CC BY
12
Вестник АГТУ. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2022. № 2
ISSN 2072-9502 (print), ISSN 2224-9761 (online) Vestnik ASTU. Series: Management, computer science and informatics. 2022. № 2
ISSN 2072-9502 (print), ISSN 2224-9761 (online)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ MATHEMATICAL MODELING.
Научная статья УДК 004.021
https://doi.org/10.24143/2072-9502-2022-2-97-109
Численно-аналитический метод преобразований для анализа нелинейных математических моделей полиномиальной структуры
Сергей Евгеньевич Иванов1*, Андрей Дмитриевич Телевной2
12Национальный исследовательский университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия, Serg_ie@mail.ru*
Аннотация. Рассматривается научная задача исследования математических моделей с полиномиальной нелинейностью, которые представлены системами нелинейных дифференциальных уравнений. Для исследования нелинейных динамических систем со многими степенями свободы полиномиальной структуры предложен численно-аналитический метод преобразования. В отличие от аналогов данный метод позволяет решать широкий спектр задач для нелинейных систем общей полиномиальной структуры при сокращении ресурсоемкости вычислений. Приведен алгоритм метода преобразований для исследования нелинейных динамических систем с т степенями свободы. Выполнено исследование устойчивости решения нелинейных динамических систем с т степенями свободы. Приведены алгоритмические формулы метода преобразований для решения систем с нелинейностью четвертой степени. Вычислительные эксперименты по решению систем дифференциальных уравнений с малой нелинейной частью в форме многочлена шестой степе -ни методом преобразований подтверждают точность четвертого порядка при вычислении. Представленным методом преобразований исследована нелинейная математическая модель виброзащитной системы. Доказана теорема об определении методом преобразований стационарного состояния для систем дифференци -альных уравнений полиномиальной структуры. Представлены алгоритмические формулы метода для вычисления и общая матричная форма для векторных индексов. Для экономичного вычисления правых частей полиномиальной структуры представлены формулы и предложено применить схему Пана с предваритель -ной обработкой коэффициентов. Метод позволяет исследовать различные режимы динамики нелинейных моделей, например, определять такие экстремальные режимы, как резонанс, субгармонический, полигармонический режим. В качестве примера применения метода решена задача виброзащиты вышки управле -ния полетами от внешних периодических воздействий. Решение, построенное методом преобразований, учитывает все нелинейные компоненты полиномов. Метод позволяет выполнять исследование динамики широкого круга нелинейных систем с необходимой точностью.
Ключевые слова: метод преобразований, нелинейные динамические системы, математическая модель полиномиальной структуры, устойчивость решения систем, численно-аналитические методы
Для цитирования: Иванов С. Е., Телевной А. Д. Численно-аналитический метод преобразований для анализа нелинейных математических моделей полиномиальной структуры // Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2022. № 2. С. 97-109. https://doi.org/10.24143/2072-9502-2022-2-97-109.
© Иванов С. Е., Телевной А. Д., 2022
Original article
Numerical-analytical transformation method of analyzing nonlinear mathematical models with polynomial structure
Ц Sergei E. Ivanov1*, Audrey D. Televnoy2
12ITMO University,
о Saint-Petersburg, Russia, Serg_ie@mail.ru*
s _
x к
g Abstract. The article considers a scientific problem of investigating mathematical models with polynomial nonlineari-| ty, which are represented by systems of nonlinear differential equations. There is presented a numericall-analytical Й transformation method for investigating nonlinear dynamical systems with many degrees of freedom of polynomial | structure. As opposed to the analogues, this method allows solving a wide range of problems for nonlinear systems § of general polynomial structure while reducing the computational resource intensity. An algorithm of the method ™ of transformations for investigating the nonlinear dynamic systems with m degrees of freedom is given. The research § of stability of solutions of nonlinear dynamic systems with m degrees of freedom is carried out. Algorithmic formulas jji of transformation method for the solution of systems with nonlinearity of the fourth degree are given. Computational g experiments on solving systems of differential equations with a small nonlinear part in the form of a multinomial of the sixth degree using the transformation method show fourth order accuracy in computation. A nonlinear mathe-и matical model of the vibration protection system is investigated by the presented method of transformations. The theo-ra rem on determination of the stationary state for systems of differential equations of polynomial structure by transforms mation method is proved. Algorithmic formulas for computation are presented. A general matrix form for vector indi-^ ces is presented. Formulas for economical computation of right-hand sides of polynomial structure are presented and it s is proposed to apply Pan's scheme with coefficient preprocessing. This method allows studying the different modes 4 of nonlinear models dynamics, for example, to determine such extreme modes as resonance, sub-harmonic, and poly-K harmonic modes. As an example of the method application, the vibration protection problem of the tower from exterS nal periodic influences was solved. The transformed solution takes into account all nonlinear polynomial components. о The method allows to investigate the dynamics of a wide range of nonlinear systems with the necessary accuracy. я
Ц Keywords: method of transformations, nonlinear dynamic systems, mathematical model of polynomial structure, sta-
(§ bility of system solution, numerical and analytical methods
For citation: Ivanov S. E., Televnoy A. D. Numerical-analytical transformation method of analyzing nonlinear mathematical models with polynomial structure. Vestnik of Astrakhan State Technical University. Series: Management, Computer Science and Informatics. 2022;2:97-109. (In Russ.) https://doi.org/10.24143/2072-9502-2022-2-97-109.
Введение тичные составляющие, методы Ван дер Поля
Рассматривается научная задача исследования и линеаризации не учитывают кубические состав-
математических моделей с полиномиальной нели- ляющие. Определенная ограниченность области
нейностью, которые представлены системами не- решения является значительным недостатком при-
линейных дифференциальных уравнений. Для ис- менения приближений Чебышева при построении
следования таких нелинейных моделей разрабаты- решений нелинейных дифференциальных уравне-
вается метод преобразований. Традиционные ме- ний. С целью снижения ресурсоемкости решений
тоды исследования нелинейных систем, например задачи при использовании приближенных методов
преобразование к линейной форме, не учитывают критически важно правильно определить началь-
влияние нелинейностей, приводят к упрощению ное приближение [1]. Побочным эффектом некор-
модели и существенным погрешностям. Классиче- ректного определения начального приближения
ские методы исследования нелинейных математи- является не только ощутимое повышение трудоем-
ческих моделей были предложены в работах кости вычислительного алгоритма, но и невысокая
А. Пуанкаре, А. М. Ляпунова, Ван дер Поля, точность решения.
Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, А. А. Андроно- Приведем обзор актуального состояния науч-ва и др. Применяются аналитические приближен- ных исследований в рассматриваемой области. ные методы малого параметра, усреднения, Кры- В работе [2] нашло отражение использование ме-лова-Боголюбова, линеаризации, метод Ван дер тодики нахождения полиномиальных решений ка-Поля, метод гармонического баланса, метод воз- нонических уравнений. Данная методика основана мущений Пуанкаре, асимптотические методы рас- на разложении решений в ряды по базисным функ-тянутых параметров и многих масштабов. Каждый циям. Далее, дополнительные решения могут метод предназначен для решения определенного находиться путем комбинирования решений, полукласса задач с введенными ограничениями. ченных ранее на предыдущих этапах. Подобная Например, метод усреднения не учитывает квадра- аппроксимация искомого решения легла в основу
численно-аналитического метода, представленного автором [2]. Существенным преимуществом такого подхода является то, что решение представляется «...в форме непрерывной дифференцируемой по области решения, удовлетворяющих по точности аппроксимаций» [2, с. 204].
Авторы [3] посвятили свою работу исследованию решения систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Данные уравнения являются уравнениями с выделенной главной положительно однородной частью. Работа обладает выраженной практической значимостью, т. к. ее результаты позволяют обобщать решения для подобных систем.
Один из методов численно-аналитического описания решения уравнения объекта представлен в работе [4]. Помимо описания собственно решения в работе также вычисляются значения числовых характеристик на основе некорректных наблюдений. По мнению авторов, внедрение предложенного метода «.позволит алгоритмическими и программными средствами оперативно находить оптимальные оценки числовых характеристик движения объекта» [4, с. 11].
Одна из сфер применения численно-аналитического моделирования описана в работе [5]. Авторами была изучена сфера систем массового обслуживания поликомпонентных потоков. Построенные три математические модели и разнообразные области их применения являются существенным достоинством данной работы, а полученные численные результаты помогают рассчитать необходимое количество устройств для систем массового обслуживания поликомпонентных потоков.
Нахождение базисных функций с помощью численно-аналитического метода изучается в работе [6]. Предложенный авторами подход «.заключается в построении конечного элемента, учитывающего особенности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в окрестности угловых точек» [6, с. 325]. В результате удалось значительно повысить точность решения из-за сокращения порядка системы уравнений.
В качестве еще одного варианта применения численно-аналитических методов следует упомянуть работу авторов [7], в основу которой лег метод поиска близких к периодическим решений, соответствующих режимам авторотации механической системы. Подход, являющийся родственным методу Андронова-Понтрягина, позволяет строить решения вспомогательных подсистем. В результате получается набор периодических функций при выполнении условия сходимости метода.
Современными проблемами исследования нелинейных моделей занимается коллектив Института прикладной математики РАН им. М. В. Келдыша. В работе [8] представлена процедура построе-
ния разложения базиса решений одного четырех- §
членного рекуррентного соотношения с коэффици - §
ентами из кольца. Показано, что вне зоны близких Е
собственных значений получаемое разложение Т
является асимптотическим. е
Авторы [9] рассматривают метод решения жест- §
ких систем дифференциальных уравнений на основе .
вычисления матричной экспоненты. В работе пред- о
ставлен метод контроля точности в случае линей- и
ных задач, приведены результаты численных расче- Г
тов для линейных и нелинейных задач. §
Дифференциальное уравнение второго порядка, §
содержащее большой параметр, рассматривается ^
в [10]. Авторами описан предложенный ранее спо- §
соб, являющийся альтернативой методу Пуанкаре Щ
(теорема о неявной функции). Мотивом к данному 0
исследованию послужило желание авторов изучить §
влияние применения метода Пуанкаре в сингуляр- п
но возмущенной задаче. д
Сравнение методов построения многослойных В
приближенных решений дифференциальных урав- 0
нений на основе классических приближенных ме- Щ
тодов выполняется в работе [11]. Варианты реали- §§
зации алгоритмов расчета переходных процессов Щ
от
для динамических систем с применением опера- в
торного метода рассматриваются в работе [12]. Щ
В работе [13] асимптотическими методами исследу- £
ются полиномиальные дифференциальные уравне- з
ния. Рассматривается разложение по степеням неза- е
висимой переменной, коэффициенты которого есть §
ряды Лорана по убывающим степеням логарифма. §
В работе [14] рассматриваются численно-ана- д
литические методы поиска периодических решений §
нелинейных систем дифференциальных уравнений. ^
Представлены алгоритмы отыскания начальных ^
условий, соответствующих периодическому реше- 1
нию. В исследовании [15] приводится доказатель- В
ство теоремы о сходимости формального решения §■ обыкновенных дифференциальных
уравнений при и
случае, когда «множество показателей степени ряда И
имеют одну комплексную образующую» [15, с. 2]. д В работе [16] доказана теорема о разрешимости нелинейной системы уравнений относительно приближенных значений коэффициентов Чебышева старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение. Авторам [17] для определения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений используется метод логистической функции.
В работах научного коллектива под руководством профессора Г. И. Мельникова предложен метод дифференциальных неравенств и применение приближений Чебышева для построения решений нелинейных дифференциальных уравнений. В работе [18] рассматривается система дифференциальных уравнений полиномиальной структуры. Проводится преобразование уравнений и исследование колебаний объекта с постоянными парамет-
рами. Приводятся оценки движения, полученные методом дифференциальных неравенств для положительных функций Ляпунова. В [19] рассматривается уравнение автономной динамической системы с одной степенью свободы. Применяется асимптотический метод преобразования Пуанкаре-Дюлака и приближения Чебышева для многочленов высокой степени. Исследуются механические системы в случае отсутствия внутренних резонансов.
Развитие численно-аналитических методов исследований поведений систем нашло свое отражение в работе [20]. Авторами рассматривается случай, при котором наблюдения содержат отсчеты сингулярной помехи. Предложенное улучшение метода позволяет определять оптимальные несмещенные и инвариантные оценки. Достоинством такого подхода является то, что он помогает избежать расширения пространства состояний.
В рассмотренных научных работах предложены методы для решения определенного класса задач при выполнении заданных условий. В отличие от рассмотренных научных работ в статье предложен метод, позволяющий решать широкий класс задач для нелинейных систем общей полиномиальной структуры при сокращении ресурсоемкости вычислений.
Постановка задачи исследования
Рассматривается актуальная задача разработки оптимального алгоритма для метода исследования нелинейных моделей. Для увеличения точности исследования нелинейных моделей разрабатывается метод преобразований. Метод позволяет исследовать различные режимы динамики нелинейных моделей, например, определять такие экстремальные режимы, как резонанс, субгармонический, полигармонический режим. Так, традиционные численные методы Рунге-Кутта с фиксированным шагом не определяют эффект мгновенного скачка. Для современных систем управления в реальном времени динамическими системами задача своевременного определения и устранения экстремальных режимов является актуальной. При разработке алгоритма метода также решается важная задача сокращения вычислительных ресурсов по сравнению с аналогичными классическими методами.
Метод преобразований для исследования нелинейных динамических систем с т степенями свободы
Рассмотрим динамическую систему с m степенями свободы. Для такой системы математическая модель представлена m нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными и периодическими коэффициентами.
Представим систему в матричной форме с применением векторного индекса г=[г1,г2, ■■■,п2т+2] с целочисленными неотрицательными компонентами.
Обозначим |п| = п +п2 +... +п2т+2 - сумму компонентов векторного индекса. Математическую модель системы запишем в матричном виде:
Iq + Bq + Cq = H\cos (ю/) + H 2sin (rot) +
cosVl (ю/)sinV2 (ю/)qV3...qm
m+2 л ym+3
(1)
где I - единичная матрица т х т; В, С - квадратные матрицы т х т; Н1 = [КП, К21, ..., Кт1 ]Т ;
Н2 = [А,2, Н22, ..., Нт2]Т ; К = [А1!, Иту]Т - век-
тор-столбец нелинейных коэффициентов, 1;
t - время; ю - частота; дг - обобщенные координаты системы; д = д2,..., дт]Т - вектор-столбец искомых функций; q = [<&1, <&2,. <&т]Т - вектор-столбец производных.
Предположим, что для системы дифференциальных уравнений (1) выполнены условия теоремы Пикара о существовании и единственности решения задачи Коши. Правая часть системы определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица.
Для представления суммы по векторному индексу в работе [21] предложено применять последовательное раскрытие вложенных сумм вида
* * 2 m+2 М '2
М=2 '2m+2 = 2 '2m+1 = 0 г2= 0'1= 0
Основные этапы метода преобразований включают представление нелинейной системы в нормальной форме, линейное и многочленное преобразование, решение преобразованной системы. В алгоритме введено условие комплексно-сопряженных корней с малыми отрицательными вещественными частями XS, XS, s = 1,..., m для уравнения Det [ /X2 + BX + C ] = 0.
Вводятся новые переменные х1 = exp (/ю/) и х2 = exp (-/ю/).
Представим периодические функции через введенные дополнительные переменные:
cos (Ю/) = 1 (х1 + х2) и sin (Ю/) = 1 (х1 - х2) .
Приведем систему уравнений (1) к нормальной форме, дополнив введенными переменными:
х = PX+'pX1 V2 qV3. q»+2 qVm
(2)
где X =[х1 х2дхд2 ... &т]Т ; Р - квадратная
матрица (2т + 2)х(2т + 2); рп - комплексные
коэффициенты нелинейной части, определяемые посредством перегруппировки членов нелинейных частей системы (1).
Выполним линейное преобразование системы:
У = ЬХ,
где У - вектор-столбец новых обобщенных координат системы; Ь - квадратная матрица линейного преобразования.
Определяем невырожденную матрицу Ь. В результате линейного преобразования представим систему в виде
У = ЛУ + уП ... у 2т+2П2 "2,
I | = 2
где у1, у2 - новые обобщенные координаты системы. Здесь матрица Л диагонального вида А = diag[ХГ, Х2,..., Х2т+1, Х2т+2] с комплексно-сопряженными корнями
X= X2х-1, 5 = 1, ..., т +1 .
Для нахождения нелинейных коэффициентов гу выполним перегруппировку членов в нелинейной части (2) после линейного преобразования.
На следующем этапе выполняется преобразование
к
Уs = ^ ... Г2т+2 "2m+2,
И=2
5 = 3, .,2т + 2; у* = 23, (5 = 1,2), (3)
Z2s-1 = U2s-leXP (it ImX2s-l ) ;
В результате перехода к переменным (5) полу-
где у5 - обобщенные координаты системы; - преобразованные обобщенные координаты системы; а- коэффициенты преобразования.
Результатом преобразования (3) является система
2„ =
= Х sZs +^qlZl 1' ••• Z2,
s = 1, ..., 2m + 2,
где д I - коэффициенты преобразованной системы.
Для нахождения особых значений индекса п = [у1, п2 , . .., п2т+2 ] решаются уравнения [22]
2m+2 v 2m+2
- К = O;
2 с
m
ti
чим автономную систему
П + п2 + ...+ п2т+2 = 2, 3,..., к; 5 = 1,..., 2т + 2. (4)
Для не особых значений индексов д5 = 0 определяются а 5 , для особых значений индексов а;5 = 0 определяются д5.
В работе [21] представлена итерационная формула для вычисления коэффициентов д[ и а5:
г г 2т+2
^ г п + £(< г п (X х к Ук - х *)) +
I |=2 |п|=2 к=1
2т+2 г г
+ г 1VкГк-1 г" (2).
к=3 | п | =2 |ц|=2
Введем комплексно-сопряженные переменные -1ехр(-й 1тХ2Х-1); 5 = 1,.., т +1. (5)
Для перехода к автономной системе с вещественными коэффициентами выполним экспоненциальную замену переменных:
er p
=
= usReX s + XqsUl'1 Ul"2 ... ^s- U2s-l.
(б)
Us = PsexP (i0s ) .
(7) gl
Далее получаем решение автономной системы. Представим систему (б) с вещественными ко-
эффициентами в виде
"ZPl1
P s = PsReX s +
œ œ
p ■
2
" Re
ql exP
i I X02l-l (^l-l - )- 0
р * 0 * = ХрГ-+"2•• Р 2т-1+"2 т 1т | 1=2
В нерезонансном случае система (8) имеет более простой вид:
к
р* = р*ЯеХ* + ХрГ1+|2 . Р22тт-1+|2т ^е (д*);
I ||=2
р * е * = Х рГ1+"2. р2т-1+"2т 1т (д*).
è è i=i œ
(S)
/у
ql exP
v
i I S02l-l (V 21 -1 - !l )- 0s
ЛЛ
Проинтегрировав систему, найдем амплитуду р* и частоту 0* для преобразованных обобщенных координат системы. Установившийся режим найдем, приравнивая правые части (8) к нулю и решая систему алгебраических уравнений. Для представления решения в исходных переменных подставим решение в (3), (5) и (7). Решение в ис-
F
^
Ш Ш
О
s'
и я я
A
s о
га
комых переменных X найдем по формулам обратной замены: X = П1У .
Методом преобразований исходная нелинейная система дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными и периодическими параметрами преобразуется к автономному виду. Для экономичного вычисления правых частей полиномиальной структуры предложено применить схему Пана с предварительной обработкой коэффициентов. Методы экономичного вычисления полиномов с предварительной обработкой коэффициентов представлены в работах В. Я. Пана [23]. В соответствии с двухэтапной схемой Пана для вычисления
полинома п-й степени при п > 5 необходимо п + 2
умножений и п + 1 сложений. Двухэтапная схема экономичного вычисления Пана с предварительной обработкой коэффициентов позволяет в 2 раза сократить количество операций умножения при вычислении полиномов, что приводит к значительному увеличению производительности вычисления полиномов.
Для вычислений особых индексов в алгоритме метода преобразований удобно применить матричную форму представления особых индексов.
Введем ленточную матрицу М: из единиц,
размерностью (т +1) х (2т + 2).
Mj =
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 11 110 0
0 0 11 110 0
0 0 0 0 0 0 0 0
Каждая строка матрицы представляет векторный индекс.
Для получения особых индексов для каждого 5 построим сумму ленточной матрицы М: из единиц и матрицы 1$ с 5 - столбцом из единиц:
Мт = М, +.
Для 5 = 2т +1 получим матрицу для определения особых индексов вида
--M, +
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
M, (2m+1) = M + j 2m+1 =
1 0" ' 0 0 0 0 ... 0 0 2 1
1 0 0 0 0 0 ... 1 1 1 0
1 0 0 0 1 1 ... 0 0 1 0
1 0 1 1 0 0 ... 0 0 1 0
В нерезонансном случае система (4) для вычис- следующий вид:
ления особых индексов (v1;
V2m+2) иМееТ
Im^! (n - n2 ) + ImA.3 (n3 - n4 ) + ... + 2m+1 (^m+1 - П2m+2 ) - Im, = 0
2m + 1.
| +! + ...+|т+2 = 2 3, 4; 5 = 1
Подстановка значений векторных индексов (строк матриц Мш) в систему уравнений для 5 = 1, . , 2да +1 доказывает правильность построения матричных форм определения особых индексов.
Каждая строка матрицы М1 (2т+1) представляет
особый векторный индекс.
С учетом того, что сумма особых индексов определяет степени мономов в преобразованной системе дифференциальных уравнений и равенства р1 = р 2 = р| = р22 = 1, в каждом дифференциальном уравнении преобразованной системы присутствуют только мономы первой и третьей степени от искомых переменных.
Методом преобразований система приводится к автономному виду. Для автономных дифференциальных уравнений решения асимптотически приближаются к стационарному состоянию. При
устойчивом стационарном состоянии малые отклонения не выводят систему из малой окрестности стационарного состояния. Для устойчивого стационарного состояния необходимо условие отрицательности вещественных частей характеристического уравнения.
Приведем теорему об определении стационарного состояния системы.
Теорема 1. При условии существования устойчивого стационарного состояния для системы т дифференциальных уравнений второго порядка в нерезонансном случае с малыми нелинейными частями в форме многочленов четвертых степеней существует система т линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами, полученная в результате многочленных преобразований, которая определяет стационарное состояние системы.
Доказательство. Представим доказательство ленными многочленами четвертой степени. для системы m нелинейных уравнений второго В случае отсутствия резонансов автономная порядка. преобразованная система (S) имеет следующую
Исследуем систему m уравнений второго по- форму: рядка с малыми нелинейными частями, представ-
P s = P s Rex s + ¿Re ( ql ) Рз
M=2
P s 0 s = XР3З3+"4
4 m+1 2 m+2 •
••• V2m+l '
s = 3,..., 2m +1;
P2 m+1 2 m+2
2m+l
Im ( qg ).
2 с
m
Для определения особых индексов запишем матричные формы при 5 = 3,..., 2т +1:
ti
M, (2m+l) = MI + 12m+l
Каждая строка матрицы представляет особый векторный индекс. Для суммы особых индексов
2т+2
выполняются равенства X | = 3 при уГ = |2 = 0,
I=3
2т+ 2
X | = 1 при | = V, = Г.
1=3
С учетом того, что сумма особых индексов определяет степени мономов в преобразованной системе дифференциальных уравнений и равенства
рг = р2 = рГ1 = р 22 = 1, в каждом уравнении преобразованной системы присутствуют только мономы первой и третьей степени от искомых переменных. Для определения стационарного решения разделим на р* первое уравнение (8), приравняем правые части к нулю, получим систему т алгебраических уравнений
ReX g + ¿Re ( qg ) P 3;
4... p
2 m+1 2 m+2
При делении на р* степени мономов понизились на единицу, и в уравнении присутствуют только мономы нулевой (свободные члены) и второй степени от искомых переменных.
р-1 = 0; 5 = 3,..., 2т +1.
Проведя квадратичную замену переменных г* = р*, получаем линейную систему т алгебраических уравнений 5 = 3,..., 2т +1 с вещественными коэффициентами вида
ReX s +
XRe ( qg ) /
v,-1
n,s ... r
2"+1 = O; s = 3
2m+l Л
2m +1.
er
P
В линейной системе алгебраических уравнений будут присутствовать только мономы нулевой и пер -вой степени в соответствии с равенствами для особых индексов: т = г3 + у5 + ...+ г* -1 + ...+ у2т+1, т = 1 при | = |2 = 0; т = 0 при | = |2 = 1.
Таким образом, теорема доказана и методом преобразований определена система линейных алгебраических уравнений.
Получив стационарные значения р*, из второго уравнения (8) определим 0*:
0s = t£Im (qg ) Ps'p!1+"2 ... р2»»+1+
s = 1,3,..., 2m +1.
Таким образом, определено стационарное решение для системы т дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейными частями в форме полиномов четвертых степеней в нерезонансном случае.
Оценка погрешностей решений
Представим оценку погрешностей решений, полученных методом преобразований. В работе Г. И. Мельникова [22] методом дифференциальных неравенств решается задача оценки погрешности решений, полученных методом преобразований.
Рассматривается метрика для определения пог-
п
решности р = Х| У б - У , где у*, у * - точное
í=i
Л и приближенное решение в окрестности § Н = {(у, у ) :|у | < Н, 5 = 1, п}, с одинако- систем дифференциальных уравнений с малой нелинейной частью в форме многочлена шестой сте-
Вычислительные эксперименты по решению тем дифференциальных уравнений с малой не-ейной частью в форме многочлена шестой степени методом преобразований показывают точ-
вым начальным значением (0) = у$ (0) = у0.
В работе Г. И. Мельникова получена оценка по- ность четвертого порядка при вычислении. грешности р < V (и) при К < Н , которая определена по теореме о дифференциальных неравенствах [22]. Погрешность оценивается функцией вида
Исследование устойчивости решения нелинейных динамических систем
Для автономных систем применимы теоремы
V (и) = 2е/ (и) \ит/(и )-2 ёи , где и - аргумент А М Ляпунова для решения задачи устойчивости
Г в линейном приближении [24]. Движение
функции оце;нки; е - малая величина; асимптотически устойчиво, если вещественные
т п части ЯеХ $ характеристического уравнения
/(и) = |>*и* + еит, & =ЁЕ1 р,\,рV - коэффи- Ве1 [112 + В1 + С] = 0 отрицательны.
циенты нелинейной правой части. Рассм°трим автономную систему с веществен-
Таким образом, определена оценка погрешнос- ными коэффициентами (8Х го^ет^ в результате многочленных преобразований:
р < 2ef (u)jumf (u)-2 du .
q'l exp
рS = рSReA.S +XpI-+n2... Р2ГГ2mRe П 1=2
где e (рS) - малая величина ошибки в методе пре-
лл
'I S02W (П2l-1 -n2l )-0S JJJ + e (Ps ) ; S = 3 .... m .
m
форму V = ^pS2, которая оценивается на проме-
образований.
Для преобразованной системы решение опре- S1
жутке 0 < V < H сверху:
делено в окрестности пространства
J = {рs :Ы < Js.s =3.....m} пРиt > 0. Исследуем непрерывную неотрицательную
5V
Ы < К (V);5 = 3т,
где кв (V) - ограниченные, непрерывные, неотрицательные возрастающие функции.
Определим производную по времени от V:
V = ^рр = 2Bps р s = 2TpS Re^ S + 2Бр s e ( Ps ) +
S = 1
S = 1
m k if
+2YjYPsP:+n2... P22m-r2"Re qSexp
S=1 I n 1=2
v
' I Y021 -1 (n2l-1 - n2l )- 0S
V V 1=1
Л0
//
(9)
Оценим компоненты в равенстве (9), учитывая Re^s < 0:
|Re^sI<x; Pse(ps)|<S; (Req^l<4; \imqvs\<4,
S02l-1 (П21 -1 -П21 )- 0S
VVI=1
- sin
S02l-1 (П21-1 -П21 )- 0S
где х >0, § >0, £ >0.
В результате получим дифференциальное нера- венство (10) имеет вид венство вида
В случае отсутствия резонансов тs = 1, и нера-
V <-2xV (р) + 2mS + 24XZpsTsPn- +n2... P22m-r2m , (10)
S =1 |V=2
где
V < ^ + 2т§ + РГ+V2... Р&Г1,2т.
X=1IV = 2
По теореме об устойчивости движения системы [22] пусть в {V < Н} с J решение V системы (9) удовлетворяет
V < О (V).
Пусть О определена, однозначна, кусочно-непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по
V, О(V)-о(V)|<кух -v2\ и о(0)>0, г>0.
Тогда все решения (9) с начальными значениями из {V < С0} при {0 < С0 < Н < Н} удовлетворяют
где С - решение уравнения сравнения С = О (С) с начальным условием С (0) = С0.
В случае отсутствия резонансов уравнение сравнения имеет вид
С = -2хС + 2m 5 + 2^С2
(12)
Запишем решение дифференциального уравнения (12):
V < C (t, C0 ) при 0 < t < T , (11)
C (t)= ^ (X + V4m5^ - X2tg 1 (2^4m5^ - X2 + V4m5^ - x2 C0 )
Подставив (13) в (11), получим:
2 с
m
(13) g
ti
Решение определено при выполнении неравенства Е, Ф 0.
V (t, Co )< ^|X W4m5^ - X2tg 1^4m5^ - x2 +yj4m5^ - x2C>)
(14)
Таким образом, построена оценка (14) окрест- площадку (т2). Она установлена на платформу (т3) ности системы, в которую входит любое решение для оборудования. Для виброзащиты рассматрива-
V (г, С0) с начальными значениями из {V < С0}.
Приложение метода преобразования для исследования математической модели виброзащитной системы
Проведено исследование полученной авторами математической модели виброзащитной системы для вышки управления полетами представленным
ется кабина управления. Между каждой массой установлены нелинейные амортизаторы и демпферы. Нелинейные характеристики аппроксимированы полиномами третьей степени. Предположим, что в результате воздействия внешних периодических сил основание совершает малые вертикальные колебания вида (г) = А^п (га/)+В^об (га/).
Размерности: га (с4), г (с), А, В (см). Введем обо-
методом. Модель вышки состоит из следующих компонентов: вышка, платформа основания, каби- значения к°°рдинат центра масс: * - кабины управ-
на управления, рабочая площадка, система управления. Исследуем упрощенную модель вышки, включающую кабину управления (тг), рабочую
ления, рабочей площадки, - платформы. Запишем приведенную нелинейную модель в форме
в*
P
Zl" (t) + bzl (Zl' (t) - Z2' (t)) + czl (Zl' (t) - Z2' (t))2 + dzl (zl (t) - Z2' (t ))3 + +kzl (Zl (t) - Z2 (t)) + lzl (Zl (t) - Z2 (t))2 + Pzl (Zl (t) - Z2 (t))3 = œj2 (AlSin (tol ) + BlCos (tol )) ;
Z2M (t) + bzl (z2 (t) - Zl' (t)) + bz2 (2' (t) - Z3' (t)) + czl (Zl' (t) - Z2' (t ))2 +
+ cz2 (Z2' (t) - Z3' (t))2 + dzl (z2 (t) - Zl' (t))3 + dz2 (z2' (t) - Z3' (t)) +
+ kzl (Z2 (t) - Zl (t)) + К2 (Z2 (t) - Z3 (t)) - lzl (Zl (t) - Z2 (t))2 + lz2 (Z2 (t)- Z3 (t))2 +
+ Pzl (Z2 (t) - Z1 (t))3 + Pz2 (Z2 (t) - Z3 (t))3 = œi2 (AlSin (tœl ) + B1C0S (tœl )) ;
Z3" (t) + bz2 (3' (t) - Z2' (t)) + bz3Z3' (t) + cz2 (Z2' (t) - Z3' (t))2 + + cz3z; (t)2 + dz2 (z; (t)- Z2' (t))3 + dz3Z± (t)3 + К2 (Z3 (t)- Z2 (t))- h2 (Z2 (t) - Z3 (t))2 + К3Z3 (t) + h3Z3 (t)2 + Pz2 (Z3 (t) - Z2 (t))3 +
+ Pz3z3 (t)3 = œ2 (Alsin (tœl ) + B'COs (tœl )),
F
где Zj, z2, z3 - относительные вертикальные коор- Здесь размерности для величин уравнений: динаты; k, l, p - приведенные к единице массы ко- z2, z3 (см) , b (c ), k (c )•
эффициенты жесткости; b, c, d - приведенные Посредством математического пакета программ к единице массы коэффициенты демпфирования. Mathematica при следующих коэффициентах представленным методом преобразований определен режим колебаний виброзащитной системы:
bzj = 0,098; czj = 0,009; dzj = 0,005; kzj = 0,545; lzj = 0,018, pzj = 0,009; bz2 = 0,097; cz2 = 0,002; dz2 = 0,005; kz2 = 0,491; lz2 = 0,0189; pz2 = 0,009; bz3 = 0,096; cz3 = 0,002; dz3 = 0,005, kz3 = 0,503; lz3 = 0,021; pz3 = 0,010.
Обозначим малые колебания основания: Методом многочленных преобразований найден 0,2sin(1,2t) + 0,3cos(1,2t) • установившийся полигармонический режим:
z1 =-0,1176 sin (1,2 t)+ 0,0001 sin (2,4 t)- 0,1919 cos (1,2 t)- 0,0171; z2 = -0,3845 sin (1,21) - 0,0004 sin (2,4 t) - 0,4192 cos (1,21) - 0,0002 cos (2,4 t) - 0,0135; z3 = -0,0937sin (1,2 t) + 0,0002 sin (2,4 t) - 0,4560cos (1,21) + 0,0006cos (2,4 t) - 0,0085. Решение в абсолютных координатах:
q1 = 0,0823 sin (1,2 t)+ 0,0001sin (2,4 t)+ 0,1081cos (1,2 t)-0,0171;
q2 = -0,1845sin (1,21) - 0,0004 sin (2,4 t) -0,1192 cos (1,2 t) -0,0002 cos(2,4 t) - 0,0135 ; q3 = 0,1063 sin (1,2 t) + 0,0002 sin (2,4 t) - 0,1560 cos (1,2 t) + 0,0006 cos (2,4 t) - 0,0085 .
Таким образом, исследованная численно-аналитическим методом преобразований виброзащитная модель эффективно снижает влияние внешних воздействий для вышки управления полетами.
Заключение
В работе решается научная задача разработки высокопроизводительного алгоритма численно-аналитического метода преобразований для исследования режимов эксплуатации нелинейных динамических систем. Нелинейности в исследуемых моделях представлены полиномами. В работе представлен метод преобразований для исследования нелинейных математических моделей. Приведены алгоритмические формулы метода для вычисления. Представлена общая матричная
форма для векторных индексов. Для экономичного вычисления правых частей полиномиальной структуры представлены формулы и предложено применить схему Пана с предварительной обработкой коэффициентов. Метод позволяет исследовать различные режимы динамики нелинейных моделей, например, определять такие экстремальные режимы, как резонанс, субгармонический, полигармонический режим. В качестве примера применения метода решена задача виброзащиты вышки управления полетами от внешних периодических воздействий. Решение, построенное методом преобразований, учитывает все нелинейные компоненты полиномов. Метод позволяет выполнять исследование динамики широкого круга нелинейных систем с необходимой точностью.
Список источников
1. Мельников В. Г. Преобразование динамических многочленных систем с применением аппроксимации Чебышева // Науч.-техн. вестн. информ. технологий, механики и оптики. 2012. № 4. С. 85-89.
2. Бодунов Н. М. Численно-аналитическое решение прикладных задач механики с применением полиноми-
альных базисных функции // Юж.-Сиб. науч. вестн. 2019. Т. 2. № 4 (28). С. 204-208.
3. Наимов А. Н., Кобилзода М. М. О разрешимости периодической задачи для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка // Изв. вузов. Математика. 2021. № 8. С. 56-65.
4. Булычев Ю. Г., Мельников А. В., Кондратов А. Г., Раду П. Ю. Численно-аналитическое описание и оценивание параметров многомерного динамического объекта при некорректных наблюдениях // Радиотехника. 2019. Т. 83. № 10. С. 11-16.
5. Титовцев А. С., Кирпичников А. П. Численно-аналитическое моделирование систем массового обслужи -вания поликомпонентных потоков // Математические методы в технике и технологиях: сб. тр. Междунар. науч. конф.: в 12 т. СПб.: Изд-во Политехи. ун-та, 2019. Т. 2. С. 80-84.
6. Бондаренко А. И., Воронова Э. Ю. Применение численно-аналитических методов для построения базисных функций конечных элементов // Соврем. приклад. исследования. 2020. С. 322-326.
7. Климина Л. А., Мастерова А. А., Самсонов В. А., Селюцкий Ю. Д. Численно-аналитический метод поиска авторотаций механической системы с двумя вращательными степенями свободы // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2021. Т. 56. № 3. С. 392-403.
8. Аптекарев А. И., Туляков Д. Н. Асимптотический базис решений q-рекурренraых соотношений вне зоны близких собственных значений // Препр. Ин-та приклад. математики им. М. В. Келдыша РАН. 2018. 24 с.
9. Галанин М. П., Конев С. А. Об одном численном методе решения обыкновенных дифференциальных уравнений // Препр. Ин-та приклад. математики им. М. В. Келдыша РАН. 2017. 28 с.
10. Троицкая А. В., Сазонов В. В. Периодические решения дифференциального уравнения второго порядка с большим параметром // Препр. Ин-та приклад. математики им. М. В. Келдыша РАН. 2018. № 71. 16 с.
11. Картавченко А. Е., Тархов Д. А. Сравнение методов построения приближенных аналитических решений дифференциальных уравнений на примере элементарных функций // Соврем. информац. технологии и ИТ-образование. 2017. Т. 13. № 3. С. 16-23.
12. Чье Е. У., Шеин А. Б. Особенности реализации алгоритмов анализа переходных процессов в динамических системах операторным методом // Информатика и системы управления. 2017. № 2. С. 131-135.
13. Брюно А. Д. О сложных разложениях решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2018. № 3. С. 346-364.
14. Петров Л. Ф. Поиск периодических решений су- a щественно нелинейных динамических систем // Журн. о вычисл. математики и мат. физики. 2018. № 3. С. 403-413. .
15. Горючкина И. В. Теорема о сходимости формаль- , ного решения ОДУ // Препр. Ин-та приклад. математики l им. М. В. Келдыша РАН. 2011. 16 с. |
16. Арушанян О. Б., Залеткин С. Ф. К теории вычис- У ления ортогонального разложения решения задачи Коши . для обыкновенных дифференциальных уравнений вто- . рого порядка // Вычисл. методы и программирование. с 2018. Т. 19. № 2. С. 178-184. i
17. Кудряшов Н. А. Метод логистической функции 1 для нахождения аналитических решений нелинейных g дифференциальных уравнений // Моделирование и ана- tf лиз информационных систем. 2015. Т. 22. № 1. С. 23-37. g'
18. Melnikov G. I., Dudarenko N. A., Malykh K. S., g Ivanova L. N., Melnikov V. G. Mathematical Models of Non- s linear Oscillations of Mechanical Systems with Several De- | grees of Freedom // Nonlinear Dynamics and Systems Theo- g. ry. IET - 2017. V. 17. N. 4. P. 369-375. §
19. Melnikov V. G, Melnikov G. I, Malykh K. S, | Dudarenko N. A. Poincare-Dulac method with Chebyshev o economization in autonomous mechanical systems simulation f problem // 2015 International Conference on Mechanics - n Seventh Polyakhov's Reading (St. Petersburg, 02-06 February y 2015 г.). Saint-Petersburg, 2015. P. 7106757. g-
20. Булычев Ю. Г., Мельников А. В. Численно-ана- в литический метод исследования поведения динамиче- nli ской системы по результатам некорректных наблюдений a без расширения пространства состояний // Журн. вы- | числ. математики и мат. физики. 2019. Т. 59. № 6. ^ С. 937-950. з
21. Иванов С. Е. Алгоритмическая реализация метода c исследования нелинейных динамических систем // lm Науч.-техн. вестн. информ. технологий, механики и оп- d тики. 2012. № 4 (80). С. 90-92. s
22. Мельников Г. И. Динамика нелинейных механи- it ческих и электромеханических систем. Л.: Машиностро- p
ение, 1975. 198 с. y
n
23. Пан В. Я. О способах вычисления значений мно- °
в
гочленов // Успехи мат. наук. 1966. Т. 21. № 1 (127). l
С. 103-134. I
24. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости u движения. М.: Наука, 1987. 304 c. e
References
1. Mel'nikov V. G. Preobrazovanie dinamicheskikh mnogochlennykh sistem s primeneniem approksimatsii Che-bysheva [Transformation of dynamic polynomial systems using Chebyshev approximation]. Nauchno-tekhnicheskii vestnik informatsionnykh tekhnologii, mekhaniki i optiki, 2012, no. 4, pp. 85-89.
2. Bodunov N. M. Chislenno-analiticheskoe reshenie prikladnykh zadach mekhaniki s primeneniem polinomi-al'nykh bazisnykh funktsii [Numerical-analytical solution of applied problems of mechanics by using polynomial basis functions]. Iuzhno-Sibirskii nauchnyi vestnik, 2019, vol. 2, no. 4 (28), pp. 204-208.
3. Naimov A. N., Kobilzoda M. M. O razreshimosti pe-riodicheskoi zadachi dlia nelineinogo obyknovennogo dif-ferentsial'nogo uravneniia vtorogo poriadka [On solvability
of periodic problem for second-order nonlinear ordinary differential equation]. Izvestiia vuzov. Matematika, 2021, no. 8, pp. 56-65.
4. Bulychev Iu. G., Mel'nikov A. V., Kondrashov A. G., Radu P. Iu. Chislenno-analiticheskoe opisanie i otsenivanie parametrov mnogomernogo dinamicheskogo ob"ekta pri nekorrektnykh nabliudeniiakh [Numerical-analytical description and estimation of parameters of multidimensional dynamical object after incorrect observations]. Radiotekhnika, 2019, vol. 83, no. 10, pp. 11-16.
5. Titovtsev A. S., Kirpichnikov A. P. Chislenno-ana-liticheskoe modelirovanie sistem massovogo obsluzhivaniia polikomponentnykh potokov [Numerical-analytical modeling of queuing systems for multicomponent flows]. Matematiches-kie metody v tekhnike i tekhnologiiakh: sbornik trudov
s Mezhdunarodnoi nauchnoi konferentsii: v 12 t. Saint-Pe-| tersburg, Izd-vo Politekhn. un-ta, 2019. Vol. 2. Pp. 80-84. £ 6. Bondarenko A. I., Voronova E. Iu. Primenenie § chislenno-analiticheskikh metodov dlia postroeniia baI zisnykh funktsii konechnykh elementov [Applying numeric cal-analytical methods for constructing basis functions o of finite elements]. Sovremennye prikladnye issledovaniia, £ 2020, pp. 322-326.
¡5 7. Klimina L. A., Masterova A. A., Samsonov V. A., Se-g liutskii Iu. D. Chislenno-analiticheskii metod poiska avtoro-® tatsii mekhanicheskoi sistemy s dvumia vrashchatel'nymi | stepeniami svobody [Numerical analytical method of search-f ing for autorotations of mechanical system with two rota-g tional degrees of freedom]. Izvestiia RAN. Mekhanika tver-| dogo tela, 2021, vol. 56, no. 3, pp. 392-403. s 8. Aptekarev A. I., Tuliakov D. N. Asimptoticheskii ba-£ zis reshenii q-rekurrentnykh sootnoshenii vne zony blizkikh is sobstvennykh znachenii [Asymptotic basis for solutions ^ of q-recurrence relations outside zone of close eigenvalues]. g Preprinty Instituta prikladnoi matematiki im. M. V. Keldysha >'. RAN, 2018. 24 p.
ra 9. Galanin M. P., Konev S. A. Ob odnom chislennom ra
n metode resheniia obyknovennykh differentsial'nykh uravne-nii [On numerical method for solving ordinary differential o equations]. Preprinty Instituta prikladnoi matematiki im. o M. V. Keldysha RAN, 2017. 28 p.
S 10. Troitskaia A. V., Sazonov V. V. Periodicheskie reS sheniia differentsial'nogo uravneniia vtorogo poriadka s bol'shim parametrom [Periodic solutions of second-order ® differential equation with large parameter]. Preprinty Instig tuta prikladnoi matematiki im. M. V. Keldysha RAN, 2018, m no. 71, 16 p.
11. Kartavchenko A. E., Tarkhov D. A. Sravnenie metodov postroeniia priblizhennykh analiticheskikh resh-enii differentsial'nykh uravnenii na primere elementarnykh funktsii [Comparison of methods for constructing approximate analytical solutions of differential equations on example of elementary functions]. Sovremennye infor-matsionnye tekhnologii i IT-obrazovanie, 2017, vol. 13, no. 3, pp. 16-23.
12. Ch'e E. U., Shein A. B. Osobennosti realizatsii algo-ritmov analiza perekhodnykh protsessov v dinamicheskikh sistemakh operatornym metodom [Characteristics of implementing algorithms for analysis of transient processes in dynamic systems by operator method]. Informatika i sistemy upravleniia, 2017, no. 2, pp. 131-135.
13. Briuno A. D. O slozhnykh razlozheniiakh reshenii obyknovennykh differentsial'nykh uravnenii [On complex expansions of solutions of ordinary differential equations]. Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki, 2018, no. 3, pp. 346-364.
14. Petrov L. F. Poisk periodicheskikh reshenii sushchestvenno nelineinykh dinamicheskikh sistem [Search for periodic solutions of essentially non-linear dynamical
systems]. Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematich-eskoi fiziki, 2018, no. 3, pp. 403-413.
15. Goriuchkina I. V. Teorema o skhodimosti for-mal'nogo resheniia ODU [Theorem on convergence of formal solution of ODE]. Preprinty Instituta prikladnoi ma-tematiki im. M. V. Keldysha RAN, 2011, 16 p.
16. Arushanian O. B., Zaletkin S. F. K teorii vychisleniia ortogonal'nogo razlozheniia resheniia zadachi Koshi dlia obyknovennykh differentsial'nykh uravnenii vtorogo poriad-ka [On theory of calculating orthogonal expansion of solution of Cauchy problem for second-order ordinary differential equations]. Vychislitel'nye metody i programmirovanie, 2018, vol. 19, no. 2, pp. 178-184.
17. Kudriashov N. A. Metod logisticheskoi funktsii dlia nakhozhdeniia analiticheskikh reshenii nelineinykh differ-entsial'nykh uravnenii [Logistic function method for finding analytical solutions to nonlinear differential equations]. Modelirovanie i analiz informatsionnykh sistem, 2015, vol. 22, no. 1, pp. 23-37.
18. Melnikov G. I., Dudarenko N. A., Malykh K. S., Ivanova L. N., Melnikov V. G. Mathematical Models of Nonlinear Oscillations of Mechanical Systems with Several Degrees of Freedom. Nonlinear Dynamics and Systems Theory. IET - 2017, vol. 17, no. 4, pp. 369-375.
19. Melnikov V. G., Melnikov G. I., Malykh K. S., Dudarenko N. A. Poincare-Dulac method with Chebyshev economization in autonomous mechanical systems simulation problem. 2015 International Conference on Mechanics - Seventh Polyakhov's Reading (St. Petersburg, 02-06 February 2015 g.). Saint-Petersburg, 2015. P. 7106757.
20. Bulychev Iu. G., Mel'nikov A. V. Chislenno-ana-liticheskii metod issledovaniia povedeniia dinamicheskoi sistemy po rezul'tatam nekorrektnykh nabliudenii bez ras-shireniia prostranstva sostoianii [Numerical-analytical method for studying behavior of dynamical system based on results of incorrect observations without expanding state space]. Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki, 2019, vol. 59, no. 6, pp. 937-950.
21. Ivanov S. E. Algoritmicheskaia realizatsiia metoda issledovaniia nelineinykh dinamicheskikh sistem [Algorithmic implementation of method for studying nonlinear dynamic systems]. Nauchno-tekhnicheskii vestnik infor-matsionnykh tekhnologii, mekhaniki i optiki, 2012, no. 4 (80), pp. 90-92.
22. Mel'nikov G. I. Dinamika nelineinykh mekhani-cheskikh i elektromekhanicheskikh sistem [Dynamics of nonlinear mechanical and electromechanical systems]. Leningrad Mashinostroenie Publ., 1975. 198 p.
23. Pan V. Ia. O sposobakh vychisleniia znachenii mnogochlenov [On methods for calculating values of polynomials]. Uspekhi matematicheskikh nauk, 1966, vol. 21, no. 1 (127), pp. 103-134.
24. Merkin D. R. Vvedenie v teoriiu ustoichivosti dvizhe-niia [Introduction to theory of motion stability]. Moscow, Nauka Publ., 1987. 304 p.
Статья поступила в редакцию 26.01.2022; одобрена после рецензирования 10.03.2022; принята к публикации 08.04.2022 The article is submitted 26.01.2022; approved after reviewing 10.03.2022; accepted for publication 08.04.2022
Информация об авторах I Information about the authors
Сергей Евгеньевич Иванов - кандидат физико-математических наук, доцент; доцент факультета инфо-коммуникационных технологий; Национальный исследовательский университет ИТМО; Serg_ie@mail.ru
Андрей Дмитриевич Телевной - аспирант факультета инфокоммуникационных технологий; Национальный исследовательский университет ИТМО; adtelev@mail.ru
Sergei E. Ivanov — Candidate of Physics and Mathematics, Assistant Professor; Assistant Professor of the Department of Information and Communication Technologies; ITMO University; Serg_ie@mail.ru
Andrey D. Televnoy — Postgraduate Student of the Department of Information and Communication Technologies; ITMO University; adtelev@mail.ru
2
u
m
i
er p
