Бикритериальная задача распределения ресурсов в сетевых структурах с активными элементами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 658.5:519.85

БИКРИТЕРИАЛЬНАЯ ЗАДАЧА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ В СЕТЕВЫХ СТРУКТУРАХ С АКТИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

© 2012 г. М.Х. Прилуцкий, К.И. Дикарев

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

[email protected]

Поттупилс вр.дскцию 10.09.2012

Строится общая математическая модель функционирования сложных технических систем, проводится ее исследование. В рамках модели ставится бикритериальная задача объемно-календарного планирования, для которой предлагается эффективный алгоритм решения.

Ключ.вък тловс: сетевая структура, активный элемент, распределение ресурсов, объемнокалендарное планирование, бикритериальная задача.

Введение

На современном уровне развития промышленности оптимизация и повышение эффективности функционирования сложных технических объектов являются актуальной задачей и невозможны без применения системного подхода, связанного с представлением технических объектов в виде многоуровневых иерархических систем и с математическим описанием моделей таких систем. Применение такого подхода требует значительных затрат, и поэтому математические модели, формализующие процессы функционирования сложных технических объектов, должны обладать достаточной общностью, позволяющей описывать в своих рамках различные объекты.

Предложенная в [1] математическая модель иерархической системы и основанная на ней задача оптимального распределения ресурсов в разветвленных иерархических системах с активными элементами конкретизирована на примере задач оптимизации транспорта газа в системах, содержащих газоперекачивающие мощности [2-5]. Конкретизация задачи распределения ресурсов для частного случая газотранспортных систем, содержащих только пассивные элементы, рассматривается в работе [6].

Целью данной работы является расширение применимости общей математической модели распределения ресурсов в сетевых структурах с активными элементами [1] на случай производственной системы объемно-календарного планирования [7—10], в рамках которой ставится

бикритериальная задача оптимального распределения производственных ресурсов по критериям минимизации затрат на выпуск продукции и минимизации штрафных санкций за нарушение сроков ее выпуска.

Общая математическая модель

Как и в [1], пусть G = (V, А), А е V2, - одностороннесвязный ориентированный граф без петель и контуров, моделирующий процесс изготовления изделия. Множество вершин графа

V соответствует элементам системы, которые моделируют процесс выполнения операций по изготовлению изделий, множество дуг А моделирует взаимозависимость выполнения операций. Обозначим через К (у) множество элементов, непосредственно предшествующих элементу V , а через Q(v) - множество элементов непосредственно следующих за элементом V , V е V . Пусть I - множество характеристик, соответствующих элементам системы (трудоемкости выполнения операций, временные характеристики операций). Обозначим через Vе' и V1’ соответственно множество активных и пассивных элементов системы, где под активными элементами будем понимать операции, выполнение которых возможно с различной интенсивностью, а под пассивными элементами - операции, которые выполняются с заданной интенсивностью.

Здесь предполагается, что для любого активного элемента время выполнения соответствующей операции может принимать любое зна-

чение от минимально возможного (при максимальной интенсивности) до максимально возможного (при минимальной интенсивности). Через Vе00 и Увы00 обозначим множество входных и выходных элементов, где входные элементы определяют «начальные» операции по изготовлению изделий (у операций нет предшествующих), Vе0 = {у|К(у) = 0, V єV}, а выходные элементы определяют «завершающие» операции по изготовлению изделий (у операций нет последующих), У1'’'0 =\у^(у) = 0 ,у єV}, Vа с V,

Vі’ с V, Vа UVp = V , Vа П Vе =0 , Vе0 с V,

Vвыo с V.

Пусть иу - множество допустимых управлений, соответствующих активному элементу V (различные интенсивности выполнения операций), уєУа; і' - вектор, определяющий значения характеристик на входе V -го элемента системы (трудоемкость операции, длительность операции), V є V , і' є Я1; Ж/ и Qlv - минимальные и максимальные возможные значения характеристики і на входе V -го элемента сис-

Я' V

і и 8 - минимальные и максимальные возможные значения характеристики і на выходе V -го элемента системы, 0 < Ж' < ,

0 < Н/ < Б'і , і є І, V є¥ ; ф' (і', и', 8)- вектор-функция, преобразующая входные характеристики элемента V в его выходные характеристики под воздействием допустимых управлений и , фг(іv,и",8) є Я1, где 8 - параметр,

принимающий значение 1, если V є Vа (соответствующий элемент V является активным), и 0 - если V є V’ (элемент V является пассивным),

и єи, V є V ; Г (ф” (у’,и‘ ,8), 5 є К(у)) -

вектор-функция, которая определят входные характеристики элемента V по выходным характеристикам всех элементов, непосредственно предшествующих элементу V, V є V .

Обозначим через ду заданные значения характеристик для входного элемента V, V є Vе0, а через gv - заданные значения характеристик для выходного элемента

V, V єVеъъ0, дv є ЯІ{, Іv є Я1.

Математическая модель рассматриваемой системы включает в себя следующие ограничения:

ж; < < < , і є і , V єV; (1)

н; <ф; (і; , иу ,0) < , і є і , V єУр; (2)

Н' <ф; (м>], и ,1) < , і є І, V єУa; (3)

і' = д', V є Vе00; (4)

ф* (і', и ,0) = І', V є (Vе™ П V’); (5)

ф* (і', и ,1) = І', V є (Vе™ П Vа); (6)

і' = 7' (фV (і5, и5,0), 5 є К (V)),

V є (Уp\Уеo ); (7) і' = /' (фV (і5, и5,1), 5 є К(V)),

V є (Vа IVе0). (8) Здесь ограничения (1) означают, что значения характеристик на входе каждого элемента системы лежат в заданном диапазоне значений. Условия (2) и (3) определяют ограничения для значений характеристик на выходах соответственно пассивных и активных элементов. Условия (4), (5) и (6) согласуют характеристики соответственно для входных и выходных элементов системы. Выражения (7) и (8) определяют условия баланса между входами и выходами для пассивных и активных элементов, соответственно.

Двухресурсная задача объемно-календарного планирования

В рамках построенной математической модели ставятся различные задачи объемнокалендарного планирования. В данной работе мы рассмотрим некоторую частную подмодель, для которой существуют реальные производственные объекты.

Не уменьшая общности (за счет введения фиктивных элементов) будем считать, что система имеет один единственный входной и единствен-

^ ^ _ _ _ _ ТЛвО Т/'е^Ю 1

ный выходной элементы V = V = 1;

Vеo _ 'ео ^ vеыo _ ^уе^^о ^

Пусть имеются две основные характеристики производственной системы: время выполнения производственной операции іч и ресурсо-емкость операции Gv (например: нормо-часы, условные тонны, рубли ), К є Я, V є V . Таким образом, получаем «двухресурсную» систему,

1 = 2.

Рассмотрим элемент V , который определяет процесс выполнения конкретной операции,

V є V . Тогда вектор, описывающий значения характеристик на входе данного элемента, определяется следующим образом: і' = (г1, Givnl), у є V , і' є Я2.

Бuкpum5puaльнaя зсдсчс pстnp5д5Л5нuя p5туpтoв в T5m5выz тmpукmуpсz т скmuвнъmu эл5м5нmсмu

155

Здесь t“, G‘vn - значения соответственно суммарного времени выполнения и суммарной ресурсоемкости всех операций, предшествующих операции v , v є V , причем t‘vnl = 0, если v = vez.

Границы интервала ограничений для компонент вектора Wv в рассматриваемой модели отсутствуют, т.е. W' = 0 , QV = да, І є {1,2}, v є V .

Вектор-функция ф” (Wv, uv, б), преобразующая значения компонент вектора входных характеристик Wv к значениям его выходных характеристик, определяется следующим образом:

ф1'(Wv,uv,б) = (ф;(Wv,uv,б), ф2^,uv,б)),

v є V . (9)

В выражении (9) компоненты вектора выходных характеристик имеют следующие значения:

ф' (Wv, uv ,1) = w; + Tv (uv),

ф;(Wv,uv,0) = w; + tu,

ф2^;,uv,б) = w2V + Gv, б є {0,l}, ;є V .

Здесь Tv (uv) - время выполнения операции для активного элемента ; при условии, что операция выполняется с интенсивностью uv, uv є Uv, v є Vа.

Минимальная и максимальная границы интервала ограничений для вектор-функции

ф''(Wv,uv,б), H' и Si' определяются из технологических и организационных условий:

h; = t;nl, s,; = d , h2 v = 0, s2 v = Z Gv,

veV

( ^ еъго въю

uєV\{увъа }, H; = D-a,, S,v = D + A2.

Здесь D - директивный срок окончания изготовления изделия (время завершения выполнения работы veha), A,, A2 - величины возможного отклонения времени завершения изготовления изделия от заданного директивного срока.

Вектор-функцию, определяющую входные характеристики элемента v по выходным характеристикам всех элементов, непосредственно ему предшествующих, будем обозначать через

fv(фу (Ws,us,б), s є K(v)) =

= (/1V(фv(Ws,us,б), s є K(v)),

/2 (9v(Ws,us,б), s є K(v))),

где

/^(ф*(Ws,us,б), s є K(v)) = max(Ws,us,б)] ;

sєK (v)L

/2' ^v(Ws,us,б), s є K(v)) =

= ,us,8)/|Q(s)|), 2є V .

sєK (v)

Заданные значения характеристик для входного элемента принимают для рассматри-

ваемой нами «двухресурсной» системы следующие значения: дв = (0,0). (Предполагается, что значения времени выполнения операций и ресурсоемкость операций на входе в систему имеют нулевые значения.)

Заданные значения характеристик для выходного элемента V = уеьа принимают для рассматриваемой системы следующие значения:

( \

D- Ац

Z G.

veV

(10)

В ограничении (10) предполагается, что время выполнения операций на выходе системы должно принимать значение из интервала [D -А1,D + А2 ], а ресурсоемкость операций на выходе системы принимает значение, равное суммарной ресурсоемкости всех операций производственной системы.

Таким образом, при конкретизации введенных обозначений общая математическая модель (1)-(8) преобразуется в частную подмодель,

объемно-

формализующую проблему календарного планирования:

W2 =(t;nl, G‘vnl), 2 є V , W2 є R2; (11)

фv (Wv, uv, 8) = (ф; (Wv, uv, 8), ф2(WV, uv, 8)),

8 є {0,l},; є V ; (12)

ф' (Wv, u ,1) = WlV + T; (uv); (13)

ф; (Wv, uv ,0) = w; + tv; (14)

ф'(WV,uv,б) = w2v + Gv, б є {0,l}, v є V ; (15)

tinl ^v(Wv,uv,б) < D, б є {0,1}, V є V ; (16)

0 ^2(WV, uv, б) <Z Gv, б є {0,1}, V є¥; (17)

= (0,0);

D - A,;

ZG.

ує¥

(18)

(19)

(20)

Г (ф” (і5, и5, 8), 5 є К(V)) =

= { тах [ф5 (і5, и5, 8)1

^ 5єК (уЛ1 ^

^(ф2(і,и5,8)/|Є(5)|) 8 є {0,1}, у є У).

5єК (V)

Здесь ограничение (11) определяет вектор входных характеристик для элемента системы

V , V є V. Ограничения (12) определяют вектор выходных характеристик для элемента системы. Условия (13) и (14) определяют значения первой компоненты вектора выходных характеристик для случаев активного и пассивного элемента системы соответственно. Ограничения

(15) определяют значения второй компоненты вектора выходных характеристик. Выражения

(16) и (17) определяют ограничения для первой и второй компонент вектора выходных характеристик соответственно. Ограничения (18) согласуют характеристики для входного элемента системы. Ограничения (19) определяют значения характеристик для выходного элемента системы. Выражения (20) определяют условия баланса между входами и выходами элементов системы.

Исследование построенной математической модели

Система ограничений (11)—(20) определяет двухресурсную иерархическую математическую модель с активными элементами. Нетрудно предложить эффективную схему проверки совместности системы ограничений, определяющей построенную математическую модель. Введем времена выполнения операций в предположении, что для всех активных элементов соответствующие им операции выполняются с максимально возможной интенсивностью, т.е. операции выполняются за минимально возможное время. При этих условиях возможны следующие ситуации:

1. (Ц1 ,и' ,5) е[В -Д1,D + Д2] - тогда система ограничений (11)—(20) совместна;

2. ф1 (Ц1 ,и" ,5) > D + Д2— тогда система ограничений (11)—(20) несовместна;

3. ф^въ“(й',вы,иувьы,5)<В-Д1— тогда если при заданных минимальных интенсивностях для активных элементов (когда времена выполнения операций максимальные)

вы — еъгх еъгх

Ф1 (ц1 , и , 5) < В - Д1, то система несовместна (ситуация 3.1), в противном случае система (11)—(20) совместна (ситуация 3.2).

Постановка оптимизационной задачи

Под стратегией управления системой распределения ресурсов в сетевых структурах с активными элементами будем понимать функцию 'л(о), определенную на множестве Уа со

значениями из множества ии, которая определяет для каждого активного элемента интенсивность, с которой будет выполняться соответствующая операция. Через £ обозначим множество всех возможных стратегий. При заданной функции "Л (и) для каждой операции системы известны времена выполнения, а тем самым

известно и общее время изготовления всего изделия. Пусть при заданной стратегии управления

ФСл^Х В) = В) Ф 2 (л(иХ В)) — функция,

характеризующая качество функционирования системы, первая компонента которой

В) =

а

въгх _ въгх въгх

(Фи (Ц , и” ,1) - В)

В

х 100,

если Фи (Ц р (В -срЦвъ“ (Ц

,1) ^ В. ' ,1))

В

х 100,

если ри (Ц , и” ,1) < В

определяет штрафные санкции, связанные с возможными нарушениями заданного директивного срока изготовления изделия, а вторая

компонента ф2(л(и), В) = ^ сЛ(и) определяет

ие¥а

суммарные затраты на применения интенсивностей выполнения всех активных операций. Здесь а — величина штрафа за один процент «отставания» времени изготовления изделия от директивного срока, р — величина штрафа за один процент «опережения» времени изготовления изделия от директивного срока, а сЛ(и) —

затраты, связанные с использованием и -м активным элементом интенсивности, определяемой стратегией п(и).

Задача поиска оптимальной стратегии управления процессом распределения ресурсов ставится как бикритериальная задача минимизации компонент вектора ф(л(и),В) по всевозможным стратегиям из множества £.

Алгоритм решения

Будем предполагать, что математическая модель, формализующая рассматриваемую производственную систему, совместна, т.е. имеют место ситуации 1 или 3.2. Для рассматриваемых производственных систем первичными являются условия, связанные с выполнением директивного срока изготовления изделия, т.к. они относятся к «внешним» условиям системы и определяются на основе заключенных договоров. Поэтому здесь предлагается лексикографическая схема свертки поставленной бикритериальной задачи, которая заключается в последовательном решении двух оптимизационных задач:

Задача 1 — поиск стратегии Л0(и), для которой выполняются условия (11)—(20) и минимизируется функционал ф1(п(и),В), и Задача 2 — поиск стратегии, для которой выполняются ус-

и

и

и

и

ловия (11)—(20), дополнительное условие

ф 1 (п (и), В) = ф 1(л 0 (и), В) и минимизируется функционал ф2(л(и), В).

Алгоритм решения задачи 1

Определим минимально возможные длительности выполнения активных операций. Пусть имеет место:

въгх — въгх въгх

• ситуация 1 и (цу ,иу ,1) > В , то-

гда задача 1 решена, стратегия Л0(и) определяется максимальными интенсивностями для всех активных элементов, и значение критерия определяется как

А ( (Л ТУ\ гФ1 (Ц1 , иУ ,1) - В 1ЛЛч.

ф1 (Л 0 (и), В) = а(-^-----------------------В-х 100);

въгх — въгх увъгх

• ситуация 1 и ф1 (ц1 , и ,1) < В, то-

гда определим максимально возможные длительности выполнения активных операций, и,

если ф1 (Ц1 ,иу ,1) > В , то задача 1 решена, стратегия Л0(и) находится при условиях, что значение критерия ф^Л0(и), В) = 0;

• ситуация 3.1 и при максимально возможных длительностях выполняется

въгх въгх въгх

ф! (ц1 , и ,1) > В , то задача 1 решена, стратегия Л0(и) находится при условиях, что значение критерия ф1(л0(и), В) = 0;

• ситуация 3.1 и при максимально возможных длительностях выполняется

фу1‘‘“ (Цу’“,и'‘ьа ,1) < В, то задача 1 решена, стратегия Л0(и) находится при условиях, что значение критерия

ф1(Л0(и),В) = р(В -ф1 Ц и 1 х 100) .

Алгоритм решения задачи 2

Алгоритм решения задачи 2 основан на расчете временных характеристик сетевых графиков, соответствующих рассматриваемой сетевой модели. Рассчитаем временные характеристики сетевого графика, соответствующего оптимальной стратегии, найденной при решении задачи 1. Для операций с нулевыми резервами времени (операции критического пути) сохраним интенсивности, определяемые найденной оптимальной стратегией. Для каждой операции с ненулевым резервом времени выберем интенсивность так, чтобы затраты на ее использование были минимальными из возможных интенсивностей, при которых длительность выполнения операции не увеличится более, чем на величину критического пути. Найденная

стратегия определит оптимальное решение поставленной задачи.

Заключение

Общая математическая модель распределения ресурсов в сетевых структурах с активными элементами конкретизируется для случая производственной системы объемно-календарного планирования, в рамках которой ставится би-критериальная задача оптимального распределения производственных ресурсов по критериям минимизации затрат на выпуск продукции и минимизации штрафных санкций за нарушение сроков ее выпуска. Представленный в статье подход может быть применен на промышленных предприятиях с единичным и мелкосерийным характером производства и длительным циклом изготовления основной продукции для выработки оптимальных стратегий управления системой распределения ресурсов.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Минобрнауки России (гос. соглашение о предоставлении гранта №14.В37.21.0878).

Список литературъ

1. Прилуцкий М.Х., Дикарев К.И. Распределение ресурсов в иерархических системах с активными элементами // Вестник Нижегородского Университета. 2012. № 4.

2. Прилуцкий М.Х., Костюков В.Е. Оптимизационные задачи объёмно-календарного планирования для нефтеперерабатывающих предприятий // Системы управления и информационные технологии. 2007. № 2.1(28). С. 188—192.

3. Прилуцкий М.Х., Костюков В.Е. Оптимизационные задачи планирования транспортировки газа // Информационные технологии и вычислительные системы. 2007. № 2. С. 67—73.

4. Прилуцкий М.Х., Шумилов В.Б., Афраймо-вич Л.Г. и др. Оптимизационные задачи планирования транспорта газа в магистральном газопроводе // Электронный журнал «Исследовано в России». 2008. 033. С. 383—391 http://zhumal.ape.relam.ru/articles/ 2008Z033.pdf.

5. Костюков В.Е., Прилуцкий М.Х. Распределение ресурсов в иерархических системах. Оптимизационные задачи добычи, транспорта газа и переработки газового конденсата. Учебное пособие. Н. Новгород.: Изд-во Нижегородского университета, 2010. 78 с.

6. Прилуцкий М.Х., Дикарев К.И. Оптимизационные задачи согласования параметров для участков газотранспортной системы // Системы управления и информационные технологии. 2011. № 3.1(45). С. 185—189.

7. Прилуцкий М.Х. Многокритериальное распределение однородного ресурса в иерархических

системах // Автоматика и телемеханика. 199б. № 2. С. 1З9-14б.

8. Афраймович Л.Г., Прилуцкий М.Х. Многоиндексные задачи распределения ресурсов в иерархических системах // Автоматика и телемеханика. 200б. № б. С. 194-205.

9. Прилуцкий М.Х. Многокритериальные мно-

гоиндексные задачи объёмно-календарного планирования // Известия Академии наук. Теория и системы управления. 2007. № 1. С. 78-82.

10. Афраймович Л.Г., Прилуцкий М.Х. Многоиндексные задачи оптимального планирования производства //Автоматика и телемеханика. 2010. № 10. С. 148-155.

A BICRITERIA RESOURCE ALLOCATION PROBLEM IN NET STRUCTURES CONTAINING

ACTIVE ELEMENTS

М.Kh Prilutsky, K.I. Dikarev

A general mathematical model of complex technical systems is developed and studied. In the framework of the model, a bicriteria problem of resource scheduling is stated and its effective solution algorithm is proposed.

Keywords: net structure, active element, resource allocation, resource scheduling, bicriteria problem.