Численная методика решения двумерного нелинейного уравнения вихря на основе смешанных конечных элементов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6:532.5 В.В. Кравченко

ИВМиМГ СО РАН, Новосибирск

ЧИСЛЕННАЯ МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОГО НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ВИХРЯ НА ОСНОВЕ СМЕШАННЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

После применения расщепления по физическим процессам и по времени и метода конечных элементов к двумерному нелинейному уравнению вихря получена схема с двумя этапами расщепления. После расщепления по физическим процессам для построения сеточных уравнений используются различные виды конечных носителей. Тестовые расчеты проводились как для общей задачи, так и для этапов расщепления в отдельности, что показало их работоспособность.

V.V. Kravtchenko

Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS 6 Akademika Lavrentjeva prospect, Novosibirsk, 630090, Russian Federation

METHOD OF SOLVING 2D NONLINEAR VORTICITY EQUATION ON BASE OF A MIXED FINITE ELEMENT METHOD

Based on the splitting in terms of physical processes and with respect to time and on a finite element method (FEM) as applied to a 2D nonlinear vorticity equation, a scheme with two splitting steps was obtained. For constructing FEM operators at the steps of splitting in terms of physical processes, different types of finite elements are used. The efficiency of the scheme was tested on each splitting step separately as well as on the problem as a whole.

Задача о нахождении плоской нестационарной циркуляции является одной из типичных задач динамики океана. Эта начально-краевая задача описывается двумерным нелинейным уравнением вихря. В данной работе представлена схема для её решения, для построения которой используется расщепление в комбинации с методом конечных элементов (МКЭ). При этом расщепление проводится на различных этапах построения численной модели и включает в себя как расщепление по физическим процессам, позволяющее провести линеаризацию исходной задачи, так и дальнейшее расщепление по времени одного из полученных сеточных операторов. После расщепления по физическим процессам для построения сеточных уравнений используются различные виды конечных носителей, вследствие чего удается значительно сократить сеточный шаблон при переходе от одной характеристики к другой на этапах расщепления.

Перейдём к постановке задачи. В области Q = С1х(0,Т) рассмотрим двумерное нелинейное уравнение вихря, записанное в терминах функции тока, с определёнными начальными и граничными условиями. В безразмерном виде имеем [1]:

d'F

ДЧ*, + SU(AW, Ч') + р-----+ еАЧ* - //ДАЧ' - /, (х,у, t) е Q ;

дх

Здесь П - ограниченная односвязная область пространства Я2 с

границей дО. е С2 , Р = 1, 8,е,1л>у\, д,е,ц<у2, У\,У2 > 0 ; х*/О(Х>0 е С2 (О.),

Введём разбиение по Т с шагом г . Согласно методу слабой аппроксимации, задачу (2) будем решать с помощью расщепления по физическим процессам [2]:

п = -1.

Здесь первый этап является решением линейного уравнения для функции тока, а второй описывает адвекцию-диффузию вихря.

Для определения приближённого решения задач (3), (4) наложим на область П прямоугольную сетку Затем прямоугольники сетки триангулируются диагоналями переменного направления. Рассмотрим конечные элементы двух типов:

1. (ок - кусочно-линейные функции, определённые значениями в вершинах треугольников так, что

ди ду

/ = Ях,у,<)еЬ2(П)хС°((0,Т]); •/(«.*)= а„ дг -якобиан.

дУ дУ

В терминах вихр^ ение (1) можно переписать в виде:

£(+ЩС,'¥) + 0??-+еС-/1АС = / , АЧ> = £ , (х,у,0^0

(2)

£(Х,У,0) = АЧ/ (х,у); = 0 ; = 0 .

Д('Р1'). +ггАЧ', + р-5- = /■;

^ е [¡п ’ ¡п +1 ] •

а*?,

> Л I пЛШ I Я 1

(3)

^ е [¡п ’ ¡п +1 ]

(^),+#(^,Ч7+1)-М<Г2=0;

(4)

здесь (хк, У1) - вершина некоторого треугольника сетки;

2. ау - неконформные элементы - кусочно-линейные функции, определённые значениями в серединах сторон треугольников так, что

здесь (хк, У1) - середина стороны некоторого треугольника. Элементы такого вида были предложены ранее Крузей и Равьяр [3] для решения уравнения Стокса.

Построенные описанным выше способом функции обладают некоторыми важными свойствами: функции (х,у) ортогональны, а

каждый конформный элемент со*- является полусуммой неконформных, его окружающих.

Возьмём за приближённое значение функции тока - комбинацию конформных конечных элементов, а за приближённое значение вихря -комбинацию неконформных.

где Nн - множество узлов сетки, образованное серединами сторон треугольников, а Л,г/ч - их вершинами; <Ру{/) , у/м - весовые множители,

которые нужно определить.

После дискретизации первого этапа (3) по времени и применения метода Галёркина получаем систему линейных уравнений, которая затем решается итерационным методом.

После слабой постановки задачи для второго этапа (4), перед применением метода Бубнова-Галёркина, в силу наличия разрывов на

границах носителей у функций со''- (х, у ), вводится приближённая билинейная

форма. В результате получаем систему дифференциальных уравнений, оператор которой положительно определён и представим в виде суммы двух трёхточечных одномерных положительно-полуопределённых операторов. В силу этого разложения возможно применение метода расщепления по времени и для решения применяется двуциклический метод расщепления по времени. В отличие от традиционного покоординатного расщепления в данном случае прогонки производятся по ломаным линиям, соединяющим узлы сетки. Это подход, по-видимому, еще не был использован в теории расщепления. Ранее, для конформных элементов, использовалось разбиение, по крайней мере, на три оператора, включающие диагональные направления [4]. Подробно решение подобной задачи, как и дополнительные выгоды и некоторые сложности применения неконформных конечных элементов, разобрано в [5].

(5)

Тестовые расчеты проводились как для общей задачи, так и для этапов расщепления в отдельности, что показало их работоспособность. Остановимся на одном из них. Это задача, имеющая физический смысл, заключающаяся в поиске решения, учитывающего реальные параметры, в том числе и наличие пограничного слоя, - задача на установление при постоянно действующей силе / = 0.1. Рассмотрено два варианта начальных данных: нулевое значение и решение задачи Стоммела

дЧ*

. Так как оба варианта при одинаковых параметрах

дх

Ь

имели различия лишь в форме получающейся функции в начале процесса, а к моменту Т = 500 давали решение одного вида с явной тенденцией к установлению, то решено было ниже привести только первый из них.

Результаты

теста:

относительная

погрешность

тах

0,Л<е№

Ы,-1

тах

максимум приближённого решения

(П)

N.

и его вид - даны для следующих параметров: 8 = ю

-3

МАХ = тах

£ = 10~2, /л = 10-4, фиксированного шага по времени г (см. табл. 1 и рис. 1).

Из приведённых данных можно судить о сходимости метода, в эту пользу говорит и то, что при различных шагах по времени в определённый момент т вид получаемых приближённых решений совпадал, за исключением, возможно, небольших различий в максимуме функции. Также стоит заметить, что вид получаемого решения вполне соответствует существующим на настоящее время результатам по этой задаче.

Таблица 1 Скорость установления и максимум приближённого решения в

зависимости от числа временных шагов N

р отн МАХ

[100 X 100 X 10] -2 9,98-10 z 1,97 • 10 5

[100 х Ю0 х Ю0] 9,87 -10_3 1,928 10 “2

[100 х 100 х Ю00] 6,3 -ю-4 0,122

[100 х 100 х Ю000] 7,1 • 10 _6 9,39 10-2

[100 х Ю0 х Ю0000 ] ОО 1 О 1—ч 1—ч ЧО -2 9,35-10 z

1) [ЮОхЮОхЮ]

2) [100x100x1000]

3) [100 X 100 X100000 ].

Рис. 1. Вид приближённого решения в зависимости от количества временных

ч Ь

шагов [100 х юо х л^]. а) срез вдоль х при у = —; о) изолинии

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ№08-05-00708

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Бернье, К., Залесный, В. Б. Сравнение численных алгоритмов решения одномерного нелинейного уравнения вихря [Текст] / К. Бернье, В.Б. Залесный // Океанология. - 1996. - № 5. - С. 704-713.

2. Марчук, Г.И. Методы расщепления [Текст] / Г.И. Марчук. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 264 с.

3. Crouzeix, M., Raviart, P.A. Conforming and non-conforming finite element methods for solving the stationary Stokes equations [Текст] / M. Crouzeix, P.A. Raviart // R.A.I.R.O., Model. Math. Anal. Numer. - 1973. Vol. 7. - P. 33-76.

4. Кузин, В.И. Метод конечных элементов в моделировании океанических процессов [Текст] / В.И. Кузин - Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1985.

5. Кузин В.И., Кравченко В.В. Применение неконформных конечных элементов для решения задач диффузии-адвекции [Текст] / В.И. Кузин, В.В. Кравченко // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. - Новосибирск, 2010. - Т. 13. - № 1. - С. 51-65.

© В.В. Кравченко, 2010