А. Ф. Заусаев, А. А. Заусаев, А.Г. Ольхин
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ БОЛЬШИХ ПЛАНЕТ (МЕРКУРИЙ-ПЛУТОН) И ЛУНЫ С УЧЕТОМ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ НАБЛЮДЕНИЙ
Проведено численное интегрирование уравнений движения больших планет (Меркурий-Плутон) и Луны на интервале времени с 1950 по 2000 гг. В уравнениях движения Луны от несферичности Земли учитывались лишь зональные гармоники. Результаты вычислений для внутренних планет (Меркурий-Марс) сопоставлены с радиолокационными наблюдениями. Получено вполне удовлетворительное согласие численной теории с результатами наблюдений.
В настоящее время имеется ряд высокоточных численных теорий движения больших планет, согласующихся с радиолокационными наблюдениями [1-4]. Наиболее точной из них является теория планетных и Лунных эфемерид БЕ405. Однако точные положения планет охватывают лишь интервал времени с 1600 по 2200 гг. В численной теории движения планет и Луны БЕ406 координаты планет вычислены на интервале времени с 3000 г. до н.э. по 3000 г. н.э. Недостатком, на наш взгляд, данной теории является большой объем внешней памяти (около 200 мегабайт), в которых хранится информация об эфемеридах планет в форме полиномов Чебышева на интервале времени 6000 лет. Целью наших исследований является получение в дальнейшем банка данных координат больших планет на интервале времени порядка 20 и более тысяч лет и применение этого банка данных к исследованию эволюции орбит комет и астероидов.
Точность вычисления элементов орбит комет и астероидов значительно ниже, чем элементов орбит больших планет, поэтому нет необходимости в получении координат планет с той же степенью точности, как в БЕ405 или БЕ406. Тем не менее, ошибки в координатах и скоростях больших планет на исследуемом интервале времени не должны быть значительными. Вследствие того, что при исследовании эволюции орбит малых тел Солнечной системы учитываются, в основном, гравитационные взаимодействия, а также релятивистские эффекты, следует оценить величину ошибок, которые могут возникнуть в процессе интегрирования больших планет путем сопоставления координат с радиолокационными наблюдениями.
Радиолокационные наблюдения планет, проведенные как в СССР, так и в США [5-7], позволили значительно уточнить величину астрономической единицы, а также построить численные теории движения внутренних планет и Луны, на два-три порядка превосходящие по точности теории, основанные на оптических наблюдениях.
Радиолокационный метод позволяет измерить топоцен-трическое расстояние центра видимого диска планеты и радиальную скорость изменения этого расстояния.
Полагаем, что электромагнитное излучение покинуло передающую антенну в момент ?1 , достигло центра видимого диска планеты в момент ?2 и, отразившись, вернулось на Землю к приемной антенне в момент ?3 (рис. 1). Обозначая векторами // (^), г2 (?2) и г3 (?3) положение передающей антенны, центра масс планеты и приемной антенны, центра масс планеты в соответствующие моменты времени в гелиоцентрической системе координат, получим полное время распространения волн (А? = ?3 - ?1) по формуле [7]:
А? = 1 (/*2 (2 ) - / (?! )| + / (?3 ) - Г2 (? )| - 2? , (1)
С
где с-скорость света в вакууме, Я-радиус поверхности планеты.
Полагая
Г12 = "Т'|/2(?2) - /1(?1)|, Г23 = ~Т\Г3(?3) - /2(?2),
ш т
Р и с. 1. Путь падающего (АВ) и отраженного (ВС) лучей при радиолокации. Вследствие малости угла АВС принято
АВ @ |г2(?2) - - К,
ВС @ |гз(?з) - г2(?2) -К.
определим полное доплеровское смещение частоты сигнала как
А/ = /3 - f @ /
/*12 + Г2з
+ -
r2 Л
&23
где f -частота начального излучения.
На основе радиолокационных наблюдений как в нашей стране, так и в США сотрудники ИТА РАН г. Санкт-Петербурга составили банк данных радионаблюдений Меркурия, Венеры и Марса [4]. Основные сведения, содержащие результаты измерения времени излучения, времени запаздывания, доплеровского смещения; координаты передающей и приемной антенны были любезно предоставлены нам Г.А.Красинским. На основании имеющихся радиолокационных данных для каждой из планет (Меркурий, Венера, Марс) был создан банк радиолокационных наблюдений.
Геоцентрические координаты приемной и передающей антенны вычисляются по формулам [8]:
xl = р0 cos j'cos 5, yl = p0 cos j'sin 5, Zl = p0 sin 5 , где p0 sin j' = (5 + 0.1568 10—6 h)sin j, p0 cos j' = (c + 0.1568 10—6h)cos j ,
tgj'= (0.993307 + 0.0011 10—6h)tgj, 5m = 50 + m + ¡1 (m +1),
50 = 6h40m185.130 + 8640 1 845.635T' + 05.0929T/2.
Здесь T' = d'/36525, d' = JD(T0) — JD 2433282.5, T0 - всемирное время, 1 - долгота пункта наблюдения в часовой мере, m - местное среднее время: m = T0 +1, 1 = 0.00274379093.
Для удобства сопоставления данных наблюдений с теоретическими данными время излучения из всемирного переведено в эфемеридное и представлено в юлианских днях. В качестве единицы измерения временной задержки использовалась 1 мкс, при этом имеет место следую -щее соответствие: 6 мкс » 1 км.
Построение численной теории движения больших планет можно разбить на ряд самостоятельных этапов: а) определение начальных орбит или начальных данных координат и скоростей планет; б) численное интегрирование уравнений движения; в) сопоставление координат и скоростей планет, полученных из вычислений, с наблюдениями. Начальные данные координат планет были согласованы с данными координат, полученными на основе теории движения больших планет (Меркурий-Нептун), разработанной французским бюро долгот [9], где координаты и скорости вычислялись с помощью полиномов Чебышева. Выбор начального момента интегрирования был обусловлен тем, что вблизи этой даты имеются высокоточные радиолокационные наблюдения Меркурия, Венеры и Марса.
В таблице приведены начальные данные экваториальных координат и скоростей больших планет (Меркурий-Плутон) и Луны на начальный момент интегрирования, приведенные к эпохе 1950.0. Данным значениям координат и скоростей планет соответствуют следующие значения их обратных масс:
Меркурий - 6023600.0;
Венера - 408523.5;
Земля - 332945.662;
Марс - 3098710.0;
Юпитер - 1047.355;
Сатурн - 3498.5
Уран - 22869.0
Нептун - 19314.0
Плутон - 13 5200000. 0
Луна - 27069007.13
В дифференциальных уравнениях движения внутренних планет наряду с ньютоновскими членами учитывались релятивистские эффекты. Гелиоцентрические релятивистские уравнения в матричной форме имеют следующий вид [10]:
X
X = -k2 (1 + m) — + ^ k
- X X.^
k2Í
„k2 „X2 „ХГ^ „XX ^
2—X - 2—X + 3-— X + 2—- X r r r r
(3)
где X - матрица-столбец с элементами х, у, I; Xi - матрица-столбец с элементами xi, у., I.; т, х, у, I - масса и гелиоцентрические координаты возмущающей планеты; т., х. - массы и гелиоцентрические координаты возмущающих планет; г, А., г. - расстояния, вычисляемые по
формулам: r2 = x2 + y2 + z2,
A2 = (x, -x)2 + (y, -y)2 + (z, -z)2
2 , 2 2
:xt + y, +zt ;
c -
12 23
2
c
c
2
r
: xx + yy + zz; x, y, z - проекции скорости;
скорость света в пустоте; X = х + / + ^ ; XX : время, входящее в уравнение (3), координатное.
В уравнениях движения Луны следует учитывать возмущение от несферичности Земли. Потенциал для Земли вычисляется по следующей формуле [8]:
k2 да
r
\ /
1 -X Jn r Pn (sin j) + XX Г рk)(sin j)[k cosЫ + snk sin
n= 2 к =1
* r
V /
(4)
где да - масса Земли; г0 - средний экваториальный радиус, р, 1 - широта и долгота соответст-
венно. Pn и Pn^k) - полином и присоединенная функция Лежандра, причем
dn (z2 -1)n 2n! dzn
P(kЧz) = (1 - z2)
^ dkPn (z) dzk
(5)
Коэффициенты Jn, cnk, snk зональных и тессеральных гармоник зависят от формы и распределения масс. Численные значения этих коэффициентов до шестнадцатого порядка включительно приведены в работе [11]. Система дифференциальных уравнений (3) с учетом (4), (5) являлась основной при изучении движения больших планет и Луны. Численное интегрирование уравнений движения проведено методом Эверхарта 23 порядка с шагом интегрирования 3 дня [12].
Основной целью при решении данной задачи являлось: получить точные координаты планет и Луны с помощью единого алгоритма, а также согласовать численную теорию движения планет как с радиолокационными наблюдениями, так и с данными BDL, которые, как известно, периодически корректировались на различные моменты времени.
Результаты представления разностей вычисленных и наблюденных запаздываний отраженного сигнала показаны на рис. 2-4, где ось абсцисс - время, а ось ординат - расстояние в километрах. Поверхности планет: Меркурия, Венеры и Марса - аппроксимированы сферами с радиусами 2439, 6050 и 3394 км соответственно. Величина астрономической единицы принималась равной 149597875 км, скорость света в вакууме с=299792,456 км/с. Ошибки в координатах планет в процессе эволюции могут складываться из погрешностей начальных смещений, неучтенных сил взаимодействия, погрешности метода.
Как видно из рис. 2-4, у Меркурия и Венеры отклонения вычисленных значений запаздывания отраженного сигнала от наблюденного на интервале времени 1964-1984 гг. находится в основном в пределах от -40 до +40 км, а для Марса - от -80 до +80 км. Если это расхождение с 1964 по 1970 гг. можно объяснить погрешностями, связанными с точностью радиолокационных наблюдений, то после 1970-го года точность наблюдений значительно возросла. По-видимому, полученные расхождения вычисленных и наблюденных запаздываний отраженного сигнала связаны либо с погрешностями начальных смещений в координатах и скоростях, либо с неточностью теории движения Луны, поскольку в процессе численного интегрирования от несфе-ричности Земли учитывались лишь зональные гармоники. В заключение следует отметить, что полученные результаты являются предварительными и будут уточняться с устранением отмеченных недостатков.
60
40
20
•
9 9 • * • • • * • • •
•• • 9 • •• • * • • • • • - • • • • • • • • •
64 19 9 . * •• 69' • 19 • • 74*.. ... 19 • • 79 * 19 • • 84 * •
9 • • • 9 • 9 • • • • •
•
! 0 19
-20
-40
U
Р и с. 2. Меркурий, время запаздывания, 1964-1986 гг.
40
30
20
10
0
1
-10
-20
-30
-40
-50
• • чЧг • • •• •• А. 9
• . * А,- • • * • 9
• • • * • • • • • % -•• • • • .* •
• • • • • * • л • • , • • • • . » • ф»
•• • •• \ • •» • 9 • • * » 9 • 9 • * • 9 •* :
361 * * •* 19 • • • • - * • ' 66 Л ’.'•’.19 • • • • • 71 • 19 V V '* ч • • _ • 76 . . 19 • 81 •, 19 ■ 9 * . • 86 • • •
• • • • •• » • • • * • • • • • • » • • • • 9 • • 9 9 9 9 9 • • • 9 * • 9 *• 9 •• • • •
Р и с. 3. Венера, время запаздывания, 1964-1986 гг
80 -
60 -
40 -
20 -
і 019 -20 -
-40 -
-60 -
-80 -
Прямоугольные координаты и скорости планет и Луны (.10=2438985.20524)
Планеты Координаты, а.е.
X У 2
Меркурий 0.276782484324 -0.266310923043 -0.171054299101
Венера -0.556233837151 -0.433477751614 -0.160197180274
Земля 0.770853666014 -0.603168291797 -0.261560397747
Луна 0.773020767753 -0.604552503210 -0.262407129501
Марс -0.705414981930 -1.228088178385 -0.544766502473
Юпитер 1.315251047781 4.515557687907 1.905038796205
Сатурн 9.245711130382 -2.499274047073 -1.433026177260
Уран -17.635147608060 4.333491971666 2.147945785814
Нептун -19.889669767840 -21.351321821290 -8.245616118940
Плутон -26.231756160300 20.561529778100 14.443690294800
• 9
А» % • • •
• % . 9* . • • • • •
• •• » » %И •• • / • г •» • 9 9
• • 65 Р 19 • .•* * 70 ~ *'*..19 • Ч" 75 19 80 19 • 85 '
• • • • V • • ' Щ
• # . • - -? И • 9
9 • *”л:* ф 9 9
Р и с. 4. Марс, время запаздывания, 1964-1988 гг.
Планеты Скорости, а.е./сутки * 100
x y z
Меркурий 1.548861897091 1.832079085761 0.821989341228
Венера 1.277015710772 -1.398792934761 -0.710976610121
Земля 1.087920376471 1.194908746617 0.518183941944
Луна 1.120669335550 1.237479538506 0.535092025352
Марс 1.293747728378 -0.470640434995 -0.250769890492
Юпитер -0.737746303257 0.206046599656 0.106426463933
Сатурн 0.133676565283 0.494197114637 0.198555281780
Уран -0.107650915515 -0.364505590120 -0.158192143258
Нептун 0.234294794744 -0.186442474920 -0.082268481545
Плутон 0.131572184319 -0.261983661854 -0.042705125436
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Standish E.M. The observational basis for JPL’S DE200 the planetary ephemeredes of the Astronomical Almanac // Astronom Astrophys. 1990. 233. Р. 252-271.
2. Standish E.M., NewhallX.X., Williams J.G. andFolkner W.E. JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE403/LE403 // JPL IOM. 314. 1995. Р. 10-127.
3. StandishE.M. JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE403/LE403 // JPL IOM. 312. 1998. Р. 1-18.
4. Красинский Г.А., Питьева Е.В., Свешников М.Л., СвешниковаЕ.С. Уточнение эфемерид внутренних планет и Луны по радиолокационным, лазерным и мередианным измерениям 1961-1980 гг. // Бюлл. ИТА. XV. №3(166). 1989. С. 145-164.
5. Александров Ю.Н., Кузнецов Б.Н., Петров Г.М., Ржига О.Н. Методика радиолокационных астрономических наблюдений. // Астрон. Журнал, Т.49, 1972, с. 175-185.
6. КисликМ.Д., Комока Ю.В., акад. Котельников В.А., Петров В. Ф. Определение орбит Земли и Венеры, астрономической единицы и радиуса Венеры на основе радиолокационных наблюдений Венеры в 1962-1977 гг. // ДАН. 241. №5. 1978. С. 1046-1049.
7. Котельников В.А. и др. Результаты измерений времени запаздывания и доплеровской поправки, полученные в радиолокационных наблюдениях Венеры в 1962, 1964, 1969, 1970 и 1972 гг. // Астрон. Журнал. Т. 50. Вып. 5. 1973. С.836-848.
8. Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. М.: Наука. 1979. 584 с.
9. Dretagnon P. Teorie du movement de l’ensemble des planets solution VSOP82 // Astronom Astrophys. 1990. 114. Р. 278-288.
10. БрумбергВ.А. Релятивистская небесная механика. М.: Наука. 1972. 383 с.
11. ГрушинскийН.П. Основы гравиметрии. М.: Наука. 1983. 351 с.
12. EverhartE. Implist single methods for integrating orbits // Central Mechanics. 1974. 10. Р. 35-55.
Поступила 25.11.2003 г.