CC BY
27
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 19. Выпуск 3.
УДК 511 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-3-311-317
Большие пути в дистанционных графах в векторных пространствах над конечным полем
Штейников Юрий Николаевич — кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, Математический институт имени В. А. Стеклова, ФГУ ФНЦ Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук, г. Москва. e-mail: [email protected]
Аннотация
В статье изучается следующая задача. Пусть Е С ^ является подмножеством ¿— мерного векторного пространства над конечным полем из ц элементов. Мы определяем так называемый дистанционный граф на множестве Е с единичным расстоянием между вершинами. Расстояние между вершинами х, у определяется так \\х—у\\ = (х1 —у1)2 + .. . + —уо)2. Вершины дистанционного графа это элементы множества Е и пара вершин х,у € Е соединены ребром если расстояние между ними равно единице. В настоящей работе изучаются длинные пути в этом графе. А именно, получена нижняя оценка на длину самого большого непересекающегося пути в нем. При определенных условиях в работе доказано, что длина такого пути состоит из большинства вершин из множества Е. Это дополняет результат из работы А. Иосевича и соавторов. При доказательстве мы используем некоторые комбинаторные идеи и результаты, полученные А. Иосевичем и М. Рудневым а также совместный результат М. Беннета, Дж. Чапмана, Д. Коверта, Д. Харта, А. Иосевича и Дж. Пакиана-тана. Основная идея построения большого пути в таком графе заключается в следующем. Мы строим много путей меньшей длины стандартными методами. Далее, основываясь на совместном результате М.Руднева и А. Иосевича о распределении расстояний между элементами множества Е, мы заключаем, что существуют пара вершин у двух различных путей с расстоянием единица. Тем самым есть возможность соединить какие-то два уже построенных пути за их вершины и получить путь большей длины. Эта процедура повторяется итеративно до тех пор, пока не построится путь заданной нами длины. Отметим, что данный метод и основной результат остается верен и для так определенных дистанционных графов с любым ненулевым расстоянием.
Ключевые слова: конечные поля, расстояние, дистанционный граф, пути графа
Библиография: 4 названия.
Для цитирования:
Ю. Н. Штейников. Большие пути в дистанционных графах в векторных пространствах над конечным полем // Чебышевский сборник, 2018, т. 19, вып. 3, с. 311-317.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 19. N0. 3.
UDC 511 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-3-311-317
Long paths in the distance graphs in vector spases over finite fields
Shteinikov Yuriy Nikolaevich — candidat of physical and mathematical sciences, professor, Steklov Mathematical Institute of RAS, Scientific Research Institute of System Analysis, Moscow. e-mail: [email protected]
Abstract
We study the following task. Let E c F^, be the subset of the d— dimensional vector space over the finite field with q elements. We define so- called distance graph of the set E with distance equal to one. The distance between the vertices x,y G E is defined as follows II x — y II = (xi — Vi)2 +... + (xd — Vd)2- The vertices of the distance graph are the elements of E and a pair of vertices x,y G E are connected by an edge if the distance between them is equal to one. In this paper long paths in the graph are studied. Namely the lower estimate for the length of the longest non-overlapping path in this graph is obtained. Under certain conditions, it is proved that the length of such path consists of the most of vertices of the set E. This complements the result from the paper of A. Iosevich and co-authors. In the proof we use some combinatoric arguments and results obtained by M. Rudnev and A. Iosevich and also joint result of M. Bennett, J. Chapman, D. Covert, D. Hart, A. Iosevich and J. Pakianathan. The main idea of constructing a long path in such a graph is as follows. We construct many paths of shorter length by standard methods. Further, based on the joint result of M.Rudnev and A. Iosevich on the distribution of distances between elements of the set E, we conclude that there exist a pair of vertices of two different paths with distance one. Thus, it is possible to connect some two paths already constructed for their vertices and get a longer path. This procedure is repeated iteratively until the path of the given length is constructed. We note that this method and the main result remains true for such distance graphs with any non-zero distance.
Keywords: finite fields, distance, distance graph, graph paths
Bibliography: 4 titles.
For citation:
Iu. N. Shteinikov, 2018, "Long paths in the distance graphs in vector spases over finite fields" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 3, pp. 311-317.
1. Введение
Напомним немного что такое классический евклидов дистанционный граф на двумерной плоскости. Вершинами графа являются точки этой плоскости. Две вершины соединены ребром, если расстояние между ними равно 1. Известная проблема Хадвигера-Нелсона заключается в поиске величины хроматического числа этого графа. Мы только знаем, что ответ либо число 5, 6 или 7.
В этой работе мы рассматриваем дистанционный граф в где ^ обозначает векторное пространство над конечным полем из ц элементов. Вершинами этого графа являются элементы Две вершины х,у € ^ соединены ребром, если || х — у ||= 1, где || х ||= х\ + ... + х^. Основной результат этой работы будет относиться к этому случаю.
Имеются множество результатов для этого дистанционного графа в мы отсылаем читателя к статьям [2], [3], [4]. Мы берем произвольное большое подмножество Е в ^ и рассматриваем дистанционный граф на множестве Е.
Сначала напомним некоторые предшествующие результаты. А. Иосевич и М. Руднев доказали, что если Е С d > 2, £ = 0, то
\Е\2
1{(х,у) € Е х Е :|| ж — у ||= Щ = ^ + Щ), (1)
где
|Д(*)|< 2д^ 1Е|. (2)
Отсюда следует, что при определенных условиях количество ребер в этом графе на множестве Е приблизительно равно
С .Д. Адхикари, Анирбан Мукхопадхуай и М. Рэм Мерти [1] также изучали количество различных расстояний определяемых множеством Е. В их статье они установили, что
|{\\ ж — у \\: х,у € Е}| = ОД,
при некоторых естественных предположениях и без использования оценок сумм Клоостер-мана. Этот факт также следует из соотношения (1), полученного М. Рудневым и А. Иосевичем.
Определения. Две вершины а и Ь назовем соседними если а и Ь соединены ребром. Набор всех соседей вершины а будем обозначать N (а). Размер множе ства N (а) будем называть степенью а и обозначать как с^(а).
Мы говорим, что последовательность вершин ы,..., 1 € С образует путь длины к если для всех 0 < г < к вершины VI, соединены ребром. Длины пути будет обозначаться как |з|. Путь длины к назовем несамопересекающимся если все в определении разные. Два пути 81,82 назовем непересекающимися, если они не имеют общих вершин.
Имеются ряд интересных результатов в статье [2] о распределении путей фиксированной длины к. Говоря грубо, если к находится в определенном диапазоне, то эти пути равномерно распределены, - количество таких путей приблизительно равно Сформулируем соответствующий результат из [2].
Теорема 1. Пусть Е С Щгдей > 2 и |E| > У- Предположим что и = 0,1 < г < к, и пусть т = (Ь1,... )• Определим,
Ск(г) = {х1,...^^1) € Е х ... х Е :\\ х* — х^1 \\= к, 1 < г < к}1
Тогда
где
\Е\к+1
Ск (т ) = + Dk (т),
|п , 2к d+i \Е\к \Dk(т)\ < ^^q 2 ^-¡т-.
log 2 qk
Целью настоящей работы является получение нижней оценки на наибольшую длину неса-мопересекающегося пути в дистанционном графе на Е. Сформулируем основной результат.
Теорема 2. Пусть Е С F^ и величина f определена из равенства \Е\ = fqlog q. Тогда имеется несамопересекающиися путь длины \Е\(1 - 0(j)) в рассматриваем,ом, дистанционном графе на множестве Е.
В следующем пункте мы формулируем предварительные утверждения. В третьем пункте мы доказываем Теорему 2.
2. Предварительные результаты
Используя результат М. Руднева и А. Иосевича - неравенство (1) - можно вывести два следующих утверждения. Мы дадим набросок их доказательств.
Лемма 1. Пусть подмножества А, В С й > 2, А, В непересекаются и |А|, ^| > 4q Тогда существуют х € А,у € В т,акие что \\ х — у \\= 1.
Доказательство. Определим С = А и В. Также зададим множества
= {(х,у) € С х С :|| ж — у ||= 1},
W2 = {(х,у) € А х А :|| ж — у ||= 1},
^э = {(х,у) € В х В :|| ж — у ||=1}
Из равенства (1) и неравенства (2) мы заключаем, что
| ^ = (^Ш)! + | ^ | = ^ + ^ | и'з | = ^ + «3,
Я Я Я
где
< 2д ^ (|л| + |б |), |й2| < 2д ^ |а|, |дз| < 2д ^ |б|.
Можно заметить, что |^1| > |^2| + |^3|. Это означает, что существует пара (а,Ь) € А х В
такая, что || а — Ь ||= 1. Это и завершает доказательство этой леммы. □
Далее мы представляем следующее утверждение, которое было также отмечено в [2].
Лемма 2. Существует абсолютная константа с > 0 такая что если Е С й > 2
и ^ | > 10д , тогда существует несамопересекающийся путь длины не менее в рассматриваемом, дистанционном графе Е.
Для доказательства этой леммы достаточно доказать такое утверждение. Предложение Пусть Е С > 2 и | > 10дСуществует такое множество Е' С Е, ^^ = &(\Е|) со следующим свойством. Если мы рассмотрим дистанционный подграф образованный множеством Е' то для каждого х € Е' в этом подграфе будем иметь deg(ж) = &(\ЕУд).
Доказательство. Будем использовать Е для обозначения среднего для величины deg(ж) по ж € Е. Используя неравенство (1) мы можем заключить, что Е = 0(\ЕУд). Пусть К есть некоторая абсолютная константа, которая будет определена позже. Следующие рассуждения мы оформим в виде некоторого алгоритма. Определим Ео = ^.Предположим, что п > 0 и множество Еп уже определено. Если множество Еп образует дистанционный граф который содержит вершину х с deg(ж) < Е/К мы определяем Еп+1 = Еп \ {х}, и продолжаем наш алгоритм. Если нет такой вершины х, то мы завершаем наш алгоритм.
Сначала поймем, почему |^га| = П(|^|) для всех п. Рассмотрим множество Ап = = Е \ Еп. Легко видеть, что
{х,у) € х :|| ж — у ||=1}| < ^АпЦВ/К|. С другой стороны, если > Адтогда по неравенству (1)
14 12
Шу) € х :|| ж — у ||=1}|>^.
Если > 0.9|^| и для подходящей большой константы К два последних неравенства противоречивы.
Когда наш алгоритм завершится мы имеем множество Еп с = &(\Е|). Для любого
х € Еп в подграфе образованном множеством Еп мы имеем deg(ж) = ^(^Уд). С этим мы
□
Теперь мы готовы доказать Теорему 2. Говоря грубо, мы будем пытаться соединять пути с помощью Леммы 1. Это будет позволять конструировать большие пути из маленьких. Это один из основных аргументов при доказательстве Теоремы 2.
3. Доказательство основного результата
Сначала мы собираемся доказать следующее утверждение.
Лемма 3. Пусть Е С F^ и \Е\ > Cqlogq, где С какая-то большая абсолютная
константа. Тогда, существует, несамопересекающийся путь длины, Q(jO^) в этом дистанционном графе на множестве Е.
Доказательство.
С помощью Леммы 2 мы находим несамопересекающийся путь длины Q( ^). Рассмотрим множество Е без вершин этого пути и снова используем Лемму 2, и так далее. Действуя таким образом мы можем образовать некоторое число несамопересекающихся путей и не имеющих между собой общих вершин которые вместе содержат не менее \Е\/2 вершин из множества Е. Мы можем считать, что длина каждого такого пути не меньше чем I = c\E\/q, где с > 0 какая-то абсолютная константа. Обозначим через S множество этих путей. Далее мы будем делать некоторые транформации с этими путями, однако для краткости будем обозначать замещающие множества путей той же буквой S. Следующие рассуждения представляют из себя некоторый алгоритм. Будем выполнять следующие шаги.
Шаг 1.
Если все пути из S вместе содержат не менее \ ^ \/2 вершин из Е, мы переходим к следующему шагу.
Если же все пути из S содержат менее \/2 вершин из Е, мы используем Лемму 2 и образуем новые пути, которые не имеют общих вершин с путями из S для которых выполнены следующие свойства:
1)все такие пути имеют длину не меньше I,
2)все эти пути вмсете с путями из S содержат не менее \ Е\ /2 элементов из Е.
Мы добавляем эти новые пути ко множеству S и получаем новое множество S и переходим к следующему шагу.
Шаг 2.
Предположим имеем множество S. Определим мно>квст]Вс1 путей Si, Si ,i,Si2 1 < г < < I < log q.
Si = {s e 5 : \ s\ e [2i-ll, 24)}
Множества Si, i, Si,2 могут быть определены любым образом с выполнением следующих свойств
1) Si = Si,i U Si,2\
2)разница количества путей в Si,i и в Si,2 не отличается больше чем на единицу.
" ' ' logМ "
Когда множества Si, Si,i, Si,2; 1 < i < I = jOg2 ^ log q определены мы переходим к
следующему шагу.
Шаг 3.
Мы определяем множества Ai, Bi (множество вершин) для каждого 1 < г < I. Предположим имеем набор Si,i,Si,2.
Рассмотрим i. Для каждого пути s e Si,i мы берем пер вые t ^^^^^п этого пути s, где t произвольно с условием t e (0.09 \s|, 0.1 \ s\). Мы включаем эти вершины ко множеству Ai.
Множество Bi определяется аналогично Ai, с заменой Si, 1 на множество Si,2-
Когда множества Ai, Bi 1 < г < I ^ log q определены, мы переходим к следующему шагу.
Шаг 4.
d+1
Если существует такое 1 < i < I тао \ Ai \, \ Bi \ > 4q 2 ; тогда по Лемме 1 существует х e Ai, у e Bin || х — у ||= 1. По определению Ai, Bi существуют два пути si e Si,i, S2 e Si, 2 и мы можем соединить большие части этих путей Si,S2 и образовать новый путь. Мы убираем
пути si, S2 из S и образуем новый путь s из больших частей путей si и S2- Мы добавляем путь s во множество S и далее переходим к Шагу 1.
Если такое г не существует мы завершаем наш алгоритм.
Сначала убедимся, что наш алгоритм завершит свою работу. Для этого введем понятие лексикографического порядка па множестве путей из мы располагаем пути из S в порядке невозрастания. Соответственно напишем последовательность этих чисел. Лексикографический порядок определяется по этой последовательности чисел. Каждый раз, когда переходим
d+1
к Шагу 4 и если для некоторого i мы имеем \Ai \, \ Bi \ > 4q 2 ; то лексикографический порядок па множестве S увеличивается. Так как множество Е конечно, алгоритм завершит свою работу.
Для некоторого 1 < io < I количество вершин во множестве Si0 есть Q(\E\/ log q). Если С является большой константой, тогда легко видеть, что множество Si0 содержит только один путь s. Действительно, иначе мы можем образовать более длинный путь из двух различных
путей. Этот путь s удовлетворяет условиям исходной леммы и мы завершаем доказательство. □
3.1. Доказательство Теоремы 2
Доказательство.
Сначала, мы можем считать, что f > С, где С - есть некоторая абсолютная константа из Леммы 3. Используя опять же предыдущую лемму мы заключаем, что существует путь sj длины Q(jO^L). Далее, определяем SJ = Si. Предположим, что п > 1 и путь Sn уже построен. Если
\ЕЫ^! < Cqlogq
мы полагаем S = Sn и завершаем наш алгоритм. Если
\Е\-\5„\ >Cqlogq
мы определяем множество Еп как множество всех вершин Е, ^е ^^^^^^дажащих пути Sn. Далее, мы используем Лемму 3 для множества Еп: и заключаем, что имеется путь sn+i длины
log д)-
Мы определяем А как тервые [4q ^^ +1] ^^^^ип пути Sn и множество В как набор первых
г d+1 1 "
[4q 2 +1] вершин пути sn+i. Используя Лемму 1 мы можем образовать новый путь из больших частей путей Sn и sn+i. Определим этот новый путь как S^+i и продолжим алгоритм.
Несложные вычисления показывают, что \5i+i\ > \Si \. ^уть S удовлетворяет условиям
Теоремы 2 и мы завершаем доказательство. □
4. Заключение
Данная работа посвящается светлой памяти замечательного ученого и академика Юрия Владимировича Линника. Автор хотел бы поблагодарить С. В. Конягина и И. Д. Шкредова за ценные комментарии, советы и внимание к этой работе.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Adhikari S.D., Mukhopadhvav A., Ram Murtv М. The analog of the Erdos distance problem in finite fields // Int. J. Number Theory. 2017' Vol. 13, №9. P. 2319-2334.
2. Bennett М., Chapman J., Covert D., Hart D., Iosevich A., Pakianathan J. Long paths in the distance graph over large subsets of vector spaces over finite fields //J. Korean Math. Soc. 2016. Vol. 53, P. 115-126.
3. Chapman J., Erdogan M.B., Hart D., Iosevich A., Koh D. Pinned distance sets, k-simplices, Wolff's exponent in finite fields and sum-product estimates // Math Z. 2012. Vol. 271, №1-2, P. 63-93.
4. Iosevich A., Rudnev M. Erdos distance problem in vector spaces over finite fields // Transactions of the AMS. 2007. Vol. 359, №12, P. 6127-6142.
REFERENCES
1. Adhikari, S.D., Mukhopadhvav, A., Murtv, M. Ram. 2017, "The analog of the Erdos distance problem in finite fields", Int. J. Number Theory vol. 13, no. 09, pp. 2319-2334.
2. Bennett, M., Chapman, J., Covert, D., Hart, D., Iosevich, A., Pakianathan. 2016, "Long paths in the distance graph over large subsets of vector spaces over finite fields", J. Korean Math. Soc. vol. 53, pp. 115-126.
3. Chapman, J., Erdogan, M.B., Hart, D., Iosevich, A., Koh, D. 2012, "Pinned distance sets, k-simplices, Wolff's exponent in finite fields and sum-product estimates", Math Z., vol. 271, no. 1-2, pp. 63-93.
4. Iosevich, A., Rudnev, M. 2007, "Erdos distance problem in vector spaces over finite fields", Transactions of the AMS, vol. 359, no. 12, pp. 6127-6142.
Получено 16.07.2018 Принято к печати 15.10.2018
