ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ АППРОКСИМАЦИЙ ПАДЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Справедливость этой формулы для любого направления g £ Rp, как известно [5], однозначно определяет формулу субдифференциала выпуклой функции.

Справедливость формулы (7) для случая x £ dD доказывается аналогично, при этом Qp(x) = {x}. □

Теорема 2. Для того, чтобы точка x* была точкой минимума, функции, k(x) на Rp, необходимо и достаточно, чтобы

coQR(x*) р| coQp(x*) = 0. (И)

Доказательство. В соответствии с известным фактом из выпуклого анализа [3, гл.4], то что точка x* является точкой минимума выпуклой функции к(x), эквивалентно выполнению включения

02 £ dK(x). (12)

Остаётся заметить, что включение (12), как следует из (7), эквивалентно соотношению (11).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Боннезен Т., Фенхель В. Теория выпуклых тел. М, : Фазис, 2002.

2.Bonnesen Т. Uber das isoperimetrische Defizit ebener Figuren // Main. Ann. 1924. Bd. 91. S. 252-268.

3. Пшеничный Б. H. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М, : Наука, 1980.

4. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М,: Наука, 1988.

5. Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация. М, : Наука, 1981.

6. Иванов Г. Е. Слабо выпуклые множества и функции. М,: ФИЗМАТЛИТ, 2006. УДК 517.518.84

А. О. Залетаева, В. В. Кривобок ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ АППРОКСИМАЦИЙ ПАДЕ

Поступила в редакцию 29.05.2018 г.

Аппроксимации Паде являются локально наилучшими рациональными приближениями заданных степенных рядов. Данный вид аппроксимаций находит широкое применение в научно-технических расчетах. В пакете программ Mathlab имеется стандартная функция, вычисляющая

аппроксимации Паде, но она не учитывает многомерности ядра матрицы, из которого находятся коэффициенты знаменателя аппроксимации Паде. В результате чего числитель и знаменатель аппроксимации Паде могут иметь общие множители, сокращая которые получаем нужный ответ единственным образом. На практике данные множители являются зачастую лишь примерно равными, что приводит к дуплетам Фруасса-ра. Дуплетов Фруассара можно избежать, если находить знаменатель аппроксимации Паде без лишних нулей. Алгоритм, предложенный в статье, посвящен именно этой процедуре.

Определение. Аппроксимацией Паде типа (m, и) для ряда, f (z) =

P (z)

= У] ckzk называется рациональная функция nnm = пП({ такая, что

k=0

многочлены Pn,m(z) и Qn,m(z) удовлетворяют условиям Qn,m(z) = 0, degQn,m(z) < m;

2. degPn,m(z) < и;

3. f(z)Qn;m(z) - Pnm(z) = O(zn+m+1),npu z ^ 0.

Если из коэффициентов знаменателя составить вектор, то он будет принадлежать ядру теп лицевой матрицы:

Tn+1 =

^cn+l cn . . . cn-m+ ]Л

cn+2 cn+1 . . . cn-m+2

\cn+m cn+m-1 . . . cn J

В работе [1] показано, что множество всех знаменателей аппроксимации Паде допускает параметризацию ) = )Q1(z), где д(^) -произвольный многочлен степени, не выше п — ^ и Ql(z) - так называемые первый существенный индекс и первый существенный многочлен последовательности сп—т+1,сп—т+2,... ,сп+т. Таким образом, из всех многочленов Qnmпервый существенный многочлеп Q1(z) имеет минимальную степень. Предложенный в этой статье алгоритм нахождения аппроксимации Паде основан на выборе в качестве знаменателя аппроксимации многочлена Q1(z). Множество всех числителей аппроксимации Паде также допускает аналогичную параметризацию. Корнями многочлена д(^) являются общие ненулевые корни числителя Рп,т^) и знаменателя Q1(z) аппроксимации Паде. На практике из-за неточных исходных данных и ошибок вычислений часто оказывается, что лишнему корню знаменателя (не полюсу аппроксимируемой функции) соответ-

ствует лишь примерно равный ему корень числителя. Такая пара корней носит название дуплетов Фруассара (Froissart doublets).

Опишем алгоритм для нахождения аппроксимаций Паде типа (n,m) функции f (x) в точке x = а.

1. Находим коэффициенты c0,..., cn+m разложения в ряд Тейлора ап-

то

проксимируемой функции f (x) = ^ Ck (x — а)к в точке x = а.

к=0

2. Составим теплицевы матрицы (здесь Ск = 0, если к < 0)

Tn+1 =

( Ск Ск—1 ... См \ Ск+2 Ск ... CM +1

V CN CN — 1 . . . CN+M—к)

где M = n — m + 1, N = n + m, M ^ N. Ядра этих матриц образуют цепочку вложенных пространств. Первое нетривиальное ядро в этой цепочке обязательно является одномерным, а производящий многочлен его базиса является искомым знаменателем Q1(z).

3. Находим ранги Гк матри ц Тк, M ^ к ^ N. Функция rank(A) в Matlab возвращает ранг матрицы А, который определяется как количество ее сингулярных чисел, превышающих порог toi.

4. Находим размерности (к = к — M + 1 — гк, M ^ к ^ N правых ядер матриц Тк . Положим также (1м—1 = 0, d^+1 = N — M + 2.

5. Составляем разности Дк = dк — dк—1 , M ^ к ^ N + 1,и находим существенные индексы , Для чисел Дк, как следует из работы [1], справедливы равенства: Дм = ... = ДМ1 = 0, ДМ1+1 = ... = ДМ2 = 1, ДМ2+1 = ... = Д^+1 = 2. Числа д2, определяемые этими соотношениями, и называются первым и вторым существенным индексами последовательности См,... ,сn. Заметим, что последовательность Дк является монотонной. Нарушение монотонности этой последовательности указывает на то, что индексы найдены неверно.

6. Находим вектор (д0,д1,... ,g^1+1—M)T из одномерного ядра матрицы Т^1+1—м ■ Он содержит коэффициенты знаменателя аппроксимации Паде, имеющего минимальную степень.

^1+1—м

7. Находим знаменатель аппроксимации Паде Q^z) = ^ дк(z —

к=0

— а)к.

Степень многочлена Q1(z ) может быть формальной. Если deg Q1(z) = s < + 1 — M, т0 обычно считают, что z = то является корнем Q1(z) кратноети + 1 — M — s. Из-за приближенных вычислений коэффициенты д^ к = s + 1,..., + 1 — M, могут оказаться

лишь близкими к нулю. Это приведет к тому, что многочленQ1(z) будет иметь к корней с большой абсолютной величиной.

Известный априорный дополнительный параметр tolerance, задаваемый пользователем, используется программой для того, чтобы определить, какие из коэффициентов gk следует считать равными нулю.

8. Составляем матрицу M = ||ci—j|| i = 1,... ,n + 1, j = 1,... ,s + 1, (ck = 0, если к < 0), необходимую для нахождения числителя аппроксимации Паде. Здесь s - степень многочлена Qi(z). После исключения почти нулевых коэффициентов в многочлене Q1(z) его степень s может оказаться меньше формальной степени ß1 + 1 — M.

9. Находим вектор (p0,p1,... ,pn)T = M • (q0, q1,..., qs)T и числитель

n

аппроксимации Паде P1(z) = ^ pk(z — a)k. На этом этапе также

k=0

целесообразно убрать нулевые (меньшие, чем tolerance) элементы pk перед образованием числителя.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Adukov V.M. The problem of Pade approximation as the Eiemann boundary problem // Vestsi NAN Belarusi. Seriva Fiziko-matem, nauk. 2004. 4. P. 55 - 61.

УДК 513.6

E. В. Залетаева, С. И. Небалуев, Е. В. Сецинская

ПЕРСИСТЕНТНЫЕ ГОМОЛОГИИ И ТОЛЕРАНТНЫЕ

ПРОСТРАНСТВА

Поступила в редакцию 24-05.2018 г.

В статье кратко изложена суть метода обработки большого массива данных (big data), основанного на применении персистентных гомоло-гий {persistent homology), и с помощью теории толерантных пространств проведено строгое математическое обоснование этого метода, что до настоящего времени сделано не было.

Не вдаваясь в историю вопроса, можно констатировать, что обработка больших объемов данных (big data) уже давно стала приносить реальную и существенную пользу в различных областях науки: в медицине, промышленности, торговле и т.д. К решению задач по программе big data все больше привлекаются математики самых различных специальностей. Так, например, в работах Карлсона (Carlsson ) [1] применяются методы