CC BY
88
© Кузьмин Н.М., Белоусов А.В., Шушкевич Т.С., Храпов С.С., 2014
УДК 524.7-8 ББК 22.193
ЧИСЛЕННАЯ СХЕМА С8РН - ТУЭ: ИССЛЕДОВАНИЕ
__ _______О _
ВЛИЯНИЯ ОГРАНИЧИТЕЛЕН НАКЛОНОВ1
Кузьмин Николай Михайлович
Кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры информационных систем и компьютерного моделирования Волгоградского государственного университета [email protected], [email protected]
просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация
Белоусов Антон Владимирович
Студент Института математики и информационных технологий Волгоградского государственного университета [email protected], [email protected]
просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация
Шушкевич Татьяна Сергеевна
Студент Института математики и информационных технологий Волгоградского государственного университета [email protected], [email protected]
просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация
Храпов Сергей Сергеевич
Кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры информационных систем и компьютерного моделирования Волгоградского государственного университета [email protected], [email protected]
просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация
Аннотация. Описано обобщение численной схемы cSPH — TVD для уравнений идеальной газодинамики в отсутствии внешних сил для одномерного случая. Представлены результаты численного решения задачи о распаде газодинамического разрыва с помощью различных вариантов численной схемы. Исследовано влияние ограничителей наклонов и способов вычисления потоков на качество численного решения.
Ключевые слова: численные схемы, SPH, TVD, ограничители наклонов, комбинированный лагранжево-эйлеров подход.
Введение
В работе [7] была предложена новая численная схема cSPH — TVD (combined Smoothed Particle Hydrodynamics — Total Variation Diminishing) для интегрирования уравнений Сен-Венана, описывающих динамику поверхностных вод в приближении мелкой воды на нерегулярном рельефе местности, содержащем изломы и резкие перепады уровней воды. Метод основан на совместном использовании лагранжева (SPH) и эйлерова (TVD) подходов. Алгоритм cSPH — TVD для уравнений Сен-Венана является хорошо сбалансированным, консервативным и позволяет проводить устойчивый расчет нестационарных границ «вода — сухое дно» на существенно неоднородном рельефе дна [3-6; 13].
В работе [1] было предложено обобщение численной схемы cSPH — TVD на случай полной системы уравнений невязкой газодинамики в одномерном приближении для идеального газа в отсутствии внешних сил.
В работе [8] была описана численная схема SPH — PPM, являющаяся обобщением численной схемы cSPH — TVD на случай кусочно-параболического распределения газодинамических параметров внутри эйлеровых ячеек.
Целью данной работы является исследование влияния различных ограничителей наклонов и методов решения задачи Римана на качество численного решения методом cSPH — TVD.
1. Основные уравнения
Система уравнений невязкой газодинамики в интегральной форме при отсутствии внешних сил для одномерного случая имеет вид:
(df
- pdL = 0,
at J L(t)
4 / PudL = - [ ~x~ dL,
dt JL(t) JLit) OX
± / cdL = - ! dL,
dt JL(t) JLit) OX
(1)
где р — плотность; и — скорость; р — давление; е — объемная плотность энергии; Ь — время; х — пространственная координата; Ь{Г) — размер жидкой частицы; изменяющийся в процессе ее движения. Система уравнений (1) замыкается калорическим уравнением состояния
р ри 7 - 1 + ~2~
(2)
где 7 — показатель адиабаты.
Для описания численной схемы перепишем систему уравнений (1) в дифференциальном виде:
с
f dp + д(pu) — 0 dt + dx ,
d(pu) d (pu2) dp
\ --------- —|— -------- =--------,
dt dx dx'
de d(eu) d(pu)
dt dx dx
(3)
2. Численная схема cSPH — TVD
В расчетной области xmin < x < xmax введем неподвижную эйлерову сетку
Xi — Xr,
+
('—2)h'
1, 2,...,N,
(4)
где к = (хтах — Хтіп)/N, в центры ячеек которой поместим подвижные лагранжевы жидкие частицы.
2.1. Лагранжев этап
На этом этапе вычисляются изменения характеристик подвижных лагранжевых жидких частиц и их координат, обусловленные работой сил давления.
Обозначив средние значения газодинамических величин а = (р,и,р, е) внутри і-й 1 Г
ячейки как аі = — а<!Ь, перепишем систему уравнений (1) в дискретизированном
виде:
dU
dt
і— da da
где V — V2P^ — jr
OXi ox
Pi (p u)i
Єі
Qi — —
фі
0
dip
2
‘dxi > t
'' dxi + dxi
Закон движения і-й частицы определяется уравнением движения
dxi
dt
Ui.
(5)
(6)
Входящие в (5) пространственные производные будем аппроксимировать на основе модифицированного метода SPH с использованием сглаживающего ядра W [1; 7]:
йп i+1 й
— « ^ аіт—WЦхі - Xk|,h), OXi k=i_ і °Xi
(7)
где Ш = кШ. В качестве сглаживающего ядра может быть использован кубический сплайн Монагана [16]:
Х=Х
2 д2 + 3 д3, 0 < д < 1; - д)3, 1 < д < 2;
2 < д.
(8)
Ы 2
Здесь д = —, А,ш = —. Из (8) видно, что п 3п
дШ дШ дд дШ sign(ж)
(9)
дх дд дх дд П Подставляя (7) в (5), получим
Яг
V
/
(10)
С учетом (10) система уравнений (5), (6) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, поэтому для ее численного интегрирования можно использовать методы типа Рунге — Кутты. Приведем метод Рунге — Кутты второго порядка точности, удовлетворяющий ТУЭ-условию [18] для продвижения решения по времени с момента времени Ьп до момента времени 1п+\.
Здесь знак « » означает, что центр масс соответствующей частицы смещен относительно центра эйлеровой ячейки.
На этом этапе вычисляются изменения газодинамических величин, обусловленные потоками через границы неподвижных эйлеровых ячеек:
(11)
(12)
2.2. Эйлеров этап
(13)
где
Потоки можно вычислять используя приближенные решения задачи Римана:
Е
га+1/2
*+1/2
Е(И
ь ид
г+1/2, Иг+1/2
(14)
где и^/2 и и^[+1/2 характеризуют состояния газа слева и справа от границы между г-й и (г + 1)-й ячейками.
Будем считать, что внутри эйлеровых ячеек газодинамические параметры имеют кусочно-линейное распределение. Тогда, проводя интерполяцию относительно центра масс ячейки, сместившегося на лагранжевом этапе за счет работы сил давления, получим:
©П-\-1 /2 о Т -Г'
,1 — вектор наклонов линейного распределения величины и
внутри г-й ячейки и
и
1
І+1/2
и г1/2 + 2 Л - ^ ©7+1/2,
ид т тга+1/2
иг+1/2 _ Иг+ 1
к
2
'г+1
га+1/2
г
(15)
(Ига + и ”+‘)/2
^га+1
£га+1 _ _____ ґп+1 _ „.п+1 _ тп
Яг ^ , 'ьі '
Для того чтобы наклоны кусочно-линейного распределения (15) удовлетворяли условию ТУЭ [11], их ограничители:
©
га+1/2
С
(■
И га+1/2 и"га+1/2 т^ га+1/2 т^ га+1/2 \
%^+1 % % % 1 \
12
(16)
где кг_ 1+с++11/2 - с+1/2, с+1/2 _ ега+1/2.
),
ь
2.3. Заключительный этап
На этом этапе подвижные лагранжевы частицы возвращаются в центры неподвижных эйлеровых ячеек. Это означает, что после вычисления и™+1 во всех ячейках расчетной области, перед выполнением следующего шага по времени, должно быть сделано присваивание
хг1+1 = х0,г = 1, 2,...,м, где — координаты центров масс ячеек в начальный момент времени £0.
2.4. Шаг по времени
Временной шаг т должен определяться из соотношения [1]
22
т _ СРЬшіп (-і—т,----—і--- , (17)
г \2maxi |«га1 шах^(|«га1 + с™-)/
где 0 < СРЬ < 1 — число Куранта — Фридрихса — Леви, ^^рга/Рга — адиабатическая скорость звука. Уравнение (17) гарантирует, что за один временной шаг на лагран-жевом этапе центр масс частиц не сместится на расстояние, превышающее 2/2 относительно начального положения, а на эйлеровом этапе возмущения не распространятся на расстояние, большее размера ячейки 2.
3. Различные реализации численной схемы
Для численной схемы, описанной в разделе 2, возможен выбор различных способов приближенного решения задачи Римана и ограничения наклонов. Опишем некоторые из них.
3.1. Приближенные решения задачи Римана
Обозначим И ь,к _ И^+^/2, Еь’к _ Е(И ь’к), тогда метод Лакса — Фридрихса [14] (ЬЕ) может быть записан в виде
Ега+1/2 ^ ^И - Ий
Е г+1/2 -----2--- + ^ ------2----, ( )
где 5* _ шах(|5ь|, |^д|) и
Бь _ шіп(иь - сь,ик - ск), вк _ шах(иь + сь,ик + ск), сь,я _ ^ГРЬ’К/рь’к-
Метод Хартена — Лакса — ван Лира [12] (НЬЬ) может быть записан в виде
'еь, 0 < вь,
га+1/2 _ £ДЕЬ - £ЬЕД + £^Д(ИЬ - Ид)
, Бь < 0< Бк, (19)
^ я _ ^ ь ’ — — ’
Ед Б11 < 0.
3.2. Ограничители наклонов
Одно из первых применений ограничителей описано в [2], где использовалась функция
{а, \а\ = шт(\а\, \Ь\, 2\а + Ь\);
Ь, \Ь\ = шт(\а\, \Ь\, \\а + 6\); (20)
2(а + Ь), \а\ = шт(\а\, \Ь\, 1 \а + Ь\).
Для описания различных видов ограничителей наклонов часто используется функция
шiпшod(а,Ь) = -[sigп(а) + sigп(&)] шт(\а\, \Ь\). (21)
Запишем ее для общего случая п аргументов:
шіпшо^а^ а2,..., ага) _ sign(a1) шах[0, шіп(|а1|, sign(a1)a2,..., sign(a1)aгa)]. (22)
Эта функция является простейшим ограничителем наклонов, гарантирующим выполнение условия ТУЭ и монотонности численной схемы:
Стт(а, Ь) = minmod(a, Ь). (23)
Другим примером является предложенный в [15] ограничитель
( 2 а Ь ^
Ъь(а, Ь)= I , “ > ; (24)
0, — 0.
В работе [9] был предложен гладкий ограничитель
С,л(а, Ь)=(а2 + + + + + е)й, (25)
а2 + Ь2 + 2е
где е ^ 1 — малая положительная константа, добавляемая во избежание деления на ноль.
Выпишем однопараметрическое семейство ограничителей
£к(а,Ь) = -[sign(a) + sigп(Ь)] шax(\шiпшod(fca, Ь)\, \miпшod(a, &6)\), (26)
где 1 — к — 2. При к = 1 этот ограничитель тождественен ограничителю minmod, а при
к = 2 — ограничителю «эирегЬее» [17].
Приведем ограничитель из работы [10], соответствующий кусочно-параболическому распределению параметров внутри ячейки:
Ссщ(а, &) = шiпшod(2а, 2 Ь,—-—). (27)
4. Тестирование
Условимся об обозначениях для различных вариантов схемы еБРИ — ТУЭ: оно будет состоять из двух частей, разделенных дефисом. При этом первая часть будет обозначать метод, применяемый для приближенного решения Задачи Римана, а вторая — ограничитель наклонов. Например, схема, написанная с использованием формул (18) и (23), будет обозначаться как «ЬЕ-шш».
В качестве тестовой рассмотрим задачу о распаде разрыва газа с показателем адиабаты 7 = 1.4 в точке х$ = 0.3 с начальными условиями
|(1, °.75, 1), x<xo,
(p,u,Р) _ < ,п 10. п п п . (28)
I (0.125, 0,0.1), х0 < х.
Все вычисления проводились на сетке с количеством ячеек N _ 100, число Куранта — Фридрихса — Леви СРЬ _ 0.5. На рисунках 1, 2 приведены результаты тестирования для некоторых вариантов схемы (для схем ЬЕ-к и НЬЬ-к параметр к _ 2).
Для каждого из вариантов схемы была рассчитана относительная ошибка в норме
Ьъ
- N
Рга Ре
1 М - N £
г=1
х 100 %, (29)
Ре
где ре — аналитическое решение; рп — численное. Результаты представлены в таблицах 1, 2.
і
0.9 0.8 0.7 0.6 Р 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
\ (б)
X
< X
<
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Рис. 1. Результаты тестирования с использованием методов ЬЕ-шш (а), ЬЕ-уЬ (б), ЬЕ-к (в) и LЕ-CW (г) для момента времени £ = 0.2. Сплошной линией показано аналитическое решение
для профиля плотности, крестиками — численное
Таблица 1
Относительные ошибки для ЬР-вариантов схемы
Схема ЬР-шш ЬР-уЬ ЬР-уА ЬР-Ко^ап ЬР-к LF-CW
Ошибка 3,10 2,52 2,69 3,09 2,79 2,52
Таблица 2
Относительные ошибки для ИЬЬ-вариантов схемы
Схема ИЬЬ-шш ИЬЬ-уЬ ИЬЬ-уА ИЬЬ-Ко^ап ИЬЬ-к HLL-CW
Ошибка 2,50 2,10 2,26 2,51 1,76 2,01
Заключение
Две пары ограничителей наклонов — Сшш, Скоідап и СуЬ, Ссш приводят к похожим результатам для обоих методов численного решения задачи Римана: ЬЕ и НЬЬ.
Ограничитель Ссш привел к наилучшему согласию численного решения с аналитическим для метода ЬЕ, а Сшш — к наихудшему. Ограничитель С привел к наилучшему согласию численного решения с аналитическим для метода НЬЬ, а Скоідап — к наихудшему.
\ (а)
\
X
<
‘ (б)
' X
?кЦі
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 <
О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Рис. 2. Результаты тестирования с использованием методов ИЬЬ-шш (а), ИЬЬ-уЬ (б), ИЬЬ-к (в) и HLL-CW (г) для момента времени £ = 0.2. Сплошной линией показано аналитическое решение для профиля плотности, крестиками — численное
Относительная ошибка для профиля плотности в норме Ь1 находится в пределах от
1.76% до 3.1 % в зависимости от метода вычисления численных потоков и используемого в вычислениях ограничителя наклонов. Таким образом, все варианты еБРИ — ТУЭ схемы показывают хорошее согласие численного решения с аналитическим.
Отметим, что метод ЬЕ-к приводит к особенностям в профиле плотности перед контактным разрывом и перед волной разрежения. При этом метод ИЬЬ-к свободен от указанного недостатка и показал наилучшее согласие численного решения с аналитическим.
ПРИМЕЧАНИЕ
1 Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ № 13-07-97056-р_поволжье_а, № 13-01-97062-р_поволжье_а, № 13-05-97065-р_поволжье_а и Гостемы № 8.2419.2011.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Жумалиев, А. Г. Численная схема еБРИ — ТУЭ: моделирование фронта ударной волны / А. Г. Жумалиев, С. С. Храпов // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. — 2012. — № 2 (17). — С. 60-67.
2. Колган, В. П. Применение принципа минимальных значений производных к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики / В. П. Колган // Ученые записки ЦАГИ. — 1972. — Т. 3, № 6. — C. 68-77.
3. Писарев, А. В. Численная модель динамики поверхностных вод в русле Волги:
оценка коэффициента шероховатости / А. В. Писарев, С. С. Храпов, Е. О. Агафонникова, А. В. Хоперсков // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2013. — № 1. — C. 114-130.
4. Писарев, А. В. Численная схема на основе комбинированного подхода SPH — TVD:
проблема моделирования сдвиговых течений / А. В. Писарев, С. С. Храпов, А. В. Хоперсков // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. — 2011. — № 2 (15). — C. 138-141.
5. Хоперсков, А. В. Задача управления гидрологическим режимом в экологоэкономической системе «Волжская ГЭС — Волго-Ахтубинская пойма». Ч. 1. Моделирование динамики поверхностных вод в период весеннего паводка / А. В. Хоперсков, С. С. Храпов, А. В. Писарев, А. А. Воронин, М. В. Елисеева, И. А. Кобелев // Проблемы управления. —
2012. — № 5. — C. 18-25.
6. Храпов, С. С. Моделирование динамики поверхностных вод / С. С. Храпов,
А. В. Хоперсков, М. А. Еремин. — Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2010. — 132 с.
7. Храпов, С. С. Численная схема для моделирования динамики поверхностных вод на основе комбинированного SPH — TVD подхода / С. С. Храпов, А. В. Хоперсков, Н. М. Кузьмин, А. В. Писарев, И. А. Кобелев // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. — 2011. — Т. 12, № 1. — C. 282-297.
8. Шушкевич, К. С. Одномерная численная схема для газодинамического моделирования на основе комбинированного подхода SPH — PPM / К. С. Шушкевич, Н. М. Кузьмин // Вестник магистратуры. — 2013. — № 5 (20). — C. 40-44.
9. Albada, G. D. van. A comparative study of computational methods to cosmic gas dynamics / G. D. van Albada, В. van Leer, W. W. Roberts // Astronomy and Astrophysics. —
1982. — Vol. 108. — P. 76-84.
10. Colella, P. The piecewise parabolic method (PPM) for gas-dynamical simulations / P. Colella, P. R. Woodward // Journal of Comutational Physics. — 1984. — Vol. 54, № 1. — P. 174-201.
11. Harten, A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws / A. Harten // Journal of Computational Physics. — 1983. — Vol. 49, № 3. — P. 357-393.
12. Harten, A. On upstream differencing and Godunov type methods for hyperbolic conservation laws / A. Harten, P. Lax, B. van Leer // SIAM Review. — 1983. — Vol. 25, № 1. — P. 35-61.
13. Khrapov, S. S. The numerical simulation of shallow water: estimation of the roughness coefficient on the flood stage / S. S. Khrapov, A. V. Pisarev, I. A. Kobelev, A. G. Zhumaliev, E. O. Agafonnikova, A. G. Losev, A. V. Khoperskov // Advances in Mechanical Engineering. —
2013. — Vol. 2013. — P. 1-11. — Electronic text data. — Mode of access: Article ID 787016, http://dx.doi.org/10.1155/2013/787016. — Title from screen.
14. Lax, P. D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation / P. D. Lax // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1954. — Vol. 7, № 1. — P. 159-193.
15. Leer, В. van. Towards the ultimative conservative difference scheme. III. Upstream-centered finite-difference schemes for ideal compressible flow / В. van Leer // Journal of Computational Physics. — 1977. — Vol. 23, № 3. — P. 263-275.
16. Monaghan, J. J. Smoothed particle hydrodynamics / J. J. Monaghan // Annual Review of Astronomy and Astrophysics. — 1992. — Vol. 30. — P. 543-574.
17. Roe, P. L. Efficient construction and use of approximate Riemann solvers / P. L. Roe, J. Pike // Computing Methods in Applied Sciences and Engineering, VI. — Amsterdam : North-Holland, 1983. — P. 499-518.
18. Shu, C. W. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing
schemes. I / C. W. Shu, S. Osher // Journal of Computational Physics. — 1988. — Vol. 77, № 2. — P. 439-471.
REFERENCES
1. Zhumaliev A.G., Khrapov S.S. Chislennaya skhema cSPH — TVD: modelirovanie fronta udarnoy volny [Numerical scheme cSPH — TVD: front of shock wave simulation]. Vеstnik Volgogradskogo gosudars^nnogo univеrsitеta. Sеriya 1, Matеmatika. Fizika [Journal of Volgograd State University, series 1, Mathematics. Physics], 2012, no. 2 (17), pp. 60-67.
2. Kolgan V.P. Primenenie printsipa minimal’nykh znacheniy proizvodnykh k postroeniyu konechno-raznostnykh skhem dlya rascheta razryvnykh resheniy gazovoy dinamiki [The application of derivatives’ minimum values to construction finite-difference schemes for computation of gas dynamics’ discontinuous solutions]. Uchеnyе zapiski TsAGI [Science notes of CAHI], 1972, vol. 3, no. 6, pp. 68-77.
3. Pisarev A.V., Khrapov S.S., Agafonnikova E.O., Khoperskov A.V. Chislennaya model’ dinamiki poverkhnostnykh vod v rusle Volgi: otsenka koeffitsienta sherokhovatosti [Numerical model of surface water dynamics in Volgas bed: estimation of roughness coefficient]. Vеstnik Udmurtskogo un^^^ta. Matеmatika. Mеkhanika. Komp’yutеrnyе nauki [Journal of Udmurt university. Mathematics. Mechanics. Computer science], 2013, no. 1, pp. 114-130.
4. Pisarev A.V., Khrapov S.S., Khoperskov A.V. Chislennaya skhema na osnove kombinirovannogo podkhoda SPH — TVD: problema modelirovaniya sdvigovykh techeniy [Numerical scheme on the base of combined SPH — TVD approach: the problem of shear flows simulation]. Vеstnik Volgogradskogo gosudarstvеnnogo univеrsitеta. Sеriya 1, Matеmatika. Fizika [Journal of Volgograd State University, series 1, Mathematics. Physics], 2011, no. 2 (15), pp. 138-141.
5. Khoperskov A.V., Khrapov S.S., Pisarev A.V., Voronin A.A., Eliseeva M.V., Kobelev I.A. Zadacha upravleniya gidrologicheskim rezhimom v ekologo-ekonomicheskoy sisteme «Volzhskaya GES — Volgo-Akhtubinskaya poyma». Ch. 1. Modelirovanie dinamiki poverkhnostnykh vod v period vesennego pavodka [The problem of management hydrological regime in ecology-economic system “Volga HPS — Volga-Akhtuba flood-plain”. Part 1. Simulation of surface water dynamics in springtime flood]. Probhmy uprav^niya [Problems of management], 2012, no. 5, pp. 18-25.
6. Khrapov S.S., Khoperskov A.V., Eremin M.A. Modеlirovaniе dinamiki povеrkhnostnykh vod [Simulation of surface water dynamics]. Volgograd, Izd-vo VolGU Publ., 2010. 132 p.
7. Khrapov S.S., Khoperskov A.V., Kuz’min N.M., Pisarev A.V., Kobelev I.A. Chislennaya skhema dlya modelirovaniya dinamiki poverkhnostnykh vod na osnove kombinirovannogo SPH
— TVD podkhoda [Numerical scheme for simulation of dynamics surface waters on the base of combined SPH — TVD approach]. Vychislitеl’nyе mеtody i programmirovaniе: novyе vychislitеl’nyе tеkhnologii [Numerical methods and programming], 2011, vol. 12, no. 1, pp. 282-297.
8. Shushkevich K.S., Kuz’min N.M. Odnomernaya chislennaya skhema dlya gazodinamicheskogo modelirovaniya na osnove kombinirovannogo podkhoda SPH — PPM [One-dimensional numerical scheme for gas-dynamics simulation on the base of combined SPH
— PPM approach]. Vеstnik magistratury [Masters journal], 2013, no. 5 (20), pp. 40-44.
9. Albada G.D. van., Leer V. van, Roberts W.W. A comparative study of computational methods to cosmic gas dynamics. Astronomy and Astrophysics, 1982, vol. 108, pp. 76-84.
10. Colella P., Woodward P.R. The piecewise parabolic method (PPM) for gas-dynamical simulations. Journal of Comutational Physics, 1984, vol. 54, no. 1, pp. 174-201.
11. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws. Journal of Computational Physics, 1983, vol. 49, no. 3, pp. 357-393.
12. Harten A., Lax P., Leer B. van. On upstream differencing and Godunov type methods for hyperbolic conservation laws. SIAM Review, 1983, vol. 25, no. 1, pp. 35-61.
13. Khrapov S.S., Pisarev A.V., Kobelev I.A., Zhumaliev A.G., Agafonnikova E.O., Losev A.G., Khoperskov A.V. The numerical simulation of shallow water: estimation of the roughness coefficient on the flood stage. Advances in Mechanical Engineering, 2013, vol. 2013, pp. 1-11. Available at: Article ID 787016, http://dx.doi.org/10.1155/2013/787016.
14. Lax P.D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation. Communications on Pure and Applied Mathematics, 1954, vol. 7, no. 1, pp. 159193.
15. Leer V. van. Towards the ultimative conservative difference scheme. III. Upstream-centered finite-difference schemes for ideal compressible flow. Journal of Computational Physics, 1977, vol. 23, no. 3, pp. 263-275.
16. Monaghan J.J. Smoothed particle hydrodynamics. Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 1992, vol. 30, pp. 543-574.
17. Roe P.L., Pike J. Efficient construction and use of approximate Riemann solvers. Computing Methods in Applied Sciences and Engineering, VI, Amsterdam, North-Holland,
1983, pp. 499-518.
18. Shu C.W., Osher S. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes. I. Journal of Computational Physics, 1988, vol. 77, no. 2, pp. 439-471.
NUMERICAL SCHEME CSPH - TVD: INVESTIGATION OF INFLUENCE SLOPE LIMITERS
Kuz’min Nikolay Mikhaylovich
Candidate of Physical and Mathematical Sciences,
Associate Professor, Department of Information Systems and Computer Simulation Volgograd State University [email protected], [email protected]
Prosp. Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation
Belousov Anton Vladimirovich
Student, Institute of Mathematics and IT
Volgograd State University
[email protected], [email protected]
Prosp. Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation
Shushkevich Tat’yana Sergeevna
Student, Institute of Mathematics and IT
Volgograd State University
[email protected], [email protected]
Prosp. Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation
Khrapov Sergey Sergeevich
Candidate of Physical and Mathematical Sciences,
Associate Professor, Department of Information Systems and Computer Simulation Volgograd State University [email protected], [email protected]
Prosp. Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation
Abstract. The generalisation of combined lagrange-eulerian numerical scheme cSPH — TVD for ideal gas-dynamics equations without extarnal forces in one-dimensional case was described. The results of the Riemann problems numerical simulation for different variants of this numerical scheme are shown.
Influence of slope-limitiers and flux computation methods to quality of numerical solution are investigated.
Six version of slope limiters are investigated: minmod, van Leer, van Albada, Kolgan, k-parameter and Colella — Woodward. Two methods of numerical flux computation also investigated: Lax — Friedrichs and Harten — Lax — van Leer.
It is shown, that two pair of slope limiters leads to very similar numerical solution quality: minmod — Kolgan and van Leer — Colella — Woodward for the both version of numerical flux computation — Lax — Friedrichs and Harten — Lax — van Leer methods.
For the Lax — Friedrichs method of numerical flux computation Colella-Woodward slope limiter give the best results and minmod the worse.
For the Harten — Lax — van Leer method of numerical flux computation k-parameter slope limiter give the best results and Kolgan the worse.
The L\ relative error in density varying from 1.76% to 3.1% depending on the numerical flux computation method and kind of slope limiter.
It is shown, that for all investigated variants of cSPH — TVD method numerical solution of Riemann problem very similar to exact.
It is very interesting, that k-parameter slope limiter in combination with Lax — Friedrichs method of numerical flux computation leads to strange features near to contact discontinuity and rarefaction wave. But, in combination with Harten — Lax — van Leer method of numerical flux computation it leads to the best of all results without these strange features.
Key words: numerical schemes, SPH, TVD, slope limiters, combined lag-range-eulerian approach.
