CC BY
9
ШЖЕНЕРШ НАУКИ
УДК 621.793
А.Ю. АНДРЕЙЦЕВ
Государственный экономико-технологический университет транспорта
Н.Н. КРЮКОВ
Киевская государственная академия водного транспорта им. Петра Конашевича-Сагайдачного
В.К. ФУРМАН
Национальный технический университет Украины "Киевский политехнический институт имени Игоря Сикорского"
ИВ. СМИРНОВ
Национальный технический университет Украины "Киевский политехнический институт имени Игоря Сикорского"
ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ПЛАКИРОВАННЫХ ЧАСТИЦ В ПЛАЗМЕННОМ ПОТОКЕ
Данная работа посвящена решению задачи определения температуры частиц с оболочкой в процессе плазменного напыления с учетом изменения их агрегатного состояния. Получено аналитическое решение краевой задачи для уравнения теплопроводности в случае переменной температуры плазменного потока, которая аппроксимировалась кубическими сплайнами. Приведены формулы для определения времени плавления металлической оболочки и керамического ядра.
Ключевые слова: уравнение теплопроводности, температура частиц, плазменная струя, дистанция напыления, краевая задача, плакированная частица, сплайн.
А.Ю. АНДРЕЙЦЕВ
Державний економжо-технолопчний ушверситет транспорту
М.М. КРЮКОВ
Кшвська державна академiя водного транспорту iм. Петра Конашевича-Сагайдачного
В.К. ФУРМАН
Нащональний техшчний ушверситет Укра1ни "Кшвський полггехшчний шститут iменi 1горя Сжорського"
1.В. СМИРНОВ
Нащональний техшчний ушверситет Укра1ни "Кшвський пол^ехшчний шститут iменi 1горя Сжорського"
ЧИСЕЛЬНО-АНАЛ1ТИЧНИЙ ЩДХ1Д ДО РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗАДАЧ1 ВИЗНАЧЕННЯ ТЕМПЕРАТУРИ ПЛАКОВАНИХ ЧАСТИНОК У ПЛАЗМОВОМУ ПОТОЦ1
Дана робота присвячена розв'язанню задачi визначення температури частинок з оболонкою в процесi плазмового напилення з урахуванням змти ix агрегатного стану. Отримано аналтичний розв 'язок крайовоХ задачi для рiвняння теплопровiдностi у випадку змiнноi температури плазмового потоку, яка апроксимувалась кубiчними сплайнами. Наведено формули для визначення часу плавлення металевоХ оболонки та керамiчного ядра.
Ключовi слова: рiвняння теплопровiдностi, температура частинок, плазмовий струмть, дистанцiя напилювання, крайова задача, плакована частинка, сплайн.
АТи. ANDREYTSEV
National Economic and Technological University of Transport
N.N. KRYUKOV
Kyiv State Maritime Academy after Getman Petro Konashevich-Sagaydachny
V.K. FURMAN
National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
I.V. SMYRNOV
National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
NUMERICALLY-ANALYTICAL APPROCH TO SSOLVING PROBLEM OF DETERMINATION OF THE PLATED PARTICLE TEMPERATURE IN PLASMA JET
The paper is devoted to solving the problem of determining the temperature ofparticles with a shell in the process of plasma deposition taking into account the change in their aggregate state. An analytic solution of the boundary problem for the heat equation in the case of a variable temperature of the plasma jet, which was approximated by cubic splines, was obtained. Formulas for determining the melting time of the metal shell and the ceramic core were given.
Key words: heat equation, temperature of the particles, the plasma jet, plated particle, spraying distance, boundary problem, spline.
Постановка проблемы
Покрытия, получаемые газотермическим плазменным напылением порошков, позволяют существенно повысить эксплуатационные свойства деталей и конструкций, работающих в экстремальных условиях. Перспективными для этих целей являются металлокерамические плакированные порошки в виде керамического ядра с металлической оболочкой. Для достижения необходимой прочности газотермических покрытий, частицы порошка должны достигать поверхности основы в расплавленном состоянии с минимальными потерями за счет испарения. В силу большой разницы между температурами фазовых переходов для керамики и метала, существенную роль играет определение температуры частиц вдоль дистанции напыления.
Основная сложность моделирования этих процессов заключается в корректной постановке математической модели и выборе граничных условий в соответствии с особенностями термодинамической структуры плазменного потока.
Анализ последних исследований и публикаций
Исследование температурного режима частиц с использованием уравнений теплового баланса проведено в [1]. Проблеме численного определения температуры частиц при газотермическом напылении посвящен целый ряд работ, среди которых следует отметить [2-3]. Исследованию температурных характеристик плазменного потока, что очень важно для дальнейшего решения поставленной задачи, уделено внимание в [4]. Задача аналитического определения температуры частиц сформулирована в [5]. В [6] получены аналитические решения при условии квадратичной аппроксимации температуры плазменного потока. Аналитическому решению сформулированной задачи, при определенных допущениях для частиц с оболочкой посвящены работы [7-8]. В [7] рассмотрена стадия плавления оболочки, а в [9] решена задача определения температуры керамических и металлических частиц с учетом изменения их агрегатного состояния.
Численно-аналитический подход к решению задачи был предложен в [10], где температура плазмы аппроксимировалась эрмитовыми кубическими сплайнами.
Цель исследования
Целью работы является получение численных аналитических решений задачи определения температуры плакированной частицы в процессе полёта в плазменной струе с учётом аппроксимации температуры плазмы кубическими сплайнами и изменения агрегатного состояния оболочки и ядра.
Изложение основного материала исследования
Рассмотрим задачу определения температуры плакированной частицы в зависимости от времени пребывания её в потоке низкотемпературной плазмы. Предполагается, что частица имеет сферическую форму и температура окружающей среды одинакова на поверхности, но переменна во времени. В этом случае температура в каждой точке зависит только от её расстояния до центра. Получаем следующую краевую задачу:
д(гт) = «2 д^Т), при Г е[0,Я],
дг дг2
д(Т) 2 д 2(гТ1) ■ = «1
при Г е [я,Я1 ],
дг 1 дг2
Т (Я, г) = Г1(Я, г), Т (г,0) = т (г,0) = Го, (1)
X
дТ, _ дТр „ дТ, г=Я = Х_д
дТ
Х~\г=Я = Х1^Н г=Я , г=0 = 0,
дг дг дг
1 г=Я =МТ£ -Т1 )| г=Я
X X
где Т, Т1- температура ядра и оболочки, соответственно; «2 = —, а2 =——, X, с, Р и Xь сь р1 -
Ср С1Р1
коэффициент теплопроводности, удельная теплоемкость, плотность материала ядра и оболочки; а -коэффициент теплообмена; Т0 - начальная температура частицы; Я1, Я - внешний и внутренний радиусы оболочки, Т^ - температура в невозмущенном плазменном потоке.
В [7] данная задача сведена к краевой задаче для уравнения теплопроводности для определения температуры ядра в предположении, что температура оболочки
аХлЯ
Т1 (г,г) = Т(Я, г) + Я12 (1 -1 к - Т(Я, г^
Х1 Ч Яг Х1Я + акЯ1
И - толщина оболочки.
Будем аппроксимировать температуру плазмы кубическими полиномами.
Р3(г) = Аг3 + Бг2 + а + О .
В этом случае получено решение
2 2 И2 - г
Т(г, г) = То X Ап (г)е *2
п= 1
к" \ 2 2 го +||Рз(г) - РЗТтМ^2 X Ап (г> *2 Т
? / * п = 1
22 V2 а
2* sin Ип
Ап (г) = -
*
Б/
Ипг
Ип
(л к Б/ -1А 1 + К +-2-
V
И
^П Ип + \к'сИп -
п У
Б/ -1
Л
Ип
cos ип
где к'с= кс\ 1 - Б/1!; к"с = кс Б/1; ^ =
Б/1 6-; ^
(
с1р1И срЯ
Ип - корни уравнения С08 Ип =
кс Ип +
1 - Б/ Ип
Л
Sin Ип .
Поскольку изменение температуры плазмы вдоль всей дистанции напылении невозможно аппроксимировать кубическими полиномами, нами было проведено разбиение дистанции напыления на участки и согласование температуры плазмы от времени пребывания в ней частицы. Описание данного процесса дано в [10].
Тогда, в случае непрерывности аппроксимирующей функции в узлах решение примет вид:
/ 2 2 Ипа *
Т =Х Ап (г)
п =1
Л
Тое *2 +ХП( - Уп( - +1 )УУ
Здесь ) - функция Хевисайда;
П(г ) =
] > о
I о, г < о 1, г > о
г
2 2.
ч 2 2 Ипа г 1 п \ 2 2--
= р3/ (т) - Р3; (т) Б] а-И е *2 ^ го = о.
Для аппроксимации были использованы эрмитовые кубические сплайны, являющиеся непрерывно дифференцируемыми функциями (см. (7), (8) в [1о]).
При достижении поверхностью частицы температуры плавления оболочки, в момент времени гпл , начинается процесс изменения её агрегатного состояния. В этом случае необходимо решать задачу Стефана. Однако, в предположении стационарности распределения температур в плавящемся слое задача упрощается и сводится к решению уравнения теплового баланса на границе плавления.
Решая данное уравнение в предположении, что на границе плавления потоки тепла из жидкости и нерасплавленной части постоянны, мы определили время плавления оболочки:
= 4жра(*3 -(* - И)3)
Тпл = 3«га - Q) '
Q1 = 4л&2а(Тё -Тпл), Q = 4яИ2ае(Тя -Тпл), Тя - температура поверхности ядра.
На третьей стадии: разогрева ядра до температуры плавления, возвращаемся к решению краевой задачи (1), считая температуру в нерасплавленном ядре в момент времени гпл + тпл постоянной. На стадии плавления ядра, для определения времени плавления используем формулу:
г
S
— R + -2
Здесь S =
(Тп
T(0,т ; Q = 4nR2a(Tc6 — ТпЛ),
R
Тоб — температура внутренней поверхности оболочки.
Качество покрытия существенно снижается, если частица попадает на него в затвердевающем состоянии. Поэтому этапы затвердевания оболочки и ядра не рассматривались.
Выводы
В результате применения кубических сплайнов для аппроксимации температуры плазмы в процессе напыления керамических частиц с металлической оболочкой были уточнены результаты определения температуры частиц в зависимости от времени её пребывания в потоке и толщины оболочки. Достоинством данного подхода, повышающим уровень адекватности модели, является непрерывность аппроксимирующей функции. Рассмотрена стадия плавления оболочки с учётом поглощения тепла ядром.
На стадии разогрева ядра до температуры плавления сделано предположение о постоянстве его температуры в момент завершения плавления оболочки. Заметим, что данное предположение тем достовернее, чем больше толщина оболочки, а, следовательно, и время её плавления.
И, наконец, определение времени плавления ядра определялось при условии отсутствия изолирующей оболочки. В дальнейшем необходимо установить влияние оболочки на время плавления ядра и ввести поправочный коэффициент, который может существенно повлиять на результаты при большой толщине оболочки. Однако, по нашему мнению, при толщине оболочки меньше 2 мкм. расхождения будут несущественными.
Список использованной литературы
1. Remesh K. Computational Study and Experimental Comparison of the In-Flight Particle Behavior for an External Injection Plasma Spray Process // K. Remesh, S.C.M. Yu, H.W. Ng, C.C. Berndt // Journal of Thermal Spray Technology. - 2003. - Vol. 12(4). - P. 508-522.
2. Компьютерное моделирование процессов плазменного напыления покрытий/ С.П. Кундас, A.n. Достанко, A^. Ильющенко и др.-Мн.: Бестпринт, 1998.-212с.
3. Борисов Ю.С. Компьютерное моделирование процесса плазменного напыления / Ю.С. Борисов, И.В. Кривцун, A^. Мужиченко и др. II Aвтоматическая сварка. - 2000. - № 12. - С. 42-51.
4. Cheng K. Comporson of laminar and turbulent plasma jet characteristics - a modeling study/ Kai Cheng, Xi Chen, Wenxia Pan // Plasma Chem Plasma Process. - 2006. - № 26. - Р. 211-235.
5. Лохов ЮЛ. Шгрев и испарение частиц в струе низкотемпературной плазмы// ЮЛ. Лохов, ВА. Петруничев, A.A. Углов, И.И. Швыркова // Физ. и хим. обраб. материалов. - 1974. - №6. -С. 52-56.
6. Смирнов И.В. Моделирование процесса нагрева частиц порошка в плазменной струе при напылении композиционных покритий / И.В. Смирнов, AÄ. Aндрейцев, A^. Чорний, В.И. Копылов // Вестник ХОТУ. - Херсон. - 2008. - №2(31). - С.449-455.
7. Барвинок ВА. Математическое моделирование и физика процессов нанесении плазменных покрытий из композиционных плакированных порошков I ВА. Барвинок, В.И. Богданович, ИА. Докукина,
A. H. Плотников. - М.: Международный центр научной и технической информации, 1998. - 96 с.
8. Смирнов И.В. Математическое моделирование кинетики нагрева плакированных частиц в плазменной струе I И.В. Смирнов, AÄ. Aндрейцев II Современные проблемы естественных наук. Сб. науч. трудов. ХИУ им. ВЛ.Каразина. - Харьков, 2014 . - Том 1(2). - С. 162-164.
9. Aндрейцев AÄ. Ш^в та плавлення частинок порошку в плазмовому струмеш / AÄ. Aндрейцев, 1.В. Смирнов, A^. Чорний // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серiя: Техшчш науки: зб. наук. праць Кам'янець-Под№ський нацюнальний ушверситет, 1нститут шбернетики iм.
B.М.Глушкова. - 2011. - Вип. 5. - С. 3-10.
10. Aндрейцев AÄ. Численно-аналитическое определение температуры частицы при плазменном напылении (уточнення модель) / AÄ. Aндрейцев, H.H. Крюков, И.В. Смирнов, H.H. Защепкина // Вестник ХИТУ. - Херсон. - 2015 . - №3(54). - С.326-331.
