CC BY
35
Бифуркации равновесных конфигураций упругой пластины при наличии интегрального ограничения_
Бифуркации равновесных конфигураций упругой пластины при наличии интегрального ограничения
Данилова О.Ю.
Воронежский институт МВД России danilova_olga@hotmail. сот
Аннотация. В задачах управления и автоматизированных системах часто используются математические модели, основанные на применении дифференциальных уравнений и уравнений математической физики. В настоящей работе описано закритическое поведение продольно сжатой и шарнирно закрепленной на крае прямоугольной пластины с интегральным ограничением на конфигурацию пластины в виде неравенства. Равновесные конфигурации пластины описываются уравнениями Кармана [Вольмир, 1956]. Рассматривается случай двухмодового вырождения, ранее исследованный в работах [Сапронов, 1989; Holder et al., 1984]. В статье применяется метод, основанный на функционально - аналитическом подходе [Красносельский и др., 1975], в соответствии с которым равновесия пластины отвечают точкам локального минимума функционала полной энергии пластины на некотором пространстве функций Е. Наличие интегрального ограничения в этой схеме приводит к необходимости исследования функционала в окрестности краевой вырожденной критической точки [Арнольд, 1978] (то есть критической точки, лежащей на крае области
конечномерной редукции (схемы Ляпунова - Шмидта [Сапронов, 1996]) сводится к анализу поведения (ключевой) функции двух переменных, представляющей собой возмущение функции с особенностью двумерной сборки, четной по каждой переменной.
Ключевые слова: бифуркации, конечномерная редукция, функционал, ключевая функция, критические точки, краевые особенности, Ы^расклады.
В задачах управления и автоматизированных системах часто используются математические модели, основанные на применении дифференциальных уравнений и уравнений математической физики. В настоящей работе описано закритическое поведение продольно сжатой и шарнирно закреплённой на крае прямоугольной пластины с интегральным ограничением на конфигурацию пластины в виде неравенства.
> 0). Исследование такой задачи посредством одной из схем
1 Бифуркации равновесий упругой пластины без ограничения
Равновесное состояние упругой прямоугольной пластины, продольно сжатой и шарнирно закрепленной на крае, описывается уравнениями Кармана (промасштабированными) [Вольмир, 1956]:
А2и>-[и>,0>] + Ли/и = tf(p+—[w,w\ = 0 (1)
при краевых условиях
kw = w = k(p = (p = Q\xla. (2)
Здесь А — гармонический оператор Лапласа, [w,<p] = w^ + w^ - 2wxy<pxy, w — функция прогиба пластины, <р —
функция напряжения пластины, Л — параметр нагрузки, Qa = [0,a]x[0,l]— область определения функций w и <р,
интерпретируемая как геометрическая форма ненагруженной пластины.
Если исключить из уравнения <р, то получим 1фаевую задачу для редуцированного уравнения Кармана
A2w+-[W,A~2[W,W]] + 1Wxx=0, (3)
Aw = w = 0\xla. (4)
Через А"1 в уравнении (3) обозначается оператор Грина у/ —» где (р — решение уравнения Пуассона А(р - у/,(р = 0.
Уравнение (3) является уравнением Эйлера - Лагранжа экстремалей функционала V
Г(х,А) = |(|Aw|2-^|wJ2)+|| A"1 [w, w] |2. (5)
Здесь |w|2 = yl(w,w), где (у) — скалярное произведение в Ь2 (Па), то есть
И2 := \\w(x,y)2dxdy.
Пусть Е0 — пространство функций <р гельдеровского класса С4+а(Оа), удовлетворяющих краевому условию = ^ = , —
подпространство функций у/ в пространстве ^ = С0+а(Оа), удовлетворяющих условию согласования
у/{ 0,0) = у/{а$) = ^(0,1) = ¥{а,\) = 0. Вторая степень оператора Лапласа действует изоморфно из пространства Е0 на пространство ^. Обозначим через Е банахово
пространство {и>е А^еТ7} с нормой ||и|£ := А2™ 0+а , где НА —
с (^в)
Бифуркации равновесных конфигураций упругой пластины
при наличии интегрального ограничения_
пространство соболевских функций м? класса Ж,4, удовлетворяющих условию Ан' = н' = 0|еп . Тогда левая часть уравнения (3) задает гладкое фредгольмово отображение из Е в Е. Обозначим его /(м>Д).
Функционал (5) инвариантен относительно инволюций J1,J2:
О, Я)) = (и;, Я)) = Я), J2 = м^а-х, у), = -Зг.
Через функционал (5) в теории упругих оболочек оценивается устойчивость равновесных состояний: состояние устойчиво, если оно реализует точку локального минимума функционала (5). Потеря устойчивости происходит при переходе Я через критическое значение (верхнюю критическую нагрузку):
Я* (а) = зир
тг д2У
Я :—=-(0ДХМ)>0Д<Л,А*0,АеЯ
дм1
Верхняя критическая нагрузка непрерывно и кусочно гладко зависит от длины а пластины. Разрыв производной от Я* (а) происходит в точках
ат = +1 ),т = 1,2,... При а = ат и Я = Ят := Я" (ат)в нуле уравнение
Кармана при краевых условиях (2) имеет двумерное вырождение. В нуле теряется устойчивость по двум модам:
^ мяхЛ
Г
ех =2зт - вт(лу),е2 =2зт 8т(яу).
К а ;
(т +
а
Анализ соответствующих закритических равновесий сводится к изучению критических точек ключевой функции Ж, получаемой по редуцирующей схеме Ляпунова - Шмидта [Сапронов, 1989,1996]
Щ£Я,а):= М + М),<Г еО2 (6)
имеО*
(при (Я,а), достаточно близких к (Ят,ат)). Здесь О и О,— достаточно малые окрестности нулей в Я2 и Е*=\и&Е\(и,е1) = (и,е2) = о}.
Более того
Я, а) = Г(£А +&е2+ Ф(£ , £ Д, а), Я), (7)
где Ф(£ , Д, а) — решение уравнения /„ + %2е2 + и Д) = 0, определяемое теоремой о неявной функции. Здесь
/*(^Д) = Д^Д)- ¿(Дм
7=1
Между критическими точками Ж и V существует взаимно однозначное соответствие. Соответствующие друг другу точки имеют одинаковые кратности (числа Милнора) и индексы Морса.
Локальный анализ (7) успешно осуществляется благодаря тому, что имеет место представление:
РГ(£А,а) = %1(А,а)£ + а2(А,а)Г2)+^К^ +..., (8)
^ им
2 (дл2
где ах,а2- собственные значения оператора А + А\ —
удх,
собственным векторам ех,е2,
, отвечающие
j,J 8
Ь\еъе2-\ ,у=1,2,
Для коэффициентов h¿j из разложения (8) при т< 10 выполняется соотношение [Holder et al., 1984]
> VMv ■ (9)
Неравенство (9) означает положительную определенность формы
2
в положительной четверти плоскости R2.
ij=1
Ключевую функцию (8) можно переписать в виде
W(?j,A,a) = ^(j3l(A,a)?j21 + /32 (A, a) rjl)+ rfx + crj'rj¡ + tj¡ +..., (10)
где с >2 (следует из неравенства (9)).
Пусть Ъ — бифуркационное множество функции W. Множество R3 разбивается на зоны — компоненты связности. С каждой точкой /?= (Д,Д,с) и принадлежащей одной компоненте связности свяжем тройку целых чисел bif(/3) = {р, q, г}, изображающую количество минимумов, седел, и максимумов (данную тройку назовем bif -раскладом).
Теорема 1. При /? g Е имеют место следующие и только следующие bif-расклады: (1,0,0), (2,1,0), (2,2,1), (4,4,1).
2 Наличие однородного симметричного интегрального ограничения
Наложим дополнительное условие на функцию прогиба и> в виде следующего интегрального ограничения
11 со(х, у)м^х, у)(1х(1у > 0, где со(а-х, у)=со(х,у), со(х, 1 -у)=со(х,у).
Бифуркации равновесных конфигураций упругой пластины
при наличии интегрального ограничения_
Пусть т = 1, а = ах = 42, Я = Я{ =Л*(а1). Тогда уравнение Кармана в нуле имеет двумерное вырождение. Пластина в прямолинейном состоянии теряет устойчивость по двум модам:
е\ ~е\,\ -2 sin
е2=е2 \ =2sin
\а ) г2 яхЛ
Sin 7iy, sin/гу,
\ а )
Обозначим е1=(о,е2=е1.
Редуцируя задачу У(\[>) —м? еЕпо схеме Ляпунова - Шмидта [Сапронов, 1996], получаем задачу —» ехгг, В, еЯ , где
при условии £ > 0, так как
= (ч>, = ^(шс1хс1ху > 0.
(11)
Ключевая функция W приводится к виду
= +Д^22)+^14 2П22 +72 +-Л
(12)
B(ß) =
Условие fj^ > 0 означает, что в рассматриваемой задаче появляются краевые особенности [Арнольд, 1978].
Из результатов работы [Царев, 1998] следует, что ключевые функции W и ^гладко эквивалентны. Следовательно, d = с>2 (следует из соотношения (9)).
При наличии края bif - расклады ключевой функции W удобно описывать посредством матрицы 2x3:
( I I I Л
12 13
ym1 т2 mj'
в которой /15/2,/3 — число краевых минимумов, седел, максимумов соответственно, а т],т2,тъ — количество обычных минимумов, седел, максимумов (то есть расположенных внутри области ).
Теорема 2. [Данилова, 2002] При ß g Е все возможные bif - расклады
для задачи W{rf) —>extr, при условии > 0 описываются следующими шестью матрицами
(\ 0 OVO 1 0V2 1 0Л
J 0 0/
.0 0 0J
(0 2 i\(2 0 f\
Л 0 0J
КО 1 0/
V0 0 0J 2 0 f X 2 0J
Доказательство основано на вычислении критических точек при параметрах, принадлежащих зонам Яг\Ъ, и исследовании характера критических точек.
Из этой теоремы вытекает описание бифуркационной картины для функционала V.
3 Наличие неоднородного симметричного интегрального ограничения
Пусть теперь наложено ограничение
Л со О, .уМх, у)<Ьи1у > с.
Тогда редуцируя задачу —» ехгг, ^е£по схеме Ляпунова
Шмидта [Сапронов, 1996], получаем задачу —»ех1г,% >с.
Ключевая функция приводится к виду, эквивалентному (12). Теорема 3. [Данилова, 2002] При р £ Е все возможные расклады
для задачи $^(77) —> ех&, при условии г\х >с описываются следующими 18 матрицами
Л Го 1 Г 2 1 (\ 0 'о 1 Г 2 0 А
У 0 0, 3 ,0 0 0, ? 1 0, 3 1 0, 3 1 0/
Го 2 Г1 0 Го 2 Го 1 '2 0 '0 3
0 о, ? 2 1/ и 1 о. 3 2 К ? 2 ? 1 и
Г2 1 Го 2 А Г1 0 Го 3 Го 1 Г 2 1
2 К ? 2 1/ Ь 4 1 3 ,3 2 К ? ,4 4 Ь ? 4 1/
При доказательстве теоремы используются следующие правила: если линия уровня функции Ж касается в точке а границы области снаружи и ас1]¥ направлен внутрь рассматриваемой области, то а является для Ж точкой минимума, если же направлен наружу, то а— точка
максимума, в седловой точке линия уровня касается ребра изнутри. К точкам, лежащим внутри области, применяются обычные правила.
В этом случае появляется новый бифуркационный эффект: сосуществование на крае трех седел.
Бифуркации равновесных конфигураций упругой пластины при наличии интегрального ограничения_
Список литературы
[Арнольд, 1978] Арнольд В.И. Критические точки функций на многообразии с краем, простые группы Ли Bk,Ck,F4 и особенности эволют// Успехи матем. наук. - 1978. - Т. 33, вып. 5(203). - С. 91-105.
[Вольмир, 1956] Вольмир A.C. Гибкие пластины и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956.
[Данилова, 2002] Бифуркации экстремалей симметричных фредгольмовых функционалов в краевых особых точках: Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2002г. 125 с.
[Красносельски и др., 1975] Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.
[Сапронов, 1989] Сапронов Ю. И. Двумодовая бифуркация решений уравнения Кармана// Дифференциальные уравнения. - 1989. - Т. 25, №.6. - С. 1078-1081.
[Сапронов, 1996] Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах// Успехи матем. наук. - 1996. - Т. 51, вып. 1. - С. 101-132.
[Царев, 1998] Царев С.Л. Глобальное сравнение эквивариантных конечномерных редукций для гладкого G - инвариантного функционала// Тр. матем. фак-та (новая серия). - Воронеж, ВГУ, 1998. - Вып. №3. - С. 73-76.
[Holder et al., 1984] Holder E.J., Schaeffer D. Boundary conditions and mode jumping in the Karman Equations// SIAM J. Math. Anal. - 1984. - V. 15, N 3. - Pp. 446-457.
