Бигамильтонова структура и особенности отображения момента волчка Лагранжа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.853

БИГАМИЛЬТОНОВА СТРУКТУРА И ОСОБЕННОСТИ ОТОБРАЖЕНИЯ МОМЕНТА ВОЛЧКА ЛАГРАНЖА

М. А. Тужилин1

В статье продемонстрирован новый подход к задаче об описании особенностей отображения момента для волчка Лагранжа. Ранее полученные результаты находятся с помощью бигамильтоновой структуры. Приводится простой и удобный способ отыскания особых точек и определения их типа.

Ключевые слова: волчок Лагранжа, бигамильтонова структура, устойчивость точек равновесия.

A new approach to the problem of describing the singularities of the momentum mapping for the Lagrange top is presented in the paper. Previous résulte were obtained with the use of the bi-Hamiltonian structure. A simple and convenient technique for détermination of singular points and their type is presented.

Key words: Lagrange top, bi-Hamiltonian structure, stability problem.

1. Введение. Волчок Лагранжа — это специальный случай задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки в однородном поле силы тяжести, который характеризуется тем, что два из трех моментов инерции совпадают и неподвижная точка лежит на оси динамической симметрии. Волчок Лагранжа — классический пример интегрируемой системы. Явную формулу описания положения такого тела в пространстве получил Якоби [1]. Решения уравнений движения в терминах эллиптических функций получены в [2]. Бифуркационная диаграмма отображения момента описана в [3]. В статье [4] приведены согласованные скобки для случая волчка Лагранжа. С работы [5] началось создание бигамильтонова метода. Дополнительную информацию, имеющую прямое отношение к волчку Лагранжа, можно найти в [6; 7, с. 45-76; 8; 9; 10, с. 3-211.

2. Основные принципы работы метода. Пусть дана интегрируемая гамильтонова система x = {H, x} на симплектическом многообразии (M2n, w), где { ■ } — соответствующая скобка Пуассона. Обозначим ее Р. И пусть известна вторая скобка Пуассона Рсогласованыая с Р. Тогда на этом многообразии возникает пучок скобок Р\ = Р + АРОсобыми точками отображения момента являются точки, в которых ранг этого пучка падает. Главный принцип метода, который будет описан в настоящей работе, состоит в том, что типу соответствующей особой точки отображения момента сопоставляется тип алгебры Ли, совпадающей как векторное пространство с ker(P^) в этой точке, а для алгебр Ли уже существуют различные классификации, и они хорошо изучены.

3. Предварительные сведения и утверждения. Пусть x = sgrad H — интегрируемая гамильтонова система на симплектическом многообразии (M2n,w), где sgrad H = w-idH.

Пусть /i,/2,---,/n — независимые, попарно коммутирующие интегралы этой системы относительно скобки Пуассона {/, g} = sgrad /(g). Отображением момента называется гладкое отображение F : M2n ^ Rn, где F(x) = (/1(x), /2(x),..., /n(x)). Точка x0 € M2n называется критической точкой отображения момента, если rank(d/i(xo), d/2(x0),..., d/n(x0)) < n.

Пусть теперь e(3) — алгебра Ли группы движений трехмерного пространства, тогда на e(3)* можно ввести такие координаты J = (Ji, J2, J3) и x = (xi, x2, xa), что в этих координатах скобка Ли-Пуассона будет иметь вид

{Ji, Jj} = £ijk Jk, {Ji, xj} = £ijk xk, {xi, xj} = 0- (1) Назовем эту скобку Р. Она имеет две функции Казимира

33

Ci = ||x|| = ^ xk, C2 = (x, J} = ^ xk Jk. (2)

k=1 k=i

Зафиксируем симплектический лист e(3)*: Oaß = {x, J : Ci = a2, C2 = в}, он является четырехмерным симплектическим многообразием, т.е. многообразием с невырожденной симплектической формой на нем.

1 Тужилин Михаил Алексеевич — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

[email protected].

Волчок Лагранжа — это интегрируемая гамильтонова система со скобкой Р и гамильтонианом

Н2 = + 722 + 7з2 + ажэ, а € М\{0},

(3)

тогда имеется дополнительный интеграл Н = 7з.

Пусть на нашем многообразии есть вторая скобка Пуассона Р'. Скобки Р и Р' называются согласованными, если Рд = Р + АР' является скобкой Пуассона для любого А. Векторное поле Р^Н можно переписать в виде (Р + АР')йНх, где Нх = (1 — |— а\Н\) + С*2, а Р' — скобка, согласованная с Р (см. [4, 111), имеющая вид

/0 Хз -Ж2 0 0 0\ -Хз 0 Ж1 0 0 0 Х2 -Х1 0 0 0 0 0 0 00 00

Р'

о о —§ о о | о о 0 0 0 0/

(4)

Таким образом, мы получаем пучок скобок Рд = Р + АР '.Скобк а Р при фиксированном А имеет две функции Казимира

Н1(А) = С1, Н2(А)= аА2Н1 - АЯ2 + 2С2.

Будем рассматривать пучок скобок при А € С; если А = оо, то пучок Р\ будем считать равным Р'. Заметим, что гапк(Рд) в точках общего положения равен четырем.

Общая схема нахождения типов особых точек при помощи бигамильтоновой структуры следующая: сначала ищутся точки, в которых ранг скобки Рд падает при фиксированном А, потом этим точкам сопоставляется некоторая алгебра Ли, и по виду алгебры уже определяется тип особенности отображения момента в этой точке.

Утверждение 1 (о ранге скобки пучка). Рассмотрим на е(3)* скобку Р\ при фиксированном, А € С, тогда

гапк(Рд) < 4

Х1 = А71

Х2 = А72

Хз = А7з

Х1 = 0,

Х2 = 0,

Хз = 0.

(5)

Рд

/ 0 АХз -АЖ2 0 Хз -Х2\

-Ахз 0 АХ1 -Хз 0 Х1

АХ2 -АХ1 0 Х2 -Х1 0

0 Хз -Х2 0 73 - А§ -72

-Хз 0 Х1 -73 + А§ 0 71

V Х2 -Х1 0 72 -71 0

Если гапк(Рд) < 4, то из кососимметричности Рд следует, что гапк(Рд) равен либо двум, либо нулю. Если же гапк(Рд) = 0, то легко видеть, что выполнены соотношения (5).

Пусть теперь гапк(Рд) равен двум. Тогда есть два столбца матрицы, через которые выражаются все остальные. Назовем их главными столбцами.

Поскольку мы изучаем отображение момента на регулярном симплектическом листе, то гапк(Р) равен четырем, поэтому число А не равно нулю. Без ограничения общности Ж1 = 0. Главное соображение состоит

Рд

другому. Докажем это.

Обозначим столбцы матрицы Рд через £1, £2,..., £в- Разобьем их та три группы — {£1, £4}, {£2, £5}, {£з, £в}-

Рд

Доказательство. Действительно, если они из одной группы, то они должны быть из первой группы, так как иначе найдется столбец, у которого на месте, где у главных столбцов стоит нуль, есть Ж1 с каким-то коэффициентом, отличным от нуля. Этот столбец выражается через выбранные два, следовательно, Ж1 = 0, что противоречит предположению. Тогда из тех же соображений выводим, что Ж2 = 0 и жз = 0, следовательно, первый столбец является нулевым, а значит, гапк(Рд) <2 — противоречие. □

Осталось доказать, что столбец, принадлежащий той же группе, что и главный, получается из него домножением на Л (если номер главного столбца 1, 2 или 3) или на ^ (если соответственно номер главного столбца 4, 5 или 6). Заметим, что из этого сразу же будет вытекать наше утверждение.

Рассмотрим следующие случаи.

1. Главные столбцы из первой группы и любой другой. Без ограничения общности пусть этими столбцами будут $1 и £5. Тогда рассмотрим столбец £2. Он равен линейной комбинациии £1 и £5. В столбце £1 первая координата равна нулю, а вторая есть жз с ненулевым коэффициентом, поэтому либо жз = 0, либо £2 = А£5. Если жз = 0, то первые и вторые координаты столбцов £1 и £5 равны нулю, а значит, по тем же соображениям Ж1 = 0 — противоречие. Следовательно, £2 = А£5, аналогично £1 — А£4.

ж1 = 0

для третьей строки, получаем, что £2 = А£б, а для второй £3 = А£б- □

ж

нулю, ранг скобки Р меньше четырех. Такие точки мы не рассматриваем, так как изучаем отображение момента на регулярном симплектическом листе.

Разделим полученные условия на случаи: для соответствующих точек (ж, 3) существует единственное значение А, для которого ранг Р\ падает; существуют два действительных значения А или два комплексных. Во всех этих трех случаях типы соответствующих точек будут различаться. Таким образом, получаем

Следствие 1. Ранг скобки Р\, заданной формулой (6), падает, тогда и только тогда, когда выполнено одно из соотношений

ж1 = А31,

ж2 = А32, при А € М; (7)

жз = Х33 - А2|

ж1 = ж2 = = 32 = 0,

З3 ± л/- 2аж3

хз = Х33 - А2§, при А = —--- € М; (8)

_ 32 - 2аж3 > 0

хг = ж2 = 3\ = 32 = 0, —--

жз = \33 — А2|, при, А = ~ 2<1ХЗ е С; (9)

_ - 2аж3 < 0

Ж1 = Ж2 = 31 = 32 =0,

ж3 = Х33 - А2|, при А = — € М. (10)

_ - 2аж3 = 0

Это следствие дает представление о множестве особых точек нашей системы. Точки, перечисленные в следствии 1, — это в точности множество особых точек отображения момента (см. [12]).

4. Основная теорема. В следующей теореме дается классификация особенностей отображения момента для волчка Лагранжа.

Р

(1), гамильтонианом Н2 и дополнительным интегралом Н (3). Тогда, особым,и точками отображения момента являются точки, перечисленные в формулах (7)-(10), причем в случае (7) они имеют эллиптический тип, в случае (8) — тип центр-центр, в случае (9) — тип фокус-фокус, в случае (10) — вырожденный, тип.

Доказательство. 1. Зафиксируем точку ж0 из случая (7). Для такой точки построим связанную с ней алгебру дд = Ал(ж°) (см. [13]), такую, что она как линейное пространство совпадает с кег(Рл(ж°)) и коммутатор на ней задается по формуле [£, п] = ё{/, д}д, где п € кег(Рл(ж°)), ^ 3 - некоторые функции, такие, что ё/(ж°) = ёд(ж°) = п- Тогда если взять в качестве / и 3 линейные функции, то коммутатор [£,?у] будет равен ^¡-¡¿-^щ, где по повторяющимся индексам ведется суммирование.

Выберем базис в gA:

ker(PA(x0)) =

( 1 \

0 0

-Л 0

V 0 )

0 1 0 0

-Л 0

0 0 1 0 0 -Л

(А\

Жо

Х2

Жо

ж3 0

0 0

где (ж0,ж0,жз) — первые три координаты точки ж0. Обозначим эти порождающие векторы соответственно через а, Ь, с и d. Для того чтобы определить тип особой точки, необходимо понять, какой алгебре изоморфна данная. Для этого посчитаем коммутаторы. Нетрудно проверить, что

[а, Ь] = -Ас, [а, с] = ЛЬ, [Ь, с] = —Ла, 0л] = 0.

Сделаем замену ж = у = г = тогда [х,у] = г, [у, г] = х, [г, х] = у. Следовательно, алгебра

0л изоморфна зо(3, М). Как следует го работы [13], в случае, когда существует единственное число Л и алгебра 0л изоморфна зо(3, М), получается особенность эллиптического типа.

2. Теперь рассмотрим случай (8). Как и в первом случае, построим аналогичным образом алгебру 0л5 только уже для точки жо из второго случая. Тогда скобка Пуассона примет вид

Pa =

( 0 Лж3 0 0 ж3 0

-Лжз 00 -ж3 0 0

0 00 0 0 0

0 ж3 0 0 J3 + A§ 0

-Жз 00 -Js + Af 0 0

\ 0 00 0 0 0

Базисные векторы:

0 0 1 0

0 1 0 1

1 0 0 0

0 0 -Л 0

0 0 0 -Л

0 1 0 0

ker(PA(xo)) =

Обозначим их соответственно через а, Ь', с и d. Коммутаторы базисных векторов имеют вид

[а, 0л] = 0, [Ь',с] = —d, [Ь'^] = с, [с, ^ = Л а — Л2Ь'.

Сделаем замену Ь = а — ЛЬ', тогда [Ь,с] = —Лd, [Ь,^ = —Лс, [с,d] = ЛЬ. Заменой переменных избавившись от коэффициента, получаем алгебру зо(3, М):

[ж,у]= [у,г] = ж, [¿,ж] = у.

Тогда в этом случае получается особенность типа центр-центр (см. [13]).

3. Случай (9) разбирается аналогично случаю (8), только для Л € С. Для него таким же образом получается алгебра зо(3, С) Следовательно, есть только один элемент зо(3, С) в разложении алгебры 0л, а значит, эта особенность типа фокус-фокус.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Jacobi С. Fragments sur la rotation d'un corps tirés des manuscripts de Jacobi et communiqués par E. Lotner // Gesammel. Werke. Chelsea. 1969. 2. 425-514.

2. Klein F., Sommerfeld A. Über die Theorie des Kreisels. Heft 4. Leipzig: Druck und verlag von B. G. Teubner, 1965.

3. Болсинов A.A., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Т. 2. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999.

4. Ratiu Т. Euler-Poisson equations on Lie algebras and the N-dimensional heavy rigid body // Amer. J. Math. 1982. 104. 409-448.

5. Bolsinov A. V., Oshemkov A.A. Bi-Hamiltonian structures and singularities of integrable Hamiltonian systems // Regular and Chaotic Dynamics. 2009. 14. 431-454.

6. Fomenko А. Т., Kunii T.L. Topological modeling for visualization. Berlin: Springer-Verlag, 1997.

7. Brailov Yu.A., Fomenko A.T. Lie groups and integrable Hamiltonian systems. Vol. 25. Berlin: Heldermann Verlag, 2002.

8. Fomenko А.Т., Morozov P.V. Some new results in topological classification of integrable systems in rigid body-dynamics // Contemporary geometry and related topics. Belgrade. 15-21 May 2002. World Scientific Publishing Co., 2004. 201-222.

9. Fomenko А. Т., Konyaev A.Yu. New approach to symmetries and singularities in integrable Hamiltonian systems // Topol. and its Appl. 2012. 159. 1964-1975.

10. Fomenko А. Т., Konyaev A. Yu. Algebra and geometry through Hamiltonian systems. Vol. 211. Berlin: Springer-Verlag, 2014.

11. Gavrilov L., Zhivkov A. The complex geometry of Lagrange top // L'Enseign. math. 1998. 44. 133-170.

12. Bolsinov A. A. Compatible Poisson brackets on Lie algebras and the completeness of families of functions in involution // Math. USSR Izv. 1992. 38. 69-90.

13. Bolsinov A.A., Izosimov A.M. Singularities of bihamilton systems // arXiv: 1203.3419.

Поступила в редакцию 29.11.2013

УДК 519.716

ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ, ЗАМКНУТЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО УСИЛЕННОЙ ОПЕРАЦИИ СУПЕРПОЗИЦИИ

Д. К. Подолько1

В работе изучается операция двоичной суперпозиции, определенная для функций k-значной логики (k = 2m, m ^ 2) па основе их кодирования в двоичной системе счисления. Приводится описание всех классов, замкнутых относительно операций двоичной суперпозиции и добавления несущественной переменной и содержащих только функции, принимающие не более двух значений.

Ключевые слова: функции многозначной логики, суперпозиция, замкнутые классы.

The paper concerns the operation of binary superposition determined for the k-valued logic functions (k = 2m, m > 2) on the basis of their representation in the binary number system. A description of the set of classes containing only functions taking not more than two values and closed under the operations of binary superposition and addition of fictitious variables is given.

Key words: multivalued logic functions, superposition, closed classes.

Изучение замкнутых классов функций k-значной логики при k ^ 3 наталкивается на значительные трудности в связи с континуальностью семейства данных классов (см., например, [1]). Поэтому одним из направлений их исследования является рассмотрение семейств классов, замкнутых относительно более "сильных" операций, чем операция суперпозиции (см., например, обзор [2]). Использование такого подхода позволяет в некоторых случаях получить более обозримую структуру классов, замкнутых относительно рассматриваемых операций. К этому направлению исследований можно отнести, например, работы [3-5].

k

представления их как булевых вектор-функций, зависящих от булевых вектор-переменных. Отметим, что идея такого кодирования достаточно эффективна при решении некоторых задач многозначной логики (см., например, [7]). Из результатов работы [6] следует, что оператор замыкания относительно операций двоичной суперпозиции и введения фиктивной переменной, называемый в-замыканием, не является слишком сильным в том смысле, что семейство в-замкнутых классов функций k-значной логики не менее чем счетно (в отличие от конечных семейств замкнутых классов в [3, 4]).

1 Подолько Дмитрий Константинович — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: podolko_dkQmail.ru.