Численная модель поляризационных и спектральных характеристик лазерных зеркал и оптических резонаторов Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЛАЗЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ДЛЯ АНАЛИЗА И ОБРАБОТКИ МАТЕРИАЛОВ

УДК 620.179

В. В. Азарова, А. П. Макеев, В. П. Симонов

ЧИСЛЕННАЯ МОДЕЛЬ ПОЛЯРИЗАЦИОННЫХ И СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛАЗЕРНЫХ ЗЕРКАЛ И ОПТИЧЕСКИХ РЕЗОНАТОРОВ

Приведена математическая модель расчета поляризационных и спектральных характеристик собственных типов колебаний кольцевых оптических резонаторов с неплоским контуром, учитывающая фазовую анизотропию зеркал косого падения. Проведено сравнение результатов численного моделирования и экспериментальных измерений характеристик лазерных зеркал и спектров мод четы-рехзеркальных резонаторов с неплоским симметричным осевым контуром. Показано, что математическая модель может быть применена для оптимального подбора зеркал лазерных резонаторов с учетом их реальных параметров.

Ключевые слова: оптический резонатор, поляризационная характеристика, лазерное зеркало.

Введение. Объемные кольцевые оптические резонаторы, осевой контур которых находится в нескольких плоскостях, в последние годы находят все большее применение в лазерных гироскопических датчиках [1—3]. Это делает актуальной задачу рассмотрения влияния неидеальности зеркал, в частности фазовой анизотропии многослойных интерференционных диэлектрических покрытий и отклонений от заданного радиуса сферы, на поляризационные и спектральные характеристики собственных типов колебаний кольцевых оптических резонаторов с неплоским контуром.

В настоящей работе проведено численное моделирование многослойных отражающих покрытий с учетом ошибок, возникающих при напылении слоев, и проанализировано влияние этих ошибок на поляризацию собственных типов колебаний и спектр мод резонаторов. Исследуются возможности исправления характеристик зеркал путем дополнительного напыления слоев, анализируется влияние ошибок на характеристики кольцевых лазерных резонаторов с неплоским контуром.

Многослойные интерференционные покрытия с учетом ошибок напыления слоев. При построении математической модели расчета многослойных диэлектрических зеркал использован метод характеристических матриц Абелеса [4, 5]. В описании пленочных систем этим методом используется понятие матрицы слоя, имеющей вид для ТЕ-поляризации (электрический вектор световой волны Е перпендикулярен плоскости падения):

т 1

соб Р—— Бт Р1

Р-

-¡р.- БтР . собР

]

Í 2 2\1/2

где Р j = 2-Knjhj cos 9 j / X, pj = nj cos 9 j, 9 j = arccos 11 - sin 9a / nj I — угол преломления в

j-м слое, 9a — угол падения излучения на многослойное покрытие, X — длина волны падающего света.

Для ТМ-поляризации (вектор Е параллелен плоскости падения) в матрице m j значения

Pj заменяются на qj = cos 9 j / nj.

Важной особенностью матрицы m¿ является то, что ее элементы полностью определяются показателем преломления nj и толщиной hj j-го слоя и не зависят от параметров окружающей среды.

Многослойное зеркальное покрытие конструируется согласно формуле: A(HL)NHG, где H и L — четвертьволновые слои с высоким и низким показателями преломления, а A и G — среда (обычно воздух) и подложка с показателями преломления Па и nG соответственно. Че-

рез элементы матриц многослойного покрытия m =

m

11

m

12

m

21

m

22

определяются коэффициенты

отражения по амплитуде:

ГТЕ = [т11РЛ - т22Рв + т12РлРО - т21 ]/[т1 \РЛ + т22Рв + т12РлРв + т21 ], (2)

гтм рассчитывается с помощью формулы, аналогичной (2), через матрицу т для ТМ-поля-ризации путем замены Рл и Ро на дл и дс соответственно.

Коэффициенты отражения по интенсивности для ТЕ- и ТМ-поляризаций определяются по формулам:

* *

-"ТЕ = ГТЕГТЕ ; "ТМ = ГТМГТМ,

здесь „*" означает комплексное сопряжение.

Скачки фазы при отражении описываются выражениями:

(

ôrTE = arctg

Im r

TE

\

V Re rTE J

f

ôrTM = arctg

Im r

TM

V Re rTM J

фазовая анизотропия зеркала Л определяется как А = 8тТм - 5тте .

В линейном представлении матрица зеркала при падении имеет вид:

Z =

i i -А

|rTM|exP1 -

0

0

- |rTE|exP I -1 -

(3)

На рис. 1 представлены результаты расчета коэффициентов отражения по интенсивности для ТЕ- и ТМ-поляризации 17-слойного зеркала TiO2-SiO2 с заданной погрешностью толщины четвертьволновых слоев на А/10 (X =632 нм), последовательно на каждом слое, начиная с верхнего. Из представленных графиков видно, что расчетные значения коэффициента отражения Rte близки к 0,9999 и практически не зависят от заложенных в расчеты ошибок напыления. Величина Rtm изменяется от 0,9965 до 0,997, в зависимости от положения напыленного с ошибкой слоя в многослойной структуре покрытия.

R, о. е.

0,999

0,998

0,997

0,996 Д

0,3 0,2

0,1

rte

1 2 3 4 5 6

16 j

7 8 9 10 11 12 13 14 15

Рис. 1

Численное моделирование на основе этого математического аппарата позволяет определять оптимальное число слоев напыления для получения заданных коэффициентов отражения и пропускания на рабочей длине волны и установить спектральную зависимость при идеальных четвертьволновых слоях и с учетом ошибок напыления. Результаты расчетов хорошо согласуются с экспериментальными данными, они показывают, что для улучшения фазовых характеристик зеркал, напыленных с ошибками, необходимо на верхний слой нанести слой, устраняющий ошибку, и еще один — такой, чтобы его толщина была равна четвертьволновому слою. После „допыления" характеристики зеркал значительно улучшаются и приближаются к значениям для зеркал без ошибки напыления слоев.

На рис. 2 приведена схема кольцевого резонатора с неплоским контуром (а и р — углы излома контура и поворота изображения при отражении от зеркал).

Расчет спектров собственных частот кольцевых резонаторов с неплоским контуром проводился с использованием матриц Джонса на основе поляризационного уравнения [1, 2, 5]:

МЕ = уЕ, (4)

где M =

M11 M

12

матрица, описывающая воздейст-

вие. 2

_-М21 М22 _

вие всех элементов резонатора на световую волну, совершающую круговой обход резонатора; у — собственные значения матрицы М:

БрМ ^(БрМ)

1

У1,2 = ■

- 4DetM

\Ех1Еу|12 = M12/(YU -Mn).

Для резонаторов с неплоским контуром (SpM) - 4DetM

< 0, что означает наличие

разности сдвига фаз и соответственно разности частот между модами с разными состояниями поляризации (из-за знаков „плюс" и „минус" перед корнем).

В отсутствие невзаимных эффектов матрицы полного обхода „холодных" резонаторов с неплоским контуром с идеальными зеркалами для направлений обхода по часовой стрелке

Mcw " n/rccw

и против часовой стрелки M одинаковы:

0

Мс

= я Ы,

м,

сое рЕ - в1П РЕ

_ МП рЕ соБ рЕ

где р£ — полный угол поворота изображения световой волны при круговом обходе резонатора. Из уравнений получим у12 = ехр (+/'Рх) и |12 = ехр (±/'л /2) = ±/. Таким образо

для резонаторов с неплоским контуром собственные типы колебаний имеют правую и левую круговые поляризации независимо от угла излома резонатора, а сдвиг по фазе между волнами с правой и левой круговыми поляризациями равен удвоенному углу поворота системы координат при полном обходе резонатора 2р^ .

В зависимости от угла излома контура резонатора и соответственно от величины р£ сдвиг резонансных частот с левой и правой круговыми поляризациями меняется, т. е. видоизменяется спектр резонатора. Изменяя угол неплоскостности а, можно получить резонатор с требуемым спектром частот.

Таким образом, неплоский контур резонатора в общем случае выполняет две функции. Во-первых, он обеспечивает формирование волн с круговой поляризацией; во-вторых, снимает вырождение по частотам, обеспечивая взаимное расщепление частот волн с разными (левой и правой) круговыми поляризациями. В плоском контуре такое расщепление исчезает, даже если каким-либо образом сформированы волны с круговыми поляризациями. В результате обобщенной собственной модой резонатора с неплоским контуром будут четыре волны, причем две из них распространяются вдоль контура резонатора по часовой стрелке (CW), а две других — против часовой стрелки (CCW). Волны каждой из этих пар имеют разные круговые поляризации — левую и правую — и соответственно разные частоты (это так называемое „взаимное" расщепление). Для резонаторов с идеальными зеркалами частоты встречных волн попарно (с одинаковыми направлениями вращения поляризации) совпадают, в результате каждая пара встречных волн покоящегося резонатора (CW и CCW) имеет совпадающие частоты и совпадающие направления круговой поляризации (одна пара — обе левые, другая — обе правые круговые поляризации).

На рис. 3 приведены результаты расчета частотных характеристик продольных мод при снятии вырождения по поляризации. В случае плоского контура (рис. 3, а, р =0) и идеальных зеркал поляризация излучения линейная, а частотное расстояние между соседними модами равно е/Ь, где Ь — периметр резонатора (в расчетах 16 см). В резонаторах с неплоским контуром (рис. 3, б; р=22,5°) снимается частотное вырождение в модах с разной круговой поляризацией. В этом случае частотное расстояние между модами зависит от угла излома резонатора и соответственно от угла поворота изображения световой волны зеркалом р.

а) ^00д-1 v00д У00д+1

-ргхт-т-р

п л п л

е/2Ь е/2Ь — е/2Ь

1 | 1 1 Г I | 1 I ■ | 1 Г 1 1 | 1 1 Т"| Р 11 1 | 1 Гггргп Г| Г 1 1 | р | | |

Рис. 3

Для вычисления спектра мод и поляризационных характеристик резонаторов с учетом неидеальности зеркал матрица в (4), описывающая воздействие всех элементов резонатора на световую волну, рассчитывается с учетом выражения (3). Спектр собственных частот про-

V

дольных и поперечных мод симметричных резонаторов определяется выражением, получен ным на основании работы [6]:

Г ( 1/ \ arg Ур ^

а + (т + п + 1)—^ + — (т - п)+ р

v

mnqp

2ж

(5)

v . J

где m, n, q — индексы поперечных и продольных мод с учетом индекса поляризации p, arg yp — набег фазы при полном обходе резонатора с учетом фазовой анизотропии зеркал резонатора, as — набег фазы при полном обходе резонатора с учетом его сферичности при эффективном радиусе Яэ и углом падения излучения на зеркала 0:

as = arccos,

( L V

1--sec 9

Яэ

1 -L cos 9

. Я

Л

Эксперимент. Сравнение данных эксперимента и математического моделирования.

Путем сравнения расчетов по описанным математическим моделям с результатами экспериментальных измерений спектров собственных типов колебаний были сделаны следующие выводы:

— в резонаторах с неплоским контуром снимается вырождение по поляризации. Частотное расстояние между модами с правой и левой эллиптическими поляризациями зависит от угла излома контура и характеристик зеркал;

— ошибка напыления одного из зеркал в резонаторе не влияет на собственные значения матрицы резонатора и соответственно на спектр мод резонатора;

— наличие фазовой анизотропии на двух и более зеркалах в резонаторе приводит к изменению поляризационных и спектральных характеристик мод, причем величина расщепления спектра зависит не только от величины ошибки напыления, но и от порядкового номера зеркала с ошибкой в резонаторе.

Экспериментальные результаты получены по методике, описанной в работе [7]. На рис. 4 приведены экспериментально измеренные спектры мод симметричного кольцевого резонатора с неплоским контуром (р=22,5°), угол излома а=32°, периметр Ь=16 см. Между частотами двух основных мод с правой и левой круговыми поляризациями находятся поперечные моды ТЕМ10дп и ТЕМ01(д+1)л, вырожденные по частоте в случае идеальных зеркал. При наличии фазовой анизотропии зеркал вырождение снимается. Величина частотного расщепления зависит от величины фазовой анизотропии и номера зеркала, напыленного с ошибкой.

; . , ,,,

0,8 МГц

и 5 МГц

J V.

Рис. 4

Для поперечных мод ТЕМ10дп и ТЕМо1(д+1)Л вырождение по поляризации снижается на 0,8 МГц при фазовых ошибках зеркал Д=0,08 рад на 1-м зеркале, -0,08 рад — на 2-м и ~0 — на 3-м и 4-м зеркалах (радиус сферического зеркала 2 м). Результаты расчета подтверждают экспериментальные данные с точностью до ошибки измерения (суммарная ошибка измерений — не более 10 %).

Таким образом, наличие фазовой анизотропии зеркал приводит к уширению и даже раздвоению резонансного пика пропускания поперечных мод. Это, в свою очередь, может привести к ошибочному определению уровня селективности лазерных резонаторов и ошибкам при юстировке и сборке резонаторов.

Выводы. Предложенная математическая модель может быть использована для подбора зеркал при сборке лазерных резонаторов, а также в технологическом процессе контроля селективности резонаторов с целью обеспечения генерации на основной поперечной моде с минимальными потерями в лазерных гироскопических датчиках.

Авторы выражают благодарность И. И. Савельеву за полезные обсуждения и В. В. Фокину за помощь в проведении экспериментов.

список литературы

1. Азарова В. В., Голяев Ю. Д., Дмитриев В. Г., Мельников А. В., Назаренко М. М., Тихменев Н. В. // Гироскопия и навигация. 1997. Т. 19, № 4. С. 7—16.

2. Азарова В. В., Голяев Ю. Д., Дмитриев В. Г. // Квантовая электроника. 2000. Т. 30, № 2. С. 96—104.

3. Азарова В. В., Голяев Ю. Д. и др. Разработка модернизированного типоряда лазерных гироскопических датчиков 2-го поколения и трехосных лазерных гироскопов на их основе на базе модернизации существующих и разработки новых технологий и метрологий. Отчет по НИЭР Феникс-1. М., 2006.

4. БорнМ., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970.

5. Джеррард А., Берч Дж. М. Введение в матричную оптику. М.: Мир, 2008.

6. Савельев И. И., Хромых А. М. // Квантовая электроника. 1976. Т. 3, № 7. С. 1517—1526.

7. Азарова В. В, Ефремова Н. А. // Квантовая электроника. 2002. Т. 32, № 3. С. 239—242.

Сведения об авторах

Валентина Васильевна Азарова — канд. физ-мат. наук, доцент; Национальный исследовательский университет „Высшая школа экономики", кафедра радиоэлектроники и телекоммуникаций; ОАО НИИ „Полюс" им. М. Ф. Стельмаха, Москва; начальник лаборатории; E-mail: azarovav@hotbox.ru

— аспирант; ОАО НИИ „Полюс" им. М. Ф. Стельмаха, Москва

— д-р техн. наук, профессор; Национальный исследовательский университет „Высшая школа экономики", кафедра электроники и наноэлектро-ники, Москва; E-mail: vsimonov@hse.ru

Поступила в редакцию 14.12.13 г. симпозиума

Алексей Петрович Макеев Валентин Павлович Симонов

Рекомендована Программным комитетом