Численное исследование дифракции света на дифракционных линзах Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Прикладная оптика

УДК 541.144

А.В.Волков, Р.В.Скиданов

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФРАКЦИИ СВЕТА

НА ДИФРАКЦИОННЫХ ЛИНЗАХ

Разработан метод оценки влияния технологических ошибок при формировании микрорельефа

дифракционных линз (ДЛ) на световое поле в дальней зоне дифракции.

Дифракционная линза (ДЛ) - это оптический элемент, выполненный по технологии микролитографии и представляющий собой стеклянную пластинку с микрорельефом на одной стороне. Функция рельефа ДЛ пропорциональна фазовой функции вида

£(г,Р) = {- кг 2/2 Ґ}2р , (1)

где (г, р) - полярные координаты; /- фокусное расстояние; - дробная часть от деления на

2рили операция приведения числа к уровню 2п;

к = — . (2)

Я

На рис. 1 показан вид сечения функции Б(г, р) при ф=0.

Р и с. 1. Вид сечения функции Б(г, ф)

Изготовление ДЛ с микрорельефом, пропорциональным функции (1), по технологии микролитографии осуществляется в несколько этапов. Сначала рассчитывается и изготавливается с помощью лазерного или электронного фотопостроителей набор бинарных фотошаблонов. Бинарный фотошаблон - это амплитудная маска, имеющая только два значения функции пропускания, например, 0 и 1. На следующем этапе с помощью полученных фотошаблонов происходит травление поверхности стекла с целью получения многоградационного рельефа. С каждым новым травлением увеличивается число уровней градаций фазы линзы. Так после первого шаблона и первого травления получается 2-градационная линза с фазовой функцией

Г 2п, п < Б(г, ф) < 2п,

Б2(г, ф) = \ (3)

[п - 81 ,0 < Б(г, ф) < п.

где 3] - ошибка, которая может возникнуть при неправильном выборе времени травления стекла ДЛ.

Вид функции Б2(г,ф), которая является бинарной аппроксимацией непрерывной функции Б(г,ф), показан на рис.2. После второго этапа травления получается 4- уровневая аппроксимация рельефа линзы, фазовая функция которой имеет вид

3

^4(Г,Ф) =

(4)

2п— п < Б(т, ф) < 2п,

33

2 п - ё1,п < Б(г, ф) < ^ п, п

п - 82 < Б(г, ф) < п,

пп

--8, -82,0 < Б(г,ф) <-,

[2 1 2 2

где 32 - ошибка, которая появляется при втором травлении при неправильном выборе времени травления.

Р и с.2. Вид функции 82(т, ф)

Вид функции Б4(г, ф), являющейся 4- уровневой аппроксимацией функции Б(г, ф), показан на рис.3.

Р и с.3. Вид функции 84(т, ф)

После третьего травления с помощью третьего бинарного шаблона получается 8-и уровневая линза, фазовая функция которой имеет вид

Б8(г,Р) =

(5)

2П4 п < Б(г, р) < 2п,

7 п - 83 6 п < Б(г,р) < 7 п,

4 3 4 4

6 п - 82 п < Б(г,р) < 6 п,

4 2 4 4

4 п - 82 - 83,п < Б(г,р) < 4 п,

3

п - 81 ,4 п < Б(г, р) < п,

3 п 3

-п - & - 8,-< Б(г,р) <-п,

4 1 32 4

п - 81 - 82 п < Б(г, р) < п,

2 1 24 2

пп

4 - 81 - 82 - 83,0 < Б(г,р) < 4,

где 83 - ошибка при третьем травлении рельефа линзы. Вид функции Б8(г,р), являющейся 8уровневой аппроксимацией функции 8(г,ф), показан на рис.4.

ЛГ 2дг

Р и с.4. Вид функции Б8(г, р)

Заметим, что в ходе изготовления линзы может возникнуть ряд других технологических ошибок, например, поворот и смещение при наложении очередного шаблона на уже протравленный рельеф. Эти ошибки анализируются в последующих работах.

Моделирование дифракции Фраунгофера на дифракционной линзе

В скалярном приближении дифракция Фраунгофера наблюдается в фокальной плоскости сферической линзы (или в дальней зоне) и описывается преобразованием Фурье [1]:

Г({(£ = ГГ Ао(х,у)е’Б(х,уУе^Ы+УУ](Ыу :

2пА и

(6)

где Р(Х,^) - комплексная амплитуда света в фокальной плоскости линзы с фокусным расстоянием/; А0(х,у) - амплитуда освещающего линзу пучка света с волновым числом к=2л/1; 1 - длина волны; Б(х,у) - фазовая функция ДЛ; О - апертура диафрагмы, окружающей линзу, или апертура освещающего пучка.

В ходе моделирования интегральное преобразование Фурье (6) заменяется дискретным преобразованием:

РРЯ = С Ё Атп еХР[/Бтп ]хР

- 12п

тр + щ N

(7)

п,т=1

где Гр9, Лтп, Бтп - эквидистантные отсчеты функций Г(%,ц), Ао(х,у), Б(х,у) соответственно; С -постоянная. Дискретность выбора отсчетов Нх в плоскости аксикона и дискретность Н% в плоскости наблюдения связаны соотношением

Нг = Н— , (8)

' НхN

где —х— - размерность матрицы отсчетов. Сумма (7) вычислялась с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) [2], N=2^=256.

Для сферической линзы проводилось исследование, каким образом среднеквадратичная ошибка формирования интенсивности зависит от параметра О// при некотором фиксированном значении одной из ошибок. В таблице приведены значения среднеквадратичной ошибки формирования интенсивности для различных значений параметра О//. При этом одна из технологических ошибок отлична от нуля.

Значения среднеквадратической ошибки формирования интенсивности

Б// 8! =0.1 82 =0.1 83 =0.1

0.0006 0.253 0.163 0.190

0.0008 0.175 0.181 0.201

0.0010 0.232 0.139 0.154

0.0012 0.278 0.182 0.202

0.0014 0.247 0.161 0.177

0.0016 0.334 0.170 0.186

Из таблицы видно, что при Б//=0.001 среднеквадратичная ошибка формирования интенсивности минимальна, поэтому исследование проводилось для линз с Б//=0.001, Ло(х,у) = 1 - плоский освещающий пучок света. Причем исследовались сферическая и цилиндрическая линзы с этими параметрами. Целью данного численного эксперимента является исследование влияния технологических ошибок на ошибку формирования светового поля.

В качестве критерия оценки будем использовать среднеквадратичную ошибку о:

- = іі , (9)

V V ч

где Іі ^ - интенсивность, регистрируемая для линзы с гладкой фазой; 1^ - интенсивность,

регистрируемая для линзы с квантованной фазой.

Следует заметить, что само квантование приводит к ошибке формирования светового поля, которая быстро уменьшается с увеличением числа уровней. На рис.5. представлены графики зависимости среднеквадратичной ошибки формирования интенсивности в зоне дифракции Фраунгофера от числа уровней квантования.

0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 о

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Р и с. 5. Графики зависимости ст от количества

уровней квантования:________- для цилиндрической

линзы;......для сферической линзы

Наличие в бинарной фазовой функции ДЛ (3) технологической ошибки 3] приводит к плавному росту среднеквадратичной ошибки для цилиндрической линзы и резкому росту среднеквадратичной ошибки для сферической линзы. Характерными являются значения относительной среднеквадратичной ошибки формирования интенсивности в зоне дифракции Фраунгофера Д01 и Д02, которые определяются по формуле

где ою - значение среднеквадратичной ошибки формирования интенсивности при 3=0.

На рис. 6 представлены графики зависимости среднеквадратичной ошибки формирования интенсивности в зоне дифракции Фраунгофера от 31.

СГ 16

14

12

10

ф ф 'р (г сг сг

Р и с. 6. Графики зависимости ошибки формирования светового поля в дальней зоне дифракции от технологической ошибки 3] (недотравленный ДОЭ) для сферической и цилиндрической линз:

____- сферическая линза;...цилиндрическая линза

На рис. 7 представлены графики зависимости среднеквадратичной ошибки формирования интенсивности в зоне дифракции Фраунгофера от 31 для небольших значений 31.

Р и с. 7. Графики зависимости ошибки формирования светового поля в дальней зоне дифракции от технологической ошибки 31 (для небольших значений 31) для сферической и цилиндрической линз:___- сферическая линза;..цилиндрическая линза

Для случая перетравленного ДОЭ наблюдается абсолютно симметричная картина.

Р и с. 8. Графики зависимости ошибки формирования светового поля в дальней зоне дифракции от технологической ошибки 32 (при 31 = 0) для сферической и цилиндрической линз: ___- сферическая линза;...цилиндрическая линза

Для 4- уровневой линзы с фазовой функцией Б4(г,ф) о зависит от ошибки 81 более существенно, чем от ошибки 82. На рис.8 представлены графики зависимости среднеквадратичной ошибки формирования интенсивности в зоне дифракции Фраунгофера от 82 при 81 = 0 для сферической и цилиндрической линз.

Для 8- уровневой линзы о зависит от технологических ошибок 81у 82, 83. На рис.9 представлены графики зависимости среднеквадратичной ошибки формирования интенсивности в зоне дифракции Фраунгофера от З3 при 3, = 0. д2 = 0 для сферической и цилиндрической линз. 0 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 &

Р и с. 9. Графики зависимости ошибки формирования светового поля в дальней зоне дифракции от технологической ошибки 83 (при 81 = 0, 82 = 0) для сферической и цилиндрической линз:

- сферическая линза;....цилиндрическая линза

В ходе моделирования показано, что при наличии технологических ошибок в изготовлении 2-,4-,8-градационных линз, связанных с разной глубиной травления стекла на каждом этапе, могут полностью искажать картину дифракции Фраунгофера.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гудмен Дж. Введение в Фурье-оптику. М.: Мир, 1970.

2. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978.