Численно-статистический метод для решения задач теплообмена в теплозащитных конструкциях сотового типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Прикладная математика

УДК 519.676

ЧИСЛЕННО-СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛООБМЕНА В ТЕПЛОЗАЩИТНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ СОТОВОГО ТИПА

С. А. Гусев1' 2*, В. Н. Николаев3

1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН Российская Федерация, 630090, г. Новосибирск, просп. академика Лаврентьева, 6 2Новосибирский государственный технический университет Российская Федерация, 630073, г. Новосибирск, просп. Карла Маркса, 20 3Сибирский научно-исследовательский институт авиации имени С. А. Чаплыгина Российская Федерация, 630051, г. Новосибирск, ул. Ползунова, 21 *E-mail: sag@osmf.sscc.ru

Предложен метод статистического моделирования для определения теплового состояния теплозащитной панели сотового типа для ракетно-космических аппаратов.

Ключевые слова: сотовая теплозащитная панель, краевая задача, вероятностное представление решения.

NUMERICAL-STATISTICAL METHOD FOR SOLVING HEAT EXCHANGE PROBLEMS

IN HONEYCOMB HEAT-PROTECTION STRUCTURES

S. A. Gusev 1 2*, V. N. Nikolaev3

institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics of Siberian Branch of Russian Academy of Sciences 6, Academician Lavrentiev Av., Novosibirsk, 630090, Russian Federation

2Novosibirsk State Technical University

20, Karl Marx Av., Novosibirsk, 630073, Russian Federation

3Siberian Aeronautical Research Institute named after S. A. Chaplygin

21, Polzunov Str., Novosibirsk, 630051, Russian Federation

*E-mail: sag@osmf.sscc.ru

The paper proposes a new Monte Carlo method to estimate the thermal state of the heat insulation containing honeycomb panels for rocket and space vehicles.

Keywords: cellular heat shield, boundary value problem, probabilistic representation of the solution.

Одним из перспективных направлений в конструировании теплозащитных покрытий в ракетно-космических аппаратах является применение сотовых панелей. Сотовая панель представляет собой конструкцию, состоящую из параллельно расположенных пластин, между которыми заключён тонкий каркас в виде сот, заполненных веществом с низкой теплопроводностью.

В работе [1] (см. также [2]) для расчета теплопере-носа в таких панелях предложено использовать метод стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) на основе вероятностного представления решения уравнения теплопроводности. При этом делалось сглаживание разрывных коэффициентов уравнения теплопроводности на основе интегрального усреднения, а численное решение СДУ осуществлялось методом Эйлера. В данной работе предлагается использовать метод блуждания по движущимся сферам [3] для расчёта траекторий трехмерного винеровского процесса в точках ячеек панели, находящихся на некотором расстоянии от каркаса, а в остальной части панели методом Эйлера.

В качестве области изменения пространственных переменных Я3 здесь принимается прямоугольный параллелепипед О = (-А,А)х(-/2,/2)х(0,/3). При этом О есть объединение двух непересекающихся подмножеств: О = О1 и О2, где О1 - подобласть, соответствующая каркасу и пластинам, ограничивающим панель, а О2 есть объединение подобластей, соответствующих ячейкам, содержащим теплоизоляционный материал.

В работе рассматривается краевая задача для уравнения теплопроводности, которая описывает теплопе-ренос в сотовой панели, в которой с двух сторон происходит конвективный теплообмен, а остальные четыре стороны теплоизолированы.

du ~dt

=х

b( x)

du

dX:

где b(x) =

,GV :02

u( x,0) = ф( x),

du dxj

= 0,

du dxl

= 0,

(1)

(2)

(3)

X1 =1

Решетневские чтения. 2017

ды

дх2

= 0,

х2'

--и

ды

дх2

= 0,

Х2 = l2

ды дх3

= a^t) (ы -^(t)),

х3 =0

-X

ды дх3

= a2(t) (ы -^2(t ))•

(4)

(5)

(6)

В (1)-(6) использованы следующие обозначения: Ф - начальное распределение температуры в панели; X - коэффициент теплопроводности углепластика; Ь1, Ь2 - коэффициенты температуропроводности углепластика и воздуха, соответственно; аь а2 - коэффициенты теплопередачи между панелью и внешней средой; у2 - температура внешней среды у нижней и верхней сторон панели, соответственно.

Поскольку теплозащитная панель состоит из двух материалов с различными теплофизическими свойствами, то в задаче (1)-(6) мы имеем уравнение теплопроводности с разрывным коэффициентом температуропроводности. Теоретические основы параболических уравнений с разрывными коэффициентами даны в [4].

При достаточно больших значениях т приближённое решение задачи (1)-(6) с разрывным коэффициентом температуропроводности можно получить, если решать задачу, в которой в уравнении (1) этот коэффициент заменить на его гладкую аппроксимацию Ь(т). В качестве такой замены можно, например, рассматривать его сглаживание в окрестности поверхностей разрыва с помощью интегрального усреднения с бесконечно дифференцируемым финитным ядром [5]

Ь(т)( х) = I

Iх-у\<Рт

®Pm (1х - y |)b( y)dy

J_

rm |х

i

- У| <Pm

ю.

l х - У

(y)dy,

При этом ю(| 11) = 0 при

|£|> 1; J ю,(|^|) = 1,

l^jsi

(7)

(8)

В (7) предполагается, что рт ^ 0 при т ^ да . Функции Ь(т) имеют все производные любого порядка [5]. Поскольку функция Ь е Ьд (О) (ц > 0), то для

любой подобласти О 'с О, отстоящей от границы дО на расстоянии не меньшем рт, усреднение Ь(т) сходится к Ь в Ьч (О')

f

||b(m) - b|| о, < sup J | b(x- v) - b(x) \Чс1х

|v|<Pm VG'

при m

^ 0

► да.

(9)

Следовательно, аппроксимации й(т)сходятся к by в норме пространства Lq(G). Известно также, что сходимость в Lq(G) влечет сходимость по мере, а из сходящейся последовательности функций по мере можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся почти всюду [6].

Таким образом, в работе предложен численно-статистический метод для оценки теплового состояния теплозащитных конструкций сотового типа. Данный метод основан на вероятностном представлении краевой задачи для параболического уравнения и комбинированном применении методов Эйлера.

Библиографические ссылки

1. Gusev S. A., Nikolaev V. N. Calculation of heat transfer in heterogeneous structures such as honeycomb by using numerical solution of stochastic differential equations // Advanced Materials Research. 2014, Т. 1016. С. 758-763.

2. Гусев С. А. Применение СДУ к оценке решения уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами // Сиб. журн, вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2015. Т. 18, № 2. С. 147-161.

3. Deaconu М., Herrmann S. Hitting time for the Bes-sel processes - wolk on moving spheres algorithm JWOMS // The Annals of Applied Probability. 2013. Т. 23, № 6. С. 2259-2289.

4. Ладыженская O. A., Солонников В. А., Уральце-ва H. H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М. : Наука, 1967.

5. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М. : Наука, 1988.

6. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М. : Наука, 1976.

References

1. Gusev S. A., Nikolaev V. N. Calculation of heat transfer in heterogeneoыs stmc^res s^ch as honeycomb by ыsing mmerical so^tion of stochastic differential eqыations• Advanced Materials Research. 2014. Vol. 1016. Р. 758-763.

2. Gusev S. A. Mmerical Analysis and Applications. Springer Publ. 2015, № 8(2). P. 22-34.

3. Deaconu М., Herrmann S. Hitting time for the Bessel processes - wolk on moving spheres algorithm JWOMS. The Annals of Applied Probability. 2013. Vol. 23, no. 6. P. 2259-2289.

4. Ladyzhenskaya O. A., Solonnikov V. A., Uraltse-va N. N. Linear and qыasilinear eqыations of parabolic type. M. : Nauka Publ., 1967.

5. Sobolev S. L. Applications of Fыnctional Analysis in Mathematical Physics. M. : Nauka Publ., 1988.

6. Komogorov A. N., Fomin S. V. Elements of the theory of fanctions and functional analysis. M. : Nauka Publ., 1976.

© Гусев С. А., Николаев В. Н., 2017