CC BY
42
DOI: 10.15593/2224-9354/2018.4.26 УДК 519.816-37
А.С. Лосев
БУТСТРЕП МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
В настоящей работе разработан алгоритм принятия решений в условиях неопределенности и большого числа вариантов возможных ситуаций. Алгоритм основан на использовании бут-стреп методов, которые позволяют уменьшить размерность обрабатываемой матрицы выигрышей, путем выброса из рассмотрения конечного числа разных вариантов ситуаций, что приводит к увеличению веса возможных оставшихся. Данный подход позволяет существенно сократить размерность заданной матрицы выигрышей и увеличить скорость обработки данных. Результат подтвержден численным экспериментом, в ходе которого проведен сравнительный анализ полученного алгоритма с традиционным критерием Лапласа, определены условия корректного использования алгоритма в зависимости от различных входных параметров. Экспериментально подтверждено, что использование бутстреп методов позволяет уйти от субъективных суждений в выборе более значимых возможных вариантов развития ситуаций.
В полученном алгоритме критерий Лапласа используется в соответствии с заданными начальными условиями, но в общем случае он подвержен модификации под необходимый критерий, с сохранением основного принципа его работы. Существенным преимуществом разработанного алгоритма по сравнению с традиционными подходами является прямая зависимость качества результата от числа бутстреп реализаций и обратная от объема бутстреп выборки. Это особенно значимо в условиях рассмотрения большого объема данных.
Ключевые слова: бутстреп методы, принятие решений, критерий Лапласа, условия неопределенности.
Принятие решений в условиях неопределенности относится к задачам повышенной сложности, они требуют учета множества факторов, степень достоверности которых в условиях большого потока противоречивой и субъективной информации не велика. При традиционных подходах к решению данной задачи критерии Лапласа, Гурвица, Севиджа и т.п. [1-5] ориентированы либо на предельные результаты (максимальной прибыли или минимального риска), либо среднестатистические с низким уровнем значимости. В то же время внедрение менеджмента во все сферы деятельности приводит к тому, что предлагаемые решения на основе традиционных подходов без учета специфики производства носят рекомендательный характер, что объясняет интерес к разработкам новых инструментов и методов принятия решений в условиях неопределенности [6-9].
Многие авторы [10-12] в качестве основного инструмента при разработке методов принятия решений используют возможности компьютера. В частности, в работе [12] методами компьютерного моделирования разработана программа поддержки согласования группового решения, которая повышает
© Лосев А.С., 2018
Лосев Александр Сергеевич - канд. физ.-мат. наук, ст. научный сотрудник, Институт прикладной математики ДВО РАН, г. Владивосток, е-mail: A.S.Losev@yandex.ru.
314
степень достоверности выбираемого решения. Отличительной особенностью данного результата является наличие высокой степени объективности выбранного решения. В работе [10] создан программный комплекс, основанный на многокритериальном сравнении, который позволяет составлять различные сценарии развития ситуаций в зависимости от принимаемых решений.
Помимо этого, в данной области предпринимаются попытки разработать методики выявления частных оптимальных стратегий по заданным условиям [13] или понизить степень неопределенности и осуществить переход к рискам [14, 15]. В частности, в работе [14] рассматривается алгоритм выбора статистически обоснованного управленческого решения в условиях неопределенности при большом количестве возможных ситуаций и предположении, что случайная величина выигрыша подчиняется нормальному закону.
В целом наличие дополнительных условий сильно сужает область применения разрабатываемых алгоритмов, подменяя задачу выбора оптимальной альтернативы на задачу выбора подходящего алгоритма или критерия, которая на практике зачастую намного сложнее. Поэтому вопрос разработки новых универсальных алгоритмов принятия управленческих решений в условиях неопределенности остается актуальным и до конца не решенным, особенно в условиях большого информационного потока и глобальной интеграции, которая приводит к увеличению числа возможных последствий выбранного решения.
В качестве одного из решений предлагается уменьшать размерность матрицы выигрышей путем выброса из рассмотрения некоторых вариантов ситуаций, что приводит к увеличению веса возможных вариантов ситуаций. Существенным недостатком данного подхода является выбор отбрасываемых вариантов ситуаций, который осуществляется в силу субъективных соображений или заданных условий.
В настоящей работе на основе бутстреп методов предпринимается попытка осуществить сокращения конечного числа различных вариантов ситуаций по обоснованным соображениям. Разработан алгоритм принятия решений в условиях неопределенности и большого числа вариантов возможных ситуаций, который позволяет существенно сократить размерность обрабатываемой матрицы выигрышей и увеличить скорость обработки данных. Проведен сравнительный анализ полученного алгоритма с традиционным критерием Лапласа, определены условия корректного использования алгоритма в зависимости от различных входных параметров.
Пусть имеется п альтернатив (стратегий) разрешения заданной ситуации Д, Д, •••, А, на каждую альтернативу Д существует т>>п вариантов ситуаций ^,,...,, каждая из которых характеризуется величиной а{^, определяющей прибыль при а ■ > 0 или убыток при а ■ < 0 .
Поиск оптимальной альтернативы, по критерию Лапласа [16], осуществляется в результате выбора стратегии с максимальным среднеарифметиче-
315
ским значением возможного выигрыша по всем возможным ситуациям, следующим образом:
^ m
F* = max—Vа., 1< ' < »mj={ '
где F* - величина среднего ожидаемого выигрыша, соответствующего оптимальной альтернативе.
Выбор альтернативы проводится в предположении, что вероятности появления возможных ситуаций одинаковы и равны 1/m. Показано, что при достаточно большом количестве реализаций среднее значение стремится к константе, тем самым минимизируя риск при n ^ го [16]. Следовательно, любое незначительное смещение от искомой величины моментально приводит к выбору другой альтернативы, что приводит к неправильному результату.
В качестве возможного решения предлагается использовать методы бут-стрепа, основанные на идее М. Кенуя [17-20], которые состоят в последовательном многократном исключении из рассмотрения одного или серии наблюдений, случайным образом. В результате искомая величина определяется частотой ее появления в числе проделанных итерациях. Данный метод бутстрепа известен как метод складного ножа и удобен в использовании при достаточно большом числе обрабатываемых данных, что соответствует нашему случаю.
Опишем алгоритм поиска оптимальной альтернативы в условиях полной неопределенности, в случае, когда число возможных вариантов ситуаций много больше выбираемых альтернатив, т.е. m >> n.
Шаг 1. Преобразуем матрицы Anxm в матрицу Anxz путем случайного
удаления m * столбцов из исходной матрицы.
Шаг 2. Рассчитаем величину среднего выигрыша каждой альтернативы по матрице Anxz следующим образом:
1 2
Fi =-iZ aij,
m - m *
где i = 1, 2, ..., n.
Шаг 3. Определим оптимальную альтернативу Ak, которой соответствует F = max F.
1<i'< n
Шаг 4. Повторим предыдущие шаги B раз, получив выборку оптимальных альтернатив каждой итерации A^, A2, ... AfB, здесь е {1, 2, ..., n}.
Шаг 5. На основе полученной выборки Д Л1... А1в составим распределение частот А, где г = 1, 2, ..., п.
Шаг 6. Определим оптимальную бутстреп альтернативу А*, которая имеет максимальную частоту в построенном распределении.
316
Выбор оптимальной альтернативы в бутстреп выборки на каждой итерации осуществляется критерием Лапласа, как наиболее обоснованным в рассматриваемых начальных условиях. В более частных случаях в зависимости от накладываемых условий на матрицу выигрышей алгоритм можно модифицировать под соответствующий критерий, внося изменения в шаги 2 и 3, в остальном он остается без изменения.
В целях обоснования и демонстрации корректности работы алгоритма, проведем соответствующий численный эксперимент. Введем в рассмотрение матрицу выигрышей Дх50, заполненную случайным образом действительными числами из интервала (50; 100). Используя разработанный алгоритм, определим бутстреп альтернативу с числом бутстреп реализаций В = 106 и сравним полученный результат с традиционным критерием Лапласа. Сравнение проведем по принципу совпадения (+) или несовпадения (-) оптимальной бутстреп альтернативы с оптимальной альтернативой по критерию Лапласа.
В целях получения обобщенного результата также рассмотрим пример с расширенным диапазоном возможных значений а ■ до (20; 120) и, наоборот, более узким (80; 100). Аналогичным образом рассмотрим матрицы различных размерностей А9х100, А9 х150, А9х 200, А9х 250, соответствующие результаты сравнительного анализа представим в табличном виде (табл. 1).
Таблица 1
Сравнительная таблица бутстреп алгоритма и критерия Лапласа
Количество исходных ситуаций (т) Числовой диапазон величины выигрышей
т*=5 т*=10
(50; 100) (80; 100) (20; 120) (50; 100) (80; 100) (20; 120)
50 е - - е е -
100 е - - - е -
150 - - е - - -
200 е - - - - е
250 - - - е е е
Количество исходных ситуаций (т) т*=20 т*=40
(50; 100) (80; 100) (20; 120) (50; 100) (80; 100) (20; 120)
50 е е е е е е
100 - е - е - е
150 е е е е е -
200 е - - е е е
250 - е - е е е
317
По результатам сравнительного анализа получено, что, во-первых, повышение величины т* - число убираемых вариантов возможных ситуаций, приводит к повышению вероятности совпадения оптимальных альтернатив между алгоритмом и критерием Лапласа, а именно: при т* = 5; 10; 20; 40 частота совпадения соответственно 0,27; 0,47; 0,6; 0,87.
Во-вторых, т* не имеет сильной зависимости от числа п, так как из табл. 1 видно, что при фиксированном п частота совпадений результат равномерно растет с ростом т*, как в случае п = 50, так и п = 150 или 250. Следовательно, можно предположить, что при т >> 250 и при заданном ограничении на числовой диапазон величины выигрыша, оптимальная альтернатива определяется предложенным алгоритмом с вероятностью более 0,87 при т* = 40. К примеру, в случае т = 1000 с учетом первого вывода можно ожидать повышение точности результата более 0,9 и сокращения числа обрабатываемых элементов матрицы в 2 раза путем увеличения т* до 500. В частности, проведенный численный эксперимент на матрице А при т* = 700 подтверждает данное предположение.
В-третьих, из табл. 2 видно, что т* напрямую зависит от размерности числового диапазона величины выигрышей, а именно: при малом диапазоне (80; 100) вероятность совпадения 0,8 достигается при т* = 20, аналогичный результат в большом диапазоне (20; 120) достигается при т* = 40. Средний диапазон (50; 100) в случае т* < 40 выдает частоту совпадения не более 0,6.
Таблица 2
Вероятность совпадения оптимальных стратегий
Величина m* Числовой диапазон величины выигрышей
(80; 100) (50; 100) (20; 120)
5 0 0,6 0,2
10 0,6 0,4 0,4
20 0,8 0,6 0,4
40 0,8 1,0 0,8
Использование бутстреп методов позволяет уйти от субъективных суждений в выборе более значимых возможных вариантов развития ситуаций. Также существенным преимуществом по сравнению с традиционными подходами является прямая зависимость качества результата от числа бутстреп реализаций и обратная от объема бутстреп выборки. Последние особенно значимо в условиях рассмотрения большого объема данных.
Список литературы
1. Бурляева О.В., Ибрагимов В.В., Ленард А.А. Процесс принятия управленческих решений // ГИАБ. - 2007. - № 2. - С. 9-30.
318
2. Черников А.П. Принятие управленческих решений в условиях неопределенности // Известия БГУ. - 2013. - № 2. - С. 57-61.
3. Малыхин В.И. Математические методы принятия решений: учеб. пособие / Воронеж. филиал МГЭИ. - Воронеж, 2009. - 102 с.
4. Орлов А.И. Прикладная статистика. - М.: Экзамен, 2006. - 671 с.
5. Гнеденко Б.В. Математическая статистика и контроль качества. - М.: Знание, 1976. - 64 с.
6. Изотов В.Н., Несмеянов В.Ф. Использование экономико-математических методов и моделей в процессе принятия управленческих решений // Концепт. - 2012. - № 11(15). - С. 1-5.
7. Яскевич О.Г., Иванов Д.В. Поиск оптимальных стратегий в матричных и биматричных играх в условиях эффективной интерпретации результатов решения // Вестник ВГТУ. - 2010. - № 12. - С. 48-50.
8. Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности. - София: Техника, 1989. - 224 с.
9. Орлов А.И. Теория принятия решений. - М.: Экзамен, 2006. - 574 с.
10. Буянов Б.Б., Лубков Н.В., Поляк Г.Л. Система поддержки принятия управленческих решений с применением имитационного моделирования // Проблемы управления. - 2006. - № 6. - С. 43-51.
11. Горяшко А.П. Теория игр: от анализа к синтезу. Обзор результатов // Cloud of science. - 2014. - № 1. - С. 112-154.
12. Трахтенгерц Э.А. Компьютерные системы поддержки принятия управленческих решений // Проблемы управления. - 2003. - № 1. - С. 13-29.
13. Черников А.П. Принятие управленческих решений в условиях неопределенности // Известия Иркутской государственной экономической академии. - 2013. - № 2. - С. 57-61.
14. Лосев А.С. Алгоритм выбора статистически обоснованного управленческого решения в условиях неопределенности // Вестник Том. гос. ун-та. Экономика. - 2016. - № 2(34). - С. 219-224.
15. Олеников С.П., Бутенко Л.Н. Метод принятия решений в условиях не-однорости информации (РУНИ) // Известия Волг! ТУ. - 2009. - № 6. - С. 63-66.
16. Блягоз З У., Попова А.Ю. Принятие решений в условиях риска и неопределенности // Вестник Адыгейского государственного университета. -2008. - № 4. - С. 164-168.
17. Эфрон Б. Нетрадиционные методы многомерного статистического анализа. - М.: Финансы и статистика, 1988. - 263 с.
18. Диаконис П., Эфрон Б. Статистические методы с интенсивным использованием ЭВМ // В мире науки. - 1983. - № 7. - C. 60-73.
19. Efron B. Nonparametric estimates of standard error: the jackknife, the bootstrap and other methods. - CA: Stanford Univ., 1980. - 647 p.
20. Орлов А.И. О реальных возможностях бутстрепа как статистического метода // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 1987. - Т. 53, № 10. - С. 82-85.
319
References
1. Burliaeva O.V., Ibragimov V.V., Lenard A.A. Protsess priniatiia upravlencheskikh reshenii [The process of making managerial decisions]. GIAB, 2007, no. 2, pp. 9-30.
2. Chernikov A.P. Priniatie upravlencheskikh reshenii v usloviiakh neopredelennosti [Adoption of management decisions in conditions of uncertainty]. Izvestiia BGU, 2013, no. 2, pp. 57-61.
3. Malykhin V.I. Matematicheskie metody priniatiia reshenii [Mathematical methods of decision making]. Voronezh, 2009, 102 p.
4. Orlov A.I. Prikladnaia statistika [Applied statistics]. Moscow, Ekzamen, 2006,671 p.
5. Gnedenko B.V. Matematicheskaia statistika i kontrol' kachestva [Mathematical statistics and quality control]. Moscow, Znanie, 1976, 64 p.
6. Izotov V.N., Nesmeianov V.F. Ispol'zovanie ekonomiko-matematicheskikh metodov i modelei v protsesse priniatiia upravlencheskikh reshenii [The use of economic-mathematical approach in forecasting in the process of making administrative decisions]. Kontsept, 2012, no. 11(15), pp. 1-5.
7. Iaskevich O.G., Ivanov D.V. Poisk optimal'nykh strategii v matrichnykh i bimatrichnykh igrakh v usloviiakh effektivnoi interpretatsii rezul'tatov resheniia [Search of optimal strategies in matrix and bimatrix games in conditions of effective decision results interpretation]. Vestnik VGTU, 2010, no. 12, pp. 48-50.
8. Voshchinin A.P., Sotirov G.R. Optimizatsiia v usloviiakh neopredelennosti [Optimization in conditions of uncertainty]. Sofiia, Tekhnika, 1989, 224 p.
9. Orlov A.I. Teoriia priniatiia reshenii [The theory of decision-making]. Moscow, Ekzamen, 2006, 574 p.
10. Buianov B.B., Lubkov N.V., Poliak G.L. Sistema podderzhki priniatiia upravlencheskikh reshenii s primeneniem imitatsionnogo modelirovaniia [Control system for making managerial decisions with the use of simulation modeling]. Problemy upravleniia, 2006, no. 6, pp. 43-51.
11. Goriashko A.P. Teoriia igr: ot analiza k sintezu. Obzor rezul'tatov [Game theory: From analysis to synthesis. Review of results]. Cloud of science, 2014, no. 1, pp. 112-154.
12. Trakhtengerts E.A. Komp'iuternye sistemy podderzhki priniatiia upravlencheskikh reshenii [Computer systems supporting making administrative decisions]. Problemy upravleniia, 2003, no. 1, pp. 13-29.
13. Chernikov A.P. Priniatie upravlencheskikh reshenii v usloviiakh neopredelennosti [Making managerial decisions in conditions of uncertainty]. Izvestiia Irkutskoi gosudarstvennoi ekonomicheskoi akademii, 2013, no. 2, pp. 57-61.
14. Losev A.S. Algoritm vybora statisticheski obosnovannogo upravlencheskogo resheniia v usloviiakh neopredelennosti [Algorithm for the selection of statistical informed management decisions under uncertainty]. Vestnik Tomskogo gosudarstven-nogo universiteta. Ekonomika, 2016, no. 2(34), pp. 219-224.
320
15. Olenikov S.P., Butenko L.N. Metod priniatiia reshenii v usloviiakh neodnorosti informatsii (RUNI) [Decision-making method in a condition of heterogeneity of the information (RUNI)]. Izvestiia VolgGTU, 2009, no. 6, pp. 63-66.
16. Bliagoz Z.U., Popova A.Iu. Priniatie reshenii v usloviiakh riska i neopredelennosti [Methods of decision making in conditions of risks and uncertaintly]. VestnikAdygeiskogo gosudarstvennogo universiteta, 2008, no. 4, pp. 164-168.
17. Efron B. Netraditsionnye metody mnogomernogo statisticheskogo analiza [Non-traditional methods of multivariate statistical analysis]. Moscow, Finansy i statistika, 1988, 263 p.
18. Diakonis P., Efron B. Statisticheskie metody s intensivnym ispol'zovaniem EVM [Statistical methods with intensive use of computers]. Vmire nauki, 1983, no. 7, pp.60-73.
19. Efron B. Nonparametric estimates of standard error: The jackknife, the bootstrap and other methods. CA, Stanford University, 1980, 647 p.
20. Orlov A.I. O real'nykh vozmozhnostiakh butstrepa kak statisticheskogo metoda [On the real capabilities of bootstrap as a statistical method]. Zavodskaia laboratoriia. Diagnostika materialov, 1987, vol. 53, no. 10, pp. 82-85.
Оригинальность 88 %
Получено 22.03.2018 Принято 06.04.2018 Опубликовано 28.12.2018
A.S. Losev
BOOTSTRAP METHODS OF DECISION-MAKING IN THE CONDITIONS OF UNCERTAINTY
The present work develops the decision-making algorithm in the conditions of uncertainty and a large number of possible situations. The algorithm is based on bootstrap methods which allow to reduce the size of the processed gains matrix, by excluding various types of situations, which leads to a higher weight of the remaining candidates. This approach allows to reduce significantly the size of the gains matrix and to increase data processing rate. The result is verified with a numerical experiment, including comparative analysis of the output algorithm and traditional criterion by Laplace; conditions of correct use of the algorithm depending on various input parameters are defined. It is experimentally confirmed that bootstrap methods allow to avoid subjective judgments in the choice of more significant possible types of situation development.
In the algorithm obtained, the Laplace criterion is used in accordance with the given initial conditions, but in general, it is subject to modification to the necessary criterion, while maintaining the basic principle of its operation. A significant advantage of the developed algorithm in comparison with traditional approaches is the direct dependence of the result quality on the number of bootstrap implementations and the inverse dependence of the bootstrap sample size. This is particularly important when the large amount of data is processed.
Keywords: bootstrap methods, decision making, Laplace criterion, uncertainty conditions.
Aleksandr S. Losev - Candidate of Physics and Mathematics, Senior Researcher, Institute of Applied Mathematics, FEB RAS (Vladivostok), e-mail: A.S.Losev@yandex.ru.
Received 22.03.2018 Accepted 06.04.2018 Published 28.12.2018
321
