найти приближенные решения волнового уравнения для мод в случае профилей с медленно изменяющимися показателями преломления. Дисперсионное уравнение для градиентных волноводов в приближении данного метода имеет вид

zm _

k jvn 2 (z)- nmdz=Ф23+Ф21 +mp, (4)

0

где nm =bm / k - эффективный показатель преломления m-й моды, zm - точка поворота,

удовлетворяющая условию n(zm ) = nm. Как показано в работе [1], можно считать, что в

p p

градиентном волноводе ф21 = —, а ф23 = — .

Расчет спектра мод для заданного профиля показателя преломления n(z) заключается в определении точки поворота zm для каждой моды и численном решении уравнения (4) для nm.

Для решения прямой задачи для однородного и градиентного волноводов по описанному выше алгоритму была разработана программа в среде математического пакета MathCad 13.0. Эта программа позволяет рассчитывать спектры мод для однородных и градиентных волноводов с различными профилями показателя преломления. Рассчитанные спектры мод для однородного волновода, а также для градиентных волноводов с экспоненциальным, гауссовым, параболическим и линейным профилями показателей преломления представлены ниже. Начальные условия (толщина волновода d, показатель преломления волновода n2 для однородного волновода и показатель преломления n = n(0) для градиентного волновода, а также показатель преломления подложки n3) были выбраны одинаковыми для всех случаев, чтобы наглядно представить различия в модовых спектрах.

Начальные условия: l = 06328 мкм, n2 = n(0) = 1.5900, n3 = 15125, d = 6 мкм, что соответствует характеристикам типичного волновода на стекле. Результаты решения прямой задачи для однородного волновода представлены в табл. 1. Результаты расчета для градиентных волноводов с наиболее типичными профилями показателя преломления представлены в табл. 2 -5.

На рис. 1 изображены спектры оптических мод, рассчитанные по разработанной программе для однородного и градиентного волноводов.

m р / к Ар / к

0 1.5892

1 1.5868 0.0023

2 1.5829 0.0040

3 1.5773 0.0055

4 1.5702 0.0071

5 1.5615 0.0087

6 1.5511 0.0100

7 1.5392 0.0120

8 1.5283 0.0130

Таблица 1. Постоянные распространения р/к и расстояние между модами Ар/к для однородного волновода n(z) = const

m р / к Ар / к

0 1.57464

1 1.56261 0.0120

2 1.55377 0.0088

3 1.54670 0.0071

4 1.54083 0.0059

5 1.53588 0.0050

6 1.53166 0.0042

7 1.52804 0.0036

8 1.52494 0.0031

9 1.52229 0.0027

10 1.52003 0.0022

11 1.51814 0.0019

12 1.51656 0.0016

13 1.51528 0.0013

14 1.51427 0.0010

15 1.51350 0.0007

Таблица 2. Постоянные распространения р/к и расстояние между модами Ар/к для градиентного волновода с экспоненциальным профилем показателя преломления

Ч*) = п, + (по - П) • ехР(-*/ 4)

m р / к Ар / к

0 1.58326

1 1.57389 0.0094

2 1.56488 0.0090

3 1.55634 0.0085

4 1.54832 0.0080

5 1.54088 0.0074

6 1.53408 0.0068

7 1.52797 0.0061

8 1.52264 0.0053

9 1.51819 0.0045

10 1.51478 0.0034

Таблица 3. Постоянные распространения р/к и расстояние между модами Ар/к для градиентного волновода с гауссовым профилем показателя преломления

п(*) = + (по - ) • ехР(-*2/ 42)

т р / к Ар / к

0 1.58213

1 1.57159 0.0110

2 1.56101 0.0110

3 1.55038 0.0110

4 1.53971 0.0110

5 1.52899 0.0110

6 1.51823 0.0110

Таблица 4. Постоянные распространения р/к и расстояние между модами Ар/к для градиентного волновода с параболическим профилем показателя преломления

Ф) = п0 - (п0 - ns) • /

т р / к Ар / к

0 1.57381

1 1.55959 0.0140

2 1.54796 0.0120

3 1.53768 0.0100

4 1.52830 0.0094

5 1.51962 0.0087

Таблица 5. Постоянные распространения р/к и расстояние между модами Ар/к для градиентного волновода слинейным профилем показателя преломления

Ф) = по - (по - п,) • 7

Рис. 1. Спектры мод, рассчитанные по программе: а) для однородного волновода, б) для градиентного волновода с экспоненциальным профилем, в) для градиентного волновода с гауссовым профилем, г) для градиентного волновода с параболическим профилем, д) для градиентного волновода слинейным профилем

m b / к, [8] b / к , рассчитанные по программе A b / к b / к, [7] b / к, рассчитанные по программе A b / к

0 2.5082 2.5080 0.0002 1.9647 1.9647 0.0000

1 2.4951 2.4949 0.0002 1.9389 1.9392 0.0003

2 2.4866 2.4863 0.0003 1.8954 1.8961 0.0007

3 2.4805 2.4802 0.0003 1.8332 1.8344 0.0012

4 2.4760 2.4759 0.0001 1.7510 1.7529 0.0019

5 2.4731 2.4730 0.0001 1.6473 1.6501 0.0028

6 2.4711 2.4711 0.0000 1.5249 1.5283 0.0034

7 2.4701 2.4701 0.0000

Таблица 6. Результаты сравнения постоянных распространения b/к , приведенных в статье [8] для градиентного волновода с экспоненциальным профилем в LiNbO3 и в статье [7] для однородного волновода - пленки ZnO на подложке из стекла, с постоянными распространения, рассчитанными по программе

Как можно видеть из табл. 1-5 и рис. 1, характер модового спектра (зависимость b / к = f (m)) различен для волноводов с разным профилем показателя преломления. Так, для волновода с параболическим профилем постоянные распространения расположены эквидистантно, т.е. Db/к = const. В то же время для однородного волновода значения Db / к увеличиваются с номером моды, а для волноводов с экспоненциальным, гауссовым и линейным профилями значения Db / к уменьшаются с возрастанием номера моды m. Указанные особенности модового спектра позволяют по результатам эксперимента качественно оценить вид профиля показателя преломления в волноводе, что необходимо в дальнейшем для точного восстановления профиля.

Чтобы показать точность, с которой могут быть определены постоянные распространения по разработанной программе, нами были рассчитаны спектры мод для однородного волновода - пленки ZnO на подложке из стекла [6] (1 = 06328 мкм, n2 = 1.9732, n3 = 1.5127, d = 1.5881 мкм) и для градиентного волновода из LiNbO3 с экспоненциальным профилем показателя преломления [7] (1 = 06328 мкм, n(0) = 2.5298, n3 = 2.4698, d = 6.27 мкм) и проведено сравнение со значениями b/к , полученными в вышеупомянутых работах. Результаты сравнения представлены в табл. 6, из которой видно, что программа позволяет рассчитывать эффективные показатели преломления мод на основе известных характеристик волноводов с точностью не менее 10 -3.

Обратная задача

Чтобы найти распределение показателя преломления среды n по глубине волновода z, нужно получить решение соответствующего волнового уравнения на основе ВКБ

метода. При этом исходным является уравнение (4). Для градиентного волновода сдви-, „ p p

ги фаз на границах волновод - покровный слои и волновод - подложка равны — и —, соответственно. Учитывая сказанное, можно преобразовать выражение (4) к виду [1]

1) Jn2 (z)- nl dz = l-1, m = 1, 2, ... M, (5)

1 0 8

где 1 - длина волны излучения, М - количество мод в волноводе. Предполагается, что г0 = 0 и п0 = п(0). Заметим, что система нумерации мод в этом разделе сдвинута на единицу относительно обычного представления, так что показатель преломления на поверхности обозначен п0.

Задача сводится к выбору вида и параметров функции п(г), удовлетворяющей экспериментально полученным значениям пт. Для дальнейших вычислений, следуя [4], аппроксимируем функцию п(г) кусочно-линейной зависимостью вида

п 2( г) = пк + -

2к 7 к-1

-(гк - 7) ,

гк-1 £ 7 £ гк •

к = 1, 2,

т.

(6)

Подставляя выражение (6) в выражение (5) и суммируя по к, получаем

1 , ч , ж .....

1(пк2-1- пк)

1

2 2 пт-1 - пт

3(4т -1)

8

к=1

(п2-1 - пт ) -ш - пт)

Неизвестный показатель преломления на поверхности п0 находится путем минимизации суммы

м

М

2

(г 2 п - п

,1т т+1

22 п - п

т-1 т

г , - г

V т+1 т

г - г ,

т т-1

(гт+1 г т-1 )

(7)

Эта минимизация приводит к сглаживанию зависимости п(гт), что соответствует монотонности изменения коэффициента преломления в волноводе. Таким образом, п0 варьируется так, чтобы получить минимум суммы (7), т.е. наиболее гладкую зависимость п( г ).

Если заранее известно, что волновод однородный, тогда описанный выше метод даст точные значения толщины волновода (ё ) и его показателя преломления ( п2).

1.55

1.51

2 (МКМ)

1.55

1.51

г(мкм) 0 10 20 г(мкм) 0 5 10 г(мкн)

6)

в)

z (мкм)

Рис. 2. Графики распределения показателя преломления (п) по глубине волновода (г). Расчетные значения (•) и аппроксимирующие их кривые (—): а) для однородного волновода, б) для градиентного волновода с экспоненциальным профилем, в) для градиентного волновода с Гауссовым профилем, г) для градиентного волновода с параболическим профилем, д) для градиентного волновода слинейным профилем

2

2

т=1

Программа, реализующая на практике данный метод, также была разработана в среде математического пакета МаШСаё 13.0. Чтобы наглядно проиллюстрировать степень, с которой данная программа может прогнозировать истинное распределение профиля показателя преломления, начальные значения эффективных показателей преломления мод Ь т / к для решения обратной задачи были взяты из табл. 1-5. Результаты

восстановления профиля показателя преломления для волноводов с различными профилями представлены на рис. 2.

В табл. 7 приведены значения показателя преломления на поверхности п0 и толщины волновода ё, рассчитанные по программе для различных случаев. Там же приведены для сравнения рассчитанные отклонения Ап0 и Аё от начальных значений п и ё, использованных ранее при решении прямой задачи.

Вид профиля показателя пре- п0 ё, мкм Ап0 Аё, мкм

ломления

Постоянный показатель пре- 1.5905 6.016 0.0005 0.016

ломления

Экспоненциальный 1.5915 6.096 0.0015 0.096

Гауссов 1.5910 6.185 0.0010 0.185

Параболический 1.5895 5.993 0.0005 0.007

Линейный 1.5896 6.180 0.0004 0.180

Таблица 7. Результаты расчета основных параметров волноводов на основе спектров оптических мод для различныхтипов волноводов

Вид волновода Расчетные значения

п0 ё, мкм Ап0 Аё, мкм

Волновод из ЫЫЪ03 с экспо-

ненциальным профилем показателя преломления ( п0 = 2.5260 5.78 0.0038 0.49

2.5298, п3 = 2.4698, ё = 6.27

мкм) [8]

Волновод из твердого раствора ЫЫЪ03 - ЫТа03 с экспо-

ненциальным профилем показателя преломления ( п0 = 2.273 2.236 0.0027 0.006

2.2757, п3 = 2.177, ё = 2.23

мкм) [5]

Таблица 8. Сравнение расчетныхзначений показателя преломления на поверхности п0 и толщины волновода ё со значениями других авторов [5, 8]

Из табл. 7 и рис. 2 можно сделать вывод о том, что разработанная программа позволяет восстанавливать профиль показателя преломления по известному модовому спектру для волноводов на стекле с хорошей точностью. Чтобы показать, что данная программа хорошо работает и для волноводов из других материалов, таких, как ЫЫЪ03

и твердый раствор ЫЫЪ03 - ЫТа03, были проведены расчеты точек поворота и восстановлены профили показателя преломления для данных волноводов по постоянным

распространения, приведенным в статьях [8] и [5]. Результаты расчета и сравнение полученных значений показателя преломления на поверхности п0 и толщины волновода

ё со значениями из упомянутых выше работ представлены в табл. 8. Восстановление профиля показателя преломления аппроксимацией точек поворота, рассчитанных по программе, проиллюстрировано нарис. 3.

а) б)

Рис. 3. Графики распределения показателя преломления (п) по глубине волновода (2). Расчетные значения (•) и аппроксимирующие их кривые (—): а) для волновода из ПЫЪ03 [8], б) для волновода из твердого раствора ПЫЪ03 - ЫТа03 [5]

На основании данных, приведенных в табл. 8, и рис. 2 можно сделать вывод о том, что разработанная программа позволяет восстанавливать профиль показателя преломления по известным постоянным распространения с точностью не менее 10-3, и о том, что программа применима как для волноводов на основе стекла, так и для волноводов на основе кристаллов ниобата лития, которые широко используются в различных устройствах интегральной оптики.

Заключение

В работе представлен алгоритм расчета в рамках единого подхода спектра оптических мод и восстановления показателя преломления для различных типов волноводов, изготовленных из разнообразных материалов.

Показано, что такие параметры волноводов, как постоянные распространения Ь / к, показатель преломления п и эффективная толщина ё могут быть определены с

точностью ~10-3.

Предложенный алгоритм и разработанные программы расчетов были использованы на кафедре «Физика и техника оптической связи» в качестве программного обеспечения для новой лабораторной работы по курсу «Оптические направляющие среды и пассивные компоненты волоконно-оптических линий связи». Кроме того, полученные результаты были использованы в научно-исследовательской работе по созданию управляющей интегрально-оптической схемы для волоконно-оптического гироскопа навигационной точности. Разработанный алгоритм также может найти применение в процессе синтеза волноводов с заданными свойствами для различных приборов интегральной оптики, особенно основанных на преобразовании оптических мод.

Литература

1. White J., Heidrich P. Optical waveguide refractive index profiles determined from measurement of mode indices: a simple analysis. // Applied Optics. 1976. Vol. 15. № 1, P. 151-155.

2. Savatinova I., Nadjakov E., Mashev L. Determination of refractive index profiles in diffused optical waveguides. // Applied Physics by Springer-Verlag. 1977. Vol. 12. P. 293-296.

3. Burke J. Propagation constants of resonant waves on homogeneous, isotropic slab waveguides. // Applied Optics. 1970. Vol. 9. № 11. P. 2444-2451.

4. Дикаев Ю., Копылов Ю., Котелянскпй И. Простой метод определения профилей диффузионных волноводов. // Квантоваяэлектроника, 1981. Т. 8, № 2. С. 1981-1983.

5. Tien P., Riva-Sanseverino S., Martin R. Optical waveguide modes in single-crystaline LiNbO3 - LiTaO3 solid-solution films. // Applied Physics Letters. 1974. Vol. 24. № 10. P. 503-506.

6. Schiff L. Quantum Mechanics, New York, McGraw-Hill, 1955. P. 184-193.

7. Tien P., Ulrich R., Martin R. Modes of propagating light waves in thin deposited semiconductor films. // Applied Physics Letters. 1969. Vol. 14. № 9. P. 291-294.

8. Hocker B., Burns W. Modes in diffused optical waveguides of arbitrary index profile. // IEEE Journal of Quantum Electronics. 1975. Vol. QE-10. P. 270-276.