CC BY
62
2. Получены эмпирические зависимости, связывающие предел текучести с толщиной образца и количеством циклов деформирования.
3. Предложена схема упрочнения стали при циклической деформации.
Список литературы
1. Подгайский М. С. Влияние циклической деформации знакопеременным изгибом на механические свойства низколегированных сталей в зависимости от исходного структурного состояния / М. С. Подгайский, А. Б. Максимов // Термическая и термомеханическая обработка проката. - М. : Металлургия. - 1981. - С. 25-27.
2. Подгайский М. С. Упрочнение листовой стали при деформации циклическим изгибом / М. С. Подгайский, А. Б. Максимов // Повышение эффективности производства толстолистового проката. - М.: Металлургия. -1984. - С. 79-81.
3. Долженков Ф. Е. Применение пластической деформации циклическим изгибом как элемента упрочняющей термомеханической обработки листового проката из
сталей / Ф. Е. Долженков, М. С. Подгайский, А. Б. Максимов // Изв. АН СССР. Металлы. - 1984. - № 4. -С. 156-158.
Подгайский М. С. Упрочнение стали 10Г2С1 в зависимости от температуры деформирования циклическим изгибом / М. С. Подгайский, А. Б. Максимов, Т. М. На-ливайченко // Металловедение и термическая обработка металлов. - 1985. - № 6. - С. 54-56.
Подгайский М. С. Пластическое деформирование при циклическом знакопеременном изгибе / М. С. Подгайский, А. Б. Максимов, Т. М. Наливайченко // Физикохимическая механика материалов. - 1983. - № 1. -С. 115-116.
Подгайский М. С. Влияние деформации циклическим изгибом на дислокационную структуру стали 10Г2С1 / М. С. Подгайский, А. Б. Максимов, Ю. П. Нескуб// Изв. АН СССР. Металлы. - 1984. - № 4. - С. 131-133. Подгайский М. С. Субструктура и механические свойства стали 10Г2С1 после теплого и горячего деформирования циклическим изгибом / М. С. Подгайский, А. Б. Максимов, Ю. П. Нескуб // Металловедение и термическая обработка металлов. - 1985. - № 6. - С. 29-31.
Одержано 25.10.2011
Максимов О.Б. Розробка моделі зміцнення низьколегованої сталі при пластичній деформації циклічним вигином
Запропоновано і розраховано модель зміцнення при циклічному пластичному вигині товстолистового прокату з низьколегованих сталей.
Ключові слова: зміцнення, пластична деформація, низьколеговані сталі, прибудова текучості, твердість.
Maximov A. Development of low-alloy steel strengthening model during plastic deformation in cyclic bend
Model of hardening under cyclic plastic bending of low-alloy steels rolled plates was proposed and calculated. Keywords: work-hardening, cyclic bend, plastic deformations, low-alloy steel, yield point, hardness.
УДК 519.6
Канд. техн. наук А. М. Поляков, М. А. Колесова, Е. А. Чепенюк
Национальный технический университет, г. Севастополь
ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КИНЕМАТИКИ ШАРНИРНЫХ МЕХАНИЗМОВ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ ПОДВИЖНОСТИ
В работе приводится обоснование численно-аналитического метода решения обратных задач кинематики шарнирных механизмов с несколькими степенями подвижности. Предложен конструктивный подход к разрешению проблемы кинематической избыточности механизмов, основанный на использовании одного или нескольких критериев качества движения звеньев.
Ключевые слова: механизм, манипулятор, обратная задача кинематики, нелинейное уравнение, численное решение.
1 Постановка проблемы ~ _
г зеи может быть получена аналитически на основе раз-
При решении задач кинематики шарнирных меха- личных методов, например: методом замкнутых век-
низмов, представляющих собой открытые или замк- торных контуров [1], координат [2] и др. [3, 4, 5]. Как
нутые кинематические цепи, система уравнений свя- правило, выбор того или иного метода определяется
© А. М. Поляков, М. А. Колесова, Е. А. Чепенюк, 2012 90
характером решаемой задачи и эффективностью его реализации.
В случаях, когда механизм представлен совокупностью низших кинематических пар, уравнения связей трансцендентны и их решения в аналитической форме не всегда возможны, а иногда и нецелесообразны. Для получения численных решений чаще всего используют метод Ньютона или его модификации. Но, как известно, этот метод эффективен в случае выбора начальных приближений в ограниченных окрестностях действительных корней систем уравнений [6].
Во многих практически важных случаях система трансцендентных уравнений может быть преобразована к системе нелинейных алгебраических (полиномиальных) уравнений. Решение таких систем существенно проще по сравнению с системами нелинейных уравнений общего вида. В частности, для них достаточно просто формализуется алгоритм исключения неизвестных, строящийся на основе теоремы Сильвестра о результанте двух полиномов [7], который может быть вычислен, например, как определитель матрицы Сильвестра 5(/,я) [8]. Вычисление результанта
для каждой пары уравнений связей (одно из которых фиксировано) относительно одной неизвестной приводит к уменьшению числа уравнений системы и, соответственно, числа неизвестных на единицу. Таким образом, на п-1 шаге (п - число неизвестных) исходная система уравнений может быть сведена к треугольной форме вида
и1(х1,х2,...,хп_1,хп) = О и2(х2,...,хп_1,хп) = О
■ 0)
ип{Хп) = 0
Другой подход к исключению неизвестных из системы полиномиальных уравнений, получивший широкое распространение в последние десятилетия, базируется на вычислении стандартных базисов О (базисов Гребнера) [9]. В этом случае левые части полиномиальных уравнений связей /*.=0,
к = 1,...,т представляются в форме системы генераторов базиса В = (/, /2,..., /т).
Базисы Гребнера Э были представлены Б. Бухбер-гером [10], который доказал, что алгоритм их вычисления конечен и может быть реализован посредством последовательности однотипных действий, состоящей из к шагов [11]. В этом случае, так же, как и при использовании метода результанта, система полиномиальных уравнений преобразуется к виду (1).
Необходимо отметить, что в некоторых практических случаях определенных вычислительных преимуществ можно достичь, используя комбинированный подход Гребнера-Сильвестра [12].
Если уравнения исходной системы линейны, то оба описанных выше алгоритма подобны «прямому ходу» алгоритма Гаусса. Во всех других случаях уравнения остаются нелинейными и исходная система только приобретает треугольную форму вида (1), удобную для решения. Процедура поиска действительных корней при этом может быть построена подобно «обратному ходу» алгоритма Гаусса, а решение каждою из нелинейных алгебраических уравнений и„ (лсп) = 0,
ип-1 ( хп-1) = 0, ■■■, м1(х1) = 0 может быть выполнено одним из множества известных методов. Мы предлагаем для поиска действительных корней полиномиальных уравнений использовать алгоритм, разработанный на основе рекуррентной формулы (2) [13], который эффективен в широком диапазоне начальных приближениях при решении уравнений, характерных для множества важных практических задач:
^(п-Г)-Ап_гк)
^(п-г-\)-Ап_гк)
1=0
где к к +1 - приближенные значение одного из действительных корней на j -й и у +1 -й итерациях, соответственно; Аг -коэффициенты полинома, г = 0,..., п .
Целью данной работы является обоснование чис-ленно-аналитического подхода, представленного выше, на основе решения практических задач кинематики шарнирных механизмов с несколькими степенями подвижности и получение оценок различных вариантов его реализации.
2 Практическая реализация метода
Решение обратной задачи кинематики проиллюстрируем на примере плоского восьмизвенного манипулятора параллельной структуры.
Кинематическая схема манипулятора, представляющего собой механизм с И7 = 3 и, следовательно, обладающего избыточной подвижностью, показана на рис. 1.
Пусть в данном манипуляторе звенья АВ, ОЕ и ОН являются входными, а звено СЕК, с базовой точкой О которого связывается рабочий орган - выходным. При решении обратной задачи кинематики будем предполагать, что траектория точки О задана (в данном примере это окружность радиуса г с центром в точке
Кинематическая схема манипулятора характеризуется тремя замкнутыми контурами: АВСОЕЕОА, АВСОКНОА \iDEFOKHGD. Еслиусловно считать точку О фиксированной в данный момент времени в не-
Рис. 1. Кинематическая схема плоского восьмизвенного манипулятора параллельной структуры
которой точке, принадлежащей описаннои выше окружности, то для однозначного решения прямой задачи кинематики достаточно задать значения двух независимых обобщенных координат, например, ср1 и ср7,
а ф4 рассматривать как функцию (р4 = / (ф:, (р7 ). При другом подходе можно задать только одну обобщенную координату, например, ср,. Но, в таком случае, вследствие кинематической избыточности, число решений прямой задачи кинематики будет равно бесконечности. При этом часть кинематической цепи ЛВС может принять любую из возможных конфигураций,
удовлетворяющих неравенству АВ + ВС > АС , а конфигурации цепей АНК и АОЕ при этом могут быть выбраны из двух возможных вариантов сборки. Но при решении обратной задачи кинематики, если не задан какой-либо дополнительный критерий, достаточно выбрать одну из возможных конфигураций цепиАВСО,
а, следовательно, и цепей АОНКО и АПЕРО. В дальнейшем будем считать, что при движении точки О по окружности звено СРК движется поступательно так, что его часть СО всегда расположена горизонтально. Фактически это означает наложение дополнительного условия связи: ф3 = ф30 = 0.
Рассмотрим одну из возможных систем независимых уравнений связей в векторной форме:
АВ + ВС + СО - АО = О Ад+вН + НК + КО -АО = О,
(3)
которая эквивалентна системе четырех скалярных трансцендентных уравнений с пятью неизвестными
( Ф1 5 Ф2 ’ ФЗ ’ Ф7 ’ Фй )
/ СОЭ ф[ + / СОЭ ф2 + Я СОЭ ф3 - X = О / эт ф[ + / эт ф2 + Я эт ф3 - у = О
1 л/з
а + /созф7 + /созф8 - —Лсоэфз ——/?8Іпф3 - х= О
л/3 1
/зіпф7 + /этфд + — Лсоэфз - — /?8Іпф3 - у = 0 , (4)
где приняты следующие обозначения:
1АВ = 1ВС = 1ан =1нк=1’ 1со =1ко=к- Кроме этого _ 2п
принято, ЧТО ф9 = — + Фз при 1СР = 1рК = 1КС . Произведя замену переменных (сое ф, = сф,, зт ф. = лчр,) и принимая во внимание тождества сф;2 + 5ф,2 -1 = 0, / = 1,2,3,7,8 , получим систему 9 полиномиальных уравнений с десятью неизвестными:
сфр ар2,сф3, сф7, ар8,^ф1,^ф2, ^ф3,5ф7,5ф8.
Путем исключения сф2, сф8, ^ф1, 5ф2, 5ф7, 5ф8 методом результанта, придем к системе трех полиномиальных уравнений с четырьмя неизвестными ^, Сф3, Ор7 , Л'ф3 , которая имеет бесконечное множество решений. Но, полагая, в соответствии с принятыми ранее условиями движения, Сф, = 1 И Л'ф3 = 0, придем к системе двух независимых друг от друга полиномиальных уравнений четвертой степени.
Для численного решения рассматриваемой обратной задачи кинематики были приняты следующие значения кинематических параметров: 1=Д = 1,0;г = 0,3. Решения получены с использованием подхода, изложенного в первом примере.
На рис. 2, а представлены графики функций
Фгде 7 = 1,2,7,8 - номера звеньев; к = = 0... 36 - номер конфигурации манипулятора, соответствующий к -му положению точки О на окружности радиуса г с центром в точке £; на рис. 2, 6 - множество конфигураций манипулятора при движении точки О по окружности (звенья 4 и 5 здесь условно не показаны).
Необходимо отметить, что каждое из конечных уравнений, полученных в результате преобразования
исходной системы (4) при всех £ имеет четыре действительных корня, но только четыре пары, составленных из них, соответствуют исходной системе. Это означает, что практически могут бьгть реализованы только четыре возможных варианта сборки манипулятора, показанные на рис. 3:
АВ.СОКНр, АВ.СОКНГт,
АВ2СОКН<3, АВ2СОКН2Ст
2 7^
я9 *- Мз.:.
шт * ■ л"*ш -ж
_лг % . „ ■■■■**
Гр, '-3-1 \І-"" •' \ ^
_у
«1,50- ,, .■>•■' \ "Ч 0.
\і-2
& 1......................р—І
0,50-
0^ ................:і.:.
N ткґ , -
0 5 10 15 20 25 30 35
Номер положения точш на ощужности
а
1,0
0,6-
0:
Рис. 2. Результаты решения обратной задачи кинематики манипулятора параллельной структуры: а - графики функций ф™ = /’ (к); 6 - множество конфигураций манипулятора при движении точки О по окружности
Рис. 3. Возможные и нереализуемые мгновенные конфигурации манипулятора
В целях верификации возможных вариантов сборок в программе, реализующей решение задачи, был реализован поиск всех действительных корней, удовлетворяющих не только конечным уравнениям, но и исходной системе (4) и отклонены по два действительных корня, при которых конфигурации манипулятора АВ1<2)СьОКвНг[(2,р (рис. 3) не соответствуют системе (4), то есть не могут быть реализованы.
Полученные решения обратной задачи кинематики не являются оптимальными, т. к. одна из обобщенных координат была выбрана произвольно. Ясно, что принимая во внимание какой-либо критерий качества можно получать решения, оптимальные с точки зрения этого критерия. Ниже приведен один из возможных вариантов реализации такого подхода на примере решения обратной задачи кинематики пятизвеннош плоского манипулятора последовательной структуры
с цг = 4, кинематическая схема которою представлена на рис. 4.
Приняв безразмерные значения кинематических параметров: 1АВ = 3, 1ВС = 2 , 1со = 1, запишем систему уравнений связей манипулятора с четырьмя независимыми обобщенными координатами
(я,ф15ф2,ф3):
Зсозф1 + 2соэ(ф1 +ф2)+ соэ(ф1 + ф2 + ф3)-_у = 0;
5+ Ззіпф1 + 2зіп(ф1 + ф2)+ эш(ф1 + ф2 + ф3) - х = 0. (5)
Выполним теперь следующую последовательность действий:
1) произведем замену переменных созф1 = схр., віїїф;. = яф;., принимая во внимание тождество «р*2 + яЬ2-1 = 0, / = 1,2,3;
2) произведем лексикографическое упорядочивание переменных:
^ф2 >■ сф2 >- £ф3 >- сф3 >- ^ф: >- сф: >■ я;
3) вычислим полиномы В , / = 1 2 3 4 базиса
} •> 777
Гребнера О ;
Наконец, исключая методом результанта переменную из полинома Вх с учетом тождества
Сф/ + Л'ф^ -1, получим полиномиальное уравнение
/(*, сф,, сф3) = 0 :
Рис. 4. Кинематическая схема плоского пятизвенного манипулятора последовательной структуры
16 - З2сф3 +1 бсф32 + 48сф1сф3у - 48сф1сф35 +16с<р3ху + 48сф15 - 48сф1-у - 8сф3^2 + 8^2 --1 бяу - 28х2 + 8у2 - 8сф3іу2 - 8сф3х2 - Збсф^2^ - 72сф12^у + Збсф^2 +12сф1жс2 + 12сф^3 + +3бсф, V - 4яъу + 6х2у2 + 2/х2 + Збсф^у2 + Збсф^х2 + У4 + 2х2_у2 - 4,чу3 -12сф1-у3 + у4 + х4 --4ж2у-\2с<р]х2у = 0 .
Его однозначное решение возможно только с учетом каких-либо дополнительных условий или критериев. Например, в этом случае можно использовать критерий минимального дискомфорта [14], обоснованный с биомеханической точки зрения [15]:
к = 7 І (м;+ ° х ои, + С X ОЬ,) => ШІП, (6)
1=1
где , с[и,, - і-я обобщенная координата, ее ней-
тральное, минимальное и максимальное значения, со-
_ Ч-Чт
ответственно; q^ эффициенгы; диг = |о.5зт
= \ 0.5 єіп
і У, и О - весовые ко-
5-°{Чи! -Чг ) | Д 2
5.0($-^
+ 1
71
■ + — 2
+ 1
Яи-Чи
Смысл критерия (б) состоит в том, что механизму (или другой механической системе) с обобщенными q} запрещается принимать конфигурации, в которых с], —> ди, или с], —> ди, а желательными являются конфигурации, в которых ££ —> дш.
Ясно, что в соответствии с условиями данной примера, а также при решении других подобных задач, критерии, позволяющие получать однозначные решения, могут быть выбраны с различных точек зрения. Но одно из преимуществ критерия (б) состоит в том, что предполагаемые конфигурации механизма, которые могут быть получены при его реализации, отличаются от сингулярных, характеризующихся снижением качества управления приводными двигателями.
Произведем замену переменных = & , qг- схр1, д3 = сф3 и зададим возможные границы их изменения:
ТТПП > > ТЛЯХ • Ш1П ГГ18Х .
5 5 5 7 сер! ^ Сф; < Сф! ,
сф3шп < сф3 < сф3тж . (7)
С целью получения возможности формализации процесса исключения неизвестных методом результанта, разложим правую часть критерия (6) в ряд Тейлора по степеням с]г в окрестностях с(ы.. В результате
получим некоторый полиномиальный критерий К*, который, в общем, аналогичен критерию (6), если количество членов разложения достаточно велико.
Целевую функцию F представим в следующем виде:
.Р(^сф^сфз,А.) = К*с<р^,с<р3}+ XII(5,ар,,сф3), (8)
где X ~ множитель Лагранжа.
Необходимые условия экстремума функции (8) имеют вид:
— = 0; &
= 0;
5сф1 дс<р*
= 0;^ = 0. дХ
(9)
Применяя последовательно метод результанта для исключения переменных X, сф1, 5 из уравнений (9)
придем к полиномиальному уравнению 2 (<хр3) = 0 , решение которого найдем с помощью рекуррентной формулы (2). Реализация в дальнейшем процедуры «обратного хода» позволяет достаточно просто определить и другие неизвестные.
В графической форме решения обратной задачи кинематики манипулятора последовательной структуры при движении базовой точки В рабочего органа по окружности радиуса г с центром в точке £ (х0, у0) представлены на рис. 5. При этом были приняты следующие безразмерные значения параметров: г = 0,8; х0 = 3,0; у0 = 2,0; 0 < сф:< 1,0; 0 < сф3 < 1,0; 1,0 < 5 <3,0.
Номер положения точш на окружності
а)
6}
Рис. 5. Решения обратной задачи кинематики манипулятора последовательной структуры при движении
точки О по окружности:
а - графики функций ф; = (к ) , / = 1,2,3и /4 {к) ; б - множество конфигураций манипулятора
3 Выводы
Анализ решений приведенных выше и других примеров свидетельствует об эффективности предложенного численно-аналитического подхода к решению задач кинематики шарнирных механизмов с одной или несколькими степенями подвижности. Тем не менее, необходимо отметить, что при решении достаточно сложных задач их полная формализация практически невозможна. Это обусловлено несколькими причинами.
Во-первых, все многозвенные шарнирные механизмы характеризуются множеством вариантов сборок, допускаемых связями. Поэтому при решении как прямых, так и обратных задач кинематики на определенном этапе всегда возникает необходимость неформального выбора одного из таких вариантов. Для этого необходимо иметь все действительные решения системы уравнений связей механизма.
Во-вторых, как правило, при реализации процедуры формального исключения неизвестных, производятся неэквивалентные преобразования исходной системы уравнений связей, что часто приводит к появлению «лишних» действительных корней. Их устранение, в большинстве случаев, также осуществляется путем неформального анализа.
Рекуррентная формула (2) эффективна при поиске всех действительных корней полиномиальных уравнений, так как итерационные процессы, основанные на ее использовании, практически не зависят от выбо-
ра начальною приближения [13]. В то же время, в тех случаях, когда начальные приближения принадлежат достаточно малым окрестностям действительных корней, такие процессы, аналогичны итерационным процессам, реализуемым в соответствии с методом касательных Ньютона. Этот факт используется при реализации алгоритмов расчета множества конфигураций механизмов. При этом решения, полученные для одной из конфигураций, например к- 1-й, принимаются в качестве начальных приближений для определения следующей к -й конфигурации.
К недостаткам изложенного в данной работе подхода следует отнести большие вычислительные затраты, необходимые для расчета определителей матриц Сильвестра и базисов Гребнера при реализации алгоритмов исключения неизвестных из системы уравнений связей. Результирующее полиномиальное уравнение, получаемое при этом, имеет достаточно высокую степень. Тем не менее, при реализации алгоритмов решения в системе МаЙаЬ или при программировании на алгоритмических языках высокого уровня (например, С + +), можно считать эти недостатки несущественными.
Дальнейшие исследования в данной области будут посвящены обобщению изложенного метода и разработке алгоритмов его реализации при решении задач кинематического анализа и синтеза пространственных механизмов, в том числе, и с избыточными связями.
Список литературы
1. Зиновьев В. А. Кинематический анализ пространственных механизмов / В. А. Зиновьев // АН СССР. Труды семинара по ТММ. - 1951. - Т. XI. - № 42. - С. 52-99.
2. Морошкин Ю. Ф. О формах основных уравнений геометрии механизмов / Ю. Ф. Морошкин // Доклады АН СССР. - 1953. - Вып. 91. - № 4. - С. 745-748.
3. Denavit J. A Kinematic Notation for Lower-Pair Mechanisms Based on Matrices / J. Denavit, R. S. Hartenberg // Trans. ASME Journal. Appl. Mech. - 1955. - Vol. 23. - P. 215-221.
4. Uiker J. J. An Iterative Method for the Displacement Analysis of Spatial Mechanisms / J.J. Uiker, J. Denavit, R.S. Hartenberg // Trans. ASME Journal. Appl. Mech. - 1964. -Vol. 31. - P. 303-314.
5. Кислицын С.Г. Тензорный метод в теории пространственных механизмов / С. Г. Кислицын // АН СССР. Труды семинара по ТММ. - 1954. - Т. XIV. - JMb 54. -
С. 51-55.
6. Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. - М. : Наука, 1987. -600 с.
7. Van Waerden В. L. Algebra. Vol. 1 / B.L. Van Waerden. -New York: Frederick Ungar Publishing, 1970. - 265 p.
8. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. - М. : Наука. -832 с.
9. Jager С. A Combined Method for Enclosing АП Solutions of Nonlinear Systems of Polynomial Equations / C. Jager,
D. Ratz // Reliable Computing. - 1995. - Vol. 1. — P 41—
64.
10. Buchberger B. Theoretical Basis for the Reduction of Polynomials to Canonical Forms / B. Buchberger 11 SIGSAM Buletin. - 1976. - Vol. 39. - P. 19-29.
11. Buchberger B. Some Properties of Groebner Bases for Polynomial Ideals / B. Buchberger // SIGSAM Bulletin. -1976. - Vol. 40. - P. 19-24.
12. Dhingra A.K. A Groebner-Sylvester Hybrid Method for Closed-Form Displacement Analysis of Mechanisms / A. K. Dhingra, A. N. Almadi, D. Kohli // Journal of Mechanical Design. - 2000. - Vol. 122. - P.431-438.
13. Поляков А. М. Рекуррентная формула для нахождения действительных корней нелинейных алгебраических уравнений в приложении к задачам механики механизмов / А. М. Поляков, М. А. Полякова // Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні. - 2002. -№ 2. - С. 93-96.
14. Cruse Н. On the cost functions for the control ofthe human arm movement / H. Cruse, E. Wischmeyer, M. Bruwer, P. Brockfeld, A. Dress // Biological Cybernetics. - 1990. -Vol. 62.-P. 519 -528.
15. Jung ES. Human reach posture prediction based on psychophysical discomfort / ES. Jung, J. Choe // International Journal of Industrial Ergonomics. - 1996. -Vol. 18. - P. 173-179.
Одержано 17.10.2011
Поляков O.M., Колесова M.O., Чепеиюк 0.0. Чисельно-аналітичний метод розв’язання задач кінематики шарнірних механізмів з декількома ступенями рухомості
У роботі наводиться обгрунтуваннячисельно-аналітичного методу розв ’язання зворотніх задач кінематики шарнірних механізмів з декількома ступенями рухомості. Запропоновано конструктивний підхід до вирішення проблеми кінематичної надмірності механізмів, заснований на використанні одного чи кількох критеріїв якості руху ланок.
Ключові слова: механізм, маніпулятор, зворотна задача кінематики, нелінійне рівняння, чисельне рішення,
Polyakov A., Kolesova М., ChepenyukE. A numerical-analytical method for the kinematic problems solving of linkages with several degrees of freedom
The substantiation of the numerically-analytical approach for solving inverse kinematic problems of linkages with open and closed kinematic chains was grounded Constructive approachfor solving the problem of mechanisms kinematic redundancy, based on the use of one or more criteria of links movement quality was proposed.
Keywords: mechanism, manipulator, inverse kinematic problem, nonlinear equation, numerical solution.
