CC BY
24
УДК 004.8
Ф. А. Галимянов, Ф. М. Гафаров, Н. А. Емельянова ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ, КОНЧИКА РОСТА АКСОНА НЕЙРОНА, И ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КОНЦЕНТРАЦИИ ВЕЩЕСТВА,
В МЕЖНЕЙРОННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Ключевые слова: Нейронная сеть, аксон, структурная пластичность, рост сети.
Математические моделирование динамики нейронной сети позволяет наблюдать и численно оценивать различные параметры эволюции сети, что дает возможность изучать нейронную сеть как динамически развивающуюся систему. Для математического моделирования широко используется численные методы решения дифференциальных уравнений. Для подстановки конкретных числовых значений и последующее численное решение уравнения необходимо оговорить все используемые параметры, и привести все используемые величины в систему Си. В данной статье детально рассматриваются приведение уравнения движения аксона и выражения для концентрации вещества к виду пригодной для численной обработки.
Keywords: neural network, axon, structural plasticity, network growth.
Mathematical modeling of the dynamics of the neural network allows us to observe and numerically evaluate the various parameters of network evolution that enables the study of the neural network as a dynamically evolving system. For the mathematical modeling is widely used numerical methods for solving differential equations. For the substitution of specific numerical values and the subsequent numerical solution of the equation must specify all the parameters used, and bring all the values used in the SI system. This article discusses in detail the above equations of motion of the axon and the expression for the concentration of the substance to the form suitable for numerical processing.
Введение
В наших предыдущих работах мы описали математическую модель возникновения, и эволюции нейронной сети [1, 2, 3]. Было использовано уравнения для определения концентрации вещества в точке Г| в момент времени 1::
С (Г -?;Д) = а £ dtkGd(rj -?;Д - 1к)^(1к) (1) здесь
1, ]- это числа 1,2,.., N. где И- количество нейронов; ?— точка в которой было испущено вещество, т.е. точка в которой расположен [-тый нейрон;
а=10"
: наномоль
= 10"
константа, опре-
секунда секунда
деляющая количество вещества испускаемое нейроном за единицу времени [4, 5];
момент времени, в котором было испущено вещество;
Б;- активность 1-го нейрона испускающего вещество,
в момент времени
где
(2)
функция Грина. здесь k=10"3-
■ - коэффициент деградации [2];
секунда
в2 =6 ■ 10-7 ™етр2 = 6 ■ Ю-11^- - коэффи-
секунда секунда
циент диффузии [4]; (1 - мерность(2, 3 мерный или 1 мерный случай); г2- квадрат расстояния, между точкой, в которой рассчитывается концентрация, и источником вещества.
Концентрация вещества
Уравнение (1) позволяет найти концентрацию вещества в точке г^ в момент времени 1;, испущенный 1-тым нейроном, находящимся в точке г| в
момент времени В нашей модели рассматривается пространство с N нейронами, соответственно в точке ^ будет суммарная концентрация вещества, испущенное всеми активными нейронами пространства:
с^ -?;д) = а£Г=1/о^Д?; (3)
Подставив в уравнение (3) выражение для функции Грина (2), получим выражение, для вычисления концентрации вещества в точке :
с^-пД) ^
N , адехр (-ад-^) - 4(?-7к)02) (4)
= «> I ---¡Л--
Уравнение движения
Уравнение движения кончика роста аксона нами уже было получено [1, 2, 3]:
5 = (5)
здесь
- местонахождение кончика роста аксона \ - го нейрона;
1 = 4-10"
сантиметр
= 4 • 10"
метр
секунда-нанометр секунда-метр
коэффициент описывающий чувствительность и подвижность аксона [6] Б] - активность 1-го нейрона;
F(Sj) = 0^пор Sпор = 0.51 - пороговое значение активности [1]; т-ступенчатая функция Хэвисайда;
1п°Р 0 " К (5„ор - > 0.
7- оператор Гамильтона, необходим для нахождения градиента концентрации вещества. Градиент концентрации Vcj (?) — д) это производная по направ-
с!(?ГП,<:)д
лению ^-, соответственно применение оператор Гамильтона к выражению концентрации вещества, равнозначен нахождению первой производной
из функции Грина по направлению, входя-
щий в состав выражения концентрации вещества:
(6)
Э? 2D2t(4пtD2)a/2
Подставляя выражение (6) в формулу для концентрации (4) получим:
дг
2D2(t-tk)(4п(t-tk)D2)a/2
(7)
Градиент концентрации вещества, указывает направление в котором концентрация растет с наибольшей скоростью, то направление в котором должен двигаться конус роста аксона. Подставляя выражение для градиента концентрации (7) в уравнение движения (5) получим:
2D2(t-tk)(4п(t-tk)D2)a/2
(8)
Численное интегрирование. Случаи в трех мерном пространстве, на плоскости и прямой
В нашей модели используется двухмерная d=2 или трехмерна d= 3 декартовая прямоугольная система координат. Для некоторых численных экспериментов есть необходимость использование одномерной ("=1) системы координат. Соответственно перепишем выражение для концентрации вещества (4) и уравнение конуса роста аксона (8) для случаев d = 1,2,3: Одномерный случай d = 1 Концентрация
Уравнение движения
^ехрик^ь^!::^
(9)
2D2(t-tk)(4п(t-tk)D2)1/2
(10)
Двухмерный случай d = 2 Концентрация
Уравнение движения
-а^^/оЧ
адк)ШГп)ехР1 -к
8п№2)2(Мк)2
(12)
Трехмерный случай d = 3 Концентрация
(13)
Уравнение движения
£Ц) = dt
2D2(t-tk)(4п(t-tk)D2)3/2
(14)
Мы получили выражение для концентрации и уравнение движения для
d = 1,2,3. Теперь решаем их численно. Интеграл вычисляем методом левых прямоугольников. В общем случае метод левых прямоугольников выглядит так:
Ь П_1
J f(x)dx « h ^ fi = h(f0 + f1 + - + fi)
а 1=0 где - шаг сетки.
Т. к. в уравнении движения и выражении для концентрации вещества присутствует функция Si(tk), зависящая от конкретного значения которые вычисляется одновременно с решением уравнению движения [1][2], и с вычислением выраженья для концентрации вещества [3], в той же временной последовательности, то метод средних прямоугольников в данном случае не применим. Шаг сетки мы берем равным шагу общей итерации системы - Д£ Концентрация
с)(?1 =
^ 1-1 Si(tk)exp ^-кО:-^) -
¡=1 1к=0 Уравнение движения
N 1-1 (Ц) -г,)ехр ^—к^ — ^) - ¿В
• УУд»---т,—---
2D2(t-tk)(4п(t-tk)D2)d/2 Одномерный случай "=1 Концентрация
si(tk)exp - 4|1:=ЕГЦ
N
= аУУдt
¡=1 1к=0
Уравнение движения dt
г t-1 Si(tk)(gj —?i)exp (-k(t-tk) - tI"1jD)2
H* k
i=l tk=0
2D2(t — tk)(4n(t — tk)D2)1/2 Двухмерный случай d = 2
Концентрация cj(?j-?i,t)= ^
_ * t^S^esp (-k(t-tk) - JD*) " ^Z/1 4n(t-tk)D2
i=i tk=o Уравнение движения
d| = -a^F(Si)-
( (É- -r )2
г t-i Si(tk)(gj —?i)exp l-k(t-tk) - 4(t'_t )D2 - k
i=l tk=0
8n(D2)2(t-tk)2
Трехмерный случай d = 3
Концентрация cj(?j-?i,t) =
= а>>Д1-^-з--
Уравнение движения
N 1-1 -Г)ехр 1-к(1-1:к) - 4(-1'_1к)р2
■У У Д:---зг——
Выражение для нахождения концентрации и уравнение движение аксона готово к численной обработки, т. е. подстановки численных значений.
© Ф. А. Галимянов - асс. каф. информатики и прикладной математики КНИТУ, fanisgalimyanov@gmail.com; Ф. М. Гафаров -канд. физ.-мат. наук, доцент каф. информационных систем, отделение информационных технологий в гуманитарной сфере К(П)ФУ, fgafarov@yandex.ru; Н. А. Емельянова - канд. физ.-мат. наук, доцент вычислительной техники, Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ), Казанский филиал, prl70@mail.ru.
Использование технологий межнейронного взаимодействия может найти применение в области передачи данных и сетевых технологиях[8][9].
Выводы
В работе получены уравнения движения, кончика роста аксона нейрона. Модель может быть реализована как в трехмерном пространстве, на плоскости так и на прямой.
Получены выражения, для приближенного нахождения траектории, движения кончика роста аксона и динамики вещества в рассматриваемом пространстве.
Литература
1.F. M. Gafarov, Journal of Integrative Neuroscience, 5, 2, 159-169 (2006);
2.F. M. Gafarov, N. R. Khusnutdinov, F. A. Galimyanov, Journal of Integrative Neuroscience, 8, 1, 1-14 (2009);
3.Ф.А. Галимянов, Ф.М. Гафаров, Н.Р. Хуснутдинов, Математическое моделирование, 23, 00, 000-111 (2011);
4.G. J. Goodhill, European Journd of Neuroscience 9, 1414— 1421 (1997);
5.R. W. Gundersen, J. N. Barrett, The Journal of cell biology, 87, 546-554 (1980);
6.W. Rosoff, J. S. Urbach, M. A. Esrik, R. G. McAllister, L. J. Richards, G. J. Goodhill, Nature Neuroscience, 7, 6, 678682 (2004);
7.T. P. Vogels, K. Rajan, L.F. Abbott , Neural Network Dynamics, 28, 357-376(2005);
8. Д. А. Ахметшин, Е. А. Печеный, Н. К. Нуриев, Вестник КГТУ, 4, 283-285(2014);
9. Д. А. Ахметшин, Д. Р. Курмангалиев, Вестник КГТУ, 24, 56-59(2011).
© F. A. Galimyanov, Assistant, Department of Computer Science and Applied Mathematics, Faculty of Design and Software Engineering, Institute of Light Industry Technology Fashion and Design, Kazan State Technological University, fanisgalimyanov@gmail.com; F. M. Gafarov, Kandy. Sci. , Associate Professor, Department of Information Systems, Department of Information Technology in the humanitarian sphere, Institute of Computational Mathematics and Information Technologies, Kazan Federal University, fgafarov@yandex.ru; N. A. Emelyanova, Kandy. Sci. , Associate Professor, Department of Computer Engineering, Faculty of Management of the process of transportation, Moscow State University of Railway Engineering (MIIT), prl70@mail.ru.
