CC BY
86
УДК 517.587:519.216
ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ВЫЧИСЛЕНИЮ ИНТЕГРАЛОВ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ
С. А. Прохоров, И. М. Куликовских
Самарский государственный аэрокосмический университет им. ак. С. П. Королёва,
443086, Самара, Московское ш., 34.
E-mails: [email protected], [email protected]
Предложен численно-аналитический метод вычисления интегралов, используемых при построении ортогональных моделей. Данный метод позволяет повысить точность ортогональных моделей за счёт полученных алгебраических и рекуррентных соотношений для используемых интегралов. Проведен сравнительный анализ различных ортогональных функций, являющихся частными случаями базисов Якоби и Сонина—Лагерра, при решении поставленной задачи. Приведена реализация разработанных алгоритмов на примере построения корреляционной ортогональной модели в базисе Лагерра.
Ключевые слова: метод вычисления интегралов, ортогональная модель, рекуррентные соотношения, корреляционная функция, случайный процесс.
При построении ортогональной модели функциональной характеристики f (т) необходимо: 1) выбрать ортогональный базис фь(т, 7); 2) определить число членов ряда m и параметр масштаба ортогональных функций 7; 3) рассчитать коэффициенты Фурье ортогонального ряда вк, удовлетворяющие минимуму взвешенной квадратичной погрешности аппроксимации в общем случае [1, 2]:
2
А
где
f (т) - ekфk (т,7)
k=0
^(т, y)йт ^ min, (І)
Рк = (Зк, 1 = |Щ|2Ф(/(Ат • *)^(Аг • г,7)ц(Ат ■ г,'у),тк тах,^) (2)
— оценка коэффициента разложения
1 Г™
/3,к = йк¥.1о
Тк тах — максимальный интервал корреляции; Ат — шаг дискретизации; г = = 1, 2,..., 7тах; ^ах = еп1[тк тах/Ат] — число ординат, необходимых для построения функциональной зависимости; N — объём выборки; Ф( ■) —функционал, зависящий от численного метода интегрирования; ц,(т, 7) — весовая функция ортогонального базиса; \\фк||2 — норма ортогональных функций. Выражение (1) представим в виде [3]
А = Ат1п + А1, (4)
Сергей Антонович Прохоров (д.т.н., проф.), зав. кафедрой, каф. информационных систем и технологий. Илона Марковна Куликовских, аспирант, каф. информационных систем и технологий.
где
Ат1п = / 2(Т)МТЛ)^Т вк\^к\\2 (5)
(2(^\,,(^ 'у ' р2\^,\\2
"0 к=0 минимальная погрешность аппроксимации;
А1 = Х>А II* II2 (6)
к=0
— погрешность аппроксимации, вызванная оценкой коэффициентов разложения; А2вк = (вк - вк)2.
Из выражений (5) и (6) видно, что значение погрешности Атщ уменьшается с увеличением числа членов разложения ряда т, в то время как значение погрешности А1 возрастает [1, 2]. Следовательно, для уменьшения результирующей погрешности аппроксимации (4) необходимо минимизировать составляющую (6).
Решение этой проблемы можно получить, применяя следующий подход. В общем виде, используя линейную интерполяцию /(т), можно записать:
^шах 1
/(т)= ^ (а7 + т)о,, (7)
.7=0
, Г 1, если т € [т,-, Т7+1],
где о, = < о если т € [т Т ] — индикатор состояния. Тогда, подставив
(7) в (3), получим
. 1 Jш^-Y г тз+1 г тз+1 \
вк,2 = и , „о V Фк(т,7)(1т + Ьз фк(т,^)тг1т). (8)
2 ^ \ 7 Ук^ ’ '' 1 7
7=0 ' ’]тз 'Утз 7
Для оценки коэффициентов разложения (8) необходимо определить интеграла^ У фк(т, 7)^т и J т^к(т, 7)^т.
Представим решение данной задачи для ортогональных функций Лагер-ра Ьк (т, 7) и Лежандра Legk (т, 7), являющихся простейшими представителями ортогональных базисов Сонина—Лагерра ька) (т, 7) и Якоби рка,в) (т, 7) с нулевыми параметрами ортогональных базисов а, в и единичной весовой функцией ^(т, 7) [3].
Для решения данной задачи воспользуемся рекуррентным соотношением
Ыт, 7) = ——^——Ьк^{т, 7) - к—^1к_2{т, 7). (9)
Здесь Ьо(т, 7) = ехр(—^), £1(1-, 7) = ехр(—^)(1 —7г), причём
Г1Ьк^’ ^ = -7^1-1 (т> 7) - |^(т> 7) (Ю)
41)(т,7) = ^ Ь (т,7). (11)
^=0
В (10) полагается ь01)(т, 7) = Ь0(т, 7).
Проведя ряд преобразований над выражениями (9)—(10), получим рекуррентные соотношения для интегралов^" фк(т, 7)^т и J тфк(т, 7)^т:
к-1
/2 к 1 г
Ьк{т,^)(1т =-Ьк{т, 7)-2^ Ьи{т,^)(1т.
7 ^=0 ^
I тЬк(т,^)(1т = I Ьк+1(т,^)(1т+
+ J Ьк(т> 7)^ - ^ J Lk-l(т, 7)<1т,
где I ь0(т, 7)йт = -^ехр(-^).
Подобным образом для ортогональных функций Лежандра будем иметь следующие рекуррентные соотношения:
2к — 1 к — 1
!^(т,7) = к (! ~ 2 ехР(~27т))1^д;_1(т, 7)---------—1^_2(т, 7), (12)
^1^(т,7) ^1^_2(т,7)
(2к + 1)Legk(^ 7) —
^т ^т
— 2(2к — 1)Legk -l(т, 7) + (2к — 3)^^к-2(т, 7) , (13)
где
Lego(т, 7) = exp(—7Т), Legl(т, 7) = (1 — 2exp(—27т)) exp(—7т); ,гЬее°(Т-7) = -7е*р(-7г), <гЬее;(Т-7) = -7(1 - 6е*р(-27г)) е*р(-7г).
(X/ (X т
Из выражений (12), (13) следуют искомые рекуррентные соотношения:
11^(т,7)йт = 2^+ ^ I Legfc_1(r,7)dr-2к — 3
2(2к - 1)
2Л + 1
J 1^_2(т, 7)йт - ^ [1^(т, 7) - 1^_2(т, 7)].
2к + 17 Ьк -24 ’ " 7(2к + 1)
J гЬ^к{т, 7 )(1т = 2^+ ^
и
2k — З
У тLegk—2(т Y)^ —
2fc + l J — - 7(2fc + 1)L-(Leg^7)-Legfc_2(r,7))-
— У Legk(т, Y)dr Legk—2(т, Y)d7_
где
У Leg0(r, 7)dr = — ~ ехр(—7т),
У Leg^r, 7)dr = - і (і - ^ехр(-27г)) ехр(-7г);
У rLeg0(r, 7)dr = -(^ + ^2) ехр(—7т),
J TLegl(T,7)dT = -(^ + ехр(-7г) +2(^ + ехр(—37г).
4 7 7"
Полученные аналитические выражения, представленные в виде рекуррентных соотношений, позволяют вычислять коэффициенты разложения высоких порядков при реализации на ЭВМ. При этом погрешность вычисления коэффициентов разложения в данном случае зависит лишь от шага дискретизации, являющегося исходным параметром при обработке информационных массивов.
Заметим, что с учётом выражения (7) возможна более точная оценка минимальной погрешности аппроксимации (5) при аналитическом взятии соответствующего интеграла с последующей подстановкой пределов интегрирования, а именно
^max 1 fTj + l m
/ (a+т )2Мтл^т — Y1 e2i^k 112.
Tj
Amin —
j=0 ■JTj k=0
Сравним представленные методики определения коэффициентов разложения (З) и (В) при проведении имитационного моделирования, состоящего в построении ортогональной модели нормированной корреляционной функции (НКФ) вида рх(т) = exp(—Л|т|)ogs ш0т с показателем колебательности ^ = ш0/Л = 5, объёмом выборки N = 5000, Ат = 0,0816 и Jmax = 37 с помощью ортогональных функций Лагерра и оценке погрешностей, соответствующих выражениям (І), (4)-(6). Заметим, что согласно РТМ ЗБ ІЗ9-74 [4], имитационное моделирование проводилось по З9 экспериментам.
На рис. І представлены результаты оценки коэффициентов разложения /k,l и /3k,2, соответствующие выражению (6), при заданном диапазоне изменения т Є [0,30] и значении параметра 7 = д/Л2 + Wq = 4,899 [1, 3].
Из рис. І, б видно, что при дальнейшем увеличении числа членов рядов отклонения А^к уменьшаются, и величина этих отклонений при прочих равных параметрах ниже более чем на порядок. Отсюда следует, что вклад погрешности вычисления коэффициентов, вызванной случайными отклонениями, в результирующую погрешность аппроксимации значительно снижается.
На рис. З приведены квадратичные погрешности аппроксимации (І) при оценке коэффициентов разложения по различным методикам.
Из рис. З, а видно, что из-за убывания минимальной погрешности аппроксимации (Б) погрешность вычисления коэффициентов разложения возрастает (6). Поэтому существует некое оптимальное значение параметра m, при котором достигается минимум-миниморум суммарной погрешности аппроксимации [І].
В свою очередь, рис. З, б демонстрирует выполнение равенства Парсева-ля [З], согласно которому результирующая погрешность аппроксимации (І) уменьшается с увеличением m.
Следовательно, полученный результат позволяет строить ортогональные модели с некоторой допустимой либо наперёд заданной погрешностью А ^ Адоп. По заданной погрешности Адоп определяется необходимое число членов разложения, которое может быть достаточно большим.
Проведём сравнительный анализ широкого спектра ортогональных функций при решении задачи построения ортогональной модели теоретической НКФ вида рх(т) = exp(—Л|т|)ogsш0т с показателем колебательности ^ = 5, Ат = 0,0816 и Jmax = З7 с использованием предложенного подхода при одном и том же числе членов разложения ряда m = З0. Результаты представлены в таблице.
Из таблицы видно, что наименьшая относительная погрешность аппроксимации
£ = А рХ(т
получена при построении ортогональной модели в базисе Лагерра (верхняя
Рис. 1. Отклонения Арк при оценке коэффициентов разложения по разным методикам: а) отклонение оценок вк,1; б) ОТКЛОНЄНИЄ оценок вк,2
а б
Рис. 2. Квадратическая погрешность аппроксимации при оценке коэффициентов разложения по разным методикам: а) при оценке вк,і; б) при оценке вк,2
Сравнительный анализ ортогональных функций при построении ортогональной модели НКФ
Функции базиса 7 5
Лагерра Ьк{т, 7) 4,899 0,02254
Сонина—Лагерра (1) Ь^ (т, 7) 4,899 0,05168
Сонина—Лагерра (2) Ь^ (т, 7) 4,899 0,0902
Лежандра 1^*. (т, 7) 0,080311 0,02454
Якоби (-|, 0) Р^5’0)(т,7) 0,080975 0,02451
Якоби (|,0) Р^’0)(т,7) 0,079658 0,02455
Якоби (1,0) Р^1,0\т, 7) 0,15803 0,02449
Якоби (2,0) 7) 0,077762 0,02418
Якоби (0,1) Р^0,1\т, 7) 0,080311 0,05198
Якоби (0,2) Рь°’2\т, 7) 0,080311 0,08511
строчка). Также следует отметить, что для функций с весом (выделены в таблице курсивом), отличным от единицы, указаны значения, соответствующие взвешенной погрешности аппроксимации.
Как показали полученные результаты, значительных различий при построении ортогональных функций в различных базисах не наблюдается. Однако ортогональный базис Сонина—Лагерра, как частный случай функции Лагерра, является более приоритетным по ряду причин. Одна из таких причин — удобство выбора параметра масштаба 7. Во-первых, параметр масштаба не зависит от числа членов разложения ряда т, следовательно, нет необходимости пересчёта 7 при изменении т. Во-вторых, при большом значении т область нахождения локальных оптимумов, близких к минимуму-минимо-румуму, значительно расширяется. Следовательно, квазиоптимальный алгоритм подбора параметра масштаба дает значения, близкие к оптимуму, без усложнения процедуры вычисления [5].
Пример обработки экспериментальных данных в базисе Лагерра представлен на рис. 3 и 4. Здесь приведены вид входного сигнала, вид НКФ, построенной по сигналу, и вид ортогональной модели НКФ (5 = 0,0058, 7 = = 1000, т = 600).
Рис. 3. Вид входного сигнала
Рис. 4. Вид НКФ, построенной по сигналу (сплошная линия), и ортогональной модели НКФ (пунктирная линия)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Прохоров С. А., Графкин А. В., Графкин В. В. и др. Прикладной анализ случайных процессов / ред. С. А. Прохоров. — Самара: СНЦ РАН, 2007. — 582 с.
2. Прохоров С. А., Графкин А. В. Программный комплекс корреляционно-спектрального анализа в ортогональных базисах. — Самара: СНЦ РАН, 2005. — 198 с.
3. Прохоров С. А., Куликовских И. М. Ортогональные модели корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов: Лабораторный практикум. — Самара: СНЦ РАН, 2008. — 301 с.
4. Методы нормирования метрологических характеристик, оценки и контроля характеристик погрешностей средств статистических измерений: РТМ 25 139-74, Минприбор, 1974. — 76 с.
5. Прохоров Є. Л., Куликовских И. М. Алгоритм оценки параметра масштаба ортогональных функций, обеспечивающий минимум-миниморум квадратической погрешности аппроксимации / В сб.: Компьютерные технологии в науке, практике и образовании. — Самара: СамГТУ, 2008. — С. 10-12.
6. Прохоров Є. Л., Куликовских И. М. Частотные характеристики ортогональных функций Сонина—Лагерра// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2007. — №2(15). — С. 123-127.
7. Прохоров Є. Л., Куликовских И. М. Аппроксимация корреляционных функций и спектральных плотностей мощности ортогональными функциями Сонина—Лагерра // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2008. — №2(17). — С. 185-191.
Поступила в редакцию 14/УШ/2009; в окончательном варианте — 12/Х/2009.
MSC: 93B40, 42C05, 33C45
NUMERIC-ANALYTICAL APPROACH TO INTEGRALS CALCULATION AT CONSTRUCTION OF ORTHOGONAL MODELS
S. A. Prokhorov, I. M. Kulikovskikh
S. P. Korolyov Samara State Aerospace University,
34, Moskovskoe sh., Samara, 443086.
E-mails: [email protected], [email protected]
The numeric-analytical method of calculation of the integrals is proposed for construction of orthogonal models. The given method allows to increase the accuracy of orthogonal models due to obtained algebraic and recurrent relations for integrals used. Comparative analysis of various orthogonal functions which are the specific cases of Jacobi and Sonin-Laguerre bases is carried out when solving the posed problem. Realization of the developed algorithms is given by the example of construction of correlation orthogonal model in the Laguerre basis.
Key words: method of integrals calculation, orthogonal model, recurrence relations, correlation function, stochastic process.
Original article submitted 14/VIII/2009; revision submitted 12/X/2009.
Sergey A. Prokhorov (Dr. Sci. (Techn.)), Head of Dept., Dept. of Information Systems & Technologies. Ilona M. Kulikovskikh, Postgraduate Student, Dept. of Information Systems & Technologies.
