Численная схема на основе комбинированного подхода sph-tvd: проблема моделирования сдвиговых течений Текст научной статьи по специальности «Физика»

© Писарев А.В., Храпов С.С., Хоперсков А.В., 2011

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 519.633 ББК 22.25

ЧИСЛЕННАЯ СХЕМА НА ОСНОВЕ КОМБИНИРОВАННОГО ПОДХОДА SPH-TVD: ПРОБЛЕМА МОДЕЛИРОВАНИЯ СДВИГОВЫХ ТЕЧЕНИЙ 1

А.В. Писарев, С.С. Храпов, А.В. Хоперсков

Обсуждается проблема численного моделирования сдвиговых течений, допускающих развитие неустойчивости Кельвина - Гельмгольца. Для модели мелкой воды показано, что численный алгоритм cSPH-TVD (комбинированный SPH-TVD) адекватно описывает динамику неустойчивости тангенциального разрыва.

Ключевые слова: численные методы, гибридные методы, гиперболические уравнения, неустойчивость Кельвина - Гельмгольца, гидродинамика.

Введение

Особые требования к численным алгоритмам возникают при моделировании сдвиговых неустойчивостей, которые возникают при изучении самых различных физических объектов и явлений [5; 6; 9-11]. Наиболее трудными представляются системы, допускающие развитие сверхотражения при наличии большого числа неустойчивых мод с близкими значениями инкрементов [7], а также, когда ширина переходной зоны сопоставима с длиной возмущения [3; 6].

Для численного интегрирования уравнений гидродинамики используют два основных подхода. Первый основан на самых различных сеточных методах [2], в основе которых лежит задание сетки, в узлах которой рассчитываются значения величин. Второй, лагранжевый подход, отличается тем, что все физические величины определяются динамическими частицами, на которые разбивается непрерывная среда [12]. Наиболее эффективным представляется метод Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH). Стандартная версия SPH-алгоритма обладает недостатком, связанным с невозможностью описания неустойчивости Кельвина - Гельмгольца. Этот эффект наглядно проявляется даже при моделировании распада произвольного скачка давления в одномерном приближении, когда не удается адекватно рассчитывать контактный разрыв.

В работе [8] был предложен новый численный метод, основанный на совместном использовании SPH- и TVD-алгоритмов (cSPH-TVD). В данной работе обсуждается вопрос о возможно-

сти применения cSPH-TVD для моделирования неустойчивых сдвиговых течений на примере укороченных уравнений гидродинамики в рамках модели мелкой воды.

Моделирование неустойчивости Кельвина - Гельмгольца

Будем исходить из простой двумерной модели, определяемой системой уравнений Сен-Венана:

O- + O-(hux) + ^-(huy )= ° (1)

Ot Ox Oy

Oux Oux dux Oh

—- + ux—- + uy—- = g—, (2)

Ot Ox Oy Ox

Ouy Ouy Ouy Oh

—- + u —- + u —- = g—, (3)

Ot x Ox y Oy Oy

где h(x, y, t) - толщина слоя жидкости; ux(x, y, t), uy(x, y, t) - компоненты скорости; g - ускорение

свободного падения. Будем использовать численный метод интегрирования, подробно описанный в работе [8]. Процедура численного интегрирования системы уравнений (1)-(3) разбита на четыре этапа:

1) В начале расчетного цикла (момент времени t) «жидкие» частицы находятся в центрах эйлеровых ячеек. Используя алгоритм Smooth Particle Hydrodynamics, определяем изменения интегральных значений объемов, импульсов жидких частиц и их положения внутри ячеек.

2) На втором этапе рассчитываем потоки массы и импульса через границы эйлеровых ячеек в момент времени tn+1/2, основываясь на модифицированном TVD-подходе и решении задачи Римана.

3) Производим расчет изменений интегральных параметров жидких частиц, связанных с потоками через границы эйлеровых ячеек.

4) На заключительном этапе помещаем частицы в центры ячеек.

В численной модели в качестве единиц измерения выберем единицы системы СИ (метр, секунда) и считаем g = 9,81 м/с2. Размер расчетной области составляет 400 х 400 ячеек, площадь ячейки h2 = 6,25 (h = 2,5). Линейный размер расчетной области равен L = 1 000. В качестве начальных условий примем:

Г й-ТЖ/2, V <о ' 0 {-FrJHJ 2, V > о'

Н 0 = 1, и0 =\ и , =

0 0 ' ГГ7Т0/2, V > 0 0

где Fr - число Фруда.

Результаты расчетов представлены на рисунках 1 и 2 для значения Fr = 1. Возмущение задавалось в виде

~ [ єи0^іп(2пп / L), | у |< h

У |0 , 1 у < 1а ,

где є = 10-4 - относительная амплитуда начального возмущения; п = 2 - число длин волн в интервале от -Ь/2 до Ь/2.

Четко выделяются характерные стадии развития неустойчивости тангенциального разрыва скорости на мелкой воде:

- Формирование собственной моды (этап А), когда происходит перестройка начального возмущения в собственную моду без нарастания амплитуды.

- На линейной стадии (этап В) развития неустойчивости рост возмущений следует экспоненциальному закону. Относительная амплитуда волны нарастает до 1-2 % по закону <х ех р^ /т) с і = 109 с для параметров течения, изображенного на рисунке 1.

-Далее начинается нелинейная стадия развития неустойчивости (этап С), когда наступает «насыщение» амплитуды возмущений. Формируются характерные вихревые структуры (см. рис. 2), аналогичные тем, что наблюдаются при развитии неустойчивости тангенциального разрыва в газе [1].

ю1

\ 10" 103

10

1—1—1 , 1 . , —1—1 1 1 |_ —1 1 1 1 1 1 1

• /

А • у с

і / \ А Л ч / Ч / 1 1 1 в 1 1 1 1 I I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

О 500 1000 1500 2000

/

Рис. 1. Зависимость максимальной (сплошная линия) и минимальной (штриховая линия) амплитуд возмущений глубины (Н) от времени. Латинскими буквами А, В, С обозначены стадии развития неустойчивости тангенциального разрыва скорости

Рис. 2. Нелинейная стадия развития неустойчивости тангенциального разрыва скорости. Представлены распределение глубины Н и поле скоростей у = {и, у} в момент времени t = 1 100

Заключение

Показано, что численный алгоритм cSPH-TVD [8] способен описывать сдвиговые неустойчивости, несмотря на то что на одном из этапов схемы cSPH-TVD используется подход сглаженных частиц SPH. Таким образом, у комбинированного метода cSPH-TVD отсутствует недостаток классического SPH, не позволяющий корректно моделировать тангенциальные и контактные разрывы.

140 А.В. Писарев, С. С. Храпов, А.В. Хоперское. Численная схема на основе комбинированного подхода

ПРИМЕЧАНИЕ

1 Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ N° 10-07-97017, № 11-07-97025, ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (№ 02.740.11.5198), ФЦП «Старт-11 Н1 - Информационные технологии, программные продукты и телекоммуникационные системы» (проект № 8861р/14383).

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Еремин, М. А. Конечно-объемная схема интегрирования уравнений гидродинамики / М. А. Еремин, А. В. Хоперсков, С. А. Хоперсков // Изв. Волгогр. гос. техн. ун-та. Серия «Актуальные проблемы управления, вычислительной техники и информатики в технических системах». - 2010. - Т. 6, № 8. - С. 24-27.

2. Куликовский, А. Г. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений / А. Г. Куликовский, Н. В. Погорелов, А. Ю. Семенов. - М. : Физматлит, 2001. - 608 с.

3. Мусцевой, В. В. Линейный анализ устойчивости двухпотоковой аккреции / В. В. Мусцевой, А. В. Хоперсков // Письма в Астрон. журн. - 1991. - Т. 17, № 3. - С. 281-288.

4. Фридман, А. М. Неуниверсальность классической концепции тангенциального разрыва / А. М. Фридман, О. В. Хоружий // УФН. - 1993. - Т. 163. - С. 79-85.

5. Фридман, А. М. Предсказание и открытие сильнейших гидродинамических неустойчивостей, вызванных скачком скорости: теория и эксперименты / А. М. Фридман // УФН. - 2008. - Т. 178, № 3. - С. 225-242.

6. Фридман, А. М. Физика галактических дисков / А. М. Фридман, А. В. Хоперсков. - М. : Физматлит, 2011. - 640 с.

7. Хоперсков, А. В. К вопросу об устойчивости сверхзвуковой МГД-струи / А. В. Хоперсков // Изв. ВУЗов. Радиофизика. - 1996. - Т. 39, № 7. - С. 891-900.

8. Храпов, С. С. Численная схема для моделирования динамики поверхностных вод на основе комбинированного SPH-TVD-подхода / С. С. Храпов, А. В. Хоперсков, Н. М. Кузьмин, А. В. Писарев, И. А. Кобелев // Вычислительные методы и программирование. - 2011. - Т. 12. - C. 282-297.

9. Afanasiev, V. L. Formation of ionization-cone structures in active galactic nuclei: II. Nonlinear hydrodynamic modeling / V. L. Afanasiev, S. N. Dodonov, S. S. Khrapov, V. V. Mustsevoi, A. V. Moiseev // Astrophysical Bulletin. - 2007. - V. 62. - P. 15-25.

10. Criminale, W. O. Theory and Computation of Hydrodynamic Stability / W. O. Criminale, T. L. Jackson, R. D. Joslin. - Cambridge University Press, 2003. - 433 p.

11. Fridman, A. M. Centrifugal instability in rotating shallow water and the problem of the spiral structure in galaxies / A. M. Fridman, A. G. Morozov, M. V Nezlin, E. N. Snezhkin // Physics Letters A. - 1985. - V 109. - P. 228-231.

12. Monaghan, J. J. Particle methods for hydrodynamics / J. J. Monaghan // Computer Physics reports. -1985.- V 3. - P. 71-124.

THE NUMERICAL SCHEME BASED ON A COMBINED SPH-TVD APPROACH: SIMULATION OF SHEAR FLOWS

A. V. Pisarev, S.S. Khrapov, A. V. Khoperskov

We discuss the problem of numerical simulation of shear flows on the example of Kelvin -Helmholtz instability. A numerical algorithm cSPH-TVD (combined SPH-TVD) adequately describes the dynamics of the instability of tangential discontinuity in the shallow water model.

Key words: numerical methods, hybrid methods, hyperbolic equations, Kelvin - Helmholtz instability, hydrodynamics.