Формирование мод Гаусса-Эрмита с помощью бинарных ДОЭ. I. моделирование и эксперимент Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФОРМИРОВАНИЕ МОД ГАУССА-ЭРМИТА С ПОМОЩЬЮ БИНАРНЫХ ДОЭ I. МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТ

С.Н. Хонина, В.В. Копшр, В.А. Сойфер Институт систем обработки изображений РАН М. Хонканен, Я. Турунен Университет Йоенсуу, Финляндия

1. Введение

В [1,2] показано теоретически, что для эффективного формирования одномерных мод Гаусса-Эрмита (ГЭ) можно использовать фазовые бинарные ДОЭ, которые получаются с помощью знаковой функции от соответствующего многочлена Эрмита. При освещении такого ДОЭ плоским пучком света с оптимально подобранной апертурой в дальней зоне дифракции формируется с эффективностью более 80% требуемая мода.

В [3] для формирования лазерной моды ГЭ (1,0) был изготовлен и исследован экспериментально фазовый 16-ти уровневый ДОЭ. Он был изготовлен по технологии электронной литографии с помощью травления поли-метилметакрелата, нанесенного на подложку из кварцевого стекла. Этот элемент был рассчитан с помощью итеративной процедуры, предложенной в [4]. Размерность массива была равна 2048x2048 отсчетов. Теоретическая эффективность равнялась 45.5%, а экспериментально измеренная - 37.7%.

В данной работе приведены результаты по безитерационному расчету и исследованию двухуровневых (бинарных) ДОЭ, формирующих моды ГЭ с номерами (1,0), (1,1) и (1,2) с теоретической эффективностью около 70%. Кроме того, результаты работ [1,2] обобщаются на двумерный случай формирования мод ГЭ.

С помощью технологии электронной литографии получены несколько фазовых бинарных ДОЭ, согласованных с модами ГЭ и проведена экспериментальная апробация их работоспособности.

2. Расчетные формулы

Для эффективного формирования отдельных мод ГЭ предлагается использовать фаговый элемент с функцией пропускания:

гmn(x,^') = sgnЯIЯ(x)x

х Нп (у) геа| - I гесС| -

(1)

где Нт(х),Нп(у) - многочлены Эрмита т-го и «-го

порядков, б^(х) =

1,х>0 — 1, х с 0!

гесЦ -1 =

1,|х| <а 0,|х| > а

В [1] на основе разложения в ряд одномерной знаковой функция из уравнения (1)

Я=о

где

хехр(-х2)Я (х)с!х

(2)

(3)

получены выражения в виде конечных сумм для коэффициентов С("], например, при р-2з\

СНГ =

К"!)' х

х£<-1)* ехр (-х£)Я2,_,(хй)

(4)

где хы - нули многочлена: Я2/+., (хи) = 0.

С помощью уравнения (4) можно получить конкретные значения коэффициентов для разложения в ряд (2) для каждой моды ГЭ. Например, для моды ГЭ (1,1)

Я,, (х, у) = вёп(х) • 5§П(>)

используя представление:

5 П(жч = 1 у НУ

можно записать:

5§ПЯМ(Х,Я=—X п

(5)

Из уравнения (5) получается, что с эффективностью около 86% бинарный ДОЭ с пропусканием Н, (х) сформирует моду ГЭ, пропорциональную многочлену Я| (х).

Дтя двумерных ДОЭ с пропусканием (1) эффективность, очевидно, можно оценить как произведение одномерных эффективностей: 0.86x0.86x100% = 73.96%. Эта оценка подтверждается на основании результатов моделирования.

В Таблице 1 приведены значения среднеквадратичного отклонения б и эффективности г\, рассчитанных по следующим формулам:

6 =

11{|з[г(*^)]Г -|Ч'„я(х,>0|2Кгс1.У

-Ь-Ь

-Ь-Ь

(7)

Ь к

(8)

¡\р1т(х,у)]\гйхАуЦ^тп(х,уХйхау

-Ь-Ь

где

-Ь-Ь

х2 +у2

Нт(х)М„(у). (9)

Таблица 1.

Рассчитанные средние ошибки и эффективность при формировании мод ГЭ с помощью бинарных знаковых ДОЭ с квадратной апертурой оптимального размера

ТЕМ (т,п) (7,0)

5,% 28.8 14.4 30.6 62.4

л,% 63.8 72.3 68.5 33.5

Область интегрирования [-Ь,Ь]х[-Ь,Ь] в уравнениях (7) и (8) выбиралась из условия, что ^(х.^Г • в уравнениях (7) и (8) использовано обозначение преобразования Фурье от функции пропускания ДОЭ:

*[т(х,у)]= } }т(х,у)х

хехр

¡к, --[их

Г

ку)

(10)

dxd>,

Однако, на практике часто используют не квадратную, а круглую диафрагму, в этом случае мы получим результат немного лучше или хуже, но примерно такой же (см.Таблицу 2)

Таблица 2. Рассчитанные средние ошибки и эффективность при формировании мод ГЭ с помощью бинарных знаковых ДОЭ с круглой апертурой оптимального размера

ТЕМ(т,п) (1,0) (1,1) (1,2) (7,0)

5,% 26.9 15.6 31.8 66.9

70.1 69.5 65.4 40.7

3. Изготовление ДОЭ

Бинарные фазовые ДОЭ, функция пропускания которых удовлетворяет уравнению (1), были изготовлены с помощью низковольтового электронного генератора изображений Leica LION LV1 в Университете Йоенсуу (Финляндия). Предельное разрешение этого электронного литографа около 0.04 микрона.

Амплитудная бинарная маска была рассчитана с размерами 1 мм х 1 мм (1000 х 1000 отсчетов) с дискретностью 1 микрон. Высота бинарного рельефа формировалась для длины волны X = 0.633 микрона.

Этапы изготовления бинарного профиля показаны на рис, 1. С помощью электронного луча в слое полиметилметакрелата (ПММА), толщиной 0.18 микрон, который был осажден на подложке из расплавленного оксида кремния SiO?, рисовалось изображение в соответствии с рассчитанной маской (этап 1 на рис.1). После проявления слой хрома толщиной 0.05 микрон осаждался в вакууме на поверхность структуры с бинарным изображением. Затем использовались процедуры вымывания для удаления оставшегося резиста ПММА вместе со слоем хрома из областей не подвергшихся экспонированию (этап 2 на рис. 1). И наконец с помощью реактивного ионного травления, при котором слой хрома выступал в качестве защитной маски, в расплавленном оксиде кремния создавался требуемый бинарный профиль (этап 3 на рис. 1). Так как показатель преломления Si02 равен 1.46, то высота ступеньки бинарного профиля формировалась равной 0.675 микрон. ______

Ч

п^ п

I

з|

Рис.1. Этапы изготовления бинарного рельефа ДОЭ: 1) экспонирование резиста электронным пучком; 2) осаждение хрома и вымывание резиепш; 3) реактивное ионное/правление

микроско-бинарного

Рис. 1 Вид участка фазового бинарного ДОЭ под микроскопом

4. Эксперимент

Изготовленные по литографической технологии бинарные фазовые ДОЭ исследовались на установке, оптическая схема которой показана на рис. 3. Луч света от Не-Ие лазера малой мощности расширялся микрообъективом и фильтровался с помощью малой круглой диафрагмы. После коллимирования расходящегося пучка он ограничивался другой круглой диафрагмой радиусом примерно 1.1-1.2 мм. Ограниченный по радиусу плоский пучок попадал затем на бинарный ДОЭ. Дифракция света на ДОЭ в ближней зоне Френеля исследовалась с помощью регистрации распределения интенсивности света ПЗС- камерой. Приемное окно камеры имело размеры 6.6 мм х 4.78 мм, число фотоячеек равно 768 х 567. Зарегистрированные картины дифракции запоминались в компьютере. Для исследования дифракции Фраунгофера на ДОЭ в пространство за элементом вводилась линза с фокусным расстоянием 500 мм.

Рис. 3. Экспериментальная установка: Не-\е лазер (I),

микрообъектив (2), фильтрующая диафрагма (3), кол шмирующая линза (4), ограничивающая диафрагма

(5), бинарный ДОЭ (6), добавочная лшиа для выполнения Фурье-преобразования (7), ПЗС-камера (8), компьютер (9)

На рис. 4-7 показаны результаты исследования для мод ГЭ с номерами (1,0), (1,1), (1,2) и (7,0), соответственно. На рис. 4а-7а показаны амплитудные бинарные фотошаблоны ДОЭ, ограниченные круглыми апертурами освещающего пучка с диаметром 1.2 мм. Фотошаблоны рассчитывались в соответствии с формулой (1). Однако, апертура была круглой и немного больше оптимального размера, что ухудшило результаты (в основном эффективность), которые могли быть получены в оптимальном случае (см. Таблицу 3).

На рис. 2 показан увеличенный под пом участок получившегося фазового ДОЭ.'

На рис. 46-76 покачаны рассчитанные по формуле (9) картины дифракции Фраунгофера на соответствующих фазовых бинарных ДОЭ.

Щ ' #.

ш ш

Рис. 4. Результаты моделирования и эксперимента для моды ГЭ (1,0): фотомаска, ограниченная круглой апертурой освещающего пучка (а); рассчитанная картина дифракции в дальней зоне (б); экспериментальная картина дифракции в дальней зоне (в) и ее трехмерное представление (г); экспериментальные распределения интенсивности на расстояниях 370 мм (д), 480 мм (е) и 620 мм (ж) от ДОЭ

Рис. 5. Результаты моделирования и эксперимента д.ш моды ГЭ (1,1): фотомаска, ограниченная круглой апертурой освещающего пучка (а); рассчитанная картина дифракции в дальней юне (б); экспериментальная картина дифракции в дальней зоне (в) и ее трехмерное представление (г); экспериментальные распреде.ития интенсивности на расспиыниях 340 м.и (д), 455 мм (е) и 640 мм (ж) от ДОЭ

Рис. 6. Результаты моделирования и эксперименпш для моды ГЭ (1,2): фотомаска, ограниченная круглой апертурой освещающего пучка (а); рассчитанная карпшна

дифракции в дальней зоне (б); экспериментальная картина дифракции в дальней юне (в) и ее трехмерное представление (г); экспериментальные распределения интенсивности на расстояниях 260 мм (д), 400 мм (е) и 580 мм (ж) от ДОЭ

Рис. 7. Результаты моделирования и эксперимента для моды 13 (7,0): фотомаска, ограниченная круглой апертурой освещающего пучка (а); рассчитанная картина

дифракции в даи>ней юне (б); экспериментальная картина дифракции в дальней юне (в) и ее трехмерное представление (г); экспериментальные распределения интенсивности на расстояниях 360 .н,и (д) и 470 мм (ж) от ДОЭ.

На рис. 4в-7в показаны экспериментальные картины дифракции Фраунгофера (дальняя зона), которые были зарегистрированы в задней фокальной плоскости линзы с фокусным расстоянием 500

мм, дополнительно введенной в оптическую схему (рис. 3, позиция 3). На рис. 4г-7г показаны трехмерные представления экспериментальных картин дифракции Фраунгофера (рис. 4в-7в). Сравнивая рис. 46-76 и рис. 4в-7в, можно убедиться, что имеет место хорошее согласование теории и эксперимента.

На рис. 4д,е,ж-7д,е,ж показаны экспериментальные картины дифракции Френеля (ближняя зона) на разных расстояниях от ДОЭ. Из этих рисунков видно, что при распространении лазерный пучок проявляет модовые свойства - сохраняет свою структуру.

Таблица 3.

Рассчитанные средние ошибки и эффективность при формировании мод ГЭ с помощью бинарных знаковых ДОЭ с круглой апертурой немного больше оптимального размера

ТЕМ(т,п) | (1,0) (М) (1^2) (7,0)

5, % II 24.7 42.7 31.5 64.2

ть % 1 55.6 62.2 59.4 31.7

5. Заключение

В работе получены следующие результаты. - по технологии электронной литографии получены на кварцевом стекле бинарные ДОЭ для эффективного формирования отдельных мод Гаусса-Эр-мита (1,0), (1,1), (1,2) и (7,0); функция пропускания таких ДОЭ равна знаковой функции от многочленов Эрмита;

- численное моделирование показало, что бинарные знаковые ДОЭ формируют первые моды ГЭ с эффективностью 64-72%;

- натурные эксперименты демонстрируют удовлетворительную работоспособность таких ДОЭ и согласие с теорией.

Благодарность

Работа выполнена при поддержке Российского

фонда фундаментальных исследований (№№ 96-15-

96026, 98-01-00894).

Литература

1. КоНуаг VV., Khonina S.N., Soifer V.A. "Generalized

Hennite beams in free space", Optik, 1998, v. 108, No.l, p.20-26.

2. Котляр В В., Сойфер B.A., Хонина С.Н., "Обобщенные эрмитовые световые пучки в свободном пространстве", Компьютерная оптика, СГАУ, Самара, 1997, вып. 17, с.31-36.

3. Duparre М., Pavelyev V, Luedge В., Kley В., Kowarschik R., Soifer V. "Forming of selected unimodal complex amplitude distributions by means of novel DOEs of MODAN-type", Proceedings of SPIE, 1997, v.3134, p.357-368.

4. Голуб M A., Павельев В.С, Сойфер В.А. "Построение итеративного алгоритма расчета фазовых ДОЭ, формирующих заданное одномодовое распределение на основе метода обобщенных проекций", Компьютерная оптика, М., МЦНТИ, 1995, вып. 14-15, часть 2, с.85-Формирование мод Гаус-са-Эрмита с помощью бинарных ДОЭ.