CC BY
68
УДК 621.313
А. А. АФАНАСЬЕВ, В.В. ЕФИМОВ
ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИНДУКТОРНОГО ЭЛЕКТРОГЕНЕРАТОРА С КОМБИНИРОВАННЫМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ
Ключевые слова: скалярный магнитный потенциал, постоянные магниты, расчет-
ная область, элементарные участки, дифференциальные индуктивности.
Рассматриваются подходы и результаты математического моделирования индукторного одноименно-полюсного генератора автотракторного назначения с электромагнитным и магнитоэлектрическим возбуждением, питающим через выпрямитель аккумуляторную батарею. На основе расчета магнитного поля анализируются рабочие свойства генератора.
A.A. AFANAS’EV, V.V. EFIMOV NUMERAL ANALYTICAL MODEL OF INDUCTOR GENERATOR WITH COMBINATION EXCITATION
Keywords: scalar magnetic potential, permanent magnets, calculated area, elementary sectors, incremental inductance.
It is examined the methods and results of mathematical modeling of inductor homopolar generator for tractor and autos with electromagnetic and permanent magnet excitation. In the model the generator supplies accumulator battery via rectifier. On the basis of magnetic field calculation it is analyzed operating characteristics of generator.
Постановка задачи. Индукторные генераторы находят широкое применение в автономном электроснабжении благодаря бесконтактности исполнения, простоте конструкции безобмоточного ротора и достаточно большому диапазону регулирования выходного напряжения.
В автотракторном электрооборудовании применяются 3-^7-фазные генераторы индукторного типа с обмоткой возбуждения на подшипниковом щите, диодным выпрямительным мостом и транзисторным регулятором напряжения. Их мощность при номинальных частотах вращения (обычно 3-5 тыс. об ./мин) составляет от нескольких сотен до нескольких тысяч ватт. Генераторы, соответствующие нижним значениям этого диапазона мощностей, обычно выполняются 3-фазными, более мощные - 5^7-фазными.
Для увеличения размаха колебаний магнитного потока в зубцах статора в пазы ротора помещают ферритовые магниты, намагниченные встречно одноименно полюсному магнитному потоку обмотки возбуждения (рис. 1).
Рис. 1. Поперечная геометрия индукторного генератора с комбинированным возбуждением
Полевая математическая модель индукторного генератора с комбинированным возбуждением (ИГКВ) может быть разработана в гибридном исполнении. В активной зоне ИГКВ, состоящей из статорного сердечника с зубцовыми катушками и роторного сердечника с магнитами и валом, магнитное поле плоскопараллельно
и г - Р = I в ^в .
В основу математической модели этой зоны (зоны I) может быть положен метод сопряжения конформных отображений [1], являющийся одной из разновидностей метода граничных элементов [2].
Магнитное поле (МП) в торцевой зоне (рис. 2) генератора (зоне II), включающей подшипниковый щит с обмоткой возбуждения, подщитовую камеру, вал, воздушный зазор между валом и щитом, является осесимметричным. Математическая модель этой зоны может быть реализована на основе метода разделения переменных Фурье [3].
В результате расчёта МП в зоне II определяется скалярный магнитный потенциал наружной поверхности статорного сердечника, являющийся одним из источников МП в зоне I.
Преобразование энергии в генераторе происходит в зоне I, поэтому оптимизация функциональных свойств ИГКВ должна производиться в первую очередь с помощью математической модели этой зоны. II зона играет вспомогательную роль, заключающуюся в подводе магнитного потока к активной зоне (в сообщении наружной границе зоны I магнитного потенциала Vг, близкого к МДС обмотки возбуждения)
Расчёт магнитного поля активной зоны. Произведём расчет МП в зоне I применительно к трехфазному генератору фирмы «Электром» (г. Чебоксары) типа Г700 с мощностью 700 Вт, скоростью вращения 5000 об./мин, числом зубцов статора = 9, ротора - X2 = 6 . Сердечники статора и ротора выполнены из электротехнической стали 1211 толщиной 1 мм. Магниты ротора - феррит-стронцевые типа 27 СА 220 с остаточной индукцией Вк = 0,38 Тл. Номинальные выпрямленные ток и напряжение 50 А и 14 В.
Расчетная область этого генератора, соответствующая пространственному периоду магнитного поля, состоящему из участков двух соседних магнитных полюсов, показана на рис. 1 в виде жирно очерченного сектора ОВ¥ с центральным углом в 120°.
Скалярный магнитный потенциал дуги В¥ считаем заданным, равным МДС обмоток возбуждения и демпферной1:
¥ = I ж +I ж
в в в д д •
Падение магнитного напряжения на потокоподводящих путях зоны II будет моделироваться эквивалентным воздушным зазором 5 э между дугой В¥ (рис.1) и наружным краем статорного сердечника. Расчёт этого зазора
5э приводится ниже.
Расчетная область разбивается на 81 элементарный участок (ЭУ) (рис. 3) с общим числом точек наблюдения (расчетных точек) на их границах, равным 1512. 30 ЭУ (42-45, 47-50, 52-55, 58, 59, 62, 63, 66-67, 69-80) относятся к сердечнику статора, 28 (1-21, 25, 26, 30, 31, 33, 34, 36) - к сердечнику ротора, 1 -к валу, 2 (23, 28) - к магнитам, 6 (57, 60, 61, 64, 65, 68) - к проводникам обмотки статора, 14 - к воздушной среде.
Рис. 3. Расчетная область
В пределах каждого ферромагнитного ЭУ магнитная проницаемость среды принимается постоянной (ее конкретное значение уточняется в ходе расчета итерационной процедурой).
Для счетных точек ] (] = 1, 2, к N ) каждого /-го ЭУ связь между составляющими напряженности МП (нормальной и тангенциальной 'Ит;-)
1 Демпферная обмотка будет моделировать действие вихревых токов, наводимых в массивных ферромагнитных средах зоны II.
и скалярным магнитным потенциалом ' и(при кусочно-постоянной аппроксимации последнего) выражается уравнениями [1]:
(-1) ^ (
Рк— р1 рк+1— р1)
(1)
И = ('и2И ' и2т-1 )/ % , (2)
где 'Я(0 - правая часть дифференциального уравнения Шварца, задающая конформное соответствие верхней полуплоскости и /-го ЭУ в плоскости г; рк, - образы точек границ ЭУ на вещественной оси плоскости /, соответ-
ствующие концам счетных интервалов рк и счетным точкам (точкам наблюдения) внутри их р 1; т = [(1 + п — 1)/ п] - целая часть числа; п = N/4 - количество счетных точек одной стороны четырехугольного ЭУ; 7;- - расстояние между 1-й и 1+1-й счетными точками одной стороны границы /-го ЭУ.
Формулы (1) и (2) устанавливают зависимость напряженности магнитного поля от скалярного магнитного потенциала в граничных точках /-го ЭУ.
Для общих точек q (q е т) границы двух ЭУ с номерами { и к справедливо
'ВпЧ + кБпЧ = 0. (3)
Распространив равенство (3) на все множество т, учитывая краевые условия первого и второго рода, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестного вектора скалярного магнитного потенциала и = [ и2 ... ид ] , имеющую вид:
Л(цг )и = Е , (4)
где Л(Цг ) - квадратная матрица размером 2 ; ц г - матрица-столбец относительной магнитной проницаемости ЭУ размером N (N - число ЭУ); Е -матрица-столбец размером 2 .
Ненулевые элементы матрицы-столбца Е представлены: значениями СМП тех счетных точек, в которых задано краевое условие первого рода; нормальными составляющими напряженности магнитного поля, заданными как краевое условие второго рода; нормальными составляющими остаточного намагничивания магнитов; нормальными составляющими напряженности дополнительного поля в вихревых зонах; значениями скачка СМП в тех счетных точках, через которые проходят магнитные листы.
Ненулевые элементы матрицы Л зависят от относительной магнитной проницаемости ЭУ. Магнитная проницаемость, в свою очередь, зависит от напряженности магнитного поля в этих участках, а значит, и от численных значений СМП расчетных точек:
Ц г = Ц г (и). (5)
Следовательно, при итерационном способе решения уравнения (4) коэффициенты матрицы А корректируют с учетом (5).
На рис. 4 показано распределение нормальной составляющей магнитной индукции на окружностях воздушного зазора, проходящих через наружные поверхности зубцов статора (кривая 1) и зубцов ротора (кривая 2).
Б .Тл
п
Рис. 4. Нормальные составляющие магнитной индукции на окружностях воздушного зазора, проходящих через наружные поверхности зубцов статора (кривая 1) и зубцов ротора (кривая 2)
Расчет падения магнитного напряжения в токопроводящих путях зоны II. Вычислим падения напряжения отдельных участков магнитной цепи в торцевой зоне (зоне II) генератора (рис. 2):
Магнитный поток во втулке ротора
Фвт = 3 Фрасч. обл = 3(Е V, ) , (6)
где Вп, - нормальная составляющая магнитной индукции в ,-х точках наблюдения, находящихся на дуге окружности нижнего берега воздушного зазора между радиальными границами расчетной области ОВ и 0¥ .
При известном значении магнитного потока (6) несложно рассчитать [4] магнитные напряжения отдельных участков зоны II: ¥51 - падение магнитного напряжения в стыке между втулкой и пакетом ротора; ¥5 2 - падение магнитного напряжения в воздушном зазоре между втулкой ротора и фланцем обмотки возбуждения; ¥53 - падение магнитного напряжения в стыке подшипникового щита и пакета статора; ¥5 4 - падение магнитного напряжения в стыке подшипникового щита и фланца обмотки возбуждения;
^вт - падение магнитного напряжения в роторной втулке; - падение
магнитного напряжения в цилиндрической части подшипникового щита; ¥щ - падение магнитного напряжения в торцевой части подшипникового
щита и суммарное падение магнитного напряжения в магнитной цепи зоны II
РзІІ = + К + ^ +Е ^5к .
(7)
к=1
Нахождение суммы (7) является в некотором смысле элементом расчета трехмерного МП индукторного генератора. При известном значении (7) можно определить эквивалентный воздушный зазор между дугой Б¥ (рис.1) и наружным краем статорного сердечника
5 э =
Ц 0 В ст Р.зІІ
Ф,
(8)
где Вст = п Ост I - наружная поверхность статорного сердечника, и тем самым свести расчет МП генератора к решению плоской полевой задачи.
Расчет напряжений и токов генератора. Для напряжений фаз, обмоток возбуждения и эквивалентной короткозамкнутой справедливы уравнения
тт ^ •
и =-----------------+ Г1,
6і
(9)
где
1 = ГА 1В 1С 1 / 13
Г =
'в
0
0
0
0
0
гс
0
0
0
0
0
г/
0
Учитывая, что потокосцепления обмоток зависят от их токов и углового положения ротора 9
'¥ = '¥(
г а гв гс г / гз
будем иметь
^ аі &¥ да т аі -
------=---------------+---------------= Ь— + хРй „ ,
а? ді аі а? аі
где
0
г
А
г
3
ГдИА д^А д^А д^А д^А ]
діА дів ^C діГ дiэ
дИв дИв дИв дИв дИв
L= діА дів дic дif дiэ - к
дИэ дИэ дИэ дИэ дИэ
_ діА дів дic дif дiэ _ И = дИ
- квадратная матрица размером 5;
дЗ
дЗ
ю p = —
p дt
В результате уравнению (9) можно придать вид
L — = _'Pю p _ ri _ U .
dt p
(11)
Трехфазная обмотка статора генератора подключена через диодный выпрямитель к нагрузке. В качестве нагрузки будем рассматривать аккумуляторную батарею. Диоды мостовой выпрямительной схемы представляем в виде нелинейных резисторов R * (у = 1,2,к,6), сопротивления которых равны
R в = R
min,если ив = R> 0;
ив < 0.
(12)
'max , еСЛИ
Расчетной схеме с фазными обмотками, выпрямителем и его нагрузкой отвечают следующие уравнения:
іП = і 2 + і4 + і6
iC = і5 і2 , iA + iB + iC = 0 ,
RBi'B _ Rtf + R474 _ R^ = 0,
_ r^I + R^ _ R^ + RX = 0
Un = Rin + E,
Ua _ Ub = Rtf _ R^ ,
Ub _ Uc = RBiB _ R5i5, RBi'B + RBi'B + Rin =_ E,
Uk =_-
dPk
dt
_ rkik, (k = A, B, C, f, э),
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
где иП, ?п - напряжение и ток на выходе выпрямителя; Я - внутреннее сопротивление аккумуляторной батареи.
lA~ i1 i4
iB i3 i6
Видим, что для нахождения 16 неизвестных (гк (к = А,В,С,/,э ), гВ (j = 1,2, к 6), гП, ип , иА, ив, ис) имеем 16 уравнений (13)-(24).
Представим эти уравнения в виде, удобном для численного решения. Для чего элементы матрицы Ь , её строки и элементы столбца Т обозначим соответственно в виде
Ьг] (г, j = 1,2,к5),
Ьк = ^ ьк2 ... ьк5 ],
Т к (к = А, В, С, /, э).
Кроме того, разности первых трех строк матрицы Ь будем обозначать
- ЬЛ + ЬБ = ЬЛБ =
- ьБ + ьС = ьБС =
тЛБ тЛБ тЛБ
ь2 ...
тБС тБС тБС
ь2 ...
Тогда дифференциальные уравнения (21), (22) с учетом (10), (17), (24) получат, после несложных преобразований, следующий вид
( - 1ЛБ ) + - ЬЛъБ )&Б + ьАБ<^ + ьл5б =
& & & &
= (Фл - Фб )» р + ^Л і Л - ГбІб + *1^ ^/зв, (25)
( - 1в с ) + (1вс - 1БС ) + 1вс &/_ + ьвс =
& & & &
= (фБ - ФС )® р + ГБіБ + ГС (іЛ + іБ ) + ^зХ - ^5і5 • (26)
Двум последним уравнениям (24), выражающим равновесие напряжений обмоток возбуждения и короткозамкнутой, после аналогичных преобразований можно придать форму
( - Ц ) + (^ - Ц )^ = иї - Фг ш р - , (27)
& & & &
( -^) + (хз -хз)&7в + хз &/ + хз = -,фэшр - гэ7э • (28)
& & & &
К дифференциальным уравнениям (25)-(28) следует присоединить уравнения механического равновесия ротора генератора
J-JL = Мпр - М , (29)
&
(30)
— = ш р, (30)
&
где J - момент сил инерции всех вращающихся частей, связанных с ротором генератора; М пр - момент приводного двигателя генератора.
Токи іЛ , іБ , і^, /э , вычисляемые в результате решения дифференциальных уравнений (25)-(28), назовем независимыми. Токи і® (] = 1,2,. 6),
/П, 1С будут зависеть от токов \А и \в и ЭДС аккумуляторной батареи Е . Действительно из равенств (13)-(19), (23) можем получить линейное уравнение
(31)
где
А =
А I = Г,
Е = [( } іА іВ 0 (іА + іВ ) 0 0 -£ ] г,
I = [і1в І2 к І6 іП іс Г
0 1 0 1 0 1 -1 0
1 0 0 -1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 -1 0 0
0 -1 0 0 1 0 0 -1
0 0 0 0 0 0 0 -1
Яів 0 - Язв Я4 0 - Ябв 0 0
0 - я2в Яз 0 - Я^ Ябв 0 0
0 я2в 0 0 яв 0 я 0
Таким образом, токи ів (] = 1,2, к 6), фигурирующие в правых частях
дифференциальных уравнений (ДУ) (25), (26), вычисляются из уравнения (31) на каждом шаге интегрирования ДУ.
Одновременно при интегрировании ДУ (25)-(30) с помощью уравнения
(31) вычисляются компоненты вектора ив - напряжения резисторов, моделирующих диодные вентили:
где
(32)
Яв
я,в
0
Я2
Я6
Фиксируя на каждом шаге интегрирования ДУ знаки напряжений ив (у = 1,2,к6), можем с помощью неравенств (12) определить текущие значения сопротивлений
я в =
ят
ят
Некоторые результаты решения ДУ иллюстрируются следующими расчетными и опытными осциллограммами (рис. 5-7).
в
0
•20 і------------1---------------1--------------1--------------1--------------1--------------
0 20 40 60 80 100 120
Угол поворота ротора Э, ° Рис.5. Линейные напряжения (- иАВ, ••• иВс, — иСА) и выходное напряжение выпрямителя — иП
Рис.6. Расчетная ЭДС обмотки фазы В статора в режиме холостого хода (пунктирной линией показаны экспериментальные данные)
Рис.7. Фазные токи (-1А, ••• 1В, — 1С) и нагрузочный ток на выходе выпрямителя — г'П
Литература
1. Афанасьев А.А. К расчету плоскопараллельных полей в нелинейных средах / А.А. Афанасьев, А.Н. Воробьев // Изв. РАН. Сер. Энергетика, 1992. № 2. С. 77-91.
2. Власова Е.А. Приближенные методы математической физики / Е.А. Власова, В.С. Зарубин, Г.Н. Кувыркин. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. 700 с.
3. Афанасьев А.А. Расчет двухмерных магнитных полей в нелинейных средах методом разделения переменных / А.А. Афанасьев, В.В. Ефимов, А.В. Николаев, Л.М. Поляков, С.А. Тогузов // Труды Академии электротехнических наук Чувашской Республики. 2002. № 1. С. 65-72.
4. Балагуров В.А. Проектирование специальных электрических машин переменного тока / В.А. Балагуров. М.: Высшая школа, 1982. 272 с.
АФАНАСЬЕВ АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ родился в 1939 г. Окончил Московский энергетический институт. Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой управления и информатики в технических системах Чувашского государственного университета, член-корреспондент Российской академии электротехнических наук. Область научных интересов - электромеханика и электропривод. Автор более 140 научных работ, в том числе 3 монографий и 12 свидетельств и патентов на изобретения в области электромеханики и электропривода.
ЕФИМОВ ВЯЧЕСЛАВ ВАЛЕРЬЕВИЧ родился в 1978 г. Окончил Чувашский государственный университет. Область научных интересов - электромеханика и информатика. Автор более 10 научных работ.
