ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ СИСТЕМ ДЛИТЕЛЬНОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.217

Частотный метод моделирования вероятностных систем длительного использования

Б. П. Зеленцов

Излагается частотный метод моделирования вероятностных систем, эволюционирование которых описывается однородным марковским процессом в дискретном или непрерывном времени. В соответствии с этим методом находятся частоты состояний, частоты переходов между состояниями системы и частоты переходов между подмножествами состояний в стационарном режиме. Эксплуатационные характеристики системы длительного использования выражаются через эти частоты путем оперирования с числовыми и функциональными матрицами.

Ключевые слова: марковский процесс в дискретном времени, марковский процесс в непрерывном времени, средняя частота состояния, средняя частота переходов между состояниями, средняя частота переходов между подмножествами состояний.

1. Введение

В отечественной и зарубежной литературе имеются многочисленные публикации, связанные с исследованием свойств марковских процессов в дискретном и непрерывном времени и их применением для моделирования вероятностных систем различного назначения, например [9, 12, 13]. Особо следует отметить применение теории марковских процессов для решения задач в области надежности. Например, в [1, 10] на основе марковских процессов в непрерывном времени составлены модели функционирования восстанавливаемых и невос-станавливаемых систем, приведены методы расчета показателей надежности (коэффициента готовности, среднего времени между отказами и др.) при различных условиях, связанных со спецификой оборудования. В монографии [14] приведены уравнения, связывающие предельные вероятности состояний и переходные вероятности марковского процесса в дискретном времени, названные уравнениями баланса. Однако эти уравнения не доведены до такого смыслового содержания, которое позволило бы ввести понятие частоты и использовать её для составления модели.

Статья посвящена разработке модели функционирования вероятностной системы, в основе которой лежат частоты состояний, частоты переходов между состояниями и между подмножествами состояний. Модель изложена в рамках теории однородного марковского процесса с конечным эргодическим множеством состояний параллельно в дискретном и в непрерывном времени.

С помощью рассматриваемой модели может быть найден ряд характеристик системы, которые сводятся к вычислению вероятностных, временных и частотных характеристик подмножеств состояний: предельной вероятности подмножества состояний, частоты переходов в подмножество состояний, среднего времени нахождения в подмножестве состояний. Эти характеристики вычисляются в стационарном режиме функционирования системы по исходным матрицам переходных вероятностей или интенсивностей переходов между состо-

яниями системы с использованием указанных частот. Выходные характеристики технических систем определяются их назначением и спецификой. Их получают на основе характеристик подмножеств состояний.

Метод может быть применен для моделирования функционирования электронного оборудования различного назначения, телекоммуникционных систем и сетей связи. В частности, оборудование систем связи относится к системам длительного использования и обладает всеми особенностями сложных систем, таких как большое число элементов различного назначения и высокая степень их связности, многоцелевое назначение, сложность алгоритмов управления, наличие различных видов избыточности и др. Надежность, эффективность и эксплуатационные свойства оборудования систем связи могут быть исследованы с помощью частотного метода.

В качестве простого иллюстративного примера рассмотрена система из двух элементов, функционирование которых представлено при последовательном или параллельном (в смысле надежности) соединении элементов.

Автор надеется, что интерес к статье проявят специалисты, занимающиеся проектированием новых, совершенствованием существующих систем длительного использования, а также исследующие различные закономерности и свойства в таких системах.

2. Постановка задачи

Основой модели является дискретное конечное эргодическое множество Ж состояний, в котором переходы от состояния к состоянию описываются однородным марковским процессом в дискретном или непрерывном времени. Следует заметить, что в отечественной и зарубежной научной литературе используются также другие термины с таким же смыслом, например, цепь Маркова в дискретном и непрерывном времени.

В процессе эксплуатации системы длительного использования имеют место переходы как между состояниями системы, так и между подмножествами состояний. Здесь ставится задача нахождения средних частот состояний и частот переходов между состояниями, с использованием которых вычисляются промежуточные характеристики подмножеств состояний, таких как предельные вероятности подмножеств состояний, частоты переходов между подмножествами состояний, время нахождения в подмножествах состояний.

Излагаемая модель разработана при следующих допущениях:

1) непосредственные переходы системы из одного состояния в другое происходят на одном шаге в дискретном времени и мгновенно в непрерывном времени;

2) процесс переходов от состояния к состоянию является однородным, непосредственные переходы между состояниями описываются постоянными переходными вероятностями в дискретном времени или постоянными интенсивностями переходов в непрерывном времени.

В статье понятия «случайный процесс» и «система» являются синонимами. Синонимами являются также «состояние процесса» и «состояние системы».

Дальнейшие рассуждения и результаты приводятся одновременно для процесса в дискретном и непрерывном времени.

3. Исходные характеристики системы

Итак, в дискретном времени непосредственные переходы между состояниями Wi ^ описываются переходными вероятностями ру (/ Ф/), а в непрерывном времени - интенсивно-стями переходов Ау (г Ф]), где Wi е Ж, Wj е Ж.

Как переходные вероятности, так и интенсивности переходов записываются в виде исходной матрицы переходных вероятностей Р и исходной матрицы интенсивностей Л [3, 5, 6, 8, 11]:

а) Р =

Ру

б) Л =

А

(1)

4. Частоты состояний

Введем понятие частоты ю вхождения эргодического процесса в состояние Wi в стационарном режиме. Частота т определяется как среднее число вхождений в состояние Wi, приходящееся на один шаг, для процесса в дискретном времени, и как среднее число вхождений в состояние Wi, приходящееся на единицу времени, для процесса в непрерывном времени. В [6] приведена зависимость между частотой состояния т и предельной вероятностью состояния п для процесса в дискретном и непрерывном времени:

а) Щ =кг • (1 -р); б) щ =-жг-Лй, (2)

где ри и Ли - диагональные элементы соответственно исходной матрицы переходных вероятностей и исходной матрицы интенсивностей.

Для дальнейшего развития модели удобно ввести диагональные элементы матрицы частот ю = - ю Тогда соотношения (2) можно представить в матричном виде для процесса в дискретном и в непрерывном времени:

а) ^ = П^ • (Рё - Е); б) = П^ • Л^, (3)

где - обозначение соответствующей диагональной матрицы; Е - единичная матрица соответствующего порядка; - матрица, диагональными элементами которой являются тц, остальные элементы равны нулю; П,^ - матрица, диагональные элементы которой равны соответствующим предельным вероятностям состояний, а остальные элементы равны нулю

Диагональный элемент юц равен сумме частот непосредственных переходов из состояния Wi в другие состояния, взятой с обратным знаком:

Щгг =-™г = Е . (4)

5. Частоты переходов между состояниями

Частота ю непосредственных переходов Wi ^ Wj (г Ф j) определяется частотой юг- и вероятностью того, что система перейдет в Wj, когда она покинет состояние Wi. Эта вероятность пропорциональна переходной вероятности рц для процесса в дискретном времени и интенсивности для процесса в непрерывном времени. Частота непосредственных переходов Wi ^ Wj с использованием предельных вероятностей для процесса в дискретном времени и для процесса в непрерывном времени примет вид [6]:

а) Щ, = Щ • Ру; б) Щ, = Щ , г ф]. (5)

Частота Юу, г Ф у, имеет смысл, аналогичный смыслу частоты Юг: Юу - это среднее число непосредственных переходов Wi ^ wу, приходящееся на один шаг для процесса в дискретном времени или в единицу времени для процесса в непрерывном времени. Частоты Юг и Юу являются абсолютными характеристиками состояний и переходов между состояниями, так как они отнесены к одному шагу или к единице времени в зависимости от типа процесса.

В матричной форме зависимость (5) между частотами, предельными вероятностями и исходными характеристиками для процесса в дискретном и непрерывном времени имеет вид:

а) П = ^ • (Р - Е) ; б) П = ^-Л, (6)

где О = ||Югу|| - матрица частот непосредственных переходов между состояниями.

Следует отметить, что матрица О содержит как частоты непосредственных переходов Wi ^ wу, так и частоты состояний системы в виде Югг = - Юг.

Для исследований может быть полезной обратная зависимость: выражение исходных характеристик через предельные вероятности и частоты:

а) Р = Е + П-1 -О; б) Л = П^-0. (7)

6. Частоты переходов между состояниями подмножеств

Выполним ^У-разбиение множества Ж, которое заключается в том, что множество Ж возможных состояний системы разбивается на два непересекающихся подмножества и и V по некоторому признаку. Заметим, что в каждой конкретной задаче ¿Ж-разбиение множества состояний имеет определённый инженерно-технический смысл. С течением времени система длительного использования переходит от состояния к состоянию как в каждом из подмножеств, так и из одного подмножества в другое. Тогда функционирование системы во времени можно разбить на циклы, заключающееся в пребывании системы в подмножестве и и в следующим за ним пребывании в подмножестве V: и ^ V ^ и ^ V ^ ...

Таблица 1. Соотношения между блочными подматрицами частот, предельных вероятностей, переходных вероятностей и интенсивностей переходов

№ Формулы для процесса

п/п в дискретном времени в непрерывном времени

1 а) пии и • (Рии - Е) б) пии =Пdg и ' Лии

2 а) ПУУ =Пdg У • (РУУ - Е) б) ПУУ =Пdg У • ЛУУ

3 а) ПиУ = Пdg и ' РиУ б) ПиУ = и 'ЛиУ

4 а) ПУи = Пdg У ' РУи б) ПУи =Пdg У ' ЛУи

Представим матрицы О и П,^, а также исходные матрицы в виде четырех подматриц в соответствии с разбиением множества Ж на подмножества и и V. Произведем умножение (7) с использованием блочных матриц. Тогда получим для процесса в дискретном времени

°тпт ПиУ ^ гп ^ и • (Рии Е) П dgU • Риу

П dg V • (Руу - Е)

ии \°уи

О

УУ У

П dg У • РУи

и для процесса в непрерывном времени:

ии

Гп,

\°уи

п ^

пиУ

п

УУ у

Гпdg и • Лии П dg У 'ЛУи

ПdgU • ЛиУ ^ Пdg У • ЛУУ

где йии, &уу, &иу, &уи - подматрицы частот переходов внутри подмножеств и и V и между ними; П(^и и П,^ - диагональные матрицы, полученные из матрицы П,^ путем удаления из нее строк и столбцов, соответствующих подмножествам V и и соответственно, Е - единичная матрица согласованного порядка. Из этих уравнений вытекают соотношения, приведенные в табл. 1.

7. Частоты переходов между подмножествами состояний

Частоты переходов щ (i Ф j) являются суммируемыми характеристиками, то есть можно суммировать частоты любых переходов. Тогда средняя частота ацу переходов U ^ V между двумя подмножествами определяется суммой частот этих переходов между состояниями, то есть

aUV =ZZ, (8)

щ Vj

где Ui Е U; VjE V. Аналогично находится средняя частота mvu переходов V ^ U:

mVU =ZZaj • (9)

V uj

Как и ранее, эти частоты имеют смысл среднего числа переходов между подмножествами состояний, приходящегося на один шаг в дискретном времени или в единицу времени в непрерывном времени.

Покажем, что rnuv = wvu на примере процесса в непрерывном времени. Поскольку частоты auv и wvu - это суммы частот всех возможных переходов между подмножествами, то их можно представить в виде:

ацу = e -Пцу ■ e ; Ou = e ' e, (10)

где e - строка, все элементы которой равны 1; e - столбец, все элементы которого равны 1. С учетом формул табл. 1 получим:

Ojv = e 'ndg u •AUV ■e = nu ■AUV ■e ; au = e 'ndg V •AVU ■e = nv ■AVU ■e, (11)

где nu и nV - части распределения предельных вероятностей всего множества состояний, относящиеся к подмножествам U и v соответственно; П = (nU; nV ) - строка предельных вероятностей состояний системы.

Воспользуемся свойством эргодического процесса в непрерывном времени [6]: П ■ Л = o , где 0 - строка с нулевыми элементами. Из этого свойства следует:

nu =-nv ' Лvv; nv •Лш =-nU ' Лuu • (12)

Подставим правые части этих равенств в (11):

aUv =-nv 'Луу •e ; Ou =-nU ' Лuu •e • (13)

Воспользуемся свойством матрицы интенсивностей Л^ e = 0 (o - столбец с нулевыми элементами), из которого следует:

Ku ■ e = Л0У ■ e ; ЛУУ ■e = -ЛШ ■e (14)

Подставим правые части этих равенств в (13):

Ov = nv •Лш •e; Ou = nu 'ЛUV •e (15)

Видно, что формулы для Wuv и rnw поменялись местами. Равенство Wuv = Wvu доказано. Таким образом, частота переходов из одного подмножества в другое определяется как сумма произведений предельных вероятностей одного подмножества, умноженных на характеристики переходов из этих состояний в другое подмножество.

Полученный результат легко интерпретируются: частота переходов и ^ V равна частоте обратных переходов, так как после каждого вхождения в подмножество и следует вхождение в подмножество V, и наоборот. Этот результат можно рассматривать также как частотное равновесие или частотный баланс: в стационарном режиме частота переходов из одного подмножества в другое равна частоте обратного перехода. Это положение справедливо для любого разбиения множества состояний системы на два подмножества.

Выражение частотного баланса в матричной форме приведено в табл. 2: частоту переходов между подмножествами можно вычислить по одной из четырех формул как для процесса в дискретном времени, так и для процесса в непрерывном времени. Формулы получены с использованием свойств матрицы переходных вероятностей и матрицы интенсивностей.

Таблица 2. Формулы для вычисления частоты переходов между двумя подмножествами

№ Частоты аuv = ауи

п/п в дискретном времени в непрерывном времени

1 а) Пи'РиУё б) %• Лцу-ё

2 а) Пи'(Е - рии )■ё б) -Пи ■ Лии'ё

3 а) Пу ■ Руи ■ ё б) Пу-Луц-ё

4 а) Пу ■ (Е - Руу )■ ё б) - Пу-Луу-ё

8. Характеристики подмножеств состояний

Частота ат является частотой цикла, представляющего собой пребывание системы в подмножестве и и следующее за ним пребывание в подмножестве V. Средняя продолжительность цикла обозначена через пт для процесса в дискретном времени и через и для процесса в непрерывном времени:

а) Пцу = Пи + Пу; б) = и + tу; (16)

где пи и ^ - средняя продолжительность нахождения в подмножествах и и V в числе шагов; ^ и ^ - средняя продолжительность нахождения в подмножествах и и V в единицах непрерывного времени.

Очевидно, что ю^ =1/пт для процесса в дискретном времени и аш =1/и для процесса в непрерывном времени. Отсюда следуют зависимости между предельными вероятностями подмножеств состояний, продолжительностями нахождения в подмножествах состояний и частотой цикла (табл. 3).

Таблица 3. Соотношения между предельными вероятностями подмножеств, продолжительностями нахождения в подмножествах состояний в стационарном режиме и частотой цикла

№ Соотношения для процесса

п/п в дискретном времени в непрерывном времени

1 а) Пи = Пи • Юиу б) Пи = Хи • Юиу

2 а) Пу = Пу • ™иу б) Пу = 1у ■ Юиу

В таблице обозначено: пи = пи-ё и пу = пу-ё - предельные вероятности нахождения соответственно в подмножествах и и V в стационарном режиме.

Характеристики подмножеств и и V в стационарном режиме приведены в табл. 4.

Таблица 4. Вероятностные, частотные и временные характеристики подмножеств состояний

Характеристики подмножеств Обозначения или формулы для вычисления

1. Предельные вероятности подмножеств %; Пу

2. Средняя частота переходов и ^ V или V ^ и Щиу = Щ'уи

3. Средняя продолжительность цикла для процесса в дискретном времени пиу = пи + ПУ = 1/°Цу

4. Среднее число шагов нахождения в подмножестве и пи = Пи ■ пиу = Пи / Щиу

5. Среднее число шагов нахождения в подмножестве V пу = Пу ' пиу = пу / Щиу

6. Средняя продолжительность цикла для процесса в непрерывном времени 1иу = 1и 1у = 1 / Щцу

7. Среднее время нахождения в подмножестве и 1и = Пи '1иу = Пи / Щ'иу

8. Среднее время нахождения в подмножестве V ¿у = Пу '1иу = Пи / Щиу

9. Частный случай выделения одного состояния

При исследовании реальных систем возможен случай выделения одного состояния, что значительно упрощает модель.

Пусть подмножество и состоит из одного состояния: и = Wi, V = Ж, где Ж - множество возможных состояний без состояния Wi. Тогда характеристики подмножеств состояний можно упростить за счет того, что частота состояния Wi является частотой цикла. Эти характеристики приведены в табл. 5.

Таблица 5. Характеристики подмножеств состояний при выделении одного состояния

Характеристика состояния Wi и подмножества V = Wi Обозначение или формула для вычисления

1. Предельная вероятность состояния Wi и подмножества V = Wi щ ; пУ =1 - щ

2. Средняя частота состояния Wi для процесса в дискретном времени Щ = щ ■(1 - Ра )

3. Средняя продолжительность цикла для процесса в дискретном времени пиу =1/[ щ ■(1 - Р.)]

4. Среднее число шагов нахождения в состоянии Wi щ = 1/(1 - р)

5. Среднее число шагов нахождения в подмножестве V пу = (1 -щ)/[щ ■(1 -Ра)]

6. Средняя частота состояния Wi для процесса в непрерывном времени Щ =-щ ■ К

7. Средняя продолжительность цикла для процесса в непрерывном времени ¿иу =-1/( Щ ■ К )

8. Среднее время нахождения в состоянии Wi ¿г =-1/к

9. Среднее время нахождения в подмножестве V ¿у =-(1 - Щ )/(Щ ■ к )

10. Пример моделирования системы из двух элементов

Применим изложенный метод к моделированию системы, состоящей из двух элементов с разными исходными характеристиками. Для лучшего понимания модели в неё вложен

«надежностный» смысл, а именно, выходными характеристиками являются показатели, характеризующие надежность системы. Каждый элемент может находиться в двух состояниях: работоспособном и неработоспособном. Отказы элементов обнаруживаются при их возникновении. Элементы являются восстанавливаемыми: восстановление элемента производится после наступления отказа.

Для обозначения состояний элементов использованы символы: Р1 и Р2 - работоспособное состояние первого и второго элемента; В1 и В2 восстановление первого и второго элемента; Н1 и Н2 - неработоспособное состояние первого и второго элемента.

Исходными характеристиками являются: Р1 и р2 - вероятности отказа первого и второго элементов на одном шаге; ql и q2 - вероятности завершения восстановления первого и второго элементов на одном шаге;

Л,1 и Х2 - интенсивности отказов первого и второго элементов;

Ц1 и /Л2 - интенсивности завершения восстановления первого и второго элементов.

Здесь принято, что каждый работоспособный элемент находится в нагруженном режиме и может отказать.

Будем в дальнейшем обозначать подмножество работоспособных состояний через и, а подмножество неработоспособных состояний через V.

С помощью приведенных характеристик подмножеств находятся следующие показатели надежности:

- стационарный коэффициент готовности Кг = пи;

- стационарный коэффициент неготовности Кн = лу;

- средняя частота отказов Юотк = аvu;

- средняя продолжительность цикла в стационарном режиме Пц = 1/ а^ для процесса в дискретном времени и ^ = 1/ ат для процесса в непрерывном времени;

- средняя продолжительность безотказной работы пбр = пи для процесса в дискретном времени и tбр = ^ для процесса в непрерывном времени;

- средняя продолжительность восстановления Пв = ^ для процесса в дискретном времени и tв = ^ для процесса в непрерывном времени.

Предельные вероятности состояний можно вычислить по формулам на основе определителей или на основе обращения матриц [6].

Далее рассмотрены модели системы из двух независимых и двух зависимых элементов.

11. Модель системы из двух независимых элементов

Рассмотрим сначала систему с двумя независимыми элементами. Элементы независимы как по нагруженности, так и по восстановлению: каждый работоспособный элемент нагружен и может отказать, а каждый отказавший элемент восстанавливается непосредственно после наступления отказа.

Граф состояний как для процесса в дискретном времени, так и для процесса в непрерывном времени приведен на рис. 1. В состоянии 1 оба работоспособных элемента нагружены, поэтому оба могут отказать, что вызывает переход в состояния 2 или 3. Из этих состояний возможет переход в состояние 4, где оба элемента одновременно находятся в неработоспособном состоянии и восстанавливаются.

1. Р1Р2

Р1 (¿1) 41 Ы 1

2 . В1Р2

Р2 (¿2)

" 42 (Р2)

Р2 (¿2) ^

" 42 (И2)

3. Р1В2

Р1 (¿1) 41 ' 1

4. В1В2

Рис. 1. Граф состояний системы из двух независимых элементов :одных вероятностей для пр<

Р1 - Р2 Р\ Р2

Исходная матрица переходных вероятностей для процесса в дискретном времени:

Г1 - Р - Р Р Р 0 ^

Р =

41

42 0

1 - Р2 - 4 0 Р2

0 1 - Р1 - 42 Р1 42 41 1 - 41 - 42 у

Исходная матрица интенсивностей переходов для процесса в непрерывном времени:

Г-^ - ^2

Л =

И1

И2

о

Л

- Х2 - И\

Х2 о

о ^

Хп.

О - Х - /и2 Х^

И2 - - и2 У

Найдем сначала предельные вероятности состояний, формулы для вычисления которых приведены в табл. 6.

Таблица 6. Формулы для вычисления предельных вероятностей состояний

п Формула для процесса

в дискретном времени в непрерывном времени

П1 41 ■42/КР1 + 41)+ 42)] М -^2/[(Л+^1)-(^2 +^2)]

П2 Р1 - 42 /[(Р1 + 41ХР + 42)] Л -^2/[(Л +^1)-(^2 +М2)]

П3 41 - Р2/[( Р1 + 41>(Р2 + 42)] МгЛ^Л+М )-(Л2 +М2)]

П4 Р1- Р2/[(Р1 + 40 ЧР2 + 42)] Л-Лг/[(Л+М)-(Лг + Мг)]

Таблица 7. Показатели надежности для последовательного соединения элементов

Характеристика Формула для процесса

в дискретном времени в непрерывном времени

Кг = П1 41- 42 /[(Р1 + 41 )-(Р2 + 42)] М ■М2/[(Л1+МКЛ2 +М2)]

Кн = П2+П3+П4 Р1- Р2 + Р1- 4 2 + Р2 - 41 Л ■ Л + Л ■ и + Л ■и Л1 Л2 1 и2 Л2 и1

(Р1+ 41)-( Р2 + 42) (Л+м )■( Л +М )

Шотк = Юцу 41 ■ 42 ■ (Р1 + Р2)/[(Р1 + 41) ■ (Р2 + 42)] М^ЧЛ+ЛИЛ+МКЛ +М2)]

Пц =1/ Шаг; ¿ц = 1/Шцт [(Р1 + 41) ■ + 42 )] /[41 ■ 42 ■ (Р1 + Р2 )] (Л+МКЛ +М2)/[М1 ■ М2 ■((Л ^Л)]

Пбр = Пи; ¿бр = 1и 1/( Р1+Р2) 1/(4+40

Пв = п^; ¿в = ¿V Р1 ■ Р2 + Р1 ■ 42+ Р2 ■ 41 Л ■ +Л ■ и+■ М\

41 ■ 42 ■ Ф1+Р 2 ) М м2 ■(Л1+Л2)

Рассмотрим далее последовательное и параллельное соединение этих элементов, при этом основным допущением является независимость этих элементов, то есть состояние одного элемента не зависит от того, в каком состоянии находится другой элемент. Если элементы соединены последовательно, то и = {1}, V = {2,3,4}. Если же они соединены параллельно в смысле надежности, то и = {1,2,3}, V = {4}. Здесь и - подмножество работоспособных состояний, а V - подмножество неработоспособных состояний.

Таблица 8. Показатели надежности для параллельного соединения элементов

Характеристика Формула для процесса

в дискретном времени в непрерывном времени

Кг = П1+П2+П3 Р\ 42 + Р2 ' 41 + V 42 V ^2 + Л Л + ^2

(Р1+ 41Н Р2+ 4 2) Л )•( я2 )

Кн = П4 Р • Р2/[( Р1 + Ч1ХР2 + 42)] Л • Л/[(Л + М1ХЛ +^2)]

Юотк = Юиу Р1 • Р2 • (41 + 42)/[(Р + Ч1ХР2 + 42)] Л-Аг-(М +^2)/[(Л+^1)ЧЛ2 +^2)]

Пц = 1/ ^ = 1/ Юиу [(Р + 41) • (Р2 + 42 )] /[Р • Р2 • (41 + 42 )] (Л + МКЛ2 +^2)/[Л •Лг Ч(М +^2)]

пбр = пи; tбр = tи Р\ 42 + Р2 ^ 41 + 4\ 42 V ^2 + Л2 Л + ^2

Р1Р2 ^ (41+ 42) V Л2 ( ^1+^2)

Пв = Пу; tв = и 1/( 41 + 42) 1/СЦ +^2)

12. Модель системы из двух зависимых элементов

Рассмотрим теперь зависимое функционирование элементов. На зависимость элементов могут влиять разные факторы: например, они могут быть зависимы по нагруженности, по восстановлению, по приоритету использования и др.

Здесь принято: если элемент работоспособен, то он нагружен независимо от состояния другого элемента и поэтому может отказать. Однако восстановление является ограниченным: при отказе двух элементов сначала завершается начатое восстановление одного элемента, затем начинается восстановление другого элемента. Таким образом, элементы являются зависимыми по фазе восстановления. Такой режим эксплуатации позволяет описать последовательное и параллельное соединение элементов одним и тем же графом состояний, приведенным на рис. 2.

Р2 (^2) Р1

3.Р1В2 1.Р1Р2 2.В1Р2

42 (М2) 41 ("1)

1 г Р1 (Л4) Р2 (^2)

5.НВ 4.В1Н 2

42 (М2) 41 ("1)

Рис. 2. Граф состояний системы из двух зависимых элементов

Исходная матрица переходных вероятностей для процесса в дискретном времени:

Р =

Р1- Р2 Р1 р 2 0 0 1

«1 1-Р2-Я1 0 Р 2 0

Я 2 0 1-Р1-Я2 0 р1

0 0 Я1 0

0 Я2 0 0 1-я 2 )

Исходная матрица интенсивностей переходов для процесса в непрерывном времени:

Л =

¿1 - ¿2 ¿1 ¿2 0 0 1

М1 - ¿2 - М 0 ¿2 0

М2 0 - ¿1 - Р2 0 ¿1

0 0 М1 -М1 0

0 М2 0 0 -М2 ,

Дальнейшие операции выполнены на основе определителей, которые приведены в табл. 9.

Для процесса в дискретном времени и для процесса в непрерывном времени определители вычислены по формулам [6]: Д/ = \Е - Р/\; Д/ = |Л ¿\, где Р/ - матрица переходных вероятностей, в которой удалены 1-я строка и 1-й столбец; Л / - матрица интенсивностей, в которой удалены /-я строка и 1-й столбец. Сумма определителей для дискретного времени Да и для непрерывного времени Дс:

5 5

Да = Е \е - ; дс = Е|Л;| . (17)

I =1 I=1

Таблица 9. Определители для системы из двух зависимых элементов

Д/ Формула для определителя

в дискретном времени в непрерывном времени

Д1 Я -Я2-(А-Я1 + Р2'Яг + Я1 'Я2) М 'М>(Л'М +¿2 'М + М 'МО

Д2 Рх Я -Я2(Рх + Р2 + Я2) ¿'М 'М2'(Л+^2 +М2)

Дз Р2 -Я1 ' Я2 (Р1 + Р2 + Я1) ¿2 'М ' М2 ' (¿1 + ¿2 + М)

Д4 Рт Р2 ' Я2(Р1 + Р2 + Я2) ¿'¿2 ^'¿+¿2 +М2)

Д5 Р1' Р2 ' Я1 (Р1 + Р2 + Я1) ¿'¿2 'М'(Л+4 + М)

Формулы для вычисления предельных вероятностей состояний выводятся с помощью определителей для процесса в дискретном времени и для процесса в непрерывном времени

п =Д + Да; п =д + дй. (18)

Таблица 10. Показатели надежности для последовательного соединения элементов

Показатель надежности Формула для процесса

в дискретном времени в непрерывном времени

Кг = П1 д 1 / Да Д1/ Дс

Кн = П2+П3+П4+П5 (Да -Д)/Да (Дс -Д1)/Дс

Шотк = Юиу Д1ЧР1 + Р2)/ Да Д1' (¿1 +¿2)/ Дс

Пц =1!тиу; tц = Наиу Да /[ ДГСА + Р2)] Дс/[ Д1' (¿1 +¿2)]

Пбр = Пи tбр = ^ 1/( Р1 + Р2) 1/(4 + ¿2)

Пв = Пу'; tв = tv (Да -Д1)/[ ДНа + Р2)] (Дс -Д1)/[Д1 '(¿1 +¿2)]

На основе предельных вероятностей в табл. 10 и 11 приведены формулы для показателей надежности при последовательном и параллельном соединении элементов (громоздкие алгебраические выражения опущены).

Таблица 11. Показатели надежности для параллельного соединения элементов

Показатель надежности Формула для процесса

в дискретном времени в непрерывном времени

Кг = П\+П2+П3 (Ах + А2 +Дз)/Ай (Ах + Д2 + А3)/Ас

Кн = П4+П5 (Д4 + Д5)/Да (А4 +А5/ Ас

Шотк = ЮиУ (Д2- Р2 + Аз- Рх)/Да (Д2 •&2 +А3 •к)/Ас

Пц = \/ тиу; (ц = \/ тиу Ай/( Д2- Р2 +Аз- Рх) Дс/( Д2 к + А3 • к)

пбр = Пи; (бр = (Ах + Д2 + Аз)/(Д2 • Р2 +А3 • Рх) (Ах + А2 + Аз)/( Д2 • к + Аз • к)

Пв = Пу; tв = (у (А4 + Д5) /(А2 • Р2 + Аз • Рх) (Д4 +Аб)/(А2 • к + А3 кх)

Итак, получены формулы в аналитическом виде для расчета показателей надежности при последовательном и параллельном соединении двух элементов. Для наглядного представления этого результата приведён пример в числовом виде. Ограничимся процессом в непрерывном времени. Для упрощения расчетов примем, что Х\ = Х2 = X и /\ = / = /. Присвоим следующие числовые значения исходным характеристикам: X = \0"3 1/час, /л = 1 1/час. Результаты вычислений приведены в табл. 12. Из таблицы видно, что при принятых условиях существенным фактором в обеспечении надежности является последовательное или параллельное соединение элементов: коэффициент неготовности и частота отказов уменьшаются на три порядка, а среднее время безотказной работы увеличивается на три порядка. Однако уровень надежности остается практически неизменным для вариантов с неограниченным и ограниченным восстановлением элементов.

Таблица 12. Показатели надежности для разных вариантов построения системы из двух элементов

Показатель надежности Независимые элементы Зависимые элементы

Последовательное Параллельное Последовательное Параллельное

соединение соединение соединение соединение

Кг 0.998 0.999999 0.998 0.999998

Кн 0.002 0.000001 0.002 0.000002

тотк 0.002 0.000002 0.002 0.000002

(иу 50\ 50\ 000 50\ 50\ 000

(бр 500 50\ 000 500 50\ 000

(в \ 0.5 \ \

13. Заключение

Частотный метод позволяет получить ряд промежуточных характеристик на основе однородного марковского процесса в дискретном или непрерывном времени. С помощью исходной матрицы переходных вероятностей и матрицы интенсивностей могут быть получены предельные вероятности состояний и частоты переходов между состояниями. При разбиении эргодического множества состояний на два подмножества могут быть получены вероятностные, частотные и временные характеристики подмножеств состояний, которые являются промежуточными характеристиками. В соответствии с назначением и спецификой моделируемой системы промежуточные характеристики переводятся в выходные характеристики

функционирования системы, имеющие инженерно-технический смысл. В качестве примера можно привести разработку аналитической модели функционирования линии связи, на основе которой вычисляется коэффициент технического использования, стационарный коэффициент готовности, средняя продолжительность работоспособных и неработоспособных состояний, приходящаяся на одно восстановление и др. [7].

Операции по реализации предложенного метода выполняются с применением матриц. Эти операции как в аналитическом, так и в числовом виде могут быть выполнены с помощью современных инструментальных средств компьютерного моделирования, таких как Mathcad или Mathlab.

Изложенный метод может также найти применение в алгоритмическом (аналитическом) моделировании сложных систем [2, 4], когда соответствие между исходными и выходными характеристиками системы устанавливается в числовом виде. Применение метода в таком моделировании усложняется в связи с увеличением числа элементов системы, усложнением связности элементов, увеличением числа состояний системы и в связи с другими факторами. Такая проблема возникает при использовании любых средств компьютерного моделирования. При достижении определенного высокого уровня сложности возникают трудности в реализации метода. Эти трудности приводят к постановке и решению специфических задач, связанных с реализацией метода. В данной статье эти задачи не рассматриваются.

Литература

1. Беляев Ю. К. и др. Надежность технических систем. Справочник. М.: Радио и связь, 1985. 608 с.

2. Замятина О. М. Моделирование систем. Томск: Изд-во ТПУ, 2009. 204 с.

3. Зейфман А. И., Бенинг В. Е., Соколов И. А. Марковские цепи и модели с непрерывным временем. М.: Элекс-КМ, 2008. 167 с.

4. Зеленцов Б. П. Аналитическое моделирование сложных вероятностных систем // Моделирование информационных сетей: Тр. / Вычислительный центр СО РАН. Серия: Информатика. Новосибирск, 1994. Вып. 1. С. 143-152.

5. Зеленцов Б. П. Матричные модели надежности систем: инженерные методы расчета. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1991. 112 с.

6. Зеленцов Б. П. Матричные модели функционирования оборудования систем связи // Вестник СибГУТИ. 2015. № 4.

7. Зеленцов Б. П., Максимов В. П., Шувалов В. П. Модель функционирования линии связи в условиях недостоверного контроля технического состояния // Вестник СибГУТИ. 2015. № 3.

8. Кельберт М. Я., Сухов Ю. М. Вероятность и статистика в примерах и задачах. Т. II: Марковские цепи как отправная точка теории случайных процессов. М.: МЦНМО, 2010. 560 с.

9. Маталыций М. А. Хацкевич Г. А. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы. Минск: Вышэйшая школа, 2012. 720 с.

10. Ушаков И. А. Курс теории надежности систем. М.: Дрофа, 2008. 239 с.

11. Федоткин М. А. Модели в теории вероятностей. М.: Физматлит, 2012. 608 с.

12. Anderson W. J. Continuous-time Markov Chains: An application oriented approach. New York:

Springer Verlag, 1991.

13. Knill O. Probability and Stochastic Processes with Applications. Overseas Press, India Private Limited, 2009.

14. Norris J. R. Markov Chains. Cambridge University Press, 1998.

Статья поступила в редакцию 17.11.2015; переработанный вариант -15.03.2016.

Зеленцов Борис Павлович

д.т.н., профессор кафедры высшей математики СибГУТИ, e-mail: zelentsovb@mail. ru.

Frequency method for long functioning stochastic systems modeling B. P. Zelentsov

The method is based on the theory of discrete-time Markov processes and continuous-time Markov processes. For these processes, mean frequencies of states, transition frequencies between states and between subsets of states are obtained. Using these frequencies, a lot of properties with respect to functioning and reliability can be investigated, e.g. mean time of being in a subset of states. Discrete and continuous time stochastic processes are considered simultaneously using matrix methods for mathematical operations.

Keywords: discrete-time Markov process, continuous-time Markov process, mean frequency of state, transition frequencies between states, transition frequencies between subsets of states.