Численная модель свободного падения дерева Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.132.2 С.А. Борисевич

Белорусский государственный технологический университет

Борисевич Сергей Анатольевич родился в 1979 г., окончил в 2001 г. Белорусский государственный технологический университет, ассистент кафедры теоретической механики БелГТУ. Имеет более 10 печатных работ в области исследования динамических моделей деревьев. Е-шаН: borsera@mail.ru

ЧИСЛЕННАЯ МОДЕЛЬ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ ДЕРЕВА

Предложена модель дерева, учитывающая гибкость ствола при свободном падении и взаимодействии с упругим основанием, представляющая цепочку жестких стержней, соединенных упругими связями.

Ключевые слова: ствол дерева, гибкость, численная модель, уравнения Ла-гранжа, упругое основание.

Исследование влияния гибкости падающего дерева на его динамическое поведение имеет важное практическое значение, позволяя прогнозировать характер взаимодействия ствола дерева с лесной машиной, ударный импульс, производимый стволом на основание и лесную машину. Точное решение задач о движении деформируемых систем удается получить в замкнутой форме лишь в немногих относительно простых случаях. В основном же это сделать невозможно, и приходится упрощать расчетную модель, в частности уменьшая число степеней свободы [5].

Одним из примеров является модель ствола дерева, представляющая собой набор дискретных масс, соединенных при помощи безынерционных жестких стержней. Последние могут поворачиваться относительно друг друга (рис. 1, а), и распределенная по длине ствола податливость локализуется в конечном числе точек. Подобные двух-, трех- и четырехмассовые модели широко используются в практике проектирования лесных машин [3] и, как правило, применяются для исследования малых колебаний ствола дерева около положения его равновесия. Другим примером служит модель ствола дерева в виде цепочки жестких звеньев, соединенных упругими шарнирами (рис. 1, б) [1]. Звенья представляют собой цилиндры, диаметры которых

Рис. 1. Расчетные модели дерева: а - дискретно-массовая; б - стержневая и упругое основание модели Винклера меняются от основания ствола к вершине. Численные модели, представленные на рис. 1, называемые «bead-chain model» и «rod-chain model» соответственно, давно известны и широко используются при изучении динамики длинных гибких нитей в потоке жидкости [8].

В настоящей работе исследуется второй вариант модели (рис. 1, б), для которой представлен численный метод расчета и выполнено компьютерное моделирование механического поведения при свободном падении и взаимодействии с упругим основанием. Сила сопротивления воздуха, действующая на крону дерева, полагается линейной по скорости и приложенной к нескольким последним стержням модели в соответствии с расположением кроны дерева. Ось вращения первого от основания стержня проходит через кромку среза, т. е. сбрасывание дерева с пня не происходит.

Уравнения движения. В качестве обобщенных координат выберем углы поворота стержней (ф,), отсчитываемые от вертикали (рис. 1, б). Считаем, что движение происходит в одной плоскости. Координаты центров тяжести стержней находим из выражений

к-1 Y

7=1

к-1

2

¿ = 1.2.

■-Ск

K—L ^

= £/, COS ф,+-/,;. COS 7=1 1

(1)

где /. - длина /-го стержня;

п - число звеньев.

Скорость центров масс стержней определяем следующим образом:

V2 ---2 '

Ск

= х2

Ск + zCk'

Кинетическую энергию рассматриваемой системы находим по формуле

(ЩУск , ЛФа2

к=\

где щ - масса к-го стержня;

Jk - динамический центральный осевой момент инерции к-то стержня,

для цилиндра.4 = тк (1/\2 + с/к 16 , с!к ~ диаметр к-го стержня. Потенциальная энергия системы состоит из энергии в поле сил тяжести и энергии упругих связей:

П= ±Ск*к~*к-, (2)

^к Ук

к-2 2 к=1 где ск - жесткость упругих связей.

Для определения коэффициентов жесткости сочленений рассмотрим закон Гука при чистом изгибе:

1 = (3)

р

где 1/р - кривизна упругой линии в произвольном сечении ствола;

М - изгибающий момент в том же сечении;

Е - модуль упругости древесины;

J - осевой момент инерции сечения ствола.

При чистом изгибе изгибающий момент постоянен во всех сечениях стержня. Разобьем стержень на конечные элементы, соединенные упругими шарнирами (рис. 2). После деформации конечно-элементной модели стержня его ось будет представлять ломаную линию с вершинами в точках соединения цилиндров. Зависимость между длиной конечного элемента (А/) и радиусом кривизны окружности (р), проведенной через сочленения, примет вид

А/ = рАф. (4)

В соответствии с законом Гука изгибающий момент выражаем через коэффициент упругости шарнира (сф):

М= СфАф. (5)

Подставляя(4) и (5) в уравнение (3), получаем

Таким образом, коэффициенты жесткости сочленений обратно пропорциональны длине цилиндров, на которые расчленяется стержень, и выражаются простой зависимостью (6) через характеристики ствола дерева.

Примем, что сила сопротивления воздуха, действующая на каждый элемент, пропорциональна первой степени скоростей центров масс стержней ¥к = -в>уск. При линейной зависимости этих показателей для вычисления обобщенной силы сопротивления удобно ввести диссипативную функцию Релея Ф:

1 "

Ф^ЕРл2-

1 7=1

Тогда обобщенная сила (Qk), соответствующая силам сопротивления

воздуха,

ЭФ

Для нескольких последних стержней модели коэффициенты р.

примем отличными от нуля в соответствии с расположением кроны дерева и будем считать, что их значения распределены по треугольному закону с р = 70 Н • с/м у основания треугольника и нулевым на верхнем конце ствола.

Дифференциальные уравнения движения модели получим, составив уравнения Лагранжа:

d_

dt

(

дТ

Эф

дТ

дП

к J

Рис. 2. К определению жесткости пружин

(к = 1,2,...,и).

В результате получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, линейную по угловым ускорениям элементов, но нелинейную по обобщенным координатам и скоростям. Систему не приводим ввиду ее громоздкости.

Интегрирование уравнений движения. Полученные уравнения решены численно с помощью пакета Maple 11 при заданных начальных углах отклонения стержней от вертикали и их начальных скоростях. С учетом начальных условий получена система уравнений, линейных относительно старших производных ф. . Угловые ускорения из системы находили

при помощи метода Ньютона - Рафсона по итерационной формуле [2].

Численное интегрирование уравнений движения производили с помощью модификации базовой схемы Верле, так называемой полушаговой «leap-frog» схемы [7]:

ф (t + At/2) = ф (t - At/2) + ф (OA/1; ф (t + At) = ф(0 + ф (t + At/2)At, где ф, ф , cp - векторы соответственно углов поворота, угловых скоростей и угловых ускорений.

Текущие скорости вычисляли по формуле

ф (0 = 0,5( ф (t + At/2) + ф (t - At/2)).

Примем, что диаметр ствола (d) изменяется по линейному закону [4]:

d = d0-qs, (7)

где d0 - диаметр ствола у основания; q - коэффициент сбега;

s - дуговая координата, отсчитываемая от основания ствола.

Определим коэффициент сбега следующим образом. Пускай при 5, равной длине дерева /, диаметр ствола на вершине будет d = d , тогда коэффициент сбега

q= d0-dB /1 ■ (8)

Подставляя (7) в формулу для осевого момента инерции сечения (считая его круглым) и учитывая выражение для коэффициента сбега (8) и для длины звеньев Л/ = 1 /п, определяем жесткость упругих связей (6):

EJ

Ak

EJ

A0

M

M

( ( 1-

-

d,, ) n

V

k = 1,

(9)

где ^ - осевой момент инерции сечения у основания ствола.

Проведя аналогичные рассуждения, получим массу звеньев модели:

Щ+1 = mi

( ( 1-

i-i d,

n

о

k = 0,

(10)

где щ - масса первого от основания цилиндра. Показатель т\ найдем из условия

m = Y. "h- = ¿"7i

ы 1

ы 1

1-11-^

dn

ЧУ

n

откуда

тл = mi

£

к=0

dn

k

f f rf^H 1-

V

где m - масса ствола.

Шаг по времени принимали: при свободном падении Аt = 0,001 с, при взаимодействии с упругим основанием Аt = 0,0001 с. Параметры ствола дерева [4]: длина / = 19 м, диаметры d0 = 24 см, ¿/,, = 10 см, модуль упругости древесины Е = 1,2 -101" Па, плотность р = 780 кг/м1: массу вычисляли исходя из объема ствола и плотности древесины. В приведенных ниже расчетах ствол дерева разбивали на 20 частей, силу сопротивления прилагали к последним четырем стержням.

Сохранение полной энергии системы при отсутствии сил сопротивления гарантировало устойчивость работы алгоритма.

Свободное падение дерева. Интегрирование дифференциальных уравнений движения проводили при следующих начальных условиях: а) первоначальная осевая линия задана прямой с начальным углом наклона фо= 10°; б) начальная угловая скорость со0= ОД рад/с.

n

с,. =

k

2

n

В результате интегрирования уравнений движения можно получить формы осевой линии ствола дерева в процессе его движения. Для некоторых моментов времени они представлены на рис. 3. Как видим, в момент соприкосновения с основанием ось ствола дерева изогнута, что может увеличить производимый при этом импульс. Если силы сопротивления отсутствуют, жесткость ствола не позволяет ему деформироваться, и он движется практически как абсолютно твердое тело.

Взаимодействие падающего дерева с упругим основанием. Примем, что дерево падает на упругое основание, описываемое линейной моделью Винклера без демпфирования, в которой деформации поверхности пропорциональны нагрузке и полностью исчезают при ее снятии [6] (см. рис. 1, б). При касании поверхности основания (zCk < 0) в выражение для потенциальной энергии (2) добавляется дополнительное сла-

а е, соответствующее потенциальной энергии упругого основания:

П'=п + -Ус.....„ДZÍ, (11)

Рис. 3. Упругая линия ствола дерева при падении в различные моменты времени:

1 - I = 2,3; 2 - 3,5; 3 - 4,5; 4 - 4,8 с

0 ^Соснк^Ск ' ^ к=1

где соснк - жесткость пружин упругого основания.

В расчетах принято, что стержни модели соприкасаются с пружинами своими центрами масс. Коэффициенты жесткости (сосн^ = сосн) приняты равными 6,5-105 Н/м [6].

Формы осевой линии ствола дерева в процессе взаимодействия с упругим основанием представлены на рис. 4, из которого видно, что с увеличением номера соприкасающегося стержня деформации пружин основания сначала нарастают, в средней части ствола уменьшаются практически до нуля, а затем резко возрастают при соприкосновении последних стержней модели. Максимальная деформация пружин вызывается последним стержнем и составляет Дгс = 0,22 м. В реальном случае воздействие конца ствола дерева на упругое основание смягчает крона. Это легко учесть, изменяя длину его пружин в месте соприкосновения кроны.

Импульс, произведенный стволом дерева на основание (5), можно вычислить по формуле

¿ = £1;соонДг,*ДГ5 к=\,...,п, у=1,..., tю/At,

] к

где Azjk - деформации основания;

- продолжительность взаимодействия.

В результате расчетов для жесткого ствола дерева получено = 10,720, для гибкого = 8,722 кН-с. Таким образом, гибкость ствола оказывает значительное влияние на взаимодействие с упругим основанием и приводит к уменьшению импульса, произведенного стволом дерева, почти на 20 %. Полагая в формуле (11) все коэффициенты соснк кроме одного равными нулю, можно получить модель падения ствола на упругую невесомую опору.

Рис. 4. Упругая линия ствола дерева во время взаимодействия с поверхностью: 1 - / = 4,35; 2 -4,36; 3 - 4,39; 4 - 4,43; 5 -4,45; 6 - 4,47 с

Таким образом, расчеты показали, что использование рассмотренной модели позволяет учесть гибкость ствола при падении дерева и взаимодействии с упругим основанием, получить характер распределения деформаций ствола и основания. Не представляет труда учесть не только сбег, но и другие особенности дерева.

Автор выражает благодарность проф. В.С. Вихренко за ценные указания при подготовке статьи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Борисевич С.А. Конечно-разностная схема для исследования падения ствола дерева // Тр. БГТУ. Сер. II: Лесн. и деревообраб. пром-сть. - 2008. - Вып. 16. -C. 104-107.

2. Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. - М.: Мир, 1988. - 440 с.

3. Жуков А.В. Теория лесных машин. - Минск: БГТУ, 2001. - 640 с.

4. Коротяев Л.В. Параметры деревьев и хлыстов как объектов лесозаготовительного производства. - Л.: АЛТИ, 1982. - 80 с.

5. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. - М.: Наука, 1991. - 256 с.

6. Черкасов И.И. Механические свойства грунтов в дорожном строительстве. - М.: Транспорт, 1976. - 247 с.

7.AllenM.P., TildesleyD.J. Computer Simulation of Liquids. - Oxford.: Clarendon press, 1999. - 385 p.

8. Gang Wang, Wei Yu, Chixing Zhou. Optimization of the rod chain model to simulate the motions of a long flexible fiber in simple shear flows // European Journ. of Mechanics B. - 2006. - Vol. 25, N 3. - P. 337-347.

Поступила 03.07.09

S.A. Borisevich

Belorussian State Technological University Numerical Model of Free Tree Fall

The tree model is suggested taking into account the stem flexibility under its free fall and interaction with the elastic base; the model presents the chain of hard bars connected by elastic connections.

Keywords: tree stem, flexibility, numerical model, Lagrange equations, elastic base.