CC BY
16
зисторiв. Глибше розумiння фiзичних процесiв у цш сферi розкрие величезнi потенцiальнi можливост цього типу транзисторiв. Аналiзуючи роботи, як пропонуються для моделювання електричних характеристик нанотранзисто-piB, найбiльше вщповщае функцiя Грiна для неврiвноважених процешв, ос-кiльки можна отримати розв'язок piвняння Пуассона i Шpедiнгеpа.
Лггература
1. Klitzing K., Dorda G., Pepper M., Phys. Rev. Leff., 45, 1980. - C. 494-497.
2. Buks E., Schuster R., Heiblum H., Umansky U., Nature, 391, 1998. - C. 871-874.
3. Мартшес-Дуарт Дж., Март1н-Палма Р., Агулло-Руеда Ф. Нанотехнологiя для микро- и оптоелектроники. Техносфера. - М., 2007. - С. 314-322.
4. Ankona M. Yu Z., Dufton E. et. el, IEEE Trans Electron Device, 47, 2000, 2310-2319.
5. Fischetti M., Laux S., Phys. Rev. B, vol 38, рр. 9721-9745, 1988.
УДК 681.142.2; 622.02.658.284; 621.325 Доц. Д.Д. Пелешко, канд. техн. наук -
НУ "Львiвська nолiтехнiка"
ЧАСТОТНА Ф1ЛЬТРАЦ1Я НАБОР1В ЗОБРАЖЕНЬ
На основi частотного розподшу математичного сподiвання запропоновано алгоритм фшьтрування набоpiв зображень на соновi для подальшо! ix оброки в задачах тдвищення роздшьно'1' здатностi.
Assoc.prof. D.D. Peleshko-NU "L'vivs'kaPolitekhnika" Frecuency filtering of the image set
There is proposed algorithm of filtering the set of image is based on the frecuency of mathematical average. This algorithm optimize the set of images for following processing.
Вступ
У piзноманiтних галузях застосування шформацшних технологш де-даш частше виникае проблема ефективност збору, перетворення i опрацю-вання вiзуальних даних, впровадження нових технолопчних piшень, i, насам-перед автоматизацii процесу оброблення таких даних. Так, при щентифжаци об'екпв у промислових системах, при вщеоспостереженш у медичних системах та шших широко використовуеться iнфоpмацiя, представлена у виглядi зображень - двовимipних пpоекцiй просторових сцен.
Низьк обчислювальш можливост i слабкi апаpатнi засоби 70-80-х pp. спричинили штенсивний розвиток алгоршмчно складних методiв оброблення зображень. Одними iз найбiльш ефективних з точки зору отриманих результата були методи, якi опрацьовували набори однотипних зображень i давали змогу виршити основне завдання - збшьшення pоздiльноi здатностi. Основним стримуючим фактором розвитку цих методiв була велика алгоршмчна склад-нiсть, яка потребувала дуже значних на той час обчислювальних pесуpсiв.
Здешевлення потужних апаратних ресуршв у сеpединi 90-х роюв змен-шило актуальнiсть методiв роботи iз наборами зображень, оскiльки основне завдання - тдвищення pоздiльноi здатност - виpiшувалося на апаратному piвнi. Фактично уся робота над зображеннями звелася до розробки швидких методiв оброблення окремих зображень. У результат було розроблено багато
надзвичайно ефективних алгорштв опрацювання, якi давали змогу в реальному 4aci вирiшувати постшно виникаючi HOBi прикладнi завдання.
Упродовж останшх рокiв розвиток апаратних засобiв iстотно втратив динамiку iнтенсивного розвитку. Подальше розширення апаратних можли-востей досягнуло таких границь, перехщ за як стае невиправдано затратним. Проте отримаш сучаснi обчислювальнi можливостi швелювали залежнiсть вiд алгорштчно!" складностi. 1ншими словами, на нинiшньому етапi з'явила-ся можливiсть в реальному час програмно чи апаратно реалiзовувати дос-татньо складнi алгоритми.
1. Постановка задач1
Поряд з досягненням останшх обчислювальних можливостей почали з'являтися новi прикладнi напрямки для сфери опрацювання зображень, нап-риклад Data Mining. Актуалiзацiя робiт, пов'язаних з обробкою наборiв зображень, породила новi вимоги до попереднього оброблення зображень. Серед основних завдань попереднього оброблення е фшьтращя наборiв зображень з метою вилучення "зашумлених" зображень з подальшого оброблення набору.
Метою статт е побудова швидкого i ефективного способу фшьтраци набору зображень для подальшого опрацювання в прикладних задачах. Ос-новним базисом для виршення ще1 задачi е методи математично!" статистики.
2. Формування генерально1' сукупност
Нехай iснуе набiр P дискретних зображень
P={P}, i = й (1)
де: Pi - i-е зображення набору; n - кiлькiсть зображень в наборц i - iндекс зображення в наборь Кожне зображення Pi характеризуеться своею довжи-ною li та висотою hi. Добуток di = lihi визначае розмiрнiсть зображення.
Якщо через P° позначити вiдфiльтровану шдмножину рисункiв набору P, а через Pm - множину рисунюв з P, якi становлять "шум", то очевидно повинна задовольнятись рiвнiсть. Тодi завдання фiльтрацii полягае в побудо-вi множини Pm тако!, щоб мала мiсце
P = PФ u PШ; PФ n Pm = 0 . (2)
Фактично основне завдання алгоритму зводиться до побудови множи-
ни P .
Введемо позначення:
• pi (х, y,) = pi (x,y); i = 1, n - тксел (точка) з координатою (х, y) рисунка Pt;
• ci (x, y,) = ci (x,y); i = 1, n - узагальнене в заданш кольоровш пал1тр1 значен-
ня кольору тксела pi (х,y). У раз1 зображень в градащях одного кольору С
виступае значенням функци штенсивносп. Якщо ввести в розгляд j = j (х,
y), то значення кольору можна подати у вигляд1
Pi (х,y) = Pij ^ Ci (х,y) = Ci j; i = 1, n; j = 1 di. (3)
Основною характеристичною величиною рисунка вiзьмемо точкову оцшку значень кольору, а саме середне статистичне кольору
1 di
Mi =-jL*i ■ (4)
di j=1
Це дae змoгy дo poзглядy пpиймaти pисyнкa з piзними знaчeннями di. У peзyльтaтi oбчислeнь зa фopмyлoю (4) oтpимyeмo нaбip випaдкoвoï величини
M = {Mi}, i = \~n. (5)
Рoзпoдiл M та пpoмiжкy [1, dt] Mae стoхaстичний хapaктep (pис■ 1) i не мoжe викopистoвyвaтися в пoдaльшoмy poзглядi■ Для opгaнiзaцiï гeнepaльнoï сyкyпнoстi бyдyeмo iнтepвaли впopядкoвaнoï зa зpoстaнням (чи спaдaнням) величини {Mi}
Vi > G, 3z > G: Mi = Miz = [IZ-X, Iz ] ; z = Ü, (б)
де: Лz =[Iz-1,Iz] - z-й iнтepвaл; Miz - i-е зтачення величини M, яке пoтpaпляe
в z-й iнтepвaл; Iz - iнтepвaльнa гpaниця; k > G - кшьюсть iнтepвaлiв■ Пpи цьoмy нeзaлeжнo вiд знaчeння k пoчaткoвe тa кiнцeвe знaчeння нaбopy iffrep-вaльних гpaниць {Iz} визнaчaються зa фopмyлaми
Ig = min (Mi ) ; Ik = max (Mi ). (7)
ie[1..n] ie[1..n]
Koжнoмy iнтepвaлy Лz y вiдпoвiднiсть пoстaвимo зтачення чaстoти Vz пoтpaпляння величини M y цей iнтepвaл
Лz ^ Vz, V={Vz}, Л = ^} z = U (8)
Отpимaнa випaдкoвa вeличинa V стaнoвить гeнepaльнy сукупшсть для пoдaльших дoслiджeнь■
3. Алгоритм фiльтрaцiï
Пepшим кpoкoм aлгopитмy e пepeвipкa гiпoтeзи пpo нopмaльний poз-пoдiл випaдкoвoï величини V. Для ^oro викopистoвyeться кpитepiй Пipсoнa для випaдкoвoï величини х2 з густишю poзпoдiлy [1, 3]
f (V )
1 -V k-1
k e 2V2 , npn V > G;
22 Г (k/2) (9)
G, npn V < G;
( k Л œ --1 -—
де k - вистутае ступенями свoбoди, a Г — I = J V2 e 2dV - raMa-функщя [3].
V 2 J G
Для випaдкoвoï величини V ввeдeмo в poзгляд сepeднe стaтистичнe MV диспepсiю DV тa сepeднe квaдpaтичнe вiдхилeння SV
1k
Mv = 1JVZ ; (1G)
k z =1
DV =T-7^t(Vz -M—)2; (11)
k -1 z=1
^ = 4^ . (12)
Теоретична частота випадково! величини У, яка вщповщае 2-у штерва-лу обчислюеться за формулою Муавра-Лапласа [3]
( - —у )2
Ф2(У2) =1к -10 1 е 252 . (13)
к 8уу] 2п
Тодi обчислюване значення критерiю Пiрсона визначаеться за формулою
2 ^ (У2 - Ф2 )2 (14)
^обчсл = ф ' • (14)
2=1 Ф 2
Порiвняно iз табличним значенням критерда приймаеться рiшення про правильнiсть iз заданим рiвнем значимостi (а) гшотези про нормальний розподiл випадково! величини.
У разi прийняття гiпотези про нормальний розподш випадково! величини У, вона приймаеться як точкова ощнка для побудови штервалу довiри.
Лдов у = [АУ; Ву], тут Ау = Му -5У; Ву = Му + 5У; 5 = утУ, (15) З довiрчою iмовiрнiстю
Р = 2Ф(Гу). (16)
Множник ? можна пiдiбрати таким чином, щоб iмовiрнiсть того, що ю-тинне значення математичного сподiвання Еу випадково! величини У лежало за межами штервалу Лдовне перевищувало деякого достатньо малого рiвня значимост а. Можливiсть такого вибору юнуе завдяки тому, що випадкова
величина —у—— мае розподш Ст'юдента з кiлькiстю ступенiв свободи к - 1. ту
Тому за ? можна взяти з таблиц розподшу Ст'юдента критичну точку, яка вщ-повiдае рiвню значимост а та кiлькостi ступенiв свободи к - 1.
Рiзниця 1 - а, яка дорiвнююе р, дае надшшсть оцiнки iнтервалу довiри. Зважаючи на iн'ективнiсть вiдображення (8) i впорядкованiсть {Л2},
будуемо штервал довiри для арифметичного середнього (4). Для цього вщоб-раження (8) подамо у виглядi
12 ^ У2, 12=12-12-1, 2=й, (17)
А саме вiдображення У2 = У (12) вважаемо лiнiйною функщею на про-мiжку Л 2. Очевидно, що границi штервалу довiри (15) потрапляють в який-небудь з промiжкiв набору У. Нехай Ау потрапляе в штервал [У21;У21 -1], а Ву в iнтервал [У22;У22-1].
На основi (17) i рiвняння прямо! лши [4] отримуемо рiвняння
Ау - Уъ _ А -12, Ву - У2г _ В -122
У2\-1 - У2\ 121-1 - 121 У22-1 - У22 122-1 - 122
(18)
л дов = [ A B]; A = 4 +-
(19)
де A i B е граничними значення iнтервалy довiри для арифметичного се-реднього М. Згiдно з (18) вони piBrn
(4-1 - 4)( Av - Vi) B = (4-1 - 4)( Bv - VZ2)
--; B = Iz2 +--•
Vzi-1 - Vzi 2 Vz2-1 - Vz2
На основi (19) стосовно (5) приймаеться рiшення про вщнесення рисунка до одного з наборiв РФ чи Рш. Якщо значення Mt рисунка Pi потрапляе в iнтервал Л дов, то рисунок вiдноситься до набору РФ. В iншому разi - до набору Р •
4. Результати роботи алгоритму фтьтрацп
На рис. 1 та рис. 2 наведено набiр рисунюв, до якого буде застосовува-тись запропонований алгоритм. На обох рисунках набiр, який буде обробля-тись, е однаковим. Характеристики набору е такими:
• кшькшть рисуншв в набор1 - 52;
• кольорова пал1тра - gray (у ввдтшках срого);
• розм1р рисуншв е однаковим i становить 34x54 тксели.
При заданих характеристиках час роботи обох алгорштв не переви-щував 5 с. Червона рамка навколо рисунка визначае за результатами розра-хунку даний рисунок шумом.
Рис. 1. Результати роботи фтьтрацИ набору за арифметичним середшм
На рис. 1 наведено спробу фшьтрацп через довiрчий штервал нормального розподiлу стосовно математичного середнього (4). Як можна поба-чити з рисунка, практично увесь набiр вважаеться шумовим - 44 рисунки з 52 були щентифжоваш як шум. Це означае, що будувати довiрчий iнтервал на основi математичного середнього не можна. Це зумовлено тим, що розпо-дш математичного середнього в наборi носить стохастичний характер i не шдлягае шд жоден ¿з вщомих розподшв.
* Робота з наборами - активна папка: P:\workWisual Studio 2005\DR_workplace_1\dc_prg_3\Pictures ОЁ®
1 » . Ei . е . : Перегляд Редагування Алгоритми
ш Фшьтрац1я набору по частот! мате ¡матичного середнього
Харагстеристики рисунке Результати розрахунку (шум - 6}
Номер Значеннв Файл - Параметр Значения
D 0.0757080610021787 P:\workWisual Studio 200 йльгасть cryneHie езободи 4
1 0.0533765063180828 P:\workWisual Studio 200 Кльгасть шуму 1
2 0,0352156862745058 P:\workWisual Studio 200 Середне арифметичне 8,8
3 0.0359477124183007 P:4work\Visual Studio 200 - Дисперая 59.2
4 0.0288671023565142 P:\work\Visual Studio 20Q ДеаацЫ 7.55415362456854
5 0,0403050108532462 P:\work\Visual Studio 200 1^зитерйй Стюдента 2.776
6 0,0408456732026144 P:\work\Visual Studio 200 — Середне квадратичне вдхилення се.. 3.44053010681705
7 0,0430283224400871 P:\work\Visual Studio 200 Р| вен ь значимо сп 0.05
S D,0386710235651416 P:\work\Visual Studio 200 1нтервал во ври А -0,752021576524132
5 0,0315504135433551 P:\work\Visual Studio 200 1нтервап до ври В 18,3520219755241
ID 0,0620515032675739 P:\work\Visual Studio 200 1нтер вал мате матично го середн ьо г.. 0,011588606585618/
11 0,0577342047530283 P:\work\Visual Studio 200 1нтервал математичного середн ьо г.. 0,067256/035185203
12 0,0315504135433551 P:\work\Visual Studio 200 Зашум. рисунок: 0 (P:\workWisual Studio 2005XDR workplace \dc_prg 3\Pictures\1 OO.brr
13 0,0261437508496732 P:\work\Visual Studio 20Q Зашум. рисунок: 20 (P:\workWisual Studio 2005XDR workplace 1'-dc_prg 3\Pictures\40brr
14 0,0250544662309368 P: \work\Visual Studio 20D Зашум. рисунок: 22 (P:\work\Visual Studio 2D05XDR workplace 1\dc_prg 3\Pictures\55.brr
15 0,0337690631808275 P:\work\Visual Studio 200 Зашум. рисунок: 26 {P:\vvork\VisualStudio2005\DR workplace 1\dc_prg 3\Pictures\100.b
16 0,0364523747276638 P:\worfc\Visual Studio 200 Зашум. рисунок: 46 (P:\work\Visual Studio 2005\DR workplace 1 \dc_prg 3\Pictures44D.brr
17 0,0332244008714557 P:\work\Visual Studio 200 Зашум. рисунок: 48 (P:\work\Visual Studio 2005XDR workplace 1\dc_prg 3\Pictures\55.brr
IS 0,0348583877995643 P:\worteWisual Studio 200 V
IUI S < I................ 111 il >
22
5,0196073431372549 0,0312636165577342 0.0429193899782135 0,0545751633986928 0,0662309368191721
Кшькгсть: 52 Вибраио: 0 Видшено: О
Рис. 2. Результати роботи фтьтрацИ набору за частотою математичного середнього
На противагу рис. 1, на рис. 2. наведено результати роботи алгоритму за частотним розподшом. За результатами роботи алгоритму визначено, що в наборi юнуе 6 рисунюв, як становлять шум i повинш бути видалеш з набору. На рисунку в таблиц справа прямокутником, який зафарбований сишм кольором, видшено границ частотного штервалу довiри Лдов у; червоним -
штервалу довiри для арифметичного середнього Лдов. Наведенi результат отриманi при п'яти частотних штервалах i дорiвнюють значимостi - 0.05.
Висновки. Запропонований алгоритм фiльтрування наборiв зобра-жень дае змогу оптимiзувати множину зображень для подальшго оброблення. Тут оптимiзацiя полягае у видаленш зашумлених зображень, якi вносять ю-тотнi похибки в кiнцевий результат.
Основним недолжом алгоритму е вщсутшсть автоматизовано! проце-дури вибору кшькоси частотних iнтервалiв. Проте, як показали практичш ек-сперименти, при к > 3 результати роботи алгоритму вже е задовшьними.
Основними перевагами алгоритму е:
• можливiсть роботи з рисунками рiзних розмiрiв;
• достатньо велика швидкють роботи алгоритму;
• повна фшьтращя набору i вiдкидання шуму.
Низька алгоритм1чна складшсть, оскшьки деяк числов1 характеристики повторно використовуються на р1зних етапах алгоритму.
Алгоритм не залежить вщ центрування зображень в наборь
Лггература
1. Колемаев и др. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для эконом. спец. вузов/ В.А. Колемаев, О.В. Староверов, В.Б. Турундаевский/ Под ред. В. А. Колемаева. - М.: Высш. шк., 1991. - 400 с.
2. Бупр М.К. Поабник з теорп ймов1рносп та математично'1 статистики. - Тернопшь: Пщручники 1 поабники, 1998. - 176 с.
3. Заварыкин В.М., Житомирсикй В.Г., Лапчик М.П. Численные методы. -М.: Просвещение, 1990. - 176 с.
4. Корн Г., Корн Е. Справочник по математике. - М.: Наука, 1968. - 720 с.
УДК330.4.658.8 Доц. Н.Б. БЬдник, канд. екон. наук -
Свропейський ушверситет
ВИКОРИСТАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ МЕТОД1В I МОДЕЛЕЙ В ЕКОНОМ1Ц1, Ф1НАНСАХ
Наведено необхщнють застосування математичних методiв в економщ i у фь нансах, дослщжено можливосп i переваги економiко-математичних методiв i моделей у вирiшеннi практичних проблем. Подано визначення понять модель, моделю-вання; проведено характеристику рiзних методiв математичного моделювання. Видь лено основш напрямки використання економiко-математичного моделювання на тд-приeмствi•
Ключов1 слова: економшо-математичш методи, моделювання, модель, фшан-сова дiяльнiсть пiдприeмства•
Assoc. prof. N.B. Bidnyk - European University Usage of Mathematical Methods and Models in Economics, Finances
The necessity of usage of mathematical methods and models in economics and finances is covered, possibilities and advantages of economic and mathematical methods and models in solving practical problems are analysed. Definitions of such notions as model, modelling are presented; characteristics of different methods of mathematical modelling is made. Basic guideline of usage of economic and mathematical modelling at the company are shown.
Keywords: economic and mathematical methods, modelling, model, financial activity of the company.
Вступ. Фшансовий усшх шдприемства, його мюце на ринку значною м1рою залежить вщ правильно! стратеги поведшки. Для вибору рацюнальних вар1ант1в управлшня шдприемством необхщно прогнозувати можлив1 ситу-аци, впливати на них, спрямовуючи його господарську д1яльшсть на досяг-нення поставлено! мети. Виконувати рацюнальне управлшня вЫею економь ко-виробничою системою з урахуванням змш кожного виду елемент1в, вирь
